1、第五章歲差與章動空間大地測量學肩負著監(jiān)測區(qū)域性和全球性地殼運動、研究地球形狀及其運動理論以及測定地球自轉參數(shù)等方面的任務。要完成這些任務，就必需建立一地面參照系，而在確定地面參照系的模式和探討地球自轉軸在慣性空間方向時，需要應用歲差（進動）和章動知識：本章將討論由于地球自轉與公轉受到攝動影響而使赤道和黃道坐標的基本面發(fā)生長期的或周期性的移動，以及由此而導致恒星坐標的緩慢變化。5. 1 歲差和章動的發(fā)現(xiàn)公元前273年，古希臘天文學家提摩卡里斯測得室女座星的黃經(jīng)為172。公元前129年古希臘天文學家喜帕卡斯測得該星的黃經(jīng)值是174。由此他斷定，此星在144年內(nèi)對于春分點移動了2,而且移動的方向是逆

2、行的。這顆星在1950年測得的黃經(jīng)值是20308，即在2222年內(nèi)移動了31，每年平均50. 2。喜帕卡斯稱黃經(jīng)增加的這一現(xiàn)象為歲差，解釋為恒星天球圍繞對于恒星是固定的黃極有一種順向轉動。我們現(xiàn)在所采用的解說是后來哥白尼提出的：地軸的方向在空間不是固定的，但它與黃道所成的交角不變，它運動的軌跡是一圓錐，因而天北極在恒星天球上所行經(jīng)的路線是個黃緯為90的小圓。春分點以每年50. 2的速度在黃道上西移，約26000年移動一周，這也就是天北極繞黃極運行的周期。在極長的時期內(nèi)，人們一直未發(fā)現(xiàn)恒星的黃緯和黃赤交角的變化，從而斷定黃道是固定不變的。直到17世紀，人們根據(jù)古代天文學家對黃赤交角的測量結果，發(fā)

3、現(xiàn)它的數(shù)值也存在著緩慢的減少，但當時還懷疑這個差異可能是由于古代觀測不精確所致。直到歐拉（Euler.L)發(fā)展了行星對地球公轉攝動理論，證明黃道平面是移動的。現(xiàn)代觀測結果確定：黃赤交角約每百年減少46。到18世紀中葉，英國天文學家布拉德雷(Bradleg. J)做出一個重要發(fā)現(xiàn)：天球赤道面也有周期性的移動，圍繞其平均位置的變動雖小，但卻不可忽視。這就叫做加在歲差上的章動現(xiàn)象。自1725年始，布拉德雷對天龍座星作了長期觀測。目的是為了尋找它的視差。但他卻發(fā)現(xiàn)在1727至1736年間這顆星的平均赤緯（經(jīng)過了歲差改正）增加了18，而在1736至1745年間又減少了相同的數(shù)量。他將天北極這一周期性的變

4、化叫做章動，他認為這是與月球軌道的交點逆行的周期相同的。布拉德雷還觀測了另外幾顆恒星也得到同樣的結果。接著，法國數(shù)學家、天文學家達朗貝爾(DAlembert. T. L. R)由萬有引力說明歲差與章動兩種現(xiàn)象的從屬關系，他首先對地球的自轉由于日、月引力攝動而產(chǎn)生的效應，做出了完善的理論。由此可知，赤道坐標與黃道坐標的基本面是移動的，因此，恒星在此兩坐標系中的坐標存在著緩慢的移動。5. 2 日月歲差由于太陽、月亮對地球的引力作用，使地球自轉軸在空間繞北黃極順行旋轉，亦即平均北天極以同樣方向繞北黃極旋轉。這種現(xiàn)象叫做日月歲差。5.2.1 日月歲差的幾何解釋牛頓為了說明歲差的機制而作了幾何學上的解釋

