1、1.1 變化率與導(dǎo)數(shù)變化率與導(dǎo)數(shù)1.1 .1變化率問題變化率問題氣氣球球膨膨脹脹率率問問題題1 ,):(:,334rrVdmrLV 之間的函數(shù)關(guān)系是位單與半徑單位氣球的體積我們知道 .,343VVrVr 那么的函數(shù)表示為體積如果把半徑 在吹氣球的過程中, 可發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加, 氣球的半徑增加得越來越慢. 從數(shù)學(xué)的角度, 如何描述這種現(xiàn)象呢?問題導(dǎo)入問題導(dǎo)入 ,.,cmrrLV6200110 氣球半徑增加了時增加到從當(dāng)空氣容積 ./.Ldmrr6200101 氣球的平均膨脹率為 ,.,dmrrLL1601221 增加了氣球半徑時增加到當(dāng)空氣容量從類似地 ./.Ldmrr160121

2、2 氣球的平均膨脹率為.,脹率逐漸變小了它的平均膨隨著氣球體積逐漸變大可以看出?,:21均膨脹率是多少氣球的平時增加到當(dāng)空氣的容量從思考VV 2121r Vr VrVVV高臺跳水高臺跳水問題問題2 .:,1056942 ttthstmh存在函數(shù)關(guān)系存在函數(shù)關(guān)系單位單位與起跳后的時間與起跳后的時間單位單位面的高度面的高度運動員相對于水運動員相對于水在高臺跳水運動中在高臺跳水運動中人們發(fā)現(xiàn)人們發(fā)現(xiàn)那么述其運動狀態(tài)描時間內(nèi)的平均速度如果我們用運動員某段,v ;/.,.smhhvt054050050500 這段時間里在 ./.,smhhvt28121221 這段時間里在播放暫停停止思考：思考： 何表示

3、？那么問題中變化率該如表示函數(shù)關(guān)系用如果上述兩個問題中的,xf ,1212xxxfxf新授：新授：一、函數(shù)的平均變化率一、函數(shù)的平均變化率 的到從數(shù)我們把這個式子稱為函若有211212,xxxfxxxfxf平平均均變變化化率率,1212xxxxxx即表示習(xí)慣上用)(y12xxff）（類似地，,.yx于是 平均變化率可表示為注：注：;,) 1相乘與而不是是一個整體符號xxxxxxx121,)2即，的一個“增量”可看作是相對于那么，函數(shù)的平均變化率還可以表示為：那么，函數(shù)的平均變化率還可以表示為：xxfxxf )()( ?,1 . 1 . 11212表示什么變化率平均圖的圖象觀察函數(shù)思考xxxfx

4、fxyxfOxy 1xf 2xf xfy 12xfxf 12xx 1x2x111 .圖圖直線直線AB的斜率的斜率AB二、函數(shù)的平均變化率的幾何意義二、函數(shù)的平均變化率的幾何意義例例 (1) 計算函數(shù)計算函數(shù) f (x) = 2 x +1在區(qū)間在區(qū)間 3 , 1上的平均變化率上的平均變化率 ；(2) 求函數(shù)求函數(shù)f (x) = x2 +1的平均變化率。的平均變化率。(1)解：解：y=f (-1)- f (-3)=4 x=-1- (-3)=2422yx(2)解：解：y=f (x+x)- f (x) =2x x+(x )2 22()2yx xxxxxx 練習(xí)練習(xí)1.已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象

5、上的一點A(-1,-2)及臨近一點B(-1+x,-2+y),則y/x=( ) A . 3 B . 3x-(x)2 C . 3-(x)2 D . 3-x D3.求y=x2在x=x0附近的平均變化率. 2.t2質(zhì)點運動規(guī)律s=t +3,則在時間(3,3+ t)中相應(yīng)的平均速度為( )9A. 6+ t B. 6+ t+ C.3+ t D.9+ tA小結(jié)小結(jié) 1.函數(shù)的平均變化率函數(shù)的平均變化率l2.求函數(shù)的平均變化率的步驟: (1)求函數(shù)的增量：y=f(x2)-f(x1); (2)計算平均變化率：1212)()( y xxxfxfx1212)()( y xxxfxfx1.1 變化率與導(dǎo)數(shù)變化率與導(dǎo)數(shù)

