1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式單擊此處編輯母版文本樣式第二級(jí)第三級(jí)第四級(jí)第五級(jí)*第三章 變化率與導(dǎo)數(shù)1 變化的快慢與變化率銀杏樹高:15米樹齡:1 000年雨后春筍高:15厘米時(shí)間:兩天世界上變化無(wú)處不在，如何刻畫事物變化的快慢呢？1.理解函數(shù)平均變化率及瞬時(shí)變化率的概念.2.會(huì)求給定函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的平均變化率及某一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率.（重點(diǎn)）3.理解平均變化率及瞬時(shí)變化率的意義，能夠解釋生活中的現(xiàn)象.（難點(diǎn)）探究點(diǎn)1 平均變化率定義 問(wèn)題（1） 物體從某一時(shí)刻開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)s表示此物體經(jīng)過(guò)時(shí)間t走過(guò)的路程，顯然s是時(shí)間t的函數(shù),表示為s=s(t).在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中測(cè)得了一些數(shù)據(jù)，如表：t(s)02510

2、1315s(m)069203244 物體在02s和1013s這兩段時(shí)間內(nèi)，哪一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)得更快？如何刻畫物體運(yùn)動(dòng)的快慢？分析：我們通常用平均速度來(lái)比較運(yùn)動(dòng)的快慢.在02s這段時(shí)間內(nèi)，物體的平均速度為在1013s這段時(shí)間內(nèi)，物體的平均速度為顯然，物體在后一段時(shí)間比前一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)得快.問(wèn)題（2）某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如圖所示：比較時(shí)間x從0 min到20 min和從20 min到30 min體溫的變化情況，哪段時(shí)間體溫變化較快？如何刻畫體溫變化的快慢？y/(oC)x/min01020304050607036373839分析：根據(jù)圖像可以看出： 當(dāng)時(shí)間x從0 min到20 min時(shí)，體溫y從

3、39 C變?yōu)?8.5 C，下降了0.5 C； 當(dāng)時(shí)間x從20 min到30 min時(shí)，體溫y從38.5 C變?yōu)?8 C，下降了0.5 C. 兩段時(shí)間下降相同的溫度，而后一段時(shí)間比前一段短，所以后一段時(shí)間的體溫比前一段時(shí)間下降得快.我們也可以比較這兩段時(shí)間中，單位時(shí)間內(nèi)體溫的平均變化量，于是當(dāng)時(shí)間x從0 min變到20 min時(shí)，體溫y相對(duì)于時(shí)間x的平均變化率為當(dāng)時(shí)間x從20 min變到30 min時(shí)，體溫y相對(duì)于時(shí)間x的平均變化率為這里出現(xiàn)了負(fù)號(hào)，它表示體溫下降了，顯然，絕對(duì)值越大，下降得越快，這里，體溫從20 min到30 min這段時(shí)間下降得比0 min到20 min這段時(shí)間要快.分析上面

4、的第一個(gè)問(wèn)題中，我們用一段時(shí)間內(nèi)物體的平均速度刻畫了物體運(yùn)動(dòng)的快慢，當(dāng)時(shí)間從t0變?yōu)閠1時(shí)，物體所走的路程從s(t0)變?yōu)閟(t1)，這段時(shí)間內(nèi)物體的平均速度是第二個(gè)問(wèn)題中，我們用一段時(shí)間內(nèi)體溫的平均變化率刻畫了體溫變化的快慢，當(dāng)時(shí)間從x0變?yōu)閤1時(shí)，體溫從y(x0)變?yōu)閥(x1)，體溫的平均變化率 你能類比歸納出“函數(shù)f(x)在區(qū)間x1,x2上的平均變化率”的一般性定義嗎？抽象概括： 1 .平均變化率的定義: 對(duì)一般的函數(shù)y=f（x）來(lái)說(shuō)，當(dāng)自變量x從 變?yōu)?時(shí)，函數(shù)值從f（ ）變?yōu)?，它的平均變化率為 通常把自變量 - 稱作自變量的改變量，記作 ，函數(shù)值的變化 稱作函數(shù)值的改變量，記作 ，

5、則有如下表示：xyB(x2,f(x2)A(x1,f(x1)Of(x2)-f(x1)=yx2-x1=x2.平均變化率的幾何意義： 幾何意義是曲線 上經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線的斜率.斜率的概念思考1.表達(dá)式中f(x2)-f(x1)與x2-x1的順序可以交換嗎？它們本身前后兩個(gè)式子可以交換嗎？提示: f(x2)-f(x1)與x2-x1的順序不可交換，但它們本身的式子可以同時(shí)交換，如也可以寫為 思考2.函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的平均變化率如何計(jì)算？提示:設(shè)x在x0附近的變化量為x，則平均變化率 提示：對(duì)于一般的函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變到x1的過(guò)程中，若設(shè)x =x1-x0y =f(x1)-f(

