1、第4章 電路的若干定理 4.1 疊加定理 4.2 替代定理 4.3 戴維南定理和諾頓定理 4.4 特勒根定理 4.5 互易定理 4.6 對(duì)偶電路與對(duì)偶原理 本章重點(diǎn) 本章重點(diǎn) 熟練掌握疊加定理、戴維南和諾頓定理 了解對(duì)偶原理 掌握替代定理、特勒根定理和互易定理 返回目錄疊加定理 在線性電路中，任一支路電流（或電壓）都是電路 中各個(gè)獨(dú)立電源單獨(dú)作用時(shí)，在該支路產(chǎn)生的電流（或 電壓）的代數(shù)和。 4.1 疊加定理（Superposition Theorem） 如圖電路，計(jì)算各支路電流。 用回路法 (R1+R2)ia-R2ib=uS1-uS2 -R2ia+(R2+R3)ib=uS2-uS3 R11ia

2、+R12ib=uS11 R21ia+R22ib=uS22 其中 R11=R1+R2， R12= -R2， uS11=uS1-uS2 R21= -R2， R22=R2+R3， uS22=uS2-uS3 R1uS1R2uS2R3uS3i1i2i3+iaib其中 R1uS1R2uS2R3uS3i1i2i3+iaib用行列式法解 由上式可見 各支路電流均為各電壓源電壓的一次函數(shù)，所以各支路電流（如i1）可看成各電壓源單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的電流（如i1 ，i1 ，i1 ）之和。 則各支路電流為 三個(gè)電源共同作用 =us1單獨(dú)作用 us2單獨(dú)作用 us3單獨(dú)作用 +uS1i1i3R1R2uS2R3uS3i2+i

3、aibR1uS1R2R3i1i2 i3 +R1R2uS2R3i1 i2 i3 +R1R2R3uS3i1 i2 i3 + 當(dāng)一個(gè)電源單獨(dú)作用時(shí)，其余電源不作用，不作用的電源就意味著取零值。即對(duì)電壓源看作短路，而對(duì)電流源看作開路。 +因此 上述以一個(gè)具體例子來說明疊加的概念，這個(gè)方法也 可推廣到一般的多電源的電路中去。 同樣可以證明：線性電阻電路中任意支路的電壓 等于各電源在此支路產(chǎn)生的電壓的代數(shù)和。 電源既可是電壓源，也可是電流源。 例1 求圖示電路中電壓u。 +10V4A6+4u解 （1） 10V電壓源單獨(dú)作用， 4A電流源開路 4A6+4uu =4V （2） 4A電流源單獨(dú)作用， 10V電壓

4、源短路 u = -42.4= -9.6V 共同作用 u=u +u = 4+(- 9.6)= - 5.6V +10V6+4u例2 求圖示電路中電壓US 。 （1） 10V電壓源單獨(dú)作用 （2） 4A電流源單獨(dú)作用 解 +10V6I14A+US+10 I1410V+6I1+10 I14+US+U16I14A+US+10 I14+U1US = -10 I1 +U1 US = -10I1 +U1 US = -10 I1 +U1 = -10 I1 +4I1 = -101+41= -6V US = -10I1 +U1 = -10 (-1.6)+9.6=25.6V 共同作用： US= US +US = -6

5、+25.6=19.6V 10V+6I1+10 I14+US+U16I1 4A+US +10 I1 4+U1 小結(jié) 1. 疊加定理只適用于線性電路。 2. 一個(gè)電源作用，其余電源為零 電壓源為零短路。 電流源為零開路。 3. 功率不能疊加（功率為電壓或電流的二次函數(shù)）。 4. 疊加時(shí)要注意各分量的方向。 5. 含受控源（線性）電路亦可用疊加，但疊加只 適用于獨(dú)立源，受控源應(yīng)始終保留。 齊性原理（homogeneity property） 線性電路中，所有激勵(lì)（獨(dú)立源）都增大（或減?。?同樣的比例，則電路中響應(yīng)（電壓或電流）也增大（或減 ?。┩瑯拥谋壤?。 當(dāng)電路中只有一個(gè)激勵(lì)時(shí)，則響應(yīng)與激勵(lì)成正比