5、。他假設地球是一個均勻的扁球體，如圖5-1,是地球中心，是地軸，是黃道軸，是地球赤道，和是地球赤道隆起部分的重心,是月球（這里僅分析月球對于地球的引力關系）。由此將月球對地球的引力分為三部分，為月球對地球球形部分的引力;與分別表示月球M對地球赤道隆起部分的引力。由于地球直徑與月地距離相比是很小的，這里認為與是相等的。現(xiàn)在來求上述三個力的合力，首先將和分別分解為兩個分力，其中一個分力平行與方向，即和，另一個分力則垂直于方向，為和這樣月球對地球的引力可用平行力,，和以及附加力偶與來表示。前三個力使月球吸引地球，而力偶和就促使地球赤道平面繞旋轉，由圖5-1不難看出。在這種情況下，地球繞其地軸的周日轉

6、動力矩為，而則為由和 所引起的轉動力矩。根據(jù)右手法則，向量垂直于平面（紙面），它的方向從紙面向外。作一平行四邊形,則其對角線即是上述兩種轉動力矩的合成。它代表月球對地球赤道隆起部分的引力影響，在此影響下，地軸在的垂直平面內(nèi)由移至。以上所述月球對地球的引力情況，也可用于太陽。由于攝動力與攝動體的質(zhì)量成正比，而與攝動體的距離立方成反比，因此由月球而來的攝動力偶是由太陽而來的攝動力偶的2.2倍。由月球引起的歲差每年為34.6，而由月球與太陽的聯(lián)合作用，使春分點的總位移是每年50. 37。這就叫做日月歲差。因為太陽和月球對于地球的攝動力是連續(xù)的，所以地軸在空間的位置也就在不斷的變動。以上所說地軸和，都

7、只代表地軸在某一瞬間的位置。由大量的、長期的觀測資料得知，瞬時地軸圍繞著黃道軸旋轉成一圓錐面，瞬時地軸的移動方向總是垂直于瞬時地軸與組成的平面（圖5-2）。與瞬時地軸相應的瞬時平北極（其意義見圖5-6)在天球上描繪出一個以為中心，以2327為半徑的小圓，瞬時平北極在此小圓上每年向西移動50. 37。赤道面始終是垂直于地軸的，當?shù)剌S由移至時，赤道也由移動至，春分點的位置也由移動至，其移動量與平北極的移動量是相應的，移動方向是西移，與太陽周年視運動方向相反。5.2.2 黃經(jīng)日月歲差在圖5-3中， ,是某一瞬間的黃極和平北極（也稱平極）；和為瞬間的黃道和平赤道，是該瞬間的平春分點。因日月歲差的影響，

8、赤道面從變動至，平春分點移動到。任一瞬間，平極總是沿著該瞬間黃極和平極的大圓相正交的大圓運動，如圖5-3中的和等。其方向總是指向該瞬間的平春分點，在瞬間，的運動方向指向春分點；在瞬間，的運動指向春分點。平極運動的線速度為： （5-1）以及本章中所述各速度的單位都是，年。式中T是自J2000.0(TD=2451545.0)起算的儒略世紀數(shù)。設某一瞬間（TOB )的儒略日為TDBJ. D.，則對應該瞬間的T為： (5-2)平極繞黃極運動的角速度為： （5-3）(5-1）和（5-3)即為日月歲差的表達式。式(5-3)中的是自J2000. 0至起草歷元的儒略世紀數(shù)，一般起算歷元為基本歷元，目前采用參考

9、系時, ，則。而是觀測歷元到起算歷元的儒略世紀數(shù)，即。不難理解，也是平春分點在黃道上的運動速度。由于春分點的運動，所有天體的黃經(jīng)都以同樣的速度增加，每年增加約。因此又稱為黃經(jīng)日月歲差。此外，天體的赤道坐標和也不斷發(fā)生變化。由于黃道面不變，所以天體的黃緯不變。5.2.3 赤經(jīng)和赤緯的日月歲差平春分點在黃道上可分解為兩個分量，由圖5-3可知，一個分量是在赤道上的投影,另一個分量是在大圓弧上的投影。因很小，故,。由于它們使天體的赤經(jīng)、赤緯發(fā)生變化，故分別稱它們?yōu)槌嘟?jīng)日月歲差和赤緯日月歲差。根據(jù)線速度和角速度的關系可寫出下式即為赤緯日月歲差。已知平極以速度向平春分點方向移動，則赤道必然相應地繞某軸旋轉

