1、第6章 含耦合電感電路的分析第6章 含耦合電感電路的分析第6章 含耦合電感電路的分析 在實(shí)際電路中，互感現(xiàn)象是很普遍的，如各種變壓器的原、副線圈之間就存在著互感現(xiàn)象。在電路分析中常通過電路模型耦合電感和理想變壓器來討論。 本章主要介紹了耦合電感和理想變壓器的電壓、電流關(guān)系，以及含耦合電感電路的一般分析方法。第6章 含耦合電感電路的分析6.1 耦合電感圖6-1 耦合電感 圖6-1所示有兩個(gè)匝數(shù)分別為N1、N2且相互靠近的線圈，線圈1中的電流i1產(chǎn)生的磁通一部分只與本線圈1相交鏈，另一部分同時(shí)與兩個(gè)線圈相交鏈，因此電流i1產(chǎn)生的磁通在兩個(gè)線圈中都會(huì)感應(yīng)出電勢(shì)；同樣，電流i2產(chǎn)生的磁通一部分只與本線

2、圈2相交鏈，另一部分同時(shí)與兩個(gè)線圈相交鏈，因此也會(huì)在兩個(gè)線圈中感應(yīng)出電勢(shì)，這就是互感現(xiàn)象。第6章 含耦合電感電路的分析 要分析耦合電感的端鈕伏安關(guān)系，首先要引入一個(gè)同名端的概念。 同名端可通過右手螺旋定則來判定。 所謂同名端(也稱同極性端)是指耦合線圈在同一交變磁通下始終保持同極性的兩個(gè)端點(diǎn)，在電路符號(hào)中常用“”或“”來表示。第6章 含耦合電感電路的分析(c)(a)(b)圖6-2 同名端的概念 圖6-2(a)所示耦合線圈中，1和2即為同名端(顯然，1和2也是同名端)。同名端與耦合線圈之間的相對(duì)位置及線圈的繞向有關(guān)。圖6-2(b)中，1和2為同名端，與圖6-2(a)相比較，線圈2的繞向發(fā)生了改變

3、；而圖6-2(c)中，耦合線圈之間的相對(duì)位置發(fā)生了變化，同名端亦隨之發(fā)生了改變。第6章 含耦合電感電路的分析 對(duì)于實(shí)際的耦合線圈，經(jīng)過浸漆或其它工藝處理后，從外觀上已難以辨認(rèn)線圈的繞向，這時(shí)就需要通過實(shí)驗(yàn)來測(cè)定。同名端的測(cè)定常用的方法有直流法和交流法二種。(a) 直流法圖6-3 同名端的測(cè)定 用萬用表測(cè)出同一線圈的兩端，分別標(biāo)以1、1和2、2。在11端接一直流電源，22端接一直流毫安表，如圖6-3(a)所示。當(dāng)開關(guān)S閉合瞬時(shí)，若毫安表指針正偏，則可判定1和2為同名端；反之若毫安表指針反偏，則可判定1和2為同名端。1. 直流法第6章 含耦合電感電路的分析圖6-3(b) 交流法 圖6-3(b)所示

4、，將兩線圈的任意一端如1和2直接相聯(lián)，另一端1和2之間接一交流電壓表，在11端接一交流電源。 若測(cè)得的電壓U=U1+U2，則可判定1和2為同名端；反之，若電壓U=|U1U2|，則可判定1和2為同名端。2. 交流法第6章 含耦合電感電路的分析 有了同名端的概念，圖6-2(a)和6-2(b)所示的耦合線圈就可以用圖6-4(a)、(b)所示的電路符號(hào)來表示。(a)圖6-4 耦合電感的電路模型(b) 圖中L1、L2分別為線圈1和線圈2的自感系數(shù)，M為兩個(gè)線圈之間的互感系數(shù)。第6章 含耦合電感電路的分析對(duì)于圖6-4 (a)所示耦合線圈的端鈕伏安關(guān)系可表示為(6-1)稱為端口1對(duì)端口2的互感電壓；圖6-4

