1、教案工教學(xué)題目:學(xué)時數(shù)2（第二章完全信息靜態(tài)博弈，23）教學(xué)目的和要求：理解Nash均衡的表達(dá)。掌握Nash均衡的應(yīng)用。教學(xué)基本內(nèi)容：基本方法：理解Nash均衡的表達(dá)。掌握Nash均衡的應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)在于Nash均衡的應(yīng)用；難點(diǎn)在于帔.6的討論教學(xué)過程：課前復(fù)習(xí)理解博弈均衡的概念。講授新課：2.2Nash均衡我們再以囚徒困境為例討論如下:囚徒B坦白囚徒B抗拒囚徒A坦白-6,-60,-10囚徒A抗拒-10,0-1,-1顯然，不論囚徒A選擇坦白還是抗拒，囚徒B的最優(yōu)策略都是坦白；不論囚徒B選擇坦白還是抗拒，囚那的最優(yōu)策略都是坦白；由收益函數(shù)：UA（抗拒，坦白）=T0;UA（坦白，坦白）=

2、-6;UA（抗拒，抗拒）=1;UA（坦白，抗拒）=0。UB（抗拒，坦白）=0;UB（坦白，坦白）=-6;UB（抗拒，抗拒）=T;UB（坦白，抗拒）=-10。UA（坦白，O）UA（抗拒O）;Ub（。坦白）Ub（。抗拒）；這時，“坦白”策略就成為囚徒A,B的嚴(yán)格優(yōu)策略，如果一個博弈中的所有局中人都存在嚴(yán)格優(yōu)策略，那么由這些嚴(yán)格優(yōu)策略組成的局勢，就是該博弈的惟一均衡解。在囚徒困境中的囚徒A,B的嚴(yán)格優(yōu)策略“坦白”組成的局勢（坦白，坦白）就是該博弈的惟一均衡解。記Si（4,S2，L,01,s1，L,Sn）,則局勢s（%,S2，L,0i,4，Si1，L,Sn）（Si，si）SSLS。定義2-2（嚴(yán)格優(yōu)策

3、略）在n人博弈G(N,S,U)中，除局中人i外，其余n1個局中人的所有可能的局勢Sj(S1,s2,L,s(1,si1,L,sn),局中人i存在著一個自己的策略Si,使得對一切的，Si(SiS*),有Ui(Si,Si)Ui(Si，S2，L,Si1,0,S1，L,Sn)uL,sL,s)q(S，Si),則稱Si*6是局中人的嚴(yán)格優(yōu)策略。囚徒A,B在囚徒困境中都有自己白鏟格優(yōu)策略“坦白；組成的局勢(坦白，坦白:為該博弈的惟一均衡解。這種現(xiàn)象是一般規(guī)律嗎?命題2 1 在n人博弈G(N,S,U)中，如果每一個局中人都有自己的嚴(yán)格優(yōu)策略si (i 1,L , n),那么，n個局中人每人的嚴(yán)格優(yōu)策略組成的局勢

4、(Si, L , Si, L , S|n)是博弈G(N, S,U )的惟一均衡解并稱(Si,L,Si,L,Sn)為嚴(yán)格優(yōu)策略均衡局勢或嚴(yán)格優(yōu)策略均衡解證明：由以上的討論，n個局中人的嚴(yán)格優(yōu)策略組成的局觀*(s*,L,s*,L,sn)是博弈G(N,S,U)的一個均衡解。如果博弈G(N,S,U)有兩個均衡解s*,S*,則至少有一個局中人j有兩個嚴(yán)* * * *格優(yōu)策略Sj , Sj ,設(shè)S(S1 , L , Sj , L , Sn),*S*(Si, L ,Sj , L ,Sn).*一.一.一一.因?yàn)镾j是局中人j的嚴(yán)格優(yōu)策暗所以*Uj(S)Uj(S);又因?yàn)镾*也是局中人j的嚴(yán)格優(yōu)策暗所以 TOC

