1、手拉手模型專題訓(xùn)練一、解答題. (1)如圖，和(?)石都是等邊三角形，且點8，C,七在一條直線上，連結(jié)8。和AE,直線BD, AE相交于點夕.則線段8。與A石的數(shù)量關(guān)系為. 50與4E相交構(gòu)成的銳角的度數(shù)為.(2)如圖，點3, C,石不在同一條直線上，其它條件不變，上述的結(jié)論是否還成立.圖圖圖(3)應(yīng)用：如圖，點3，C, E不在同一條直線上，其它條件依然不變，此時恰好有NAEC = 30.設(shè)直線AE交CO于點。，請把圖形補全.若PQ = 2,則。p =.在maAbC中，ABAC = 90, AB = AC.(1)如圖1,點。為5c邊上一點，連接AO,以AD為邊作Rt/ADE, ZDAE = 9

2、0 , AD=AE,連接EC.直接寫出線段3。與CE的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系 為.(2)如圖2,點。為5c延長線上一點，連接40，以AQ為邊作HfAAOf, Z)AE = 90, AD = AE,連接EC.用等式表示線段6C, DC, EC之間的數(shù)量關(guān)系為.求證：BD2 + CD2 = 2AD2(3)如圖 3,點。為 aASC外一點，且NA3C = 45。，若80 = 13, CD=5 ,求人。的長.如圖，在AA5C中，。是6c邊上一點，且AO = A5,AE6C,N84O = NC4E,連接。瓦交4。于點尸.(1)若4 = 65。，求NC的度數(shù).(2)若AK = AC,則AO平分N5OE是否成

3、立？判斷并說明理由.如圖，AACB和石CD都是等腰直角三角形，CA = C5,CO = CE,ZAC5的頂點A在的斜邊。石上，連接(2)若4E=女皿4。= 6?？凇?，求AC的長.如圖，。為等邊A8C的邊5c延長線上的一動點，以AP為邊向上作等邊APO, 連接CD.(1)求證：AABP gA8 ；(2)當(dāng)尸c = ac時，求NPDC的度數(shù)；(3)NP3C與/B4C有怎樣的數(shù)量關(guān)系？隨著點夕位置的變化，NPOC與NQ4C的 數(shù)量關(guān)系是否會發(fā)生變化？請說明理由.D.如圖，若A50和ACE都是等邊三角形，求N8O。的度數(shù).在直線A3的同一側(cè)作兩個等邊三角形A6O和5CE,連接4七與CO,試解 決下列問

4、題：(1)求證：AE = DC；(2)求的度數(shù)；(3)連接G/，試判斷aBGF形狀.如圖，點。是等邊A6C內(nèi)一點，ZAOB = 110 , ABOC = a.以O(shè)C為一邊作等邊三角形08,連接(1)若/5AO=NC4。，求。的值;(2)當(dāng)。= 150時，試判斷40。的形狀，并說明理由;(3)探究：當(dāng)。為多少度時，AA。是等腰三角形?.如圖，以A8C的邊A5、4C向外作等邊A60和等邊ACE,連接班、CD. H：線段的和CO有什么數(shù)量關(guān)系？試證明你的結(jié)論.如圖，在等邊三角形A5c中，。是A5邊上的動點，以8為一邊向上作等邊三（1）求證：ACE 空58；（2）求證：AE/BC ：（3）當(dāng)點。運動到

5、A6的中點時，6c與CE有什么位置關(guān)系？并說明理由.如圖，AC1BC, DCLEC, AC=BC, DC = EC, AE 與 BD 交于點 F .（1）請問= 嗎？請說明理由；（2）請判斷AE與8。的位置關(guān)系，并說明理由.如圖，AC = DC. AB = DE, CB = CE.求證：Z1 = Z2.如圖 1,在 ABC 中，AC=BC, ZACB=90, CE 與 AB 相交于點 D,且 BE_LCE,AFJ_CE,垂足分別為點E, F.AB(1)若 AF=5, BE=2,（2）如圖2,取AB的中點G,連接FG, EG,求證：FG=EG.如圖，已知6c是等邊三角形，點、D在BC邊上,4人。