10、，此軸是通過赤道上赤經(jīng)為6時和18時兩點的連線，且旋轉速度為。因此,時的天體，其赤緯以速度增大；時的天體，赤緯以速度減??；對于時和18時的天體，它們的赤緯不變?？梢娖綐O運動的線速度與天體的赤緯密切相關。5. 3 行星歲差除日月對地球的引力外，還有其它行星對地球的引力作用，盡管這種引力很小，不足以改變地軸在空間的方向，但它能使地球繞日公轉不嚴格遵守開普勒定律，而使黃道面移動。這種由于行星引力的攝動作用而使黃道面產(chǎn)生的變化叫做行星歲差。在行星歲差的影響下，黃赤交角緩慢地變小，每百年約，這一數(shù)值與日月歲差引起的地軸每年轉動相比是很小的。5.3.1 行星歲差的兩個量在圖5-4中,為時的北黃極和黃道，K

11、,為時的北黃極和黃道。由于行星歲差的影響，黃道面的運動可用北黃極的運動方向和速度來表示。任一瞬間，北黃極是向著與連接該瞬間的北黃極和平北極的大圓成N角的方向運動。其運動速度為： （5-4）N角為： （5-5）式中,和的意義同5.2.2所述。5.3.2 赤經(jīng)行星歲差和黃經(jīng)行星歲差由于黃道的運動，平春分點沿平赤道移動至(圖5-5),方向與赤經(jīng)的增加方向相同，運動速度為： （5-6)這就是行星歲差的表達式。由上述可知，行星歲差使天體的赤經(jīng)以速度減小，故稱為赤經(jīng)行星歲差。它對天體的赤緯不產(chǎn)生影響。行星歲差也使黃赤交角發(fā)生變化。因此，嚴格而言，不同瞬間，黃赤交角是不同的，這里給出任一瞬間黃赤交角的表達式

12、： （5-7）在日月歲差和行星歲差綜合作用下，春分點的運動如圖5-5所示。，分別表示時的黃道、平赤道和平春分點。時刻的位置為，為和的交點，即由于日月歲差影響使春分點由移至。由前述可知,，過作垂直于，則即為行星歲差在黃道上的投影，故稱其為黃經(jīng)行星歲差。由于行星歲差的影響，使春分點每年在黃道上順向移動約。5.4 總歲差在日月歲差和行星歲差的綜合影響下，平春分點在黃道上的運動速度為 (見圖5-5），且稱為黃經(jīng)總歲差，其值為： （5-8）過作垂直于，則即為赤經(jīng)日月歲差，且。不難看出，在日月歲差和行星歲差的綜合影響下，平春分點在赤道上的運動速度為：稱為赤經(jīng)總歲差，其值可用下式表示 （5-9）由式(5-8

13、)可以看出，在歲差的影響下，平春分點每年在黃道上向西移動約，即北天極在以北黃極為圓心，角為半徑的小圓上作順時針方向（從天球外朝向北黃極看）移動約，大約26 000年環(huán)繞一周?；貧w年(365.242 2日）的定義為：太陽在黃道上作逆向的周年視運動，連續(xù)兩次經(jīng)過春分點所經(jīng)歷的時間。而太陽連續(xù)兩次經(jīng)過黃道上固定點所需時間為一個恒星年（365.2564日），這兩種年之差即是春分點運動的結果。歲差之名即由此而來。除去上述討論的總歲差(黃經(jīng)總歲差）、行星歲差（）、日月歲差、赤經(jīng)歲差和赤緯歲差等歲差常數(shù)來表示歲差運動外，另外還可用赤道坐標系由某一歷元轉換成另一歷元時，所繞軸旋轉的3個歲差參數(shù),來表示，它們的

