1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載2013中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：最短距離問題分析最值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是一類綜合性較強(qiáng)的問題，它貫穿初中數(shù)學(xué)的始終，是中考的熱點(diǎn)問題，它主要考察學(xué)生對(duì)平時(shí)所學(xué)的內(nèi)容綜合運(yùn)用，無論是代數(shù)問題還是幾何問題都有最值問題，在中考?jí)狠S題中出現(xiàn)比較高的主要有利用重要的幾何結(jié)論（如兩點(diǎn)之間線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊、垂線段最短等）。利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。一、“最值”問題大都?xì)w于兩類基本模型：、歸于函數(shù)模型：即利用一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的對(duì)稱性及增減性，確定某范圍內(nèi)函數(shù)的最大或最小值、歸于幾何模型，這類模型又分為兩種情況：（1）歸于“兩點(diǎn)之間

2、的連線中，線段最短”。凡屬于求“變動(dòng)的兩線段之和的最小值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型。（2）歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”凡屬于求“變動(dòng)的兩線段之差的最大值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型。幾何模型：條件：如圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)問題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PAPB的值最小方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A，連結(jié)AB交l于點(diǎn)P，則PAPBAB的值最?。ú槐刈C明）模型應(yīng)用：（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)連結(jié)BD，由正方形對(duì)稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱連結(jié)ED交AC于P，則AAPBlA圖1pBPBPE的最小值是_；（2）如圖2，O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在

3、O上，OAOB，AOC60，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PAPC的最小值；（3）如圖3，AOB45，P是AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求PQR周長的最小值解：（1）PBPE的最小值是DE5（2）PAPC的最小值是23圖2RABPPCB【典型例題分析】1.如圖所示，正方形ABCD的面積為12eqoac(,，)ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，（3）PQR周長的最小值是102QA圖3使PDPE的和最小，則這個(gè)最小值為（）AD4A23B26C3D61yx2x22如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)BPE解：(1)令x=0，得y=2，B(0，2),A

4、(-2，3)(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)，求證：PA-PBAB；(3)當(dāng)PA-PB最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).11yx2x2(x2)2344(2)證明：.當(dāng)點(diǎn)P是AB的延長線與x軸交點(diǎn)時(shí)，PA-PB=AB；.當(dāng)點(diǎn)P在x軸上又異于AB的延長線與x軸的交點(diǎn)時(shí)，在點(diǎn)P、A、B構(gòu)成的三角形中，PA-PBAB.綜合上述：PA-PBAB.BAyCyBOx(3)作直線AB交x軸于點(diǎn)P由(2)可知：當(dāng)PA-PB最大時(shí)，點(diǎn)P是所求的點(diǎn)AB3.如圖，在矩形OABC中，已知A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4，、C(0，2)，D為OA的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P是AOC平分學(xué)習(xí)好資料歡迎下載作AHOP于HBOOPBOP

5、=AHP，且BPO=APHAHHPBOPAHPBOOP32OP由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2即2OPOP=4，P(4，0)0)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合）（1）試證明：無論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處，PC總與PD相等；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B的距離最小時(shí)，試確定過O、P、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）設(shè)點(diǎn)E是（2）中所確定拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，PDE的周長最??？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和PDE的周長；（4）設(shè)點(diǎn)N是矩形OABC的對(duì)稱中心，是否存在點(diǎn)P，使CPN90？若存y2)C(0，OPB0)DA(4，x在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)解：（1）點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，OD2，ODOC又OP是COD

6、的角平分線，POCPOD45，POCPOD，PCPD（2）過點(diǎn)B作AOC的平分線的垂線，垂足為P，點(diǎn)P即為所求yC2)(0，F(xiàn)PMB易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，2），故BF2，作PMBF，1PBF是等腰直角三角形，PMBF1，2OED0)A(4，xb2b2y3x2CE所在直線的解析式為y3x2點(diǎn)P滿足，解得，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為，PEDyxy1點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3）拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為yax2bx9a3b3a13)0)又拋物線經(jīng)過點(diǎn)P(3，和點(diǎn)D(2，有解得4a2b0b2拋物線的解析式為yx22x（3）由等腰直角三角形的對(duì)稱性知D點(diǎn)關(guān)于AOC的平分線的對(duì)稱點(diǎn)即為C點(diǎn)2)連接EC，它與AOC的