6、尸是以40為邊的等邊三角形，過點尸作8。的平行線交線段AC于點E,連接8F,求證:（1）人尸5三。；（2 ）四邊形8CEF是平行四邊形.如圖，點B、C在一直線上，6c和4。石都是等邊三角形.（2）探索線段84、BD、8E之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.問題情境：在自習(xí)課上，小雪拿來了如下一道題目（原問題）和合作學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們交流，如圖， ACB 和4 CDE 均為等腰三角形.CA=CB, CD=CE, NACB=NDCE.點 A、D、E在同一條直線上，連接BE.求證：ZCDE=ZBCE+ZCBE.問題發(fā)現(xiàn)：小華說：我做過一道類似的題目：如圖， ACB和ACDE均為等邊三角形，其他條 件不變，求/

7、AEB的度數(shù).(1)請聰明的你完成小雪的題目要求并直接寫出小華的題目要求.拓展研究：(2)如圖， ACB和ADCE均為等腰直角三角形，NACB=NDCE=90。，點A、D、 E在同一條直線上，CF為 DCE中DE邊上的高，連接BE.請求NAEB的度數(shù)及線 段CF、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.圖.在中，ZACB = 90, AC=BC. D 為 AB 上一點、,連結(jié) CO,將 CO繞C點逆時針旋轉(zhuǎn)90。至CE,連結(jié)。石，過C作石交45于尸，連結(jié)(1)求證：AD = BE.(2)試探索線段A。，BF ,。尸之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(3)若 ZAC=15。，CD = W+1，求

8、 BF .(注：在直角三角形中，30。所對的直角邊等于斜邊的一半)參考答案.（1）相等，60 ;（2）成立，證明見解析；（3）見解析，4.【分析】（1）證明ABCD且ZXACE,并運用三角形外角和定理和等邊三角形的性質(zhì)求解即可；（2）是第（1）問的變式，只是位置變化，結(jié)論保持不變；（3）根據(jù)NAEC=30。，判定AE是等邊三角形CDE的高，運用前面的結(jié)論，把條件集中到一個含有30。角的直角三角形中求解即可.【詳解】（1）相等；60 .理由如下： aASC和C。石都是等邊三角形，ZACB = ZDCE =BC = AC, DC = CE, ZBCD=ZACE,在4CE和ABCD中CB = CA/

9、BCD = ZACE ,CD = CE ZXACE ZXBCD.BD = AE，ZBDC = ZAEC.又： ADNA = /ENC,證明：A6C和COE都是等邊三角形,* ZACB = ZDCE = 60，BC = AC, DC = CE, ZBCD = ZACE ,在ACE和ABCD中CB = CA/BCD = ZACE , CD = CE AACE 名 ABCD.： BD = AE，ZBDC = ZAEC.又 ZDNA = /EVC,: ZDPE = NDCE = 60.（3）補全圖形（如圖），CDE是等邊三角形，ZDEC=60,/ ZAEC=30%，NAEC=NAED,，EQ_LDQ,

10、/. ZDQP=90,根據(jù)（1）知，ZBDC=ZAEC=30,VPQ=2,，DP=4.【點睛】本題是一道猜想證明題，以兩線段之間的大小關(guān)系為基礎(chǔ)，考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角 形的全等，直角三角形的性質(zhì)，證明兩個手拉手模型三角形全等是解題的關(guān)鍵. （1） BD = CE, BD1CE： （2）6C+OC = EC,見解析；（3） 6vl.【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得到 4 = /AC8 = 45。，根據(jù)題意可知ABAC-ADAC = ZDAE- ADAC,即 4AO=/C4石，再利用 SAS1證明8A。且C4石，可得到63 = CE, ZABC=ZACE = 450,從而算出/BCE

11、的度數(shù)，進而得到 線段8。與CE的位置關(guān)系；（2）根據(jù)角度的運算得到/5AO = /C4E,再利用MS證得HAO0C4E,得到 BD = CE,再根據(jù)8O = 3C+8,等量代換即可求出答案；由中8A。且6石，得到8O = CE, ZABC = ZACE,在根據(jù)等腰直角三角形的 性質(zhì)即可得出NACE的度數(shù)，進而證得N6CE = NDCE = 90。，根據(jù)勾股定理得到AE2 + AD- = DE2 CE- + CD2 = DE2，等量代換后得到 AE? + AO? = CE?+ CO、又因為AE = AO, 53 = CE,代入即可得出答案；（3）過點A作AE_LA。，并且AE = 4），連接。

