1、專題10 利用導數(shù)解決一類整數(shù)問題 【題型歸納目錄】題型一：整數(shù)解問題之分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離題型二：整數(shù)解問題之直接限制法題型三：整數(shù)解問題之虛設零點題型四：整數(shù)解問題之必要性探路【典例例題】題型一：整數(shù)解問題之分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離例1已知函數(shù)（1）求函數(shù)在處的切線方程（2）證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點；（3）若對于任意的，都有，求整數(shù)的最大值【答案】（1）y1；（2）見解析；（3）3【分析】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可切線；(2)先利用導數(shù)證明在上單調(diào)遞增，再結(jié)合零點存在定理，得證；(3)參變分離得，令，原問題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值，結(jié)合(2)中結(jié)論和隱零點的思維，即可得解（1），

2、在處的切線為；（2）證明：，當時，在上單調(diào)遞增，（3），（4），在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點（3），且，令，則，由（2）知，在上單調(diào)遞增，且在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點，設該零點為，則，故當時，即，在上單調(diào)遞減，當，時，即，在，上單調(diào)遞增，故整數(shù)的最大值為3【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，以及不等式問題，考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題例2已知函數(shù)，.（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；（2）令，若在恒成立，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）.【答案】（1）； （2）.【分析】（1）（1）當時，得到，求得，得出，且，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解.（2）把在轉(zhuǎn)化為在恒成立，令，

3、利用導數(shù)求得函數(shù)的額單調(diào)性，零點的存在定理得到在上遞減，在上遞增，從而求得，即可求得整數(shù)的最大值.【詳解】（1）（1）當時，可得，則，可得，且，即函數(shù)在點處的切線的斜率，所以切線方程為，即，函數(shù)在點處的切線方程.（2）由，因為在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，令，可得，令，可得在上單調(diào)遞增，且，所以存在，使得，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為在恒成立，所以，所以整數(shù)的最大值為.例3已知函數(shù)（1）證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點；（2）若對于任意的，都有，求整數(shù)的最大值【答案】（1）證明見解析；（2）3【分析】（1）先利用導數(shù)證明在上單調(diào)遞增，再結(jié)合零點存在定理，得證；（2）參變分離得，令

4、，原問題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值，結(jié)合（1）中結(jié)論和隱零點的思維，即可得解【詳解】（1）證明：，當時，在上單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點（2）解：，且，令，則，由（1）知，在上單調(diào)遞增，且在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點，設該零點為，則，故當時，即，在上單調(diào)遞減，當時，即，在上單調(diào)遞增，故整數(shù)的最大值為3題型二：整數(shù)解問題之直接限制法例4已知偶函數(shù)滿足，且當，時，關于的不等式在，上有且只有300個整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍【解答】解：是偶函數(shù)，的周期為當，時，當時，當時，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減又（1），（4），且是以8為周期的偶函數(shù)，當為整數(shù)時，在，上有300個整數(shù)解，在，上有3個整數(shù)解，顯然這三個整

5、數(shù)解為1，2，3，即在，上有三個整數(shù)解1，2，3，即，解得：例5已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)（1）試討論的單調(diào)性；（2）是否存在正整數(shù)，使得對一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）若，則恒成立，在上單調(diào)遞增；若，令，則，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）要使在上恒成立，則在上恒成立，令，則當時，由知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿足題意當時，當時，函數(shù)的取值情況，又，即，當時，在上單調(diào)遞增不妨取，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，不能恒成立綜上所述，正整數(shù)的最大值為2例6已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)

6、（1）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍；（2）是否存在正整數(shù)，使得對一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在請說明理由【解答】解：（1），令，得，令，得，函數(shù)在上單調(diào)遞成，在上單調(diào)遞增，（1），函數(shù)有兩個零點，（1），的取值范圍為；（2）要使在上恒成立，即使在上恒成立，令，則，當時，由知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，時滿足題意；當時，考查時，函數(shù)的取值情況：，又，即，當時，在上單調(diào)遞增，取，則函數(shù)在上單增，且，不能恒成立，綜上，的最大正整值為2例7已知集合，集合，（）若，求；（）若中恰含有一個整數(shù)，求實數(shù)的取值范圍【解答】解：（）或，當時，由，解得：，即，；（）函數(shù)的對稱軸為，且中恰含有一個整數(shù)，根