5、 o 1-5 h z 一*.*.Uj(s)Uj(s).結(jié)合(1)(2)兩式有： HYPERLINK l bookmark28 o Current Document *Uj(s)Uj(S)Uj(S),.*.-*一.八.、此為矛盾因此SjSj.從而ss,即解是唯一的口定義2-4(優(yōu)策略)在n人博弈G(N,S,U)中，除局中人外，其余n1個局中人的所有可能的局勢si(s1,s2,L，S1,si1,L,sn),局中人i存在著一個自己的策略s*,使得對一切的siSi,有，*、，.*.、，.、，、Ui(si,si)Ui(s1,s2，L,1i，0，si，L，sJUi(s1,L,，L,sn)(s),并且局中人

6、i至少存在著一個自己的策略S,使得，*、，*.、，、，、Ui(1,si)Ui(si,L,i,，,si,L,sn)Ui(si,L,1,L,s)Ui(,si),則稱s*Si是局中人的優(yōu)策略。顯然嚴(yán)格優(yōu)策略一定是優(yōu)策略但在許多情況下，不要說嚴(yán)格優(yōu)策略，就是優(yōu)策略都未必存在！我們以例2-1(獵鹿博弈)為例討論如下獵人B-獵鹿獵人B-獵兔獵人A-獵鹿阿園0,1獵人A-獵兔1,01Q由收益函數(shù):UA （獵鹿，獵鹿）=10;UA （獵鹿，獵兔）=0;UB （獵鹿，獵鹿）=10;UB （獵鹿，獵兔）=0;但是，Ua （獵鹿，O） UUA （獵兔，獵鹿）=1;UA （獵兔，獵兔）=1。UB （獵兔，獵鹿）=1;

7、UB （獵兔，獵兔）=1。（獵兔，O）不成立，因?yàn)閁A（獵鹿，獵鹿）=10UA（獵兔，獵鹿）=1;UA（獵鹿，獵兔）=0UA（獵兔，獵兔）=1;因此，獵人A沒有優(yōu)策略，更沒有嚴(yán)格優(yōu)策略。對31人B的討論也同樣沒有優(yōu)策略但卻存在兩個Nash均衡解博弈解的第一組值為（10,10）（雙值），對應(yīng)博弈的解為（獵鹿，獵鹿）;博弈解的第二組值為（1,1）（雙值），對應(yīng)博弈的解為（獵兔獵兔），它們都是Nash均衡，即此博弈有2個解或兩個均衡點(diǎn)。問題是：這兩個解應(yīng)當(dāng)如何去看？如果將博弈改為獵人乙-獵鹿獵人乙-獵兔獵人甲-獵鹿10,100,1獵人甲-獵兔1,00,0請同學(xué)們發(fā)表意見。毛澤東的思考由收益函數(shù):UA

8、 （獵鹿，獵鹿）=10;UA （獵鹿，獵兔）=1;UB （獵鹿，獵鹿）=10;Ub （獵鹿，獵兔）=0;UA （獵兔，獵鹿）=0;UA （獵兔，獵兔）=0Ub （獵兔，獵鹿）=1;Ub （獵兔，獵兔）=0 Ua（獵兔，O）成立，UA（獵鹿，獵鹿）=10Ua（獵兔，獵鹿）=1;UA（獵鹿，獵兔）=1UA（獵兔，獵兔）=0;因此，獵人A有嚴(yán)格劣策略獵兔”；同理，獵人B也有嚴(yán)格劣策略獵兔”我們在上述基本式中剔除嚴(yán)格劣策略，我們就只剩下一個均衡解:獵人B般鹿獵人A-獵鹿10,10我們?yōu)槭裁匆钯Y本主義的尾巴？智豬博弈產(chǎn)生了，我的經(jīng)歷：獵鹿博弈智豬博弈囚徒困境例2-2斗雞博弈首先依據(jù)情景描述寫出博弈的基