12、石，CE,得到A0E是等腰直角三 角形，由（2）得84。且C4E,得到63 = CE,在他CQE中，通過勾股定理求出OE 的長度，在HfAAO石中又由勾股定理得：AE2 + AD2 = DE2，再根據(jù)AE=A。，代入 數(shù)據(jù)即可求出4。的長度.【詳解】.在6c 中，ABAC = 90, AB = AC,ZB = ZACB = 45。, ZDAE = 90 ABAC-ZDAC = ZDAE- ADAC ,即 4AD =/CAE,在aBAD和GA七中AB = AC /BAD = ZCAE , AD = AE BADCAE（SAS）t:. BD = CE, ZABC = ZACE = 45,. ABC

13、E = ZACB + ZACE = 90,BDICE.故答案為：BD = CE，BDLCE.（2）；ABAC = 90, ZZME = 90, ZBAC+ ZCAD = ADAE+ ACAD,即 4AD =/CAE,在aBAD和GA七中AB = AC/BAD = ZCAE , AD = AE BADCAE（SAS）t*- BD = CE, BD = BC+CD,BC+DC = EC.故答案為：BC+DC = EC.證明：由得：6A。也C4七，BD = CE, ZABC = ZACE ,ABC和4）上都是等腰直角三角形，ZACE = ZABC = ZACB = 45,ABCE = ZDCE =

14、90，在 Rt/XADE 和 Rt/ECD 中，由勾股定理得：八七2 + 4。？=。七L CE2 + CD2 = DE2， AE + AD1 = CE2 + CD2，v AE = AD BD = CE,2AD2 = BD2 + CD2，即 BD2 + CD2 = 2AD2 .（3）過點A作AE_LA。，并且AE = 4）,連接OE, CE,如圖,血比是等腰直角三角形，ZADE = 45,ZADC = 45,ZCDE = 9Q0,由（2）中可知，且（“石,BD = CE,v BD = 13, CD = 5,CE = 13,在H&DE中,由勾股定理得：DE2+CD2=CE2DE = 4cE-CD2

15、 =12 在向。石中，由勾股定理得：4七2+八。2=。七2， 2心= 144, AD = 6y/2 .【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是合理添 加輔助線找出兩個三角形全等.(1) 50。； (2)成立，理由見解析【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出NADB=NB=65。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出ZBAD=50,求出NCAE=50。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可；(2)求出NBAC=NDAE,根據(jù)全等三角形的判定推出 BAC且口,根據(jù)全等三角形 的性質(zhì)得出/b=nade,求出NADE=NADB即可二【詳解】解:(1) V ZB=65, AB=AD,

16、:.ZADB=ZB=65,ZB+ ZBAD+ ZB AD= 180,/. ZBAD=50,VZCAE=ZBADt/. ZCAE=50,VAE/7BC./.ZC=ZCAE=50：(2) AD 平分NBDE,理由是：V ZBAD=ZCAE, NBAD+NCAD=NCAE+NCAD,即 NBAC=NDAE,AB = AD在 BAC 和 DAE 中，ABAC = ZDAE , AC = AEAABACADAE (SAS), ZB=ZADE,ZB=ZADB,:.NADE=NADB,即AD平分/BDE.【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定定理，等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理等知識 點，能綜合運用

17、知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵.(1)證明見解析；(2) AC = M0cm.2【分析】(1)根據(jù)同角的余角相等得出NBCD=NACE,然后根據(jù)SAS定理證明 BCDZACE, 從而得出結(jié)論：（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NBDC=NAEC,然后結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)求得NBDA是直角三角形，從而利用勾股定理求解.【詳解】（1）AC8和ECD都是等腰直角三角形， ZACB=ZECD = 90。， ZACD + ZBCD = 90, ZACD + ZACE = 90 , ZBCD = ZACE,在 ABCD 和 ZACB 中，CB = CA/BCD = ZACECD = CE A BCDA

18、CESAS）,* BD = AE （2） -： BCDACE. ABDC = ZAEC,又 ECD是等腰直角三角形， /CDE = /CED = 45。,40C = 45。， ZBDC+ZCDE = 90,/&M是直角三角形，工 AB2 = BD2 + AD2 = AE2 + AD2 = 3? + 6? = 45 ,在等腰直角三角形AC8中，AB2 = AC2 + BC2 = 2AC2,.心里2【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.5. 1）證明見解析；（2） ZPZX? = 30；（3） NPDC = NPAC；數(shù)量關(guān)系不變：理由見解析【分析】(1)先根據(jù)