5、(a)稱為端口2的自感電壓；稱為端口1的自感電壓；稱為端口2對(duì)端口1的互感電壓；第6章 含耦合電感電路的分析 因此，耦合電感需用三個(gè)參數(shù)L1、L2和M 來表征。對(duì)線性耦合電感，L1、L2和M均為常數(shù)。 端口電壓和端口電流一般取關(guān)聯(lián)參考方向，此時(shí)式(6-1)中自感電壓前取正號(hào)；而互感電壓前的正負(fù)號(hào)則取決于耦合線圈的同名端和端口電壓的參考極性。 互感電壓前正負(fù)號(hào)的確定：互感電壓的正極性端就是產(chǎn)生這個(gè)互感電壓的變化電流流入端的同名端。 當(dāng)互感電壓正極性端與端口電壓參考極性一致時(shí)取正號(hào)；反之，當(dāng)互感電壓正極性端與端口電壓參考極性相反時(shí)取負(fù)號(hào)。第6章 含耦合電感電路的分析 圖6-4(a)電路中，1和2為

6、同名端，電流i2從端2流入，則i2產(chǎn)生的互感電壓 的正極性端為端2的同名端，即端1，與端口電壓u1的參考極性一致，因此取正號(hào)；同樣，電流i1產(chǎn)生的互感電壓 的正極性端為i1流入端的同名端，即端2，與端口電壓u2的參考極性一致，因此也取正號(hào)。(6-1)第6章 含耦合電感電路的分析同樣，對(duì)于圖6-4(b)所示電路的端鈕伏安關(guān)系可表示為(6-2)圖6-4(b)第6章 含耦合電感電路的分析 正弦交流電路中，耦合電感電路常用相量模型來表示，如圖6-5所示。圖6-5 耦合電感的相量電路模型(b)(a)(6-4)(6-3) 相應(yīng)地其端口伏安關(guān)系也可用相量形式來表示第6章 含耦合電感電路的分析 如圖6-6所示

7、電路，已知電流i(t)的波形，求電源電壓u1(t)和線圈電壓u2(t)。解：【例6-1】圖6-6 例6-1圖(a)(b)由圖6-6(a)知第6章 含耦合電感電路的分析當(dāng) 時(shí)： 當(dāng) 時(shí)： ，可得第6章 含耦合電感電路的分析【例6-2】解：圖6-7 例6-2圖如圖6-7所示電路，已知 ，L1=L2=1H，M=0.8H，求電壓uab(t)、uac(t)、ubc(t)。bc端開路時(shí)第6章 含耦合電感電路的分析6.2 耦合電感線圈的串聯(lián)和并聯(lián) 耦合電感為一雙口元件，也可以將其看成兩個(gè)含有受控源的單口網(wǎng)絡(luò)，如圖6-8(b)所示，稱為耦合電感含受控源的等效電路。(b) 圖6-8(a)所示電路中，耦合電感端鈕

8、伏安關(guān)系為(a)圖6-8 耦合電感含受控源的等效電路第6章 含耦合電感電路的分析 當(dāng)耦合電感用含受控源的等效電路代替后，同名端在等效電路中通過受控源的極性來反映。在等效電路中已不需要同名端，也沒有互感，因此可以按普通含受控源電路的分析方法來分析，這也是含耦合電感電路的基本分析方法。 同樣，圖6-8(c)所示耦合電感電路也可以用圖6-8(d)來等效。圖6-8(c)圖6-8(d)第6章 含耦合電感電路的分析6.2.1 耦合線圈的串聯(lián) 耦合線圈的串聯(lián)有順向串聯(lián)和反向串聯(lián)。順向串聯(lián)時(shí)，兩線圈的異極性端(非同名端)相聯(lián)，如圖6-9(a)所示。圖6-9 耦合電感的順向串聯(lián)(a) 將耦合線圈用含受控源的等效