9、本式再列出博弈雙方的收益矩磔雙矩陽飛車黨黨徒B讓飛車黨黨徒B撞飛車黨黨徒A讓-10-10-10+10飛車黨黨徒A撞+10-10OOOO最后，用相對優(yōu)勢策略的劃線法求解飛車黨黨徒B讓飛車黨黨徒B撞飛車黨黨徒A讓-10-10飛車黨黨徒A撞叵0日0OOOO博弈解的第一組值為（10,+10）（雙值），對應(yīng)博弈的解為（讓，撞）；博弈解的第二組值為什10,10）（雙值），對應(yīng)博弈的解為（撞讓），它們都是Nash均衡，即此博弈有2個解或兩個均衡點(diǎn)。例2-3雙寡頭壟斷博弈（Cournot模型（1838年）首先依據(jù)情景描述寫出博弈的基本式；再列出博弈雙方的收益矩微矩陣）企業(yè)乙-定身價企業(yè)乙-定低價企業(yè)甲-定身價

10、1000,1000500,1500企業(yè)甲-定低價1500,500700,700最后，用相對優(yōu)勢策略的劃線法求解企業(yè)乙-定身價企業(yè)乙-定低價企業(yè)甲-定身價1000,1000500,1500企業(yè)甲-定低價|1500|,500畫回博弈的值為（700,700）（雙值），對應(yīng)博弈的解為（低價，低價）;它是Nash均衡。思考它與哪一個博弈是一致的？例2-4（雙人抬物）博弈G（N,S,U）的基本式為局中人的集合N1,2；策略空間SGS2出力，不出力X出力，不出力收益函數(shù)：U1 （出力，出力）=v c 0,Ui （出力，不出力）=v 2c 0,U1 （不出力，出力）=v 0,U1 （不出力，不出力）=0。容易

11、看出局中人1的偏好序?yàn)椋海ú怀隽Γ隽Γゝ （出力，出力）f容易看出局中人2的偏好序?yàn)椋海ǔ隽Γ怀隽Γゝ （出力，出力）f 顯然，兩局中人均有U1 （不出力，O） U1 （出力，。）,U2 （出力，出力）=v c 0,U2 （出力，不出力）k 2c 0,U2 （出力，不出力）k 0, U2 （不出力，不出力）=0。（不出力，不出力）f （出力，不出力）;（不出力，不出力）f （不出力，出力）;U2 （不出力，O） U2 （出力，O）;即，選擇“不出力”是兩局中人的嚴(yán)格優(yōu)策略，因此，惟一的Nash均衡為（不出力，不出力）博弈的值為（0,0）我們還可以用劃線法解決：局中人2出力局中人2不出力局中

12、人1出力vc,vcv2c,v局中人1不出力v,v2c0,0討論：.例25（雙人抬物）和哪一個博弈一致?.關(guān)于道德風(fēng)險；.如何從技術(shù)上改變這種情況？例26（雙虎爭獵物博弈G（N,S,U）的基本式為局中人的集合NA,B;策略空間SSASB堅持，放棄X堅持，放棄;收益函數(shù)：Ua（堅持，堅持）=Ub（堅持，堅持）=c0,UA（堅持，放棄）=UB（放棄，堅持）=f0,UA（放棄，堅持）=UB（堅持，放棄）=0,UA（放棄，放棄）=UB（放棄，放棄）=0。容易看出兩老虎沒有嚴(yán)格優(yōu)策略，我們還是用劃線法解決：老虎B堅持老虎B放弁老虎A堅持c,c國,0老虎A放棄耳國0,0因此，Nash均衡為（堅持，放棄）和（