7、平分線的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)（因?yàn)镻EPDEC，而兩點(diǎn)之間線段最短），此時(shí)PED的周長最小拋物線yx22x的頂點(diǎn)E的坐標(biāo)(1，1)，C點(diǎn)的坐標(biāo)(0，設(shè)CE所在直線的解析式為ykxb，kb1k3則有，解得1x211222P，使CPN90其坐標(biāo)是，或(2，11的周長即是CEDE10222（4）存在點(diǎn)2)By4.一次函數(shù)ykxb的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A（2，0），B（0，4）D（1）求該函數(shù)的解析式；P（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PCPD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)解：(1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入ykxb并計(jì)算得k2，b4解析式為：y2x4；(2)設(shè)

8、點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為C，連結(jié)PC、DC，則PCPCOCA第4題xPCPDPCPDCD，即C、P、D共線時(shí)，PCPD的最小值是CD連結(jié)CD，在eqoac(,Rt)DCC中，CDCC2CD222；易得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，1)(亦可作eqoac(,Rt)AOB關(guān)于y軸對(duì)稱的eqoac(,)學(xué)習(xí)好資料歡迎下載C，A3，C0，25.已知：拋物線的對(duì)稱軸為與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y0軸交于點(diǎn)其中、（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式（2）已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得PBC的周長最小請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)連（3）若點(diǎn)D是線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合）過點(diǎn)D作DEPC交x軸于點(diǎn)E接PD、PE設(shè)CD的長為m，

9、PDE的面積為S求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式試說明S是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大解：（1）此拋物線的解析式為y2值；若不存在，請(qǐng)說明理由4x2x233yy（2）連結(jié)AC、BC.因?yàn)锽C的長度一定，所以PBC周長最小，就是使PCPB最小.B點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是A點(diǎn)，AC與對(duì)稱軸x1的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.設(shè)直線AC的表達(dá)式為ykxbAOBCxAOBxCb2yx21，3，即OE3m，AE3，OEDx2k3kb0，3b2則解得此直線的表達(dá)式為2344y把x1代入得3P點(diǎn)的坐標(biāo)為即（3）S存在最大值理由：DEPC，DEACOEDOACODOE2mOE33mOCOA2322AEP5題圖yOBC四邊形P

10、DOES方法一：連結(jié)OPSSOEDSPOESPODSOED3m2m13m2m=m2m=1341133322322242（第24題圖）最大33330當(dāng)m1時(shí)，S4424方法二：PCD=323m2mmm1SSOACSOEDSAEPS11313412222232=m2mm120當(dāng)m1時(shí)，S1，36.如圖，拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為yax2bxcC(0，3)333333B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)最大42444443y，交x軸于A、D（）把eqoac(,2)ABC繞AB的中點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180，得到四邊形ADBC判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由（1）求拋物線的表達(dá)式AOEBx（3）試問在線段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得

11、FBD的周長最小，若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：（1）由題意知CPyDOEBx解得a323323byx2x33，3拋物線的解析式為33CP學(xué)習(xí)好資料歡迎下載（2）設(shè)點(diǎn)A（1，0），B（2，0），則3xx323x2x303，x1，x3|OC|解得12OA1，OB3又tanOCB|OB|3OCB60，同理可求OCA30ACB90由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知ACBD，BCAD四邊形ADBC是平行四邊形又ACB90四邊形ADBC是矩形（3）延長BC至N，使CNCB假設(shè)存在一點(diǎn)eqoac(,F)，使FBD的周長最小即FDFBDB最小DB固定長只要FD+FB最小又CABNFD+FBFD+FN當(dāng)N、F、

12、D在一條直線上時(shí)，F(xiàn)D+FB最小又C為BN的中點(diǎn)，132，2）（1，0），C（0，3）點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（FC12AC（即F為AC的中點(diǎn)）又A線運(yùn)動(dòng)到x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E），再沿直線運(yùn)動(dòng)到該拋物線對(duì)稱軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最后又沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路程最短的點(diǎn)E，點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短路程的長。13存在這樣的點(diǎn)F（2，2），使得FBD的周長最小3187.如圖（1），拋物線yx2x3和y軸的交點(diǎn)為A,M為OA的中點(diǎn)，若有一動(dòng)點(diǎn)P，自M點(diǎn)處出發(fā)，沿直55y3解：如圖（1），由題意可得A（0，3），M(0,)，拋物線的對(duì)稱點(diǎn)23為x3，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M(0,)，點(diǎn)A關(guān)于拋物