6、1.1 .2導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念探究一：探究一： 在在高臺跳水運動中高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高運動員相對于水面的高度度h(h(單位：米單位：米) )與起跳后的時間與起跳后的時間t t（單位：秒）（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系存在函數(shù)關(guān)系 h(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10. 如何用運動員在某些時如何用運動員在某些時 間段內(nèi)的平均速度粗略間段內(nèi)的平均速度粗略 地描述其運動狀態(tài)地描述其運動狀態(tài)? ?hto 65049,:1?2?t探究計算運動員在這段時間里的平均速度 并思考下面的問題運動員在這段時間里是靜止的嗎你認(rèn)為用平均速度描述運動員運動狀態(tài)有什

7、么問題嗎探究過程：如圖是函數(shù)探究過程：如圖是函數(shù)h(t)= -4.9t2+6.5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，的圖像，結(jié)合圖形可知， ，所以，所以，) 0 ()4965(hh)/(004965)0()4965(mshhv雖然運動員在雖然運動員在 這段時間里的平均這段時間里的平均速度為速度為 ，但實際情況是運動員仍然，但實際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài)能精確描述運動員的運動狀態(tài)49650 t)/(0msthO65496598t 瞬時速度瞬時速度. 在高臺跳水運動中在高臺跳水運動中,平均速度不能準(zhǔn)確反映他在這平均

8、速度不能準(zhǔn)確反映他在這段時間里運動狀態(tài)，段時間里運動狀態(tài)，需要用瞬時速度描述運動狀需要用瞬時速度描述運動狀態(tài)。態(tài)。又如何求又如何求瞬時速度呢瞬時速度呢?我們把物體在某一時刻的速度稱為我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度瞬時速度. .,.,;,.,.可以得到如下表格內(nèi)平均速度和區(qū)間計算區(qū)間之后在時當(dāng)之前在時當(dāng)?shù)粸橐部梢允秦?fù)值正值可以是是時間的改變量任意取一個時刻之前或之后在附近的情況我們先考察vtttttttttt 22222202200222探究二：探究二：t0時時, 在在2, 2 +t 這段時這段時間內(nèi)間內(nèi)1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv13.051v 當(dāng)t = 0.01

9、時,13.149v 當(dāng)t = 0.01時,0951.13v當(dāng)t = 0.001時,1049.13v當(dāng)t =0.001時,13.09951v 當(dāng)t = 0.0001時,13.10049v 當(dāng)t =0.0001時,099951.13vt = 0.00001,100049.13vt = 0.00001,13.0999951v t = 0.000001,13.1000049v t =0.000001, 平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢勢.l如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢?105 . 69 . 4

10、)(2ttth當(dāng)當(dāng)t趨近于趨近于0時時,平均平均速度有什么變化趨勢速度有什么變化趨勢?.,1132220 個確定的值平均速度都趨近于一時一邊趨近于還是從大于的一邊從小于即無論時趨近于當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)tt./.,.,|,smttvt11322 時的瞬時速度是員在運動因此時的瞬時速度就無限趨近于速度平均無限變小時時間間隔從物理的角度看 .,.lim,11302113220 定值趨近于確平均速度時趨勢近于當(dāng)表示我們用為了表述方便vttththt .時的極限時的極限趨近于趨近于當(dāng)當(dāng)是是我們稱確定值我們稱確定值022113tthth 那么那么, ,運動員在某一時刻運動員在某一時刻t t0 0的瞬時速度的瞬時速

11、度? ?0lim t00()( )h tth tt 定義定義:函數(shù)函數(shù) y = f (x) 在在 x = x0 處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是xxxfxxfxx ylim )()(lim 0000稱為函數(shù)稱為函數(shù) y = f (x) 在在 x = x0 處的處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), 記作記作0000( )() ()lim. xf xxf xfxx )(0 xf 或或 , 即即0|xxy。其導(dǎo)數(shù)值一般也不相同的值有關(guān)，不同的與000)(. 1xxxf 的具體取值無關(guān)。與 xxf)(. 20一概念的兩個名稱。瞬時變化率與導(dǎo)數(shù)是同. 3注：注：號一致性時，注意分子分母的符在求x y. 4 設(shè)函數(shù)f(x)在x