7、據(jù)對稱性可知這個整數(shù)為2，（2）且（3），即，解得：題型三：整數(shù)解問題之虛設零點例8設函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）當時，記，是否存在整數(shù)，使得關于x的不等式有解？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）答案見解析（2）存在，的最小值為0【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，就的不同取值可求的解，從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.（2）利用導數(shù)結(jié)合虛設零點可求，從而可得整數(shù)的最小值.（1）因為，所以，當時，由，解得；當時，由，解得；當時，由，解得；當時，由，解得；當時，由，解得，綜上所述，當時，的增區(qū)間為；當時，的增區(qū)間為；時，的增區(qū)間為.（2）當時，所以，而，因為均

8、為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，而，故在上有且只有一個零點，且且時，；當時，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因為，所以，所以，而整數(shù)，使得關于x的不等式有解，故，故存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為0.【點睛】思路點睛：利用導數(shù)求函數(shù)的最值時，如果導數(shù)的零點不易求得，則可以虛設零點，利用零點滿足的關系式化簡最值，從而得到最值的范圍或符號.例9已知函數(shù)，求：（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，總有，求整數(shù)的最小值.【答案】（1）（2）-3【分析】（1）先對函數(shù)求導，計算出斜率，再用點斜式即可；（2）分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.（1）當時，在點處的切線方程為即（2）由題意，即，即，又，恒

9、成立.令，令，則恒成立.在上遞減，使，即，則，當時，當時，因為，且，即整數(shù)k的最小值為-3【點睛】方法點睛：對于零點不可求問題，可以設而不求，整體替換從而求出范圍。例10已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在有唯一零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）若不等式對任意的恒成立，求整數(shù)的最大值【答案】（1）極小值為，無極大值；（2）；（3）.【分析】（1）利用導數(shù)可確定單調(diào)性，由極值定義可求得結(jié)果；（2）利用導數(shù)可確定的單調(diào)性；當時，可知，解不等式可知無滿足題意的值；當時，根據(jù)，分別在，和三種情況下，根據(jù)在有唯一零點可構(gòu)造不等式求得結(jié)果；（3）將恒成立不等式化為，令得，令

10、可確定，使得，由此可得，進而得到的范圍，從而得到.（1）當時，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值為，無極大值.（2），當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，若在上有唯一零點，則，即，解得：（舍）；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當，即時，則在上無零點，不合題意；當，即時，在上有唯一零點，滿足題意；當，即時，由得：，在上有唯一零點，此時需，即；綜上所述：當或時，在上有唯一零點，即實數(shù)的取值范圍為.（3）若對恒成立，即對恒成立，則，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，使得，即，則當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，整數(shù)的最大值為.【點睛】方法點睛

11、：求解本題恒成立問題的常用方法是能夠通過分離變量的方法將問題轉(zhuǎn)化為變量與函數(shù)最值之間的大小關系比較問題，即若恒成立，則；若恒成立，則.例11已知函數(shù)（1）求函數(shù)在處的切線方程（2）證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點；（3）若對于任意的，都有，求整數(shù)的最大值【答案】（1）y1；（2）見解析；（3）3【分析】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可切線；(2)先利用導數(shù)證明在上單調(diào)遞增，再結(jié)合零點存在定理，得證；(3)參變分離得，令，原問題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值，結(jié)合(2)中結(jié)論和隱零點的思維，即可得解（1），在處的切線為；（2）證明：，當時，在上單調(diào)遞增，（3），（4），在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點（3），且，令，則，由

12、（2）知，在上單調(diào)遞增，且在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點，設該零點為，則，故當時，即，在上單調(diào)遞減，當，時，即，在，上單調(diào)遞增，故整數(shù)的最大值為3題型四：整數(shù)解問題之必要性探路例12已知函數(shù)（1）若函數(shù)與有公共點，求的取值范圍；（2）若不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.【答案】（1）；（2）最小值為.【分析】（1）由，可得，函數(shù)與有公共點，即有解，設，求導數(shù)，求出函數(shù)的值域即可.（2）不等式恒成立，即恒成立，當時，成立，解得，故再驗證時，不等式成立即可得出答案.【詳解】解：（1）令，即，則，函數(shù)與有公共點，即有解.令，則.令，當時，所以，當時，所以所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以且當時，所以.（2）不

