1、高等數(shù)學(xué)全程教學(xué)視頻課第59講空間曲線空間曲線及其方程般地，曲線。上動點M的坐標(x,y,z)都表示為另一個變量E的函數(shù)：X = x(t) y = y(t), (a t jg) z = z(t).當t在范圍0危范圍內(nèi)變動時，則 產(chǎn)生一條空間曲線c ,稱上述方程組 為空間曲線。的參數(shù)方程，并稱t為參數(shù).如第59講空間曲線空間曲線及其方程例1設(shè)空間一動點M在圓柱面工2 + y2 = r2 .上以等角速度3繞Z軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線 速度沿平行于Z軸的正向均勻地上升. 動點M的軌跡稱為圓柱螺旋線.試求圓柱螺旋線的參數(shù)方程.第59講空間曲線空間曲線及其方程z圓柱螺旋線的參數(shù)方程為:螺距應(yīng)用案例XX = R

2、cosO, y = RsinO, z = b6.x = Rcos(i)t, y = Rsinst, 、z = vt.=R2x2 + y2v令(Dt = 0,b =(x)Vfo y, z)N(x, yf 0)y 螺距：九=2nb第59講 空間曲線空間曲線及其方程例2 求空間曲線 r-.x =(p(t),y = p(t),z = a)(t) (a t /?)繞 z軸旋轉(zhuǎn)時的旋轉(zhuǎn)曲面方程.旋轉(zhuǎn)曲面方程為：)cos。,八八、J j- f a t /3 y = J?2(t)+ 寸2(。singly lo 0 2n)(z = a)(t)*二丿 第5 9講 空間曲線一一空間曲線及其方程例如，X = l,y

3、= t,z = 繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為% = 1 + t2 COS0, /_ (_8 t y = y/l + t2 sinQ V 0 0 z = t消去和。，得旋轉(zhuǎn)曲面方程為4(%2 + y2) Z? = 4.旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面第59講空間曲線空間曲線及其方程設(shè)兩曲面的方程分別為：Si：F(”z) = 0,S2G(xfyfz) = 0.空間曲線可視為兩曲面的交線：(F(x,y,z) = 0,(G (” z) = 0.這種描述空間曲線C的形式稱為空間曲線的一般方程.第59講空間曲線空間曲線及其方程例如,方程組Z*2 + y2 = L+ 3z = 6表示圓柱面與平面的交線。第59講空間曲線空間曲

4、線及其方程Z木R1X表示球心在原點，半徑為&的球面. 因此，兩個球面的交線為一個圓.【例3解】2 +y2 + z2 2Rz = 0 表示球心在(0,0, &),半徑為&的球面.*2 + y2 + z2 _ &2 = 0丿第5 9講 空間曲線一一空間曲線及其方程例3方程組%2 = 0,表示怎樣的曲線?(%匕 + ,匕 + _ R匕=0說明：這個圓還可以表示= R2,該曲線的參數(shù)方程為V3 V3 1x = -Rcosd, y = -RsinO, z = -R .2 2 2第59講空間曲線空間曲線及其方程表示怎樣的曲線？X例4方程組 【例4解】與%0y面圍 成的立體具 有什么特征？第59講空間曲線空

5、間曲線及其方程Z = J&2 丁2X2 + y2 Rx = 0Z = JR2 _ x2 y2表示球/ 在(0,0,0),半徑為R的上半f*2 + y2 一 Rx = o表示準線為xOy 面上的圓X2 + y2 一 Rx = o ,母線 平行于軸的圓柱面.該空間曲線稱為維維安尼曲線.設(shè)空間曲線廠的參數(shù)方程為X = x(t) = y(t) ,Z = z(t)(捉或 tj)由空間點F(x,y z)在xOy,yOz,xOz平面上的投影分別為(x,y ,0)s (0, y, z)、(x, 0, z),很容易求得曲線在各坐標面上的投影曲線.例如，曲線廠在Oy平面上的 投影曲線為x = %(t),。穢：y

6、= y(t), 仕0*1)z = 0第59講 空間曲線投影柱面與投影曲線設(shè)空間曲線的一般方程為F（x,y, z） = 0, G （x 況 z） = 0,由方程組消去Z ,得方程H（的 y） = 0.該方程表示母線平行于z軸的柱面，通過曲線 稱該柱面為空間曲線關(guān)于xOy平面的投影柱面.投影柱面與%Oy面的交線C：（H（駕）=饑投影曲線 I z = u .第59講 空間曲線投影柱面與投影曲線設(shè)空間曲線的一般方程為(F(x,y, z) = 0,G(x,y, z) = 0同理,由方程組消去X或y后，得到空間曲線關(guān)于yOz平面 及zOx平面的投影柱面方程分別為T(y,z) = 0, R(的z) = 0.