12、0處可導(dǎo)，則 ()Af(x0)Bf(x0)Cf(x0) Df(x0)C例例跟蹤訓(xùn)練1.2設(shè)f(x)在x0處可導(dǎo)，下列式子中與f(x0)相等的是()B由導(dǎo)數(shù)的定義可知由導(dǎo)數(shù)的定義可知, 求函數(shù)求函數(shù) y = f (x)的導(dǎo)數(shù)的一般方法的導(dǎo)數(shù)的一般方法:1.求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量2. 求平均變化率求平均變化率3. 求值求值);()(00 xfxxfy.lim)(00 xyxfx;)()(00 xxfxxfxy一差、二比、三極限一差、二比、三極限例例1. (1)求函數(shù)求函數(shù)y=3x2在在x=1處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).(2)求函數(shù)求函數(shù)f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均附近的平均變化率，并求出

13、在該點處的導(dǎo)數(shù)變化率，并求出在該點處的導(dǎo)數(shù) (3)質(zhì)點運動規(guī)律為質(zhì)點運動規(guī)律為s=t2+3，求，求質(zhì)點在質(zhì)點在t=3的瞬時速度的瞬時速度.典例分析典例分析 .,62).80(157:,.,220并說明它們的意義的瞬時變化率原油溫度時和第計算第為單位的溫度原油時如果在和加熱行冷卻油進(jìn)對原需要品產(chǎn)柴油、塑膠等各種不同將原油精煉為汽油、例hhxxxxfCxh,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義 xfxfxy22 .6f和 262,fhh就是原油溫度的瞬時變化率時和第在第解 xxx152721527222 , 3742 xxxxx , 33limlim2,00 xxyfxx所以 .56 f同理可得.運運算算過過程程請請同

14、同學(xué)學(xué)們們自自己己完完成成具具體體./,;/,.,的速率上升原油溫度大約以附近在率下降的速原油溫度大約以附近它說明在第與分別為原油溫度的瞬時變化率時與第在第hChhChhh0056325362 .,情況附近的變化反映了原油溫度在時刻一般地00 xxf小結(jié)由導(dǎo)數(shù)的定義可得求導(dǎo)數(shù)的一般步驟：由導(dǎo)數(shù)的定義可得求導(dǎo)數(shù)的一般步驟：（1）求函數(shù)的增量）求函數(shù)的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2) 求平均變化率求平均變化率（3）求極限）求極限yx00()limxyfxx 想一想想一想1.(1)x0 x一定比一定比x0大嗎？大嗎？(2)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)yf(x)從從x1到到x2的平均變化率一定存在嗎？的平均變化

15、率一定存在嗎？(3)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)yf(x)在在x0處的瞬時變化率一定存在嗎？處的瞬時變化率一定存在嗎？提示：提示：(1)不一定不一定x是一個相對于是一個相對于x的變化量，可正可負(fù)的變化量，可正可負(fù),但但不能為不能為0.(2)一定存在因為一定存在因為x1，x2屬于導(dǎo)數(shù)的定義域且屬于導(dǎo)數(shù)的定義域且x1x2.(3)不一定當(dāng)且僅當(dāng)不一定當(dāng)且僅當(dāng)yf(x)在在x0到到x0 x的平均變化率的極的平均變化率的極限存在時，函數(shù)限存在時，函數(shù)yf(x)在在x0處的瞬時變化率存在處的瞬時變化率存在1.1 變化率與導(dǎo)數(shù)變化率與導(dǎo)數(shù)1.1 .3導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 ?,.,0000的幾何意義是什么呢導(dǎo)數(shù)么那附近的

16、變化情況在數(shù)反映了函處的瞬時變化率在表示函數(shù)導(dǎo)數(shù)我們知道xfxxxfxxxfxf探究：探究：y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如圖如圖,曲線曲線C是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的圖象的圖象,P(x0,y0)是曲線是曲線C上的上的任意一點任意一點,Q(x0+x,y0+y)為為P鄰近一點鄰近一點,PQ為為C的割線的割線,PM/x軸軸,QM/y軸軸,為為PQ的的傾斜角傾斜角.tan,: xyyMQxMP則則yx請問：是割線PQ的什么?斜率!PQoxyy=f(x)割割線線切線切線T請看當(dāng)點請看當(dāng)點Q沿著曲線逐漸向點沿著曲線逐漸向點P接近時接近時,割線割線PQ繞著繞著點點P逐漸轉(zhuǎn)動的情