6、。 例解 采用倒推法：設(shè) i=1A。 則 求電流 i 。 已知圖中RL=2 R1=1 R2=1 us=51V +2V2A+3V+8V+21V+uS=34V3A8A21A5A13AiR1R1R1R2RL+usR2R2i =1A返回目錄4.2 替代定理（Substitution Theorem） 任意一個(gè)線性電路，其中第k條支路電壓為uk、電流為ik，那么這條支路就可以用一個(gè)電壓等于uk的獨(dú)立電壓源，或者用一個(gè)電流等于ik的獨(dú)立電流源來替代，替代后電路中電壓和電流均保持原有值。 定理內(nèi)容 Aik+uk支路 k A+ukikA證明: 替代前后KCL、KVL關(guān)系相同，其余支路的u，i關(guān)系不變。 A+u

7、kikAAik+uk支路 k 用ik替代后，其余支路電流不變（KCL），其余支路電壓不變，故第k條支路uk也不變（KVL）。 用uk替代后，其余支路電壓不變（KVL），其余支路電流也不變，故第k條支路ik也不變（KCL）。 Aik+uk支路 k A+uk又證: 證畢! uk+uk+Aik+uk 支路 k uk+注意： 1. 替代定理既適用于線性電路，也適用于非線性電路。 4. 未被替代支路的相互連接及參數(shù)不能改變。 例 2. 替代后電路必須有唯一解。 3. 被替代的支路與電路其它部分應(yīng)無耦合關(guān)系。 若要使試求Rx。 電路如圖所示。 0.50.5+10V31RxIx+UI0.5解 用替代 U=U

8、+U=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2 （或U=（0.1-0.075）I=0.025I =+0.50.51+UI0.50.50.51+UI0.50.50.51+U0.5）用疊加 U1+U2+返回目錄1. 幾個(gè)名詞 (1) 端口（ port ） 端口指電路引出的一對(duì)端鈕，其中 從一個(gè)端鈕（如a）流入的電流一定等 于從另一端鈕（如b）流出的電流。 Aabii(2) 一端口網(wǎng)絡(luò) （network） 網(wǎng)絡(luò)與外部電路只有一對(duì)端鈕（或一個(gè)端口）聯(lián)接。 4.3 戴維南定理和諾頓定理 （Thevenin-Norton Theorem ） 2. 戴維南定理 任何一個(gè)線

9、性含有獨(dú)立電源、線性電阻和線性受控 源的一端口，對(duì)外電路來說，可以用一個(gè)電壓源（Uoc） 和電阻（Ri）的串聯(lián)組合來等效替代；此電壓源的電壓等于 外電路斷開時(shí)端口處的開路電壓，而電阻等于一端口中 全部獨(dú)立電源置零后的端口等效電阻。 Aabiu+iabRiUoc+-u+證明： （對(duì)a） 利用替代定理，將外部電路用電流源替代，此時(shí)u、i值不變。計(jì)算 u 值。（用疊加定理） =+根據(jù)疊加定理，可得 電流源i為零 網(wǎng)絡(luò)A中獨(dú)立源全部置零 (a)abAi+uN(b)iUoc+uNab+RiabA+uRiu = Uoc （外電路開路時(shí)a 、b間開路電壓） u= - Ri i 則 u = u + u = U

10、oc - Ri i 此關(guān)系式恰與圖（b）電路相同。 abPi+uabAi+u小結(jié)： （1）戴維南等效電路中電壓源電壓等于將外電路斷開時(shí)端口處的開路電壓Uoc，電壓源方向與所求開路電壓方向相同。（2）串聯(lián)電阻為將一端口內(nèi)部獨(dú)立電源全部置零（電壓 源短路，電流源開路）后，所得一端口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。 等效電阻的計(jì)算方法： a. 當(dāng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部不含有受控源時(shí)可采用電阻串并聯(lián)的方法 計(jì)算； b. 端口加電壓求電流法或加電流求電壓法（內(nèi)部獨(dú)立電 源置零）。 c. 等效電阻等于端口的開路電壓與短路電流的比（內(nèi)部 獨(dú)立電源保留）。 （3）當(dāng)一端口內(nèi)部含有受控源時(shí)，控制支路與受控源 支路必須包含在被化簡的同一部分電

11、路中。 解 保留Rx支路，將其余一端口化為戴維南等效電路： ab+10V466+U24+U1IRxRxIabUoc+Ri例1 IRxab+10V4664（1） 計(jì)算Rx分別為1.2、5.2時(shí)的I；（2） Rx為何值時(shí)，其上獲最大功率?電路如圖所示。（1）求開路電壓 Uoc = U1 + U2 = -104/(4+6)+10 6/(4+6) = -4+6=2V ab+10V466+U24+U1+-Uoc（2） 求等效電阻Ri Ri=4/6+6/4=4.8 (3) Rx =1.2時(shí)， I= Uoc /(Ri + Rx) =0.333A Rx =5.2時(shí)， I= Uoc /(Ri + Rx) =0.