13、放棄，堅持），博弈的值分別為（f,0）和（0,f）。討論：.例210和哪一個博弈一致？.現(xiàn)實(shí)中有何意義？例27（情侶分為博弈G（N,S,U）的基本式為局中人的集合N甲（男），乙（女）；策略空間S08古典首樂，流行首樂X古典首樂,收益函數(shù)用矩陣表示為：流行音樂乙-古典音樂乙一流行音樂甲一古典音樂a,b0,0甲一流行音樂0,0b,a,用劃線法解決:乙-古典音樂乙一流行音樂甲一古典音樂,M0,0甲一流行音樂0,0因此，Nash均衡為（古典音樂，古典音樂）和（流行音樂，流彳二分別為（a,b）和（b,a）,（0ba）。討論：.例27和哪個博弈T?.協(xié)調(diào)型博弈在現(xiàn)實(shí)中有何意義？（總收益高）亍音樂）博弈的值

14、例28（公共產(chǎn)品的提供一一集資建橋博弈G（N,S,U）的基本式為局中人的集合N1,2,L,n;策略空間SS2LSn出資，不出資乂乂出資，不出資收益函數(shù)根據(jù)參加出資的人數(shù)有不同的情況：1）出資人數(shù)kn（人人出資才能建橋）Ui5LUn（出資，出資）kt0,出資居民i的收益Ui（至少有一個人不出資）=t0,不出資居民j的收益Uj（至少有一個人不出資）=0。我們簡化問題為兩個局中人的情況：局中人j出資局中人j不出資局中人i出資vt,vtt,0局中人i不出資0,t0,0因此，Nash均衡為（出資，出資）和（不出資，不出資）2）出資人數(shù)kn如果恰有k個居民出資而nk個居民不出資。有2種情況，討論如下：如果

15、已經(jīng)有k1個居民出資而nk個居民不出資，局中人將選擇出資:k1個局中人出資，nk個局中人不出資局中人i出資vt0局中人不出資0如果已經(jīng)有k個居民出資而nk1個居民不出資k個局中人出資，nk1個局中人不出資局中人i出資vt0局中人i不出資vNash均衡出現(xiàn)了：（k個居民出資，nk個居民不出資）；根據(jù)組合的知識，這樣的均衡共函:種。如果已經(jīng)有0mk1個居民出資，那么局中人的選擇是不出資，因?yàn)?mk1個局中人出資局中人i出資t局中人i不出資0由于每一個局中人面對m（0mk1）個局中人出資時，必選擇不出資，因此,Nash均衡為（不出資，不出資）對m（mk）個居民出資，局中人的選擇是不出資，因?yàn)閙（mk

16、）個局中人出資局中人i出資vt局中人i不出資vNash均衡出現(xiàn)了：（k個居民出資，nk個居民不出資）；綜上所述，這樣的均衡共有2+C：種。討論：1.通過例2-7,談?wù)劶Y建設(shè)和公共產(chǎn)品如何攤派和收取集資款？例2-8（經(jīng)濟(jì)學(xué)著名例子：公共地悲居）n個牧民共同擁有一片草地,每年，他們在這片草地上放牧養(yǎng)羊。設(shè)牧民i放牧的羊?yàn)閝i（i0,1,L,n,L）只，則全體牧民養(yǎng)羊G&q2Lq”，照看一只羊的平均成本為c,當(dāng)草地上有G只羊時，牧民養(yǎng)每只羊的價值為V(G)(V(G)0)。假設(shè)使草地上草的生長和羊群達(dá)到平衡的羊的只數(shù)嵬max，如果羊的數(shù)量超過了Gmax,必將使草地的生態(tài)受到損害，從而使整個羊群不能吃

17、飽，使羊的值v(G)下降(此地將自變量G看作連續(xù)變量)，這就可以用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)為(1) TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark52 o Current Document dvcd2vc0,20dGdG2公共地悲劇博弈W(N,S,U)的基本式為局中人的集合N1,2,L,n;策略空間SS2LSn0,)Xx0,1 i n.收益函數(shù):Uj(q,L,qL,qjv(G)qicq博弈問題：每一個牧民如何確定自己羊群的數(shù)地(i1,L ,n),以獲得自己的最大收益(僅僅考慮個人利益的最大化)?根據(jù)微積分的知識，這需要去求n元函數(shù)Ui(q1,L,q,L,qn)的極值而方法是先求n個

