1、正弦交流電路基本概念和經(jīng)典例題講解 3.1 正弦交流電的基本概念一：電量的分類（把電流、電壓、電動(dòng)勢(shì)等統(tǒng)稱為電量）恒定量-直流-周期性時(shí)變量非周期性時(shí)變量非正弦周期時(shí)變量二、正弦量和正弦交流電路、正弦量：隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的電壓和電流、正弦交流電路：所有激勵(lì)和響應(yīng)都為同頻正弦量的電路三、正弦交流電的一般表達(dá)式和波形圖 x t O m i 注意、寫正弦量的瞬時(shí)表達(dá)式或波形圖時(shí)，要同時(shí)標(biāo)明參考方向、僅當(dāng)參變量Im、確定后，正弦量才能被確定，所以被稱為三要素反映大小的量反映初始值的量反映交變快慢的量、周期頻率角頻率正弦量完整變化一周所需要的時(shí)間正弦量在單位時(shí)間內(nèi)變化的周數(shù)正弦量單位時(shí)間內(nèi)變化的弧度

2、數(shù)周期與頻率的關(guān)系：角頻率與周期及頻率的關(guān)系：工頻：工業(yè)角頻率：四、正弦量的三要素、瞬時(shí)值幅值有效值正弦量任一瞬間的值小寫表示瞬時(shí)值中的最大值大寫字母加注腳從周期量做功與直流量做功等效的觀點(diǎn)來(lái)定義的大寫字母表示讓周期電流i和直流電流I分別通過(guò)兩個(gè)阻值相等的電阻R，如果在相同的時(shí)間T內(nèi)，兩個(gè)電阻消耗的能量相等，則稱該直流電流I的值為周期電流i的有效值。對(duì)于正弦電流，因所以正弦電流的有效值為：同理，正弦電壓的有效值為：、相位（或相位角）初相位相位差任一瞬間電角度時(shí)的起始相位注:(1)計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同, 不同,但 相同(2)隨著t , , 但 不變注意、初相位在主值范圍內(nèi)、通過(guò)波形圖要能確定瞬時(shí)表達(dá)式。

3、幅值：縱軸；角頻率：橫軸初相位：離原點(diǎn)最近的、由負(fù)向正過(guò)渡的零點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的t的相反數(shù)、不同正弦量只要頻率相同，就可討論其相位差,不同頻率沒(méi)有相位差例幅度：已知：頻率：初相位：A21 jjj-=90 -（-90 ）= 180=()()2211 sin sinw90w-=+ =tIitIimm90如果相位差為+180 或-180 ,稱為兩波形反相例: 1. 復(fù)數(shù)表達(dá)式+1+j0ab歐拉公式補(bǔ)充：關(guān)于復(fù)數(shù)的復(fù)習(xí)（） 復(fù)數(shù)加 、減運(yùn)算222111jbaAjbaA+=+=設(shè)：)jrebjaAAA=+=)(222jba=(111則：、復(fù)數(shù)的運(yùn)算（2）復(fù)數(shù)乘、除法運(yùn)算)(212121jj+=jerrAAA乘法

4、：212211jjjjerAerA=設(shè)：()212121jj-=jerrAA除法： 3.2 正弦量的相量表示法一、旋轉(zhuǎn)因子和旋轉(zhuǎn)矢量、旋轉(zhuǎn)因子：ej t模為，幅角為t的復(fù)數(shù)。 為常數(shù)，幅角隨時(shí)間t的增加，以的速率勻速增加。 t,/2, , 3/2, 2時(shí), ej t=1, j, -1, -j, 1。、旋轉(zhuǎn)矢量Aej t 設(shè)Aej 則：Aej t ej ej tej（ t） 正弦量具有幅值、頻率及初相位三個(gè)基本特征量，表示一個(gè)正弦量就要將這三要素表示出來(lái)。表示一個(gè)正弦量可以多種方式，這也正是分析和計(jì)算交流電路的工具。、三角函數(shù)表示法：0ut+_2、正弦波形圖示法: (見(jiàn)右圖)二、正弦量的幾種表示

5、方法 概念 ：一個(gè)正弦量的瞬時(shí)值可以用一個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量 在縱軸上的投影值來(lái)表示。矢量長(zhǎng)度 = 矢量與橫軸夾角 = 初相位矢量以角速度 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)3、旋轉(zhuǎn)矢量表示法iyxO O Imtt1Imi1i0t1Im正弦量用旋轉(zhuǎn)矢量來(lái)表示長(zhǎng)度-振幅起始位置與X 軸夾角-初相隨時(shí)間逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)的角速度-角頻率相量法是分析求解正弦電流電路穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的一種有效工具。 把隨時(shí)間變化的正弦量用復(fù)數(shù)表示出來(lái)，把三角計(jì)算變?yōu)閺?fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算。 要點(diǎn)： 代表正弦量的矢量可以用復(fù)數(shù)來(lái)表示，從而使正弦量的運(yùn)算歸結(jié)為復(fù)數(shù)的運(yùn)算。4、 相量表示法三、用相量來(lái)表示正弦量1、相量的引出根據(jù)歐拉公式，一個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù) 可以寫成： 實(shí)部