14、表達式為： （5-10）和的意義同前。 ,三個歲差參數(shù)的幾何意義如圖5-6。設，,為歷元時的黃極、平北極、平赤道和平春分點；，為歷元t時的黃極、平北極、平赤道和平春分點。M為瞬時赤道對赤道的升交點。過和作一大圓弧與赤道和，分別交于A和B點，則當要將歷元為時的坐標系經(jīng)歲差改正轉換成坐標系 (為清晰起見，在圖中未繪出和軸）時，先在坐標系中，將 (軸）繞(軸）逆向旋轉 ()，此時與OA重合。然后將軸繞OM軸旋轉角，即OA與OB重合，最后將OB (X軸）繞OP (Z軸）反向旋轉=Z,即與重合。至此，完成由時的坐標系經(jīng)歲差改正后所得時的坐標系。故稱,為歲差三個旋轉參量。5. 5 歲差對天體赤道坐標的影響

15、由于歲差的存在，使赤道坐標系的基圈和主點隨時間而發(fā)生變化，故對于某一天體的赤道坐標而言，在不同瞬間就有不同的數(shù)值。在由歷元時天體的赤道坐標換算成歷元的天體赤道坐標時，就要顧及在時期內(nèi)歲差對天體赤道坐標的影響。5. 5. 1精密公式在圖5-7中，圖中各符號意義同圖5-6。設b為天空中任一天體，過天體b作歷元和時刻的時圈，則構成一球面三角形 。過春分點和分別作歷元和時刻的時圈，即圖5-7中的和,則從圖中不難看出，在球面三角形PPob中有： 由球面三角公式可寫出 （5-11）這一組公式即為恒星在歷元的坐標，轉換成歷元的坐標，的公式。上述轉換公式亦可通過歲差旋轉參量,用旋轉矩陣來完成，即 （5-12）

16、式中， (5-13)稱為歲差矩陣?？杀硎緸椋?(5-14)式中， （5-15）,三個旋轉參量可由公式(5-10)計算。目前采用向量矩陣法計算恒星視位量時，均采用歲差矩陣，通過坐標旋轉來進行歲差改正。5.5. 2 近似公式在較小的情況下，可通過近似公式來計算歲差對恒星赤經(jīng)、赤緯的影響。恒星的赤道坐標是時間的函數(shù)，現(xiàn)設和為恒星在歷元的赤道坐標,和為恒星在歷元的赤道坐標，則它們可以用下列函數(shù)式表示： 式中，為起始歷元；為某一瞬間的歷元，=，則當不大時，且不接近于時，可將和一按泰勒級數(shù)展開，即 （5-16）在對和的精度只要求到時，而不超過一年，則只需取式(5-16)一階導數(shù)項，在不超過25年時，取至二

17、階導數(shù)項即可。由式(5-16)可知，在已知起始歷元的赤道坐標，時，只要求得，和，就可以求得任一瞬間的赤道坐標?，F(xiàn)就推導，和，的表達式。圖5-8中，P，K為起始歷元的北天極、北黃極，和，為天體的赤道坐標和黃道坐標，為黃赤歲角。由球面三角形得：（5-17）因歲差的影響，使,發(fā)生變化，故將它們看作變量微分式（5-17），則有： （5-18）由正弦公式得： 由五元素公式得： 將上述關系式代入（5-18）式，則有： （5-19）微分（5-17）式中第二式，得： 將（5-19)式代人上式，整理后得： （5-20）由余弦公式和五元素公式有： 代入（5-20）式得： （5-21）由5.2. 2節(jié)可知，日月歲差

18、使天體的黃經(jīng)每年以速度增加，在時間段(以年為單位）內(nèi)，黃經(jīng)增加，而黃緯和黃赤交角不受影響，即，將它們代人（5-21)和(5-19)式，即得在時間段內(nèi)，日月歲差對天體赤經(jīng)和赤緯的影響。 （5-22）顧及行星歲差使天體的赤經(jīng)每年以速度減少，則在時間內(nèi)影響為,對赤緯無影響。故在式(5-22)中的第一式上應減去，即得總歲差在時間內(nèi)對天體赤經(jīng)和赤緯的影響。 （5-23）由正弦公式和五元素公式得： （5-24）將（5-24）代入（5-23）后，得： 令，則上式為： 即 （5-25）和 （5-26）在5.3節(jié)中曾提及行星歲差引起黃赤交角緩慢地變小，但這種變化很小，故在不很大的情況下，可認為沒有變化，此時不會