9、電路代替，如圖6-9(b)所示。(b)圖中端電壓第6章 含耦合電感電路的分析此時(shí)互感具有助磁作用，即線圈中的磁通比無耦合時(shí)得到了加強(qiáng)。 可見，耦合線圈順向串聯(lián)時(shí)可用一個(gè)等效電感L來代替，如圖6-9(c)所示。圖6-9 耦合電感的順向串聯(lián)(a)(b)(c)(6-5)等效電感第6章 含耦合電感電路的分析 當(dāng)含耦合的兩線圈反向串聯(lián)時(shí)，兩線圈的同名端相聯(lián)，如圖6-10(a)所示。耦合電感用含受控源的等效電路代替后，電路如圖6-10(b)所示。圖6-10 耦合電感的反向串聯(lián)(a)此時(shí)端電壓(b)第6章 含耦合電感電路的分析 耦合線圈反向串聯(lián)時(shí)同樣可用一個(gè)等效電感來代替，如圖6-10(c)所示。等效電感此

10、時(shí)的互感具有去磁作用。(6-6)圖6-10 耦合電感的反向串聯(lián)(c)(b)(a)第6章 含耦合電感電路的分析 由于有耦合的兩個(gè)無源線圈串聯(lián)后形成的等效電感仍是無源的，因此這個(gè)等效電感必然大于等于零，即(6-7)第6章 含耦合電感電路的分析6.2.2 耦合線圈的并聯(lián) 當(dāng)耦合電感用含受控源的等效電路代替后，電路如圖6-11(b)所示。(b) 耦合線圈的并聯(lián)有同名端相聯(lián)和異名端相聯(lián)兩種形式。圖6-11(a)所示為耦合線圈同名端相聯(lián)時(shí)的并聯(lián)電路。圖6-11 耦合電感同名端相聯(lián)時(shí)的并聯(lián)(a)第6章 含耦合電感電路的分析圖6-11(b) 由圖6-11(b)可得第6章 含耦合電感電路的分析圖6-11 耦合電

11、感同名端相聯(lián)時(shí)的并聯(lián)(b)(c)(a) 可見，耦合線圈并聯(lián)時(shí)(同名端相聯(lián))也可用一個(gè)等效電感L來代替，如圖6-11(c)所示。(6-8)等效電感第6章 含耦合電感電路的分析(6-9)同理可得異名端相聯(lián)情況下，耦合電感并聯(lián)時(shí)的等效電感 耦合電感異名端相聯(lián)時(shí)的并聯(lián)電路如圖6-12所示。圖6-12 耦合電感異名端相聯(lián)時(shí)的并聯(lián)(b)(c)(a)第6章 含耦合電感電路的分析 同樣，含耦合的兩個(gè)無源線圈并聯(lián)后形成的等效電感仍是無源的，因此有L 0。由式(6-8) 、式(6-9)知(6-10)可見，互感系數(shù)的值并不是任意的，其最大值為(6-11)也表示成(6-12)式中k稱為耦合系數(shù)，0k1。耦合系數(shù)k反映

12、了耦合電感中兩線圈的耦合程度。當(dāng)k=1時(shí)，稱為全耦合；當(dāng)k較大接近1時(shí)，稱為緊耦合，如電力變壓器采用緊耦合，k值可達(dá)0.98左右；當(dāng)k較小時(shí)，稱為松耦合；當(dāng)k=0時(shí)則無耦合。第6章 含耦合電感電路的分析 圖6-13(a)所示電路，兩個(gè)有耦合線圈串聯(lián)后接至正弦交流電源，已知 ，L1=1H，L2=2H，M=1.4H，R1=R2=1，求電流i(t)?！纠?-3】圖6-13(a) 例6-3圖 圖6-13(a)電路中，兩耦合線圈反向串聯(lián)，相量形式表示的等效電路如圖6-13(b)所示。其中等效電感(b) 解：第6章 含耦合電感電路的分析令 ，則電流相量第6章 含耦合電感電路的分析6.3 耦合電感的去耦等效