6、是余弦量 虛部是正弦量 則 正弦量可以用上述形式復(fù)數(shù)函數(shù)描述 正弦量可以用上述形式復(fù)數(shù)函數(shù)描述 取復(fù)數(shù)函數(shù)的虛部復(fù)指數(shù)函數(shù)中的一個(gè)復(fù)常數(shù)復(fù)常數(shù)定義為正弦量的相量，記為 相量 的表示為“最大值”相量 為“有效值”相量 相量是一個(gè)復(fù)數(shù) 注意1）相量可以代表一個(gè)正弦量，但不等于該正弦量。)15sin(2505015o+=teUjw2）相量中含振幅（或有效值）和初相位，但不含三要素之一的角頻率。2、相量圖 相量在復(fù)平面上的幾何表示，稱為相量圖。 相量圖顯示出同頻正弦量之間的相位關(guān)系。注意：只有同頻正弦量才能在同一相量圖表示。 適用平行四邊形或三角形法則。3、相量法 正弦交流電路中的分析解題方法相量圖法

7、相量解析法+1+j0例1:已知瞬時(shí)值，求相量。已知: 求： i 、u 的相量 解：A506.86301003024.141jI+=ooV5.190110602206021.311jU-=-=-=oo求：例2：已知相量，求瞬時(shí)值。解： 已知兩個(gè)頻率都為 1000 Hz 的正弦電流其相量形式為：A10A601003021oojeII=-=計(jì)算相量的相位角時(shí)，要注意所在象限。43jU-=43jU+-=43jU-=43jU+=例：四、關(guān)于90。算子的討論-j和-j 可以表示為 可見(jiàn) 設(shè)有兩個(gè)同頻率的正弦電壓五、用相量法求正弦量的和與差所以：兩個(gè)同頻率正弦量和的相量等于這兩個(gè)正弦量的相量和 可得：基爾霍

8、夫定律的相量形式則：幾個(gè)同頻率正弦量求和可以簡(jiǎn)化為它們的相量求和。對(duì)于正弦交流電路滿足即：瞬時(shí)值和相量滿足基爾霍夫定律，有效值不滿足I1-I2+I3= 0例：求i=i1+i2解：相量圖： 3.3 電阻元件上的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一：電壓電流關(guān)系 取關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，u=Ri ；設(shè)：i=Imsin(t+i)則： u=Ri=RImsin(t+i)=Umsin(t+u)結(jié)論：1）電阻的電壓有效值與電流有效值仍然滿足歐姆定律: UR = RIR ）電阻的電壓uR與電流iR同相位，即u =i ）電阻的電壓uR與電流iR同頻率。、瞬時(shí)電壓和瞬時(shí)電流2、R中的電壓相量與電流相量 設(shè)電阻電流相量為 故電阻電壓、電流的相

9、量形式仍滿足歐姆定律 二、電阻元件上的功率、瞬時(shí)功率 功率是時(shí)間的函數(shù)關(guān)聯(lián)時(shí)的瞬時(shí)功率都可表示為:， 瞬時(shí)功率這說(shuō)明電阻元件上能量轉(zhuǎn)換的不可逆性，因此電阻是一個(gè)耗能元件 它包含一個(gè)恒定分量和一個(gè)變化分量，變化的頻率是電源頻率的兩倍 tuipt2. 平均功率（有功功率）P：一個(gè)周期內(nèi)的平均值 大寫 uiRP=UIU=IR=I2R=U2/R 3.4 理想電感元件上的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一、電壓電流關(guān)系1、L中的瞬時(shí)電流與電壓 基本關(guān)系式：iuL設(shè)cos2=tLIdtdiLuww則)90sin(2o+=tUw結(jié)論（a） 電感電壓、電流有效值的關(guān)系為： UL =LIL （b） 電感電壓超前電流90即u =i+