13、等式恒成立，即恒成立.則時，成立，解得，由題意求滿足條件的整數(shù)最小值，下面驗證是否滿足題意.當時，令，且在上單調(diào)遞增.又，可知存在唯一的正數(shù)，使得，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，即當時，不等式成立.故整數(shù)的最小值為【點睛】關鍵點睛：本題考查根據(jù)兩函數(shù)圖像有公共點求參數(shù)范圍和不等式恒成立求參數(shù)范圍，解答本題的關鍵是先根據(jù)時，不等式成立，求處一個參數(shù)的范圍，然后根據(jù)題目要求再驗證滿足條件，從而得出答案.屬于中檔題.例13已知，（1）若，證明：；（2）對任意都有，求整數(shù)的最大值【答案】（1）證明見解析；（2）2【分析】（1）利用二次求導求得存在唯一零點，使得，在上恒成立上可以證明在定義域上

14、的單調(diào)性，可知，便可證明結(jié)論.（2）先判斷整數(shù)可知，接著證明在區(qū)間上恒成立即可可出結(jié)論.【詳解】解：（1）證明：設，則因為，且則在，單調(diào)遞減，所以存在唯一零點，使得則在時單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又，所以在上恒成立上，所以在單調(diào)遞增則，即，所以（2）因為對任意的，即恒成立令，則由（1）知，所以由于為整數(shù)，則因此下面證明，在區(qū)間上恒成立即可.由（1）知，則故設，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立.綜上所述，的最大值為2例14.是否存在正整數(shù)，使得對一切恒成立?試求出的最大值.解:易知對一切恒成立，當可得，則僅可取1、2下證時不等式恒成立，設在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，當時，不等式恒成立，所以最大為

15、2.例15.求k的最大整數(shù)值.解:令，顯然因此的最大整數(shù)值可能是4，下證時恒成立由即所以【過關測試】1設函數(shù)，(1)討論的單調(diào)性；(2)若，且不等式對恒成立，求整數(shù)的最大值【答案】(1)見解析；(2)2【解析】【分析】（1）先求導，討論導數(shù)的實根個數(shù)，然后分別研究相應區(qū)間的導數(shù)符號從而確定函數(shù)單調(diào)性；（2）分離參數(shù)得對恒成立，構(gòu)造函數(shù)，研究其最小值，然后求出的最大值.(1)，當時，在上恒成立，單調(diào)遞增；當時，令，解得，在上，單調(diào)遞減；在上恒成立，單調(diào)遞增.綜上：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)因為，所以原不等式等價于對恒成立，即令，令，即，令，因為，所以在上單調(diào)遞增

16、，因為，所以使得，即在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增，所以又因為，所以，又，所以的最大值為2.【點睛】本題第一問的關鍵是分類標準的正確選擇；第二問的關鍵是零點虛設，通過設而不求的思想解決問題.2已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性與極值；(2)當時，函數(shù)在上的最大值為，求使得上的整數(shù)k的值（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）.【答案】(1)單調(diào)性見解析，極大值為，無極小值；(2)【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導，并對a的取值范圍進行分類討論，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值即可求解；（2）對函數(shù)求導，構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點、函數(shù)值域即可求解.(1)，.當，即時，恒成立，則函數(shù)在

17、上單調(diào)遞增，無極值；當，即時，令，即，解得，當時，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值，且極大值為.綜上所述，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在處，取得極大值，且極大值為，無極小值.(2)依題意，當時，.因為，所以.令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.又，所以存在，使得，即，則當時，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上的最大值.又因為，所以，.令，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.因為，所以，又，所以整數(shù).3設函數(shù)(1)當時，恒成立，求b的范圍；(2)若在處的切線為，且，求整數(shù)m的

18、最大值【答案】(1);(2)2【解析】【分析】（1）求出當時，只需要；（2）先根據(jù)切線的條件求出參數(shù)，在類似（1）中用恒成立的方式來處理.(1)由，當時，得當時，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，由恒成立，得，所以，即b的范圍是(2)由得，且由題意得，所以，又在切線上所以，所以，即因為，所以有令，則等價于，即，從而設，則易知在上單調(diào)遞增，且所以，由函數(shù)零點存在性定理知，存在唯一的使得，即，則當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增從而而在上是減函數(shù)，所以因此的最小值從而整數(shù)m的最大值是24已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當a0時，若存在使得關于x的不等式成立，求k的最小