7、曲線在yOz平面、zOx平面上的投影曲線方程為；T(yf z) = 0, (R(y, z) = 0, % = 0 . (y = 0 .第59講 空間曲線投影柱面與投影曲線(2丄 2丄 2 _ 1 + * + % = 1, 在xOy平面上的疽 +(* - I)2 +(Z _1)2 = 1投影曲線方程.【例5解】兩方程相減，得y + z = l,將Z = 1 - *代入第一個方程, 得投影柱面方程為X + 2 *2 2 * = 0,投影曲線方程為X + 2 *2 2 * = 0,z = 0.第59講空間曲線投影柱面與投影曲線例6畫出由曲面S| :.+ .1-2二二()與曲面: .Y2 + V2 -

8、 2.v =()以及 xOy面所圍成的立體Q在xOy面上的投影區(qū)域.【例6解】兩曲面的交線的方程為+ y2 2z = 0 , 0, y 0, z 0, x + z l,y2 + z2 1所確定的立體的圖形，并畫出它在各坐標面上的投影區(qū)域.截痕法例8試用截痕法考察橢球面的圖形特征.，丿第59講 空間曲線用截痕法研究曲面一 - 2 2 2【例8解】橢球面方程為F + % +a b cx2 y2 z2 a2_ 屏一 W 一 ,即橢球面在以平面x-a,y-b,z-c,長方體內(nèi).選用三個坐標面截橢球面，截痕分別為三個截痕都為橢圓.用平行于*0y面的平面z =九截取,第59講 空間曲線用截痕法研究曲面截痕

9、為2 2 2X乙 N Z匕_L _I-= 1 b2 c22 2 7 2+2L = i_jL疽 b2 c2 h | c)z = h,2 2X Z v -1-=2 丁 2 1 5a c* = 0(2 2E + J2 ,2 ( +匕=1 c2 b2 z = 0.x = 0.L I用y = k(|k| M幻和x = m(|m| q)去截取橢球面，得完全 類似的結(jié)果.k2，丿第59講 空間曲線用截痕法研究曲面x%2 Z2q2 +1 b2 (|k| M b)y = kfxy2 z2 m2雙+ 歹=1_波，(|m|%Q) x = m,丿第59講 空間曲線用截痕法研究曲面X /、y例9試用截痕法考察單葉雙曲面

10、的圖形特征.2 2 2【例9解】單葉雙曲面方程為 二1 .a b c 曲面關(guān)于三個坐標面、坐標軸和坐標原點對稱用面截曲面，截痕為2 2J 如2臚z = 0.為Z = 0平面上中心在原點，半軸G和力的橢圓.用平行于xOy面的平面z = h,截得的截痕為5橢圓z = h.用z。截得的截痕為x2z2C2J = 01,截痕為實軸為軸，虛軸為Z軸的雙曲線.第59講 空間曲線用截痕法研究曲面用平行于zO%面的平面,=kg b）截得的截痕為x1 z2 k1T 點 a c b，=k當k2 b2時,實軸平行于z軸的雙曲線.當丁二b時，則交線為一對直線.第59講空間曲線用截痕法研究曲面例10試用截痕法考察雙曲拋物面的圖形特征.2 2【例10解】雙曲拋物面方程為- += ?. q b用xOy面截曲面時，截得為一對相交于于原點的直線+2-，或一一2一饑二 一丁x第59講空間曲線用截痕法研究曲面2 2雙曲拋物面方程為-丄+ 二二.a b用平面Z = fl,截得的截痕為雙曲線X2 J2-F= 0時，實軸平行于y