10、90 iu定義XL =L ，稱為感抗，具有與電阻相同的量綱 。單位是歐姆。感抗的大小反映了電感對(duì)正弦電流抵抗能力的強(qiáng)弱。 2、L中的電流相量與電壓相量o0=II設(shè)：oo9090=IUUXL= j XL I或 I=U/ j XLUI強(qiáng)調(diào)感抗（XL =L）是頻率的函數(shù)， 是電感電壓、電流有效值之間的比，且只對(duì)正弦波有效。不是瞬時(shí)值或相量的比。二、電感電路中的功率1. 瞬時(shí)功率 p ：iuL 電感中激勵(lì)源是正弦量時(shí)，功率也按正弦規(guī)律變化,但頻率是電源頻率的兩倍，其幅值是電流與電壓有效值的乘積 儲(chǔ)存能量P 0P 0uiiuL電壓電流實(shí)際方向p為正弦波，頻率加倍 2. 平均功率 P （有功功率）結(jié)論：純

11、電感不消耗能量，只和電源進(jìn)行能量交換（能量的吞吐）。從波形圖看,功率大于零的面積等于小于零的面積3. 無(wú)功功率 QQ 的單位：乏、千乏 (var、kvar) Q 的定義：電感瞬時(shí)功率所能達(dá)到的最大值。用 以衡量電感電路中能量交換的規(guī)模。（瞬時(shí)功率的幅值）例一電感交流電路，L=100mH，f=50Hz，(1)已知A，求電壓 ；(1)已知，求電流 ，解并畫相量圖。(1) 由題知感抗為 X L= L=2 500.1=31.4則由相量形式的歐姆定律知：(2) 電流為電流為相量圖分別為：(1)(2)亦可根據(jù)電感元件電流、電壓瞬時(shí)值關(guān)系用解析法計(jì)算。(1)中電感元件的有功功率為電感元件的無(wú)功功率為 3.5

12、 理想電容元件上的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一、電壓電流關(guān)系1、C中的瞬時(shí)電流與電壓基本關(guān)系式:設(shè)：uiC則：結(jié)論（a） 電容電壓、電流有效值的關(guān)系為IC =CUC （b） 電容電壓滯后電流90，即u =i-90 iu 容抗定義：其單位也是歐姆 則：因?yàn)橛行е祷?2、C中的電流相量與電壓相量設(shè)：則：強(qiáng)調(diào)容抗（Xc=1/C）是頻率的函數(shù)， 是電容電壓、電流有效值之間的比，且只對(duì)正弦波有效。不是瞬時(shí)值或相量的比。二、理想電容元件上的功率1、瞬時(shí)功率ui電容中激勵(lì)源是正弦量時(shí)，功率也按正弦規(guī)律變化,但頻率是電源頻率的兩倍，其幅值是電流與電壓有效值的乘積 充電p放電放電P 0儲(chǔ)存能量uiuiuiuiiut 2. 平

13、均功率 P結(jié)論：純電容不消耗能量，只和電源進(jìn)行能量交換（能量的吞吐）。從波形圖看,功率大于零的面積等于小于零的面積瞬時(shí)功率達(dá)到的最大值（吞吐規(guī)模）3. 無(wú)功功率 Q單位：var，乏例uiC解：電流有效值求電容電路中的電流已知： C 1F求：I 、iV瞬時(shí)值i 領(lǐng)先于 u 90電流有效值單一參數(shù)正弦交流電路的分析計(jì)算小結(jié)電路參數(shù)電路圖（正方向）復(fù)數(shù)阻抗電壓、電流關(guān)系瞬時(shí)值有效值相量圖相量式功率有功功率無(wú)功功率Riu設(shè)則u、 i 同相0LiuCiu設(shè)則設(shè)則u領(lǐng)先 i 90u落后i 9000基本關(guān)系1. 單一參數(shù)電路中的基本關(guān)系電路參數(shù)基本關(guān)系感抗L容抗電路參數(shù)基本關(guān)系C電路參數(shù)R基本關(guān)系小 結(jié) 在

14、正弦交流電路中，若正弦量用相量 表示，電路參數(shù)用復(fù)數(shù)阻抗（ ) 表示，則復(fù)數(shù)形式的歐姆定律和直流電路中的形式相似。 2. 單一參數(shù)電路中復(fù)數(shù)形式的歐姆定律 電阻電路電感電路電容電路復(fù)數(shù)形式的歐姆定律* 電壓、電流瞬時(shí)值的關(guān)系符合歐姆定律、克氏 定律。3. 簡(jiǎn)單正弦交流電路的關(guān)系(以R-L電路為例）uLiuRuRL* 電流、電壓相量符合相量形式的歐姆定律、克氏 定律RL 3.6 復(fù)合參數(shù)支路上的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一、R、L、C串聯(lián)電路uRLCi若則總電壓與總電流的關(guān)系式相量方程式：則相量模型RLC設(shè)（參考相量）令則即：R-L-C串聯(lián)交流電路中的復(fù)數(shù)形式歐姆定律RLC二、阻抗Z：復(fù)數(shù)阻抗實(shí)部電阻虛部電抗