13、電路 當(dāng)耦合電感中的兩個(gè)線圈有一公共端時(shí)，可用無耦合的三個(gè)“電感”組成的“T”形等效電路來代替，稱為去耦等效電路。第6章 含耦合電感電路的分析6.3.1 耦合線圈的公共端為同名端 圖6-14(a)所示電路中，耦合線圈有一公共端，且它們的公共端為同名端，其去耦等效電路可表示為圖6-14(b)所示。圖6-14 耦合電感的公共端為同名端時(shí)的去耦等效電路(a)(b)第6章 含耦合電感電路的分析(6-13)對(duì)于圖6-14(a)所示的原電路，其端鈕伏安關(guān)系為圖6-14(a)第6章 含耦合電感電路的分析 對(duì)于圖6-14(b)所示的去耦等效電路，其端鈕伏安關(guān)系為圖6-14(b)(6-14)第6章 含耦合電感電

14、路的分析比較式(6-13)、式(6-14)可得等效條件(6-15)(6-14)(6-13)第6章 含耦合電感電路的分析第6章 含耦合電感電路的分析6.3.2 耦合線圈的公共端為異名端(6-16) 耦合線圈的公共端為異名端時(shí)，電路如圖6-15(a)所示。當(dāng)用圖6-15(b)所示的去耦等效電路來代替時(shí)，其等效條件為圖6-15 耦合電感的公共端為異名端時(shí)的去耦等效電路(a)(b)第6章 含耦合電感電路的分析第6章 含耦合電感電路的分析 如圖6-16(a)所示電路，R1=R2=1，L1=L2=2H，M=1.5H， =2rad/s。求ab端輸入阻抗?！纠?-4】6-16(a)去耦等效電路如圖6-16(b

15、)所示，則ab端輸入阻抗(b) 解：第6章 含耦合電感電路的分析【例6-5】求圖6-17(a)所示二端網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效電路。圖6-17(a)將原電路用去耦等效電路來代替，如圖6-17(b)所示。(b)(c)戴維南等效電路如圖6-17(c)所示，其中 解：第6章 含耦合電感電路的分析6.4 空心變壓器 變壓器是一種常用的電器設(shè)備，利用電磁耦合來實(shí)現(xiàn)從一個(gè)電路向另一個(gè)電路的能量傳遞或信號(hào)傳輸。圖6-18 變壓器 圖6-18所示，變壓器一般由兩個(gè)(或兩個(gè)以上)匝數(shù)不同、互相絕緣的線圈組成，接至電源的線圈稱為原線圈(或稱為初級(jí)線圈、一次線圈等)，簡(jiǎn)稱原方；接負(fù)載的線圈稱為副線圈(或稱為次級(jí)線圈、二次線

16、圈等)，簡(jiǎn)稱副方。第6章 含耦合電感電路的分析圖6-18 變壓器 當(dāng)變壓器線圈繞在鐵磁材料上時(shí)，稱為鐵心變壓器；當(dāng)無鐵心或?qū)⒕€圈繞在非磁性材料上時(shí)，就稱為空心變壓器或線性變壓器。 空心變壓器是電子線路中常用的一種磁耦合電路。第6章 含耦合電感電路的分析 設(shè)空心變壓器原、副線圈的電阻分別為R1、R2，自感系數(shù)分別為L1、L2，原、副線圈之間的互感系數(shù)為M。當(dāng)原方接至電源 ，副方接負(fù)載ZL時(shí)，電路模型如圖6-19(a)所示。圖6-19 空心變壓器電路模型(a) 若將耦合電感用含受控源的等效電路來代替，則電路又可表示成圖6-19(b)所示形式。 (b)第6章 含耦合電感電路的分析(6-17)(6-1