19、影響和的精度。 5. 6 章動的基本概念地球自轉軸在慣性空間繞黃道軸轉動（歲差）的同時，還存在有多種周期性的運動（圖5-9），稱為章動。其中主周期項為18.6年。在這期間，真天極圍繞平天極描繪出一個小橢圓（圖5-10），稱為章動橢圓，其長半徑稱為章動常數(shù)，用表示。1976年國際天文學會聯(lián)合會大會決定，從1984年起啟用對于標準歷元J2000. 0年的章動常數(shù)，新值為。圖5-11表示放大了的章動橢圓，其軌跡已消去歲差部分，完成這一橢圓的主周期為18.6年，而完成圖5-11中小圈的周期為6個月。圖5-12為章動橢圓的局部放大，圖中的小圈為14天周期。按國際天文學會1980年決議，認為章動周期包括1

20、06個球諧分量，其周期從4.7天至18.6年，振幅從小于至，見附表(5-1)黃經(jīng)章動 和傾角章動”。產(chǎn)生章動的主要原因是由于月球繞地球運行的軌道面（白道）位置的變化所致。這是因為月球在慣性空間不僅受地球的引力，而且還受到太陽和其它行星引力的影響，其中太陽對月球的引力最大。因此，當月球繞地球運行時，受到諸多攝動力的影響，致使月球軌道面和白赤交角發(fā)生變化。在圖5-13中為白道為黃道，白道與黃道的交角為，此兩平面的交線叫做交點線,白道與黃道的兩個交點分別叫做升交點和降交點。當月球在白道上作逆向運行時，由黃道以南進人黃道以北所經(jīng)過黃道上的那點叫升交點,另一點稱降交點。由于月球受攝動力的影響，而使白道面

21、發(fā)生與赤道面相似的沿黃道向西的轉動。故交點線就在黃道上沿著黃道作順向緩慢的周期運動。交點每年在黃道上西移約，約18.6年沿黃道運轉一周，這和章動的主周期項是一致的。由于交點線的轉動，白道與赤道的交角產(chǎn)生顯著變化，但白道和黃道的交角保持不變。當升交點和春分點重合時，白赤交角為最大，達，如圖5-14 (a)所示，當降交點和春分點重合時，白赤交角最小，為，如圖5-14(b）所示。白赤交角的這種變化，使月球對地球的引力隨時在變化，那么，由月球引力影響而產(chǎn)生的一對力偶和的力矩（見圖5-1)也隨之而有大小和方向的變化。因而引起地軸在慣性空間存在著各種周期性的變動。為便于討論，將天極的復雜運動分解為兩種規(guī)則

22、運動，一種是平天極圍繞黃極的運動，稱為歲差，一種則是真天極圍繞平極的周期運動，稱為章動。5. 7 黃經(jīng)章動和交角章動章動是由許多不同周期的運動合成的，其中主章動項的周期為18.6年，振幅為。在圖5-15中，分別為某一瞬間的北黃極、平天極和真極，和分別為平春分點和真春分點。圖中還標有與之相應的平赤道和真赤道，以及平黃赤交角和真黃赤交角。伴隨著真極繞平極的周期運動，真春分點相對于平春分點，真赤道相對于平赤道都作相應的周期運動，黃赤交角也有周期性的變動。由于真極繞平極的運動而引起春分點在黃道上的位移稱為黃經(jīng)章動，用符號來表示, 。由章動所引起黃赤交角的變化叫做交角章動，用符號表示。1979年，沃爾(