17、況逐漸轉(zhuǎn)動的情況. 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點當(dāng)點Q沿著曲線無限接近點沿著曲線無限接近點P即即x0時時,割線割線PQ有一個確定位置有一個確定位置PT.則我們把直線則我們把直線PT稱為曲稱為曲線在點線在點P處的處的切線切線. 設(shè)切線的傾斜角為設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)那么當(dāng)x0時時,割線割線PQ的斜的斜率率,稱為曲線在點稱為曲線在點P處的處的切線的斜率切線的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切線 這個概念這個概念:提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;切線斜率的本質(zhì)切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)

18、數(shù).切線定義：切線定義：要注意要注意,曲線在某點處的切線曲線在某點處的切線: 1) 與該點的位置有關(guān)與該點的位置有關(guān);2) 要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極如有極限限,則在則在 此點有切線此點有切線,且切線是唯一的且切線是唯一的;如不存在如不存在,則在則在此點處無切線此點處無切線;3) 曲線的切線曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點并不一定與曲線只有一個交點, 可以有多個可以有多個,甚至可以無窮多個甚至可以無窮多個.PQoxyy=f(x)割割線線切切線線T切線定義解析：切線定義解析：導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)函數(shù) y=f(x)在點在點x

19、0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線線 y=f(x)在點在點P(x0 ,f(x0)處的切線的斜率處的切線的斜率.即即:0( )kf x切線 故曲線故曲線y=f(x)在點在點P(x0 ,f(x0)處的切線方程是處的切線方程是:)()(000 xxxfxfy /000/0/01y=f(x)P(x ,f(x )f (x )y 2f (x )0,Xf (x )0,X注注：（ ）若若曲曲線線在在點點處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在，就就是是切切線線與與 軸軸平平行行。（ ）切切線線與與軸軸正正方方向向夾夾角角為為銳銳角角，切切線線的的斜斜率率為為正正，切切線線與與軸軸正正方方向向夾夾角角

20、為為鈍鈍角角，切切線線的的斜斜率率為為負(fù)負(fù)。 .,.105 . 69 . 4, 31 . 12102附近的變化情況在述、比較曲線請描據(jù)圖象根圖象的數(shù)時間變化的函示跳水運動中高度隨它表如圖例tttthttth0l1l2lthO0t1t2t311 .圖圖.,的的變變化化情情況況刻刻畫畫曲曲線線在在動動點點附附近近利利用用曲曲線線在在動動點點的的切切線線 .,變化情況在上述三個時刻附近的線刻畫曲處的切線在我們用曲線解thtttxh210 .,.,幾乎沒有升降較平坦附近曲線比在所以軸平行于處的切線在曲線時當(dāng)00001ttxltthtt .,.,附近單調(diào)遞減在即函數(shù)降附近曲線下在所以的斜率處的切線在曲線

21、時當(dāng)11111102ttthttthltthtt .,.,單調(diào)遞減附近也在即函數(shù)附近曲線下降在所以的斜率處的切線在曲線時當(dāng)12222203ttthttthltthtt .,.附近下降得緩慢附近比在在這說明曲線程度的傾斜的傾斜程度小于直線直線可見從圖2121311ttthll 0l1l2lthO0t1t2t311 .圖圖00()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致發(fā)生混淆時，在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)也簡稱也簡稱導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)000( )()( )()( ).yf xxfxf xfxx 函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的導(dǎo) 函 數(shù)在點處的函數(shù)值函數(shù)導(dǎo)函數(shù)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)由函數(shù)由函數(shù)f(x)在在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)當(dāng)時時,f(x0) 是一個確定的數(shù)是一個確定的數(shù).那么那么,當(dāng)當(dāng)x變化時變化時,便是便是x的一個函數(shù)的一個函數(shù),我們叫它為我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).即即:例例1跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練求曲線求曲線f(x)x22x1在點在點P(1，f(1)處的切線方處的切線方程程.例例2【名師點評名師點評】求切點坐標(biāo)可以按以下步驟進(jìn)行：求切點坐標(biāo)可以按以下步驟進(jìn)行：(1)設(shè)出切點坐標(biāo)；設(shè)出切點坐標(biāo)；(2)利用導(dǎo)數(shù)或斜率公式求出斜率；利用導(dǎo)數(shù)或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率