19、等邊三角形的性質(zhì)得出NBAC=NPAQ = 60。，AB=AC, AP=AQ,再由SAS 定理即可得出結(jié)論；(2)由NAPC=NCAP, NB=NBAC, NB+NBAC+NAPC+NCAP=180。，得NBAP=90。, 再結(jié)合6P烏AC。，進而即可求解：(3 )設(shè) CD 與 AP 交于點 O,由ABP 經(jīng)ACD ,得 NACD=NAPD,結(jié)合NAOC=NDOP, 三角形內(nèi)角和定理，即可得到結(jié)論.【詳解】(1)證明：(：與AAPD是等邊三角形，A ZBAC=ZPAD = 60, AB=AC, AP = AD,/. ZBAP=ZDAC,在 ABP與 ACD中，AB=AC /BAP= ZCAD,

20、AP=AD ； AABP qAACD (SAS)；(2) : PC=AC,：.ZAPC=ZCAP,ABC是等邊三角形，/. ZB=ZBAC=60,又 ZB+ ZBAC+ ZAPC+ ZCAP= 180,A ZBAC+ZCAP= x180=90,即：NBAP=90。， 2/. ZAPB=90-60=30,/. ZADC=ZAPB=30,APD是等邊三角形，/. ZPDC =60- ZADC=60o-30o=30 ；(3)NPOC=/B4C,隨著點尸位置的變化，NP0C與/PAC的數(shù)量關(guān)系不會發(fā)生變化，理由如下：設(shè)CD與AP交于點O, A4 族鄉(xiāng)4CD, ZACD=ZABP=60,/ ZAPD=6

21、0,:.ZACD=ZAPD,又/AOC=NDOP, ZAOC+ZACD+ZPAC=180, ZDOP+ ZAPD+ ZPDC= 180, ZPDC=/PAC.【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的判定，熟練掌握 全等三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)犍.120.【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)可得AO=A8, AC=AE, AB =NC4E=60。，利用SAS即可證明 DACBAE,從而得出NABE=NADC,設(shè)AB與CD交于點F,根據(jù)三角形內(nèi)角和定 理和等量代換即可求出NBOF,利用平角的定義即可求出結(jié)論.【詳解】證明：AB。、AAEC都是等邊三角形，：,AD=A

22、B, AC=AE, ZDAB = ZCAE =60, ZDAC= ZBAC+600, ZBAE= NBAC+60。， ZDAC= ZBAE,在 DAC BAE 中,AD=AB /DAC= NBAE , AC=AE：.ADACBAE (SAS),/. ZABE=ZADC設(shè)AB與CD交于點F,B丁 ZBFO=ZDFA ZBOF=1800-ZABE-ZBFO=1800-ZADC- ZDFA=ZDAB=60:.ZBOC=180- ZBOF=120.【點睛】此題考查的是等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)，利用SAS證出 DACg4BAE 是解題關(guān)鍵.(1)見解析；(2) ZD/M = 60； (3

23、) aSGb是等邊三角形.【分析】(1)從和ABCE1是等邊三角形中尋找條件證明A6EgaO5C(SAS),然后利用全等三角形的性質(zhì)即可證明；(2)由石絲OB。可得NBA石= N5DC,再由外角的性質(zhì)可得ZDHA = ZBAE+ZDCB ,然后根據(jù)等量代換即可證明；(3 )先證明MBG三aOB/(ASA)得到BG = BF ,然后結(jié)合ZDBE = 60。即可說明5G尸是等邊三角形.【詳解】(1)證明：.A3。和5CE都是等邊三角形，:.BA = BD，BE=BC, ZABD = ZCBE = 60.ZDBE = 180-60 - 60 = 60,ZABE = ZDBC = 120。.在 ZXA

24、BE 和35C 中，AB = DBZA6E = NO6C = 120。， BE = BC ：.ABEDBC(SAS),AE=DC；(2)解：,. ABE/aDBC,ZBAE = ZBDC.又ZDHA = ZBAE+ ZDCB, ZDHA = ZBDC+ ZDCB = 180-ZDBC = 60 ；(3 )解：由(1)如 aABE/2BC,ZBAE = ZBDC.在 A8G和GBF中，ZABD = NDBE = 60。AB = DB,ZEAB = ZCDB:ABG=DBF (AS A),BG = BF.ADBE = 60,.8G尸是等邊三角形.【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三

25、角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等 知識點，靈活應(yīng)用相關(guān)知識點成為解答本題的關(guān)鍵.8. (1)。= 140 ； (2) AAO。是直角三角形，理由見解析；(3)當(dāng)。為125、110 140時，AAO。是等腰三角形.【分析】(1)延長AO交6c于點石，由A6C是等邊三角形，可知4E垂直平分6C,得到。6 = OC,進而求出N6Of=NC0E = 7O，由此即可得到。的度數(shù)；(2)首先根據(jù)已知條件可以證明BOC且AOC，得出N5OC=/ADC，然后利用全等三 角形的性質(zhì)可以求出NAQO的度數(shù)，由此即可判斷AO0的形狀：(3)要使口。是等腰三角形時，需要分三種情況討論I： AO = AD, II：