19、整數(shù)值（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)答案見解析；(2)0.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，分，三種情況討論的符號求解作答.（2）構(gòu)造函數(shù)，求出的最小值取值范圍，再由不等式成立求整數(shù)k的最小值作答.(1)函數(shù)的定義域R，求導得：，若，由，得，當時，當時，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，則對任意都有，則在R上單調(diào)遞增，若，當時，當時，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在R上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)當a=0時，令，則，令，則，則當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞減，因，則存在，使得，即，則當時，當時，又當時，所以當時，因此在上

20、單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是，若存在使得關于x的不等式成立，且k為整數(shù)，得，所以k的最小整數(shù)值為0.【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的定義區(qū)間為，若，使得成立，則；若，使得成立，則.5設函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；(2)2【解析】【分析】（1）求導，分別解不等式，可得；（2）分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，通過二次求導可得導函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合導函數(shù)的零點可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得最值，然后可得.(1)，由解得，由解得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(2)當時，所以記，則記因為當時，所以在上單調(diào)遞增，所以存在，記，則

21、所以當時，即，此時單調(diào)遞減，當時，即，此時單調(diào)遞增所以當時，由最小值將代入可得所以，因為a為整數(shù)，所以a的最大值為2.6已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，對任意的恒成立，求滿足條件的實數(shù)的最小整數(shù)值.【答案】(1)(2)3【解析】【分析】（1）求出在處的導數(shù)值，求出，即可得出切線方程；（2）不等式化為對任意的恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出最大值即可得出.(1)當時，則，所以切線方程為.(2)因為對任意的恒成立，即，當時，對任意的恒成立，只需對任意的恒成立即可.構(gòu)造函數(shù)，且單調(diào)遞增，一定存在唯一的，使得，即，且當時，即；當時，即.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)

22、遞減，所以b的最小整數(shù)值為3.7已知函數(shù)，曲線在點處切線方程為.(1)求實數(shù)a的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若時，求整數(shù)m的最大值.【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+），單調(diào)遞減區(qū)間為（-，0）(2)2【解析】【分析】（1）根據(jù)所給的條件，寫出在 處的點斜式直線方程即可求出a；（2）參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性即可求解.(1)函數(shù)的定義域為（-，+），因 ， ，在處的切線方程為： ，由己知得， ，所以；由 得，由 得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+），單調(diào)遞減區(qū)間為（-，0）；(2)時，不等式等價于，令，則 ，由（1）得在（0，+）上單調(diào)遞增，又因為，所以在上有唯一零點 ，且 ，當時

23、， ，當時，所以的最小值為，由 得所以，由于，所以，因為，所以m的最大值為2；綜上，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+），單調(diào)遞減區(qū)間為（-，0），m的最大值為2.8設函數(shù)， 為實數(shù)， 若有最大值為(1)求的值；(2)若，求實數(shù)的最小整數(shù)值.【答案】(1)(2)1【解析】【分析】（1）求定義域，求導，得到在處取得極大值，也是最大值，進而列出方程，求出；（2）參變分離后，利用隱零點得到在處取得極大值，也是最大值，令，求出最大值的范圍，確定實數(shù)的最小整數(shù)值.(1)，定義域為，當時，當時，所以在處取得極大值，也是最大值，所以，解得：；(2)，即,，令，定義域為，令，則，可以看出在單調(diào)遞減，又，由零點存在性

24、定理可知：，使得，即，當時，當時，在處取得極大值，也是最大值，故存在，使得，所以當時，當時，所以在上大于0，在上小于0，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當時，恒成立，所以在處取得極大值，也是最大值，其中，令，當時，故，所以實數(shù)的最小整數(shù)值為1.【點睛】對于函數(shù)隱零點問題，要結(jié)合零點存在性定理得到隱零點的大致范圍，然后對函數(shù)值進行變形，最后確定函數(shù)值的取值范圍，確定參數(shù)的取值范圍.9已知函數(shù) ，為的導函數(shù)(1)證明：當時，函數(shù)在區(qū)內(nèi)存在唯一的極值點，；(2)若在上單調(diào)遞減，求整數(shù)a的最小值【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】(1)求導，根據(jù)導函數(shù)的符號以及零點存在定理可以證明；(2)求導后，參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)求最大值即可.(1)當時， ， ， ，令 ，則 ，所以導函數(shù) 在區(qū)間單調(diào)遞減，又 ， ，據(jù)零點存在定理可知， 存在唯一零點，使得 ，所以當時， ，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時， ，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的極值點，又，所以；(2)若在