1、.解析幾何競賽題求解的幾種常見策略陳碩罡吳國建（浙江省東陽中學322100）解析幾何作為高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，研究問題的主要方法是坐標法，解題的基本過程是：首先用代數(shù)語言（坐標及其方程）描述幾何元素及其關系，將幾何問題代數(shù)化，解決代數(shù)問題，得到結(jié)果，分析代數(shù)結(jié)果的幾何意義，最終解決幾何問題。解決幾何問題的解決往往需要具有較強的觀察、分析問題、解決問題的能力，需要熟練掌握數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的思想，同時還要具有較強的運算能力，所以解析幾何一直是各級高中數(shù)學競賽命題的熱點和難點。在近幾年的全國數(shù)學聯(lián)賽中一試試題中，一般有一或兩道填空題和一道解答題，分值在 30 分左右，占一試總分值的四分之一，其重要性

2、不言而喻。下面筆者結(jié)合自己的教學實踐，提出解析幾何競賽題求解的幾種常見策略，與同仁們探討。一、用函數(shù) (變量 )的觀點來解決問題函數(shù)是描述客觀世界中變量間依賴關系的重要數(shù)學模型。抓住問題中引起變化的主變量，并用一個具體的量（斜率或點的坐標等）來表示它，同時把問題中的的因變量用主變量表示出來，從而變成一個函數(shù)的問題， 這就是解決問題的函數(shù)觀點。在解析幾何問題中，經(jīng)常會碰到由于某個量（很多時候是線或點）的變化，而引起圖形中其它量（面積或長度等）的變化的情況，所以函數(shù)觀點成為了解決解析幾何的一種重要方法?！纠?】（ 2010全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題）已知拋物線 y26x 上的兩個動點 A(x1, y1

3、) 和 B(x2 , y2 ) , 其中 x1x2 且x1x24 . 線段 AB 的垂直平分線與 x 軸交于點 C , 求 ABC 面積的最大值 .【分析】通過對題目的分析可以發(fā)現(xiàn)線段AB 中點的橫坐標已經(jīng)是定值，只有縱坐標在變化，可以把AB 中點的縱坐標作為主變量，這樣只要把ABC 的面積表示成以AB 中點的縱坐標的函數(shù)即可，這是問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題?！窘馕觥吭O線段AB 的中點 M 坐標為（ (2, y0 ) ，則則直線 AB 的斜率： ky1y2y1y263x xy12y22y yy2112066線段 AB 的中垂線方程：yy0y0 ( x2) ，易知線段AB 的中垂線與 x 軸的

4、交點為定點C (5,0)3直線 AB 的方程： yy03 (x2) ，聯(lián)立拋物線方程消去x 可得： y22 y0 y2y02120（1），y0由題意， y1, y2 是方程（ 1）的兩個實根，且y1y2 ，所以4 y024(2 y02 12)02 3y0 23弦長 |AB|1( y0 )2| y1y2 |(1y02)( y1y2 )24 y1 y2 2(9y02 )(12y02 )393點 C(5， 0)到直線 AB 的距離： h|CM |9 y02則SABC1 | AB | h1(9 y02 )(12y02 )9y0211 (9y02 )(9y02 )(242 y02 )23321 1( 9

5、 y029 y0224 2 y02 )31473233當且僅當9 y0224 2y02， 即 y05，點A(635, 57), B( 635, 5 7)或33A( 6335 ,57), B( 6335 ,57) 時等號成立，所以ABC 面積的最大值為147 。3【評析】在解答過程中用韋達定理代入消元轉(zhuǎn)化，蘊含了“設而不求”的解題策略，把面積S 表示為中點坐標 y0 的函數(shù)，同時注意 y0的取值范圍，體現(xiàn)了函數(shù)問題首先關注定義域，在對函數(shù)求最值的過程中運用了基本不等式，其實也可設.9 y02t, t9, 21) ，轉(zhuǎn)化為一個 t 的三次函數(shù)，利用導數(shù)求最值也是一種常用技巧?！纠?2】（ 2009

6、全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題）設直線l : y kxm （其中 k ， m 為整數(shù)）與橢圓x2y2A， B，與161 交于不同兩點22uuuruuur12雙曲線 xy1 交于不同兩點 C ， D ，問是否存在直線l ，使得向量 ACBD 0 ，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不4 12存在，請說明理由【分析】通過分析可以看出本題的根本變量是直線方程中的k , m , 所以其余各量均可用 k, m ，所以我們這里可用一個二元函數(shù)uuuruuurf (k, m)0 .f (k ,m) 來表示 ACBD ，本題就轉(zhuǎn)化為解二元方程ykxm【解析】由x2y2消去 y 化簡整理得 :34k2 x28kmx4m2