12、2A Rx = Ri =4.8時(shí)，其上獲最大功率。 IabUoc+RxRiRiab4664含受控源電路戴維南定理的應(yīng)用 電路如圖所示。求電壓UR 。 336I+9V+URab+6I例2 abUoc+Ri3UR-+解 （1） 求開路電壓Uoc。 Uoc=6I+3I I=9/9=1A Uoc=9V 36I+9V+Uocab+6I（2） 求等效電阻Ri 方法1 端口加壓求流（內(nèi)部獨(dú)立電壓源短路） U0=6I+3I=9I I=I06/(6+3)=(2/3)I0 U0 =9 (2/3)I0=6I0 Ri = U0 /I0=6 36I+U0ab+6II0方法2 開路電壓、短路電流 （Uoc=9V） 6 I

13、1 +3I=9 I=-6I/3=-2I I=0 Isc=I1=9/6=1.5A Ri = Uoc / Isc =9/1.5=6 36I+9VIscab+6II1（3） 等效電路 abUoc+Ri3UR-+69V336I+9V+URab+6I32+3V+URab+6I下圖電路經(jīng)戴維南等效變換后將難于繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算。 控制量呢？任何一個(gè)含獨(dú)立電源，線性電阻和線性受控源的一端 口，對(duì)外電路來說，可以用一個(gè)電流源和電阻（電導(dǎo)） 的并聯(lián)組合來等效置換；電流源的電流等于該一端口的 短路電流，而電阻（電導(dǎo)）等于把該一端口的全部獨(dú)立 電源置零后的輸入電阻（電導(dǎo)） 。 3. 諾頓定理 諾頓等效電路可由戴維南等效電

14、路經(jīng)電源等效 變換得到。但須指出，諾頓等效電路可獨(dú)立進(jìn)行證明。 證明過程從略。 AababRiIsc例 電路如圖所示，求電流I 。 12V210+24Vab4I+4IabRiIsc（1）求端口的短路電流Isc I1=12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6A Isc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A 解 210+24VabIsc+I1I212V（2） 求Ri：電壓源短路，用電阻串并聯(lián)。 Ri =102/(10+2)=1.67 （3） 諾頓等效電路: I = - Isc1.67/(4+1.67) =9.61.67/5.67 =2.83A Ri210ab解畢！ ab4I1.67 -

15、9.6A返回目錄4.4 特勒根定理（Tellegens Theorem） 1.具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（特征）的電路 兩個(gè)電路，支路數(shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)都相同，而且對(duì)應(yīng)支路 與節(jié)點(diǎn)的聯(lián)接關(guān)系也相同。 NR5R4R1R3R2R6+us11234NR5R4R1R3R6us6is2+124346512342314651234231NR5R4R1R3R2R6+uS11234NR5R4R1R3R6uS6iS2+124346512342314651234231NN例 求解 2. 特勒根定理 注意：各支路電壓、電流均取關(guān)聯(lián)的參考方向 + ukik證明： + 其中： + ukik+ 若節(jié)點(diǎn)接有另一支路m，同理可得： 對(duì)節(jié)點(diǎn)可得

16、： 對(duì)其他節(jié)點(diǎn)，有同樣的 結(jié)果，故： 證畢！ 同理可證： 3. 功率平衡定理 在任一瞬間，任一電路中的所有支路所吸收的瞬時(shí) 功率的代數(shù)和為零，即 此亦可認(rèn)為特勒根定理在同一電路上的表述。 特勒根定理適用于一切集總參數(shù)電路。只要各支路 u、i滿足KCL、KVL即可。 注意 將特勒根定理用于同一電路中各支路電流、電壓即可證得上述關(guān)系。US=10V， I1=5A，I2=1A 解 由特勒根定理 I2P+US+U2I1P+2例1方框內(nèi)為同一網(wǎng)絡(luò) 已知圖中 (1) 當(dāng)R1=R2=2, US=8V時(shí)， I1=2A，U2 =2V； (2) 當(dāng)R1=1.4 ，R2=0.8， US =9V， I1 =3A。 求U