17、8)無耦合時(shí)原線圈的阻抗無耦合時(shí)副線圈阻抗與負(fù)載阻抗之和，即副方阻抗式中由KVL第6章 含耦合電感電路的分析(6-19)其中 可以看成是副方阻抗通過互感反映到原方的等效阻抗，稱為副方對(duì)原方的反映阻抗，也稱為引入阻抗或歸算阻抗。式中稱為原方輸入阻抗(6-17)(6-18)第6章 含耦合電感電路的分析圖6-20 空心變壓器原方等效電路 由此可得出空心變壓器的原方等效電路，如圖6-20所示。利用該等效電路可以方便地計(jì)算原方電流 。第6章 含耦合電感電路的分析(6-20)由式(6-18) 當(dāng)原方電流 已知時(shí)，從式(6-20)可得出空心變壓器副方等效電路，如圖6-21所示。圖6-21 空心變壓器副方等效

18、電路(1)或第6章 含耦合電感電路的分析(6-21)代入式(6-20)后，電流 還可以表示成將第6章 含耦合電感電路的分析原電路 時(shí)從負(fù)載端看進(jìn)去的戴維南等效阻 抗，其中 稱為原方對(duì)副方的反映阻抗。原電路負(fù)載端的開路電壓；式中第6章 含耦合電感電路的分析 因此，空心變壓器的副方等效電路還可以表示成圖6-22所示形式，即為原電路負(fù)載端的戴維南等效電路，利用該等效電路則不需要先求出原方電流 。 注意：在圖6-21、6-22所示空心變壓器的副方等效電路中，各電壓源的極性與同名端的位置有關(guān)，應(yīng)視具體電路而定。圖6-22 空心變壓器副方等效電路(2)第6章 含耦合電感電路的分析 圖6-23(a)所示電路

19、，已知 ，R1=R2=RL=1，L1=1mH，L2=2mH，M=1mH。求電流i1(t)和i2(t)?！纠?-6】由圖6-23(a)所示電路中同名端的位置可知圖6-23(a)原、副方用相量表示的等效電路分別如圖6-23(b)、(c)所示。(c)(b) 解：第6章 含耦合電感電路的分析原線圈阻抗副方對(duì)原方的反映阻抗副方阻抗第6章 含耦合電感電路的分析，則原、副方電流相量令第6章 含耦合電感電路的分析 圖6-24(a)所示電路中，已知L1=0.1H，L2=0.4H，M=0.12H。求：(1) 當(dāng)cd端短路時(shí)，ab端的等效電感Lab； (2) 當(dāng)ab端短路時(shí)，cd端的等效電感Lcd?！纠?-7】圖6

20、-24(a) (1) 利用反映阻抗法，當(dāng)cd端短路時(shí)，原方等效電路如圖6-24(b)所示。其中(b) 解：第6章 含耦合電感電路的分析得ab端的等效電感ab端等效阻抗第6章 含耦合電感電路的分析得cd端的等效電感圖6-24(a) (2) 當(dāng)ab端短路時(shí)，副方等效電路如圖6-24(c)所示。cd端等效阻抗圖6-24(c)第6章 含耦合電感電路的分析6.5 理想變壓器 理想變壓器是一種特殊的無損耗全耦合變壓器，如圖6-25為理想變壓器的電路符號(hào)。(b)(a)圖6-25 理想變壓器電路模型(c)(d)或或第6章 含耦合電感電路的分析 在圖6-25(a)所示的電壓、電流參考方向及同名端位置的情況下，端

21、口電壓之間、端口電流之間的關(guān)系為：(6-22)式中n=N1/N2稱為原、副線圈的匝數(shù)比，或稱為變比，為一常數(shù)。電壓電流之間的方向關(guān)系取決于同名端的位置。圖6-25(a)第6章 含耦合電感電路的分析(6-23)可見，兩端口電壓的極性對(duì)同名端是一致的，而電流的方向?qū)ν耸窍喾吹?，由此可確定理想變壓器端口電壓之間、端口電流之間關(guān)系式中的正負(fù)號(hào)。 圖6-25(b) 對(duì)于圖6-25(b)所示的理想變壓器，端口電壓之間、端口電流之間的關(guān)系為： 第6章 含耦合電感電路的分析由式(6-22)或式(6-23)可知，理想變壓器吸收的瞬時(shí)功率(6-24) 理想變壓器不消耗能量，也不儲(chǔ)存能量，從原方輸入的功率全部能