26、 OA = OD,III： =進行討論，分別求出。的度數(shù).【詳解】解：如圖,延長AO交6c于點A6C是等邊三角形，ZBAO=ZCAO,A石是底邊5c上的中線，AE是5C上的高，即AE垂直平分8C,* OB = OC， ZBOE = ZCOE = 180-110 = 70%。=140 .(2)v OCD. ASC都是等邊三角形，OC = CD, BC = AC, ZACB = ZOCD = 60 , ZACB-ZACO = ZOCD- ZACO,即：ZBCO=ZACD,在dBOC與40C中OC = CDZBCO = ZACD ,BC=ACBOCADC(SAS),ABOC=ZADC,/BOC =

27、a = 1501， ZODC = 60，400 = 150。- 60。=90。,. AAOD是直角三角形.(3)如圖,設(shè)NC6O = NC4O = 4 NA5O=N2, ZBAO = Z3, ZCAO = Z4,則 Nl + N2 = 60 ，N2 + N3 = 180 110、= 70 ，N3+N4 = 60，一 + ，得：Zl+Z4 = 50 即 ZDAO = 50。，I ：要使 AO = A。，鎘 ZAOD= ZADO,360 -1100-60 -a = a-601，a = 125 ；II：要使04 = 8,需 /OAD= ZADO , a-60 = 50 , = AO,需/O43=Z4

28、。，360 -1100-60 -a = 50%a = 140當(dāng)。為125、110、140 M, AA8 是等腰三角形.【點睛】本題屬于綜合題，考杳了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的判定， 等腰三角形的判定，利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.BE = CD,理由見解析.【分析】由和ACE都是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到=AC = AE,ZDAB = ZEAC = 60，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等,再用SAS證明D4C和反正全等，最后利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證.【詳解】解：BE = CD,理由如下：是等邊三角形，AB = AD, NZM5 = 60 ,ACE是等邊三

29、角形，AC=AE, ZEAC = 60, ZDAB+ABAC = ZEAC+ ABAC,即 ZDAC=ZBAE,在D4C和84E中AB = AD ZD AC = /EAB ,AC = AE 二 AZMC g ARAE（5AS）,BE = CD.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出夾角相等是解題的關(guān)鍵.（1）見解析；（2）見解析；（3） 8C_LCE,見解析.【分析】（1）根據(jù)A8C和E0C是等邊三角形，得到邊角關(guān)系，即CA = C8, CD = CE,AB = ZACB = ZECD = 60J，根據(jù)等式性質(zhì)得到NDC8= NEC4 ,最后利用S4S證明全等即可：

30、（2）根據(jù)AC：0Ai6C。，可知對應(yīng)角 4 = /E4C,又因為N6=/4C3 = 6O，等量代換可知ZACB = ZEAC,進而得到AE/BC ：（3） BCCE,由A6C是等邊三角形，點。為A5的中點，根據(jù)三線合一可知ZACD = ABCD = 30 ,再根據(jù)ACE06C。，進而得到 NEC4 = C6 = 30,最后可求得/5CE的度數(shù).【詳解】 A8C和瓦)C是等邊三角形；CA = CB, CD = CE, ZB = ZACB = ZECD = 60, ZACB -ZACD = ZECD -ZACD,即 NDC8=NC4,在ACE與ABCD中CA = CB = ZEFD+ ZE,:Z

31、EFD=ZECD = 90。,AELBD.【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟悉全等三角形模型是解題關(guān)鍵.12.證明見解析【分析】由題意可證aAbCgOEC,可得NA=ND,再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得N1=N2.【詳解】證明：如圖，在4ABe和.DEC中，AC = DC Z2 + ZDFC+ZD = 180 ,ZAFE = ZDFC,Z1 = Z2.【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練運用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵.13. (1) 3； (2)見解析【分析】(1)證得NACF=NCBE,由 AAS 證得 ACF且ZCBE 得出 CF=BE=2, AF=CE = 5, 即可