23、J.Wahr)和木下宙(H. Kinoshita)對實際地球的章動進行了重新和全正的計算，考慮了地球固體潮產(chǎn)生的力對地球的各種影響形變、章動和自轉速率的變化以及考慮地球三個主要層中每一層的物質(zhì)自然效應和橢球分層效應。并于1980年得出烏果，故稱“1980IA章動理論”，其對和計算的展開式共包括106項。自1984年起，章動計算均采用此章動理論。實用上，把計算,的公式分為長周期項和短周期項。凡周期籠于35日為短周期項。,的表達式為： （5-27）式中，和分別為黃經(jīng)章動與交角章動的系數(shù)；和分別為和時間變率；（=1-5)分別為基本引數(shù)，的系數(shù)，由章動表（表5-1)給出?；疽龜?shù)的表達式為：(5-28

24、)式中, 。T為自J2000. 0起算的儒略世紀數(shù)，計算公式按式（5-2)。根據(jù)T值，計算出上述基本引數(shù)，按106項章動表即可求得交角章動和黃經(jīng)章動。各基本引數(shù)意義：為月亮平近點角；為太陽平近點角；為月亮平升交角距；為日月平角距；口為月亮軌道對黃道平均升交點的黃經(jīng)。5. 8 章動對天體赤道坐標的影響通過上述討論可知有真天極、真赤道、真春分點與平天極、平赤道和平春分點之分。由真天極、真赤道、真春分點所決定的天體赤道坐標稱為天體的真坐標（亦稱真位置）；由平天極、平赤道和平春分點所決定的天體赤道坐標稱為平坐標（平位置）。因此，由恒星的平坐標化算為真坐標，其實質(zhì)就是在平位置上顧及章動對其影響。5. 8

25、. 1 章動矩陣在圖5-16中，和分別為平北極、平赤道和平春分點；和則分別為真北極、真赤道和真春分點。實際上由平坐標轉換成真坐標，就是將坐標系轉換到的問題。這里我們先談近似轉換。圖5-16中，過作一大圓弧垂直于并交于點，過作一圓弧平行于，。由于球面直角三角形很小，近似視為平面直角三角形，則,。先將軸(軸）繞軸(軸）反向旋轉,則與重合，其次將軸（新的軸）繞軸（軸）正向旋轉,此時軸即旋轉至位置。最后將軸（第二次旋轉后的軸）繞軸反向旋轉角。至此，平坐標系即轉換成真坐標系。這里令，稱為章動矩陣。式中二次項最大值約是，當只取一次項時， （5-29）嚴密的章動矩陣轉換的示意圖見圖5-17。先將軸（軸）繞軸

26、（軸）正向旋轉角，此時軸由軸變?yōu)檩S。其次將軸繞軸反向旋轉角，此時與重合。最后將軸繞軸反向旋轉角，則與重合，與重合，完成了兩種坐標的轉換。 這里稱為嚴密章動矩陣。5. 8. 2 天體平坐標轉換為真坐標（一）準確公式設天體的平坐標為，真坐標為，則（5-30）章動旋轉矩陣為： （5-31）式中， （5-32）式中，：為平黃赤交角，分別為黃經(jīng)章動和交角章動，它們可由章動表計算。歲差章動的旋轉矩陣為： (5-33)任一天體由基本起始歷元的平位置轉換成瞬時真春分點和真赤道的真位置時，應用的歲差和章動改正的矩陣轉換公式為： （5-34）二）近似公式在圖5-18中，是平極二至圈的一部分，是真極二至圈的一部分，兩者之間的夾角即是黃經(jīng)章動; 即為黃赤交角；為黃赤交角。因非常微小，可視，則：在球面直角三角形中，由正弦定理可得： 因和都很小，故 （5-35）由前敘可知，章動引起黃赤交角和黃經(jīng)發(fā)生變化，這一變化必導致天體赤道坐標的變化，即，都是和的函數(shù)，寫為：由章動引起的坐標變化很小，故可按臺勞級數(shù)展開，并取至一階導數(shù)項。 （5-36）現(xiàn)求偏導數(shù)，。在圖5-1