1、核心素養(yǎng)之直觀想象直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖 形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括：借助空間形式認識事物的位置關(guān)系、形狀變化 與運動規(guī)律：利用圖形描述，分析數(shù)學(xué)問題：建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型， 探索解決問題的思路?！爸庇^想象”這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視是“幾何直觀”、“空間想象”觀念的發(fā)展和融合， 它不單是空間想象能力，也不單是數(shù)形結(jié)合思想，它是一些數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)能力的融合。直觀想象是認識事物的基本方式，也是數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的一般性。【高中直觀想象素養(yǎng)的滲透】1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊包括集合、函數(shù)及其性質(zhì)，基本初等函數(shù)。數(shù)形結(jié)合：

2、利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、極值、 最值等），會作圖（畫出函數(shù)的草圖）、識圖（函數(shù)反應(yīng)出的單調(diào)性、奇偶性、零點、極值 等）、用圖（數(shù)形結(jié)合，利用函數(shù)圖像解決零點問題，構(gòu)造函數(shù)解決不等式問題）。2、三角函數(shù)模塊包括三角函數(shù)，三角恒等變換，解三角形。數(shù)形結(jié)合：利用三角函數(shù)的圖像研究研究三角函數(shù)的性質(zhì)：幾何直觀：解三角形中，利用三角形直觀性，便于分析和求解。3、平面向量模塊幾何直觀：結(jié)合圖形分析數(shù)量之間關(guān)系，向量數(shù)量積的有關(guān)計算。4、數(shù)列與不等式模塊數(shù)形結(jié)合：結(jié)合圖形理解數(shù)列的單調(diào)性、最值等；求解線性規(guī)劃問題。5、立體幾何空間想象：借助空間圖形理解點、線、面的位置關(guān)

3、系，并進行有關(guān)的推理、證明和有關(guān) 量的計算。6、平面解析幾何幾何直觀：在幾何直觀的基礎(chǔ)上，對直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等圖形的性質(zhì)、 位置關(guān)系等進行深層次探討。7,排歹人組合與二項式幾何直觀：借助幾何直觀，便于對排列、組合進行分析理解?！靖呖贾兄庇^想象素養(yǎng)的考查】（1）數(shù)形結(jié)合，化抽象為形象，化繁為簡1、數(shù)形結(jié)合求交點個數(shù)（2017江蘇，14題）設(shè)/（x）是定義在R且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間。1）上，/（x） = r，XeD其中集合O = x|x = wN*,則方程x, x 任 ）,I J/（x）-lgx = O的解的個數(shù)是【解析】由于/(x)wO,l),則需考慮lWx0,因此Igx不可能與

4、每個周期內(nèi)xeD對應(yīng)的部分相等，只需考慮lg x與每個周期x史。的部分的交點，畫出函數(shù)圖像，圖中交點除外(L0)其他交點橫坐標(biāo)均為無理數(shù)，屬于每個周期x任。的部分,且x=l處(lgx)，=，二=70,判斷是否存在b0,使函X數(shù)/(X)與g(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)存在“S點”，并說明理由.【解析】(1)/(x) = l, g(x) = 2x + 2,聯(lián)立J，：；/：；* 2,此方程組無解，所以/(x)與g(x)不存“s點”.f(x) = 2ax, g(x)=！，x0，由/(不)=8(不)得加 =又/(序)=可，g(Jf) = *n2a，聯(lián)立可得。=繁/(x) = i2x, g(無)= .(：

5、D,x0,由/(/)=8(%)得力 e =40 Xx0 -1所以0飛 0X-1-x設(shè)“xX-d+sY+ax-a, x(0,l), a 0t(0) = -a0=r(0)-r(l)0 又t(x)的圖象在上連續(xù)不斷 t(x)在(0,1)上有零點、所以hx在(0,1)上有零點【分析】零點、極值點存在性問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)的方法、利用函數(shù)的單調(diào)性、極值、 端點值或零點定理求解.(2)幾何直觀，數(shù)形轉(zhuǎn)化(2016江蘇，13題)如圖，在4鴕中，是比的中點，E,尸是上的兩個三等分點，BC CA = 4, BF CF = - ,則 BECE的值是 【解析】因為BA CA = (-BC-AD)C-BC-AD)=

6、鈉一阮=兆一叫=4,1111 4FD - BCBF CF = （-BC-一AD） （一一BC-AD） =- = -l232342 S 213因此 82114ED - BCBECE = JBC ED）（BC-ED） = -2242216FD -BC 14=8【分析】借助幾何圖形，把要求的向量轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的基底，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解。 (3)空間想象，直觀形象(2017江蘇，18題)如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱臺形玻璃容器II的 高均為32cm,容器I的底面對角線AC的長為10近cm,容器H的兩底面對角線EG , E 的長分別為14cm和62cm.分別在容器1和容器H中注入水