22、從副方輸出到負(fù)載，是一個(gè)無記憶元件，其電路符號(hào)并不意味著任何電感的作用，僅僅表示電壓之間、電流之間的簡(jiǎn)單約束關(guān)系。(6-23)(6-22)第6章 含耦合電感電路的分析(6-25) 對(duì)實(shí)際變壓器來說，理想變壓器是一種比耦合電感更極端、更簡(jiǎn)化的抽象，它可以看成是耦合系數(shù)k=1，L1、L2為無窮大，且L1/L2為常數(shù)這一極限情況下的耦合電感。此時(shí)第6章 含耦合電感電路的分析 變壓器多用于正弦交流電路中，圖6-26(a)、(b)為理想變壓器用相量形式表示的電路模型，相應(yīng)的端鈕伏安關(guān)系分別可表示為(6-26)(6-27)圖6-26 理想變壓器的相量電路模型(b)(a)第6章 含耦合電感電路的分析 理想變

23、壓器不僅具有變換電壓、變換電流的功能，還具有變換阻抗的功能。 圖6-27(a)所示電路中，將變壓器原方接至電源 ，副方接負(fù)載ZL，則原、副方的KVL方程為圖6-27 理想變壓器的阻抗變換(a)(6-29)(6-28) 根據(jù)電壓、電流的參考方向及同名端位置，此時(shí)理想變壓器的端鈕伏安關(guān)系為(6-31)(6-30)第6章 含耦合電感電路的分析(6-33)(6-32)(6-29)(6-28)(6-31)(6-30)式中n2ZL為副方折算至原方的阻抗值，而Z1/n2則為原方阻抗折算至副方的值。第6章 含耦合電感電路的分析 由式(6-32)、(6-33)可分別作出圖6-27(a)電路的原、副方等效電路，如

24、圖6-27(b)、6-27(c)所示。其中 為原電路負(fù)載端的開路電壓，也可以看成是原方折算至副方的電壓值。(b)圖6-27 理想變壓器的阻抗變換(a)(c)(6-33)(6-32)第6章 含耦合電感電路的分析 折算阻抗的計(jì)算與同名端無關(guān)，利用折算阻抗的概念可以簡(jiǎn)化某些含理想變壓器電路的分析。在電子線路中，常利用變壓器變換阻抗的作用來實(shí)現(xiàn)最大功率匹配。第6章 含耦合電感電路的分析圖6-28 例6-8圖【例6-8】解：回路I：回路II：又由理想變壓器端鈕伏安關(guān)系可得回路III：，R1=R2=R3=R4=1，圖6-28所示電路，求電流 、 。由KCL、KVL可得第6章 含耦合電感電路的分析【例6-9

25、】利用節(jié)點(diǎn)電壓法求圖6-29所示電路的輸入電壓 。圖6-29 例6-9圖將 、 分別看成原、副方電路的節(jié)點(diǎn)電壓，則有理想變壓器端鈕伏安關(guān)系 解一：第6章 含耦合電感電路的分析解二：利用折算阻抗法可得變壓器原方等效電路第6章 含耦合電感電路的分析【例6-10】 圖6-30(a)所示電路，求原、副方電流 、 。圖6-30 例6-10圖利用折算阻抗法可得變壓器原方等效電路解：第6章 含耦合電感電路的分析 也可以通過變壓器副方等效電路來計(jì)算第6章 含耦合電感電路的分析 圖6-31(a)所示電路，理想變壓器變比n為何值時(shí)負(fù)載ZL上可獲得最大電功率，并求該最大電功率?！纠?-11】圖6-31(a) 例6-

26、11圖(b)變壓器副方等效電路如圖6-31(b)所示。副方電流解：第6章 含耦合電感電路的分析由則負(fù)載ZL上獲得的最大電功率n=0.2負(fù)載上獲得的功率第6章 含耦合電感電路的分析第6章 習(xí) 題第6章 含耦合電感電路的分析6-1試確定題圖6-1所示耦合電