17、2。 例2 無源電阻網(wǎng)絡(luò) P +U1+USR1I1I2+U2R2解 根據(jù)特勒根定理 由（1）得：U1=4V， I1=2A， U2=2V， U2/R2=1A 返回目錄4.5 互易定理（Reciprocity Theorem） 第一種形式: 激勵(lì)（excitation）為電壓源，響應(yīng)（response）為電流。 給定任一僅由線性電阻構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)（見下圖），設(shè)支路 j中有唯一電壓源uj，其在支路k中產(chǎn)生的電流為ikj（圖a）； 若支路k中有唯一電壓源uk，其在支路j中產(chǎn)生的電流為ijk （圖b）。 cd線性電阻網(wǎng)絡(luò) Nijk+ukab(b)ikj線性電阻網(wǎng)絡(luò) N+ujabcd(a)當(dāng) uk = uj

18、時(shí)，ikj = ijk 。 則兩個(gè)支路中電壓電流有如下關(guān)系： cd線性電阻網(wǎng)絡(luò) Nijk+ukab(b)ikj線性電阻網(wǎng)絡(luò) N+ujabcd(a) 設(shè)a-b支路為支路1，c-d支路為支路2，其余支路為3b。圖 （a）與圖（b）有相同拓?fù)涮卣?，（a）中用uk 、ik表示支路電 壓和電流，（b）中用 支路電壓和電流（均取關(guān)聯(lián) 方向）。 證明： 由特勒根定理： cd線性電阻網(wǎng)絡(luò) Nijk+ukab(b)ikj線性電阻網(wǎng)絡(luò) N+ujabcd(a)即 兩式相減，得 將圖（a）與圖（b）中支路1，2的條件代入，即 即： 證畢！ 當(dāng) uk = uj 時(shí)，ikj = ijk 。 cd線性電阻網(wǎng)絡(luò) Nijk+u

19、kab（b）ikj線性電阻網(wǎng)絡(luò) N+ujabcd（a）第二種形式: 激勵(lì)是電流源，響應(yīng)是電壓。 在任一線性電阻網(wǎng)絡(luò)的一對(duì)節(jié)點(diǎn) j 和 j 間接入唯一電 流源 ij ，它在另一對(duì)節(jié)點(diǎn) k 和 k 產(chǎn)生電壓ukj （見圖a）； 若改在節(jié)點(diǎn) k 和 k 間接入唯一電流源 ik ，它在節(jié)點(diǎn) j 和 j 間產(chǎn)生電壓 ujk（圖b），則上述電壓、電流有如下關(guān)系： 當(dāng) ik = jj 時(shí)，ukj = ujk 。 +ukjijjjkk（a）由同學(xué)自己證明。 ik+ujkjk（b）kj例 2124+8V2Iabcd電路如圖所示，求電流I 。解 利用互易定理，可得下圖 I1 = I 2/(4+2)=2/3A I2

20、 = I 2/(1+2)=4/3A I= I1-I2 = -0.667A 2124+8V2IabcdI1I2I解畢！ （1）互易定理適用于線性網(wǎng)絡(luò)在單一電源激勵(lì)下，兩個(gè)支路電壓電流關(guān)系。 （2） 激勵(lì)為電壓源時(shí)，響應(yīng)為電流。激勵(lì)為電流源時(shí)， 響應(yīng)為電壓。 （3）電壓源激勵(lì)，互易時(shí)原電壓源處短路，電壓源串 入另一支路； 電流源激勵(lì)，互易時(shí)原電流源處開路，電流源并入另 一支路的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間。 （4）互易要注意電源與電壓(電流)的方向。 （5）含有受控源的網(wǎng)絡(luò)，互易定理一般不成立。 應(yīng)用互易定理時(shí)應(yīng)注意： 返回目錄4.6 對(duì)偶電路與對(duì)偶原理（Dual Principle） 一、 對(duì)偶電路（dual circuit） 例1 網(wǎng)孔電流方程 (R1 + R2)il = uS 節(jié)點(diǎn)電壓方程 (G1 + G2 )un = iS 若R1=G1，R2 =G2，uS=iS 則兩方程完全相同，解答 il、un 數(shù)值也相同。 R2+uSilR1G1G2uniS例2 網(wǎng)孔方程 節(jié)點(diǎn)方程 上述每例中的兩個(gè)電路稱為對(duì)偶電路。 將方程（1）中所有元素用其對(duì)偶元素替換得方程（2）。 若R1=G1， R2 =G2， R3 =G3， uS1=iS1， rm = gm ，則兩 個(gè)方程組相同，其解答也相同，即un1= il1 ，un2= il2 。 R3R1R2+uS1il1il2i1+rm i1G2G3