7、，水深均為12cm.現(xiàn)有一根 玻璃棒/,其長度為40cm.(容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計)(1)將/放在容器I中，/的一端置于點A處，另一端置于側(cè)棱CG上，求/沒入水中部 分的長度；(2)將/放在容器II中，/的一端置于點E處，另一端置于側(cè)棱GG|上，求/沒入水中部分 的長度.【解析】(1)山正棱柱的定義，CG _L平面A8CD ,所以平面A ACC, T-Illi ABCD,Cg LAC.記坡璃棒的另一端落在CG上點M處.因為 AC = 10十 一口/ = 40,所以 3ZC =小0： -（10丫 =30,從而 sinZJHC =:,記二U與水面的焦點為當(dāng)過月作P1Q.1AC, 0為垂足，

8、則P】Q_L平面ABCD,故巧0：=12,從而招尸-H7 = 16sinNMTC答：玻璃棒/沒入水中部分的長度為16cm.（如果將“沒入水中部分冶理解為“水面以上部分冶，則結(jié)果為24cm）E o G (第 18(2)題)（2）如圖，。，。1是正棱臺的兩底面中心.由正棱臺的定義，OOiL平面EFGH,所以平面EiEGGiJ_平面EFGH, OjOXEG.同理，平面 EiEGGi_L平面 EiFiGHi，OQJ_EiGi.記玻璃棒的另一端落在GGi上點N處.過G作GKJ_JG, K為垂足， 則GK =0。產(chǎn)32.因為 EG =14, FiGi= 62, TOC o 1-5 h z 62 14/，/

9、所以 KGf - = 24,從而 GG, = JKG： + GK2 = ,24? + 322 = 40.,冗4設(shè) /EGG、= a,/ENG =4，則 sin a = sin（ + NKGG1）= cos NKGQ =.7T3因為二a（兀，所以cosa =-, TOC o 1-5 h z 40147在AENG中,由正弦定理可得二一 =解得sin = . sin a sin p25jr24因為。/5,所以COS/? = 5.于是4 24373sin ZNEG = sin(7t - a 一 夕)=sin(a + /?) = sin a cosP + cos a sin /? = x + ()x =

10、 5 25525 5記EN與水面的交點為P2過P2作P2Q2-LEG.。2為垂足，則P2Q2,平面EFGH,故P2Q2=12,從而 EP2=-驗一= 20. sin/NEG答：玻璃棒/沒入水中部分的長度為20cm.【分析】借助立體幾何直觀形象的特點，從立體中抽出所求線段所在的一個平面，利用 正、余弦定理求解，解題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化?！净谥庇^想象的數(shù)學(xué)建議】.學(xué)函數(shù)，用圖像函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。以函數(shù)為主線可 以將很多數(shù)學(xué)內(nèi)容“串”起來：函數(shù)、不等式、方程、數(shù)列、微積分等，占高中數(shù)學(xué)課程的 “半壁江山”。但函數(shù)的概念抽象，內(nèi)涵豐富，思想精微?！睂W(xué)函數(shù)，用圖像

11、”，從概念層 面看，豐富表征，完善結(jié)構(gòu)，便于概念抽象；從思想方法層面看，以形助數(shù)、數(shù)形溝通，實現(xiàn) 數(shù)形結(jié)合；從學(xué)習(xí)心理角度看.用圖思考，形象直觀，有助于建立信心。具體表現(xiàn)為：(1)用圖像：從“形”的角度刻畫和理解函數(shù)及其相關(guān)概念；(2)用圖像：為函數(shù)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)、描述、理解和記憶提供方法；(3)用圖像：從變換的視角將復(fù)雜函數(shù)化簡單；(4)用圖像：架起方程、不等式通往函數(shù)的橋梁；(5)用圖像：構(gòu)建直觀模型使抽象函數(shù)問題不抽象.研究空間位置關(guān)系，用好長方體這一直觀模型立體幾何初步的教學(xué)重點是幫助學(xué)生逐步形成空間想象能力，課標(biāo)實驗要求內(nèi)容設(shè)計遵 循從整體到局部、具體到抽象的原則：以長方體為模型和載體.

12、直觀認識和理解空間點線面 的位置關(guān)系熟悉長方體空間基本元素的關(guān)系和性質(zhì)把空間關(guān)系的一些重要結(jié)論放到長方體 來觀察和思考，既易于發(fā)現(xiàn)又便于記憶.一-些復(fù)雜的幾何體可以借助割補法化歸為長方體 有時更特殊力正方體模型處理打開思路使問題得以簡化。.理解好向量幾何意義發(fā)揮向量幾何直觀優(yōu)勢在高中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)中，向量是溝通代數(shù)幾何與三角函數(shù)的一種工具，向量及其運算工 具性貫穿于高中數(shù)學(xué)教材體系不同內(nèi)容和不同問題之中但對向量概念及其運算，中學(xué)可能強 調(diào)代數(shù)坐標(biāo)運算過了頭，特別是空間向量處理立體幾何問題.其實向量有豐富的幾何背景和 幾何意義.要加大從形”的角度理解好向量，養(yǎng)成主動想圖、作圖和用圖思考的習(xí)慣，看” 出思路，看出簡潔。.解析幾何，仍要重視圖的作用解析幾何是數(shù)形結(jié)合的經(jīng)典內(nèi)容，雖然它的主體思想是代數(shù)方法研究幾何問題，但仍需 強調(diào)圖形的重要性，包括：從圖形的觀察