18、變量的偏導(dǎo)數(shù):Uiqiv(G) qidv dGdG dqidvc v(G) q c (i 1,L , n). dG再令(2)dvV(G) %Gc (i 1,L , n),當(dāng)v(G)為已知函數(shù)時，由以上n個方程，可以解出n個數(shù)q1,L,qn,則得到Nash均衡局勢(q*,L,q；)q*GqLqn。我們以n3,v(G)kGkQq?q3)為例，有3個方程構(gòu)成的方程組:2qiq2q3c/kqi2q2q3c/kqiq22q3c/k解出q*q2q34：為簡單起見，我們進(jìn)一步假設(shè)誨個牧民的基本情況相同，因此，我們不妨設(shè)*，qiqi(iin),則n個收益函數(shù)成為Ui(qJ,qjq)v(nq)qcq1in,于是

19、據(jù)(2)式，v(G)qiv(G)c1in,1_*I_*_*v(G)Gv(G)c.n那么，為什么稱作公共地悲劇呢？這n個牧民的總收益函數(shù)是UnUinqiv(G)ncqGv(G)cG.這n個牧民在Nash均衡q下的總收出是U*nUi*nqi*v(G*)ncq*G*v(G*)cG*.-.一一一一一一一-一一、一一-一.一士.如果這塊草地是由政府管理的，專家認(rèn)定最佳的放牧量FGmax,即F是使得收益最優(yōu)的值，即FmaxU,或?qū)σ磺械目偸辙鞦根據(jù)極值的必要條件應(yīng)當(dāng)出|*0（邊際收益=邊際成本）從（3）dGGF式推得dU八八v(G)Gv(G)c,dG小、dU代入L/0有dGGF令我們首先有*v(F)Fv(

20、F)c.H(G)v(G)Gv(G),H(G)2v(G)Gv(G)0.所以函數(shù)H（G）是遞減的，其次H(G*)H(F*)v(G*)G*v(G*)v(F*)_*_*_*v(G)Gv(G)c_*_*_*_*v(G)Gv(G)v(G)n17Gv(G)0.n*Fv(F)1*Gv(G)n我們得到_*H(G)H(F),即*GF.牧民在均衡處的羊多于專家設(shè)定的羊的最佳數(shù)量，又由節(jié)是使得收益函數(shù)取得最大值的點(diǎn)，有：*U*UF*.GF公共地悲劇指出如果每個牧民僅僅考慮個人利益的最大化那么，在Nash均衡(q*,L,q；)q*處，羊群的數(shù)量G*大，但不如羊群為F*的收益，而且，草地將退化,所以生產(chǎn)應(yīng)當(dāng)是有組織的公共

21、資源應(yīng)當(dāng)科學(xué)地開發(fā)怎么組織學(xué)問很深！公共地悲卿P.87)-公共衛(wèi)生一一國家資源一一例2-9(密封式二級價格拍為密封式二級價格拍賣一一規(guī)則介紹分析局中人的集合：N1,2,L,n;策略集A(0,)(i1,2,L,n),策略空間：AaA2la；局勢：sA|s(b1,b2,L,bn)是一個無限集。收益函數(shù)：Ui(s)visbi1,2,L,n。表示為局中人12oooiooon標(biāo)的物價值v1v2oooviooovn競拍報價Ub2ooobiooobn收益v1bj0v2bj0ooovibj0ooovnbj0為討論方便，除第個局中人的報價bi外，把其余的n1個局中人報價的最大值記作我們討論如下:(i)hvibjoUi vbj00. TOC o 1-5 h z bivibjobivibivibjo(ii)hvi與biviUivibjo0bibjovi.vibjobiUivi可。o(iii)vibibjovibiUivib