13、線2A對(duì)稱軸x3的對(duì)稱點(diǎn)為A（6，3）。連結(jié)MA。根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)間線段最短可知，AM的長就是所求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)中MF最短總路程的長，AM在直線的方程為y33。x（過程略）42OEx設(shè)AM與x的交點(diǎn)為E,則E為在x軸上所求的點(diǎn)，AM與直線x3的交點(diǎn)為所求的F點(diǎn)。3可得E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,）。415由勾股定理可求出AM（過程略）2y3AFA15所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路程（MEEFFA）最短時(shí)間為。xM2不管在什么背景下，有關(guān)線段之和最短問題，總是化歸到“兩點(diǎn)之間的所有連線O最短”，而轉(zhuǎn)化的方法大都是借助于“軸對(duì)稱點(diǎn)”.EB3中，線段8.恩施州自然風(fēng)光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)

14、”著稱于世著名的恩施M大峽谷和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路X同側(cè)，AB50km，A、B到直線X的距離分別為10km和40km，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P，向A、B兩景區(qū)運(yùn)送游客小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（AP與直線X垂直，垂足為P），P到A、B的距離之和S1PAPB，圖（2）是方案二的示意圖（點(diǎn)A關(guān)于直線X的對(duì)稱點(diǎn)是A，連接BA交直線X于點(diǎn)P），P到A、B的距離之和SPAPB2（1）求S1、S2，并比較它們的大??；（2）請(qǐng)你說明S2PAPB的值為最??；（3）擬建的恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標(biāo)系，B到直線Y的距離為

15、30km，請(qǐng)你在X旁和Y旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長最小并求出這個(gè)最小值學(xué)習(xí)好資料歡迎下載YBBQBAAAPXPAXOPX圖（1）圖（2）圖（3）解：圖10（1）中過B作BCAP,垂足為C,則PC40,又AP10,AC30YBPCPBC402S140210在eqoac(,Rt)ABC中，AB50AC30BC4022圖10（2）中，過B作BCAA垂足為C，則AC50，又BC40BA4025021041BQBA(2)如圖10（2），在公路上任找一點(diǎn)M,連接MA,MB,MA，由軸對(duì)稱知MAMAa(0a2)CQPQ由軸對(duì)稱知：PAPAS2BA1041S1S2PXAMB+M

16、AMB+MAABS2BA為最?。?）過A作關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)A,過B作關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)B，連接AB,交X軸于點(diǎn)P,交Y軸于點(diǎn)Q,則P,Q即為所求過A、B分別作X軸、Y軸的平行線交于點(diǎn)G,AB1002502505所求四邊形的周長為505059.如圖，（1），在ABC中，ACBC2,ACB90，P為BC邊上一定點(diǎn)，（不與點(diǎn)B，C重合），Q為AB邊上一A動(dòng)點(diǎn)，設(shè)BP的長為，請(qǐng)寫出最小值，并說明理由。（【觀察與思考】其實(shí)，本題和例2中的（2）基本上是相同的，是“在直線AB上求一點(diǎn)Q，使它到AB同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)C和P的距離之和最小”。因此，可由圖（1）連結(jié)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P與C所成線段，交AB于Q?；驁D（

17、1）（連結(jié)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C與P所成線Q段，交AB于Q，都同樣可得CQPQ最小值。ACAPAQCBQPQPQ解：如圖（1），P作點(diǎn)PB關(guān)于ABC的對(duì)稱點(diǎn)PP，連B結(jié)CP交CAB于點(diǎn)Q，易知BPBQPBQ，（1）（1）（1）CPBPBPa,PBQPBQ45。在RtCBP中，CPCB2PB24a2，又，在AB上任意取一異于Q的點(diǎn)Q，連結(jié)CQ,PQ,PQ，則CQPQCQPQCP4a2對(duì)AB邊上的動(dòng)點(diǎn)Q，最小值為4a2。10.如圖8,C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn),分別過點(diǎn)B、D作ABBD,EDBD,連接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,設(shè)CD=x.(8x)225x21(1)用含x的代數(shù)式表示ACCE的長；(2)請(qǐng)