32、得出結(jié)果：(2)連接 CG,推出 NGCB = NCBG=45。，得出 CG=BG,證得 CFGZBEG 得出 FG=EG即可.【詳解】VBECE,/. ZBEC = 90%/ ZACB = 90t/. ZBEC=ZACB,/. ZACF+ ZBCE = ZBCE+ ZCBE = 90,/. ZACF=ZCBE,VAFlCEt /. ZAFC=90%在 ACF和 CBE中，ZACF = ZCBE1 ZAFC = ZBECAC = BC AAACFACBE (AAS),ACF=BE=2, AF = CE = 5,VEF=CE-CF,，EF=5 -2 = 3；(2)連接CG,如圖2所示：VAC=B

33、C, AG=BG,ACGAB. ZBCG= ZACB= x90=45, 22AZCBG=90 -45=45,AZGCB=ZCBG=45%：.CG=BG.在 ADF 和 BDE 中，: ZAFD= NBED,，NFAD=NEBG,由(1)證可知：AACFgACBE,，CF=BE, ZCAF=ZBCE,NCAF+NFAD= ZGCD+ZBCE=45,AZFAD=ZGCD,/. ZEBG=ZFCG,在A CFG與 BEG中，VCG=BG, ZFCG=ZEBG, CF=BE,AACFGABEG (SAS),AFG=EG.【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)與全等三角形性質(zhì)及判定的綜合運用，熟練掌握相關(guān)

34、概念是 解題關(guān)鍵.（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得4/=4。,43 =人。,42。=/84。=60。，再根據(jù)角的和差可得448= AC,然后根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證：（2）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/A8尸= /C = 60。，從而可得NABF=ZBAC,再根 據(jù)平行線的判定可得BF/AC,然后根據(jù)平行四邊形的判定即可得證.【詳解】（1）?16c和）尸都是等邊三角形，. AF = AD.AB = AC,ZFAD = ABAC =ZC= 60 ,/. ZFAD - ABAD = ABAC - ABAD,即/M6 = /D4C,AF = AD在尸

35、8 和AOC 中，lFAB = ADAC , AB = AC. AFB = ADC(SAS)；.A尸5三AOC, ZABF = ZC = 60,又 ZBAC = 60, ZABF=ZBAC ,/. BF/AC,又/ BC/EF，工四邊形BCEF是平行四邊形.【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、平行四邊形的判定等知識點, 熟練掌握各判定定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.(1)見解析；(2) BA+BD=BE,理由見解析【分析】(1)由“SAS”可證 ABEAACD：(2)由全等三角形的性質(zhì)可得BE=DC,由線段的和差關(guān)系可求解.【詳解】.ABC、 ADE是等邊三角形，AB=AC=

36、BC, AD=AE, Z BAC=Z EAD=60, ZBAC+ZBAD=ZEAD+ZBAD,即 NCAD=NBAE,在 ABE和吊ACD中,AB = AC/BAE = ZCAD ,AE = ADAAABEAACD；BA+BD=BE,理由如下：VAABEAACD,ABE=DC,ABA+BD= BC+BD=DC= BE.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，證明 ABEgZXACD是解本題 的關(guān)健.(1)證明見解析；ZAEB=60； (2) ZAEB=90： AE = BE+2CF ；理由見解析.【分析】(1)小雪的題目：先利用SAS證明ADC三6EC,再利用全等三角形的性

37、質(zhì)、三角形外 角的性質(zhì)及等量代換即可得證；小華的題目：先利用SAS證明AOC三8EC,再利用全等三角形的性質(zhì)得出NADC = NBEC ,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出/。石= 60。，最后根據(jù)鄰 補角的概念和角的和與差即可得出答案；（2）根據(jù)題意易證A3C三6EC,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及鄰補角的概念即可求得 NAEB的度數(shù)：然后根據(jù)三線合一即可得出C/=。尸= 7最后根據(jù)線段的和與差及等 量代換即可得出答案.【詳解】（1）小雪的題目：證明：/4C8 = C石:.NACD = NBCE在 AOC和&DCE中， CA = CBZACD = ZBCECD = CE,AA0C 二 ABC（S4S）:.ZCAD = ZCBE又 ZACD= /BCE, Z.CDE = ZCAD + ZACDZ.CDE = Z.CBE+ ZBCE ；小華的題目：解：.ZACB = /DCE:.NACD = NBCE在 AOC和DCE中， CA = CBZACD = ZBCECD = CE,AAOC 三 ABC（S4S）:.ZADC=ZBECCO石為等邊三角形NCDE = ZCED = 60又.點A、D、E在同一條直線上:.ZADC=ZBEC = 12OZAEB