15、容抗感抗1注：XL和Xc總是正的,但X=XL-Xc可正可負(fù)2 Z是一個(gè)復(fù)數(shù)參數(shù)，但并不是正弦交流量，上面不能加點(diǎn)。 Z 在方程式中只是一個(gè)運(yùn)算工具。 由復(fù)數(shù)形式的歐姆定律可得：結(jié)論：的模為電路總電壓和總電流有效值之比，而的幅角則為總電壓和總電流的相位差。3. Z 和總電流、總電壓的關(guān)系4. Z 和電路性質(zhì)的關(guān)系一定時(shí)電路性質(zhì)由參數(shù)決定當(dāng) 時(shí)， 表示 u 超前 i 電路呈感性當(dāng) 時(shí)， 表示 u 、i同相 電路呈電阻性當(dāng) 時(shí)， 表示 u 滯后 i 電路呈容性阻抗角5. 阻抗（Z）三角形阻抗三角形注：該圖三邊不能畫箭頭三、R-L-C串聯(lián)交流電路的相量圖先畫出參考相量相量表達(dá)式：RLC電壓三角形4.

16、阻抗三角形和電壓三角形的關(guān)系電壓三角形阻抗三角形相似四、復(fù)阻抗的運(yùn)算1、復(fù)阻抗的串聯(lián)Z1Z2-分壓公式2、復(fù)阻抗的并聯(lián)Y1、Y2 - 導(dǎo)納Z1Z2Y1Y2-分流公式導(dǎo)納的概念設(shè):則:電導(dǎo)電納導(dǎo)納適合于并聯(lián)電路的計(jì)算,單位是西門子( s )。導(dǎo)納1、據(jù)原電路圖畫出相量模型圖（電路結(jié)構(gòu)不變）2、根據(jù)相量模型列出相量方程式或畫相量圖 3.7 一般正弦交流電路的解題步驟3、用復(fù)數(shù)符號(hào)法或相量圖求解4、將結(jié)果變換成要求的形式 在正弦交流電路中，若正弦量用相量表示，電路參數(shù)用復(fù)數(shù)阻抗表示，則直流電路中介紹的基本定律、公式、分析方法都能用。具體步驟如下： 例 1電路如圖所示，已知R=R1=R2=10，C=3

17、18F，f=50Hz，U=10V，試求（1）并聯(lián)支路端電壓Uab；(2)總電流 +-uRR2R1CL+-uabXL=2fL =10解：Z1=10j10Z2=10j10+-R+-Z1Z2例2已知試求。解 用相量表示 所以：例3下圖中已知：I1=10A、UAB =100V，求： A 、UO 的讀數(shù)AAB C25UOC1解:已知： I1=10A、 UAB =100V，則：A讀數(shù)為 10安求：A、UO的讀數(shù)即：設(shè)：為參考相量，AAB C25UOC1UO讀數(shù)為141伏求：A、UO的讀數(shù)已知： I1=10A、 UAB =100V，AAB C25UOC1 3.8 無(wú)源單口網(wǎng)絡(luò)上的功率一、瞬時(shí)功率 設(shè)電壓 則

18、電流為二、平均功率P （有功功率）總電壓總電流u 與 i 的夾角- 功率因數(shù) 被稱為功率因數(shù)角 1、有功功率P的大小不僅與電壓、電流有效U、I有關(guān)，還與u與i的相位差有關(guān) 說(shuō)明2、功率因數(shù)角實(shí)際就是阻抗角。感性電路與容性電路可通過(guò)功率因數(shù)角的正負(fù)加以區(qū)分 純電阻時(shí), = 0 純電感時(shí)， = /2 純電容時(shí)， = /2 3、求有功功率可以用以下式子：1）P=UIcos 2)P=UIcos=|Z|I*Icos=ReI23）P=P1+P2+P3. 4) P=PR1+PR2+PR3 在 R、L、C 串聯(lián)的電路中，無(wú)功功率其大小為瞬時(shí)功率無(wú)功分量的最大值： 三、 無(wú)功功率 Q： 通過(guò)無(wú)功功率可了解二端網(wǎng)與外電路之間的能量交換的規(guī)模大小 當(dāng)Q0時(shí)，0， 電壓超前電流，為感性電路； 當(dāng)Q0時(shí)，0， 電壓滯后電流，為容性電路。 Q=UIsin 求無(wú)功功率可以用以下式子：1）Q=UIsin 2）Q=UIsin=|Z|I*Isin=XI23）Q=Q1+Q2+Q3. =QL+QC四視在功率 S： 電路中總電壓與總電流有效值的乘積。單位：伏安、千伏安PQ（有助記憶）S注： SU I 可用來(lái)衡量發(fā)電機(jī)可能提供的最