7、48016121設 Ax1 ，y1 ， B x2 ，y2，則 x1x28km, 18km 24 34k 24m2480 34k2ykxmk2x2m2由x2y2消去 y 化簡整理得 : 32kmx1204121設 CD x4，y42km ,x3 ，y4222uuur，則 x3x43 k 222km4 3km120 uuur因為 ACBD0 ，所以x4x2x3x10，此時y4y2y3y10 由 x1x2x3x4 得8km2km 34k 23k 2所以2km0或41由上式解得k 0 或 m034k 23k 2當 k0 時，由和得23 m2 3 因 m 是整數(shù)，所以m 的值為3，2 ，1， 0，1，

8、2， 3當 m0 ，由和得3k3 因 k 是整數(shù)，所以 k1， 0， 1于是滿足條件的直線共有9 條【評析】如果題目中的主變量需要用兩個變量來表示時，可先把這個因變量表示為一個兩元函數(shù)，如題設中有其他條件能找到這兩個變量間的關系，那只需用一個兩來表示另一個量，這時就可轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，這也體現(xiàn)了解析幾何中“設而不求”的思想；如題設條件不能直接給出兩變量者之間的關系，我們可直接對二元函數(shù)進行處理.二、用平面幾何的知識來解決問題解析幾何是用坐標法把幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的方法來解決幾何問題，但說到底解析幾何還是幾何。在解決某些解析幾何問題的時候，如果其平面幾何背景非常明顯的時候，我們往往可以借助平面

9、幾何知識來快速準確解決問題?！纠?3】 (2012 全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)拋物線 y22 px( p0) 的焦點為 F，準線為 l ， A 、 B 是拋物線上的兩個動點，且滿足AFB設線段的中點 M 在 l 上的投影為 N ，則 | MN | 的最大值是 _3|AB|【分析】根據(jù)梯形的中位線定理和拋物線的定義，|MN=|AF|+|BF| ，結(jié)合AFB，可用余弦定理得出等量關系。3【解析】由拋物線的定義及梯形的中位線定理得MNAFBF .在AFB 中 ,由余弦定理得2222( AFBF )23AF BFABAFBF2 AF BF cos3( AFBF )23( AF BF )2( AFBF )2

10、MN .222當且僅當AFBF 時等號成立 .故MN的最大值為 1.AB【評析】一些解析幾何客觀題，往往需要借助圓錐曲線的定義和平面幾何的一些性質(zhì)進行解題?！纠?4】（ 2005 全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題）過拋物線y=x 2 一點 A(1,1).作拋物線的切線交x 軸于 D，交 y 軸于 B，C 在拋物線上， E 在線段 AC 上， AE1，F(xiàn) 在線段 BC 上， BF2，且 ECFC1+ 2= 1，線段 CD 與 EF 交于 P，當 C 在拋物線上移動時，求P 的軌跡方程?！痉治觥客ㄟ^初略計算可知D 為 AB 的中點，而題設中有很多的線段比例關系，可考慮用三角形的面積之比來解決問題?！窘馕觥?A

11、B的方程為 y2 x 1, B(0,1), D(1 ,0), 故 D是 AB的中點 .CD ,t1CACB2令11 ,t 212 , 則 t1t2 3.CPCECF因為 CD為 ABC 的中線，S CAB2S CAD2S CBD .所以1 CECF S t1t 2 CA CB SP是ABC的重心 .CEFCABS2SCEPCADS2SCFP1(11)t1 t23,3 ,CBD2t1t 22t1t 22t1t 22設 P( x, y), C (x, x2 ), 因點C異于 ，則x0 1,故重心P的坐標為00A0 1 x01 x0, (x21 1 x02x02, 消去 x0 , 得 y12.x3)

12、, y33(3x 1)333故所求軌跡方程為y1 (3x1) 2 ( x2).33【評析】 從函數(shù)的觀點進行分析， 易發(fā)現(xiàn)點 C 的橫坐標 x0 為主變量， P 點的橫坐標和縱坐標均表示成x0 的函數(shù)， 在消去參數(shù) x0就得到點 P 的軌跡方程，思路雖然簡單，但由于本題所含字母較多，進行代數(shù)運算時運算量大且容易出錯。如果我們能夠分析其平面幾何背景，運用平面幾何的知識，就能比較快速準確的解決問題當解析幾何題目。三、用極坐標知識來解決解析幾何問題解析幾何中的坐標法是指建立直角坐標系，用這個點在兩坐標軸上的射影x, y 來確定。而極坐標是用角度和距離（很多時候就是長度）這兩個量來確定一個點的位置，其

13、幾何意義很明顯，如果在題目中涉及到的量能用角度和距離非常方便的表示出來，那么建立一個極坐標系進行運算，會比我們在直角坐標系下運算快速有效的多。A 、B 是橢圓 x2y2uuur uuur11 2 為【例 5】（ 2008 江蘇省數(shù)競賽試題）1 上的兩個動點，滿足 OA OB0 。（ 1）求證：294|OA |OB |uuuruuur定值；（ 2）動點 P 在線段 AB 上，滿足 OPAB 0 ，求證：點 P 在定圓上。uuuruuur0可知OAOB,所以AOB90|OA |,|OB |【分析】由OAOB, 而能用距離（長度）直接給表示出來，這里的問題都可以用角度和距BP離來表示，可以考慮建立極