6、x0),則函數(shù)的平均變化率是思考：如何精確地刻畫物體在某一瞬間的變化率呢？探究點(diǎn)2 瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率則當(dāng)x 趨于0時(shí)，平均變化率就趨于函數(shù)在x0點(diǎn)的瞬時(shí)變化率.（1）瞬時(shí)變化率的表示對(duì)于函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變到x1的過(guò)程中自變量的改變量:x=_;函數(shù)值的改變量:y=_;平均變化率: =_;在x0點(diǎn)的瞬時(shí)變化率：當(dāng)x趨于_時(shí)，平均變化率趨于某一常數(shù)，此常數(shù)即為瞬時(shí)變化率.(2)瞬時(shí)變化率的意義瞬時(shí)變化率刻畫的是函數(shù)在_處變化的快慢.x1-x0f(x1)-f(x0)0一點(diǎn)例1：一個(gè)小球從高空自由下落，其走過(guò)的路程s（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系為其中，g為重力加速度試

7、估計(jì)小球在t=5s這個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度.，分析：當(dāng)時(shí)間t從t0變到t1時(shí)，根據(jù)平均速度公式可以求出從5 s到6 s這段時(shí)間內(nèi)小球的平均速度我們有時(shí)用它來(lái)近似表示t=5 s時(shí)的瞬時(shí)速度.為了提高精確度，可以縮短時(shí)間間隔，如求出55.1 s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度（m/s）.（m/s）用它來(lái)近似表示t=5s時(shí)的瞬時(shí)速度.解：我們將時(shí)間間隔每次縮短為前面的，計(jì)算出相應(yīng)的平均速度得到下表：平均速度t0/st1/s時(shí)間的改變量（t）/s路程的改變量（s ）/m /（m/s）55.10.14.9549.555.010.010.4949.04955.0010.0010.04949.004 955.000 10.0

8、00 10.004 949.000 495可以看出，當(dāng)時(shí)間t1趨于t0=5 s時(shí)，平均速度趨于49 m/s，因此，可以認(rèn)為小球在t0=5 s時(shí)的瞬時(shí)速度為49 m/s.從上面的分析和計(jì)算可以看出，瞬時(shí)速度為49 m/s的物理意義是，如果小球保持這一時(shí)刻的速度進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的話，每秒將要運(yùn)動(dòng)49 m【變式練習(xí)】 一輛汽車按規(guī)律s3t21做直線運(yùn)動(dòng)，求這輛汽車在t3 s時(shí)的瞬時(shí)速度(單位：m/s)解析：因?yàn)閟3(3t)21(3321)3t218t，所以因?yàn)楫?dāng)t趨于0時(shí)， 趨于18，所以這輛汽車在t3 s時(shí)的瞬時(shí)速度的大小為18 m/s.例2：如圖所示，一根質(zhì)量分布不均勻的合金棒，長(zhǎng)為10m.x（單位：m

9、）表示OX這段棒的長(zhǎng)，y（單位：kg）表示OX這段棒的質(zhì)量，它們滿足以下函數(shù)關(guān)系： 估計(jì)該合金棒在x=2 m處的線密度.分析：一段合金棒的質(zhì)量除以這段合金棒的長(zhǎng)度，就是這段合金棒的平均線密度.解：由 ，我們可以計(jì)算出相應(yīng)的平均線密度得到下表：x0/mx1/m長(zhǎng)度x的改變量（x）/m質(zhì)量y的改變量（y）/kg /（kg/m）22.10.10.0700.7022.010.010.007 10.7122.0010.0010.000 710.7122.000 10.000 10.000 0710.712平均線密度可以看出，當(dāng)x1趨于x0=2 m時(shí)，平均線密度趨于0.71 kg/m，因此，可以認(rèn)為合金棒

10、在x0=2 m處的線密度為0.71 kg/m.從上面的分析和計(jì)算可以看出，線密度為0.71 kg/m的物理意義是，如果有1 m長(zhǎng)的這種線密度的合金棒，其質(zhì)量將為0.71 kg.某物體做勻速運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程是svtb，則該物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中其平均速度與任何時(shí)刻的瞬時(shí)速度分別是多少？【變式練習(xí)】提示：所以當(dāng)t趨于0時(shí)， 趨于常數(shù)v，即物體在任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度都是v.定義法D2.如果質(zhì)點(diǎn)A按規(guī)律運(yùn)動(dòng)，則在秒的瞬時(shí)速度為（）A6 B18C54 D81C1.已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖像上的一點(diǎn)A(-1,-2)及臨近一點(diǎn)B(-1+x,-2+y),則 =( )A.3 B.3x-(x)2 C.3-(x)2

11、 D.3-xA 4.甲、乙兩個(gè)物體沿直線運(yùn)動(dòng)的方程分別是和，則在秒時(shí)兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度關(guān)系是 （ ）A.甲大 B.乙大 C.相等 D.無(wú)法比較B5.自由落體運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為s= gt2，計(jì)算t從3s到3.1 s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度（位移的單位為m）.解析：設(shè)在3，3.1內(nèi)的平均速度為v1，則t1=3.1-3=0.1(s).s1=s(3.1)-s(3)=0.5g3.12-0.5g32=0.305g(m).所以1.平均變化率的定義:2.平均變化率的幾何意義是曲線 上經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線的斜率.3.瞬時(shí)變化率的定義及求瞬時(shí)變化率的一般步驟：先求函數(shù)值的改變量 求平均變化率 求瞬時(shí)變化率 如果在勝利前卻步，往往只會(huì)擁抱失??；如果在困難時(shí)堅(jiān)持，常常會(huì)獲得新的成功。 路漫漫其修道遠(yuǎn)，吾將上下而求索。屈原讀不