14、坐標系來解決。Ax 軸正半軸為極軸建立極坐標系【解析】（ 1）如圖以原點為極點，O設 | OA | a,| OB |b, AOx，則點 A(a cos , asin) ，則點 B(b cos(), b sin()(bsin,b cos) ，22點 A、B 在橢圓上，把點坐標帶入橢圓方程可得：a2 (cos2sin 2) 11cos2sin 294a294同理可得：1sin 2cos2，兩式相加可得：1111 13b294a2b2為定值。9436uuuruuur0知 OPAB，所以 |OP| |AB | |OA| |OB|OP | |OA | |OB |ab（2）由 OPABb2|AB|a2.1

15、136 為定值，所以P 在以 O 為圓心，半徑36 的定圓上。11313a2b2【評析】本題也可利用OAOB ，設他們的斜率分別為k,1，以 k 為主變量進行運算，但| OA |,| OB | 用 k 來表示比較麻煩。k如能觀察到用角度和距離兩個量非常簡潔的表示| OA |,| OB | ，選用極坐標系，則解題可事半功倍?！纠?6】 (2012 全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)在平面直角坐標系xOy 中，菱形 ABCD 的邊長為 4，且 OB OD 6 （）求證：|OA| |OC|為定值；（2）當點 A在 半 圓 (x2)2y24（ 2x 4 ）上運動時，求點 C 的軌跡 【分析】根據(jù)圖中的菱形和等腰三

16、角形的性質(zhì)可知O、A 、C 三點共線，結(jié)合菱形的對角線垂直可知邊長關系，第（1）小題用平面幾何方法可快速求解，由點 O、A 、C 三點共線知三點的角度是一樣的，只有長度不一樣，加上（1）的結(jié)論可知，|AO| 與 |OC|的長度之積為定值 20，第（ 1）小題可以用極坐標( ,)求解?！窘馕觥浚?1）因為 OBOD,ABADBCCD所以 O, A, C 三點共線，如圖,BD ,BD垂直平分線段AC ,設垂足為K ,連結(jié)則于是有OA OC( OKAK )( OKAK )2AK2OK2BK22222624220 (定值 )( OB)( ABBK )OBAB（2）以原點為極點，x 軸正半軸為極軸建立極

17、坐標系，設A( 1,),C(2 ,)(44) ，則由（ 1）的結(jié)論可得：1 2 20（*）而點 A 所在的半圓的極坐標方程為：4cos (44)5所以 14cos，帶入（ * ）可得：2()4cos4在轉(zhuǎn)化為直角坐標：x2 cos5, y2 sin5tan5,5故點 C 的軌跡為線段 x5(5 y5) 。高中數(shù)學競賽中的解析幾何題的解題策略多種多樣，還有很多方法和技巧，比如說用直線的參數(shù)方程來求解某些有關定點到動點距離的問題會比較方便，用曲線的參數(shù)方程在化兩元為一元的問題上有很多的優(yōu)勢等，我們只有掌握一些常用的技巧和方法，在做題的時候根據(jù)題設和結(jié)論的背景和特征，選擇合適的方法，才能快速準確的解

18、決解析幾何問題?！就骄毩暋縳2y24，并且 3a24b2uuuruuur11(ab0) ,FABk ,的一條動弦，其斜率0, AFBF ，、已知橢圓方程：過橢圓左焦點3a2b243求 的取值范圍。【解析】由 3a24b20 知 a2c,b3c，所以橢圓方程可化為：3x24 y212c2設直線 AB ： xmyc，聯(lián)立橢圓方程消去x 可得： (3 m24) y 26mcy9c20uuuruuury1 ，設 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，則由 AFBF 得y2.結(jié)合： y1y26mc, y1y29c2消去 y1 , y2 得：3m23m244(1 )24m244 36,1

19、63m243434k29121m2再解關于的不等式組可得：137或37737132ABx2y21(a b0)的左右頂點， Q 為橢圓的右準線與x軸的交點，過Q 的直線與橢圓交、分別為橢圓、如圖，已知2b2a于點 C、D （ C 在 Q， D 之間），直線AD 與 BC 相交于點 P，求點 P 的軌跡方程。【解析】記橢圓的右焦點為F，連接CF、 DF 、PF，其中 DF 交橢圓與點 G，PF 交 DQ 與 E根據(jù)橢圓的第二定義：CQCF （1）DQ DFFQ 為DFC 中DFC 的外角平分線，CFQQFGDFA （ 2）而 AFacAQ ，F(xiàn)BacQB所以 A 、F、 B、 Q 為調(diào)和點列。而 D、E、 C、Q 四點共線，所以 D 、E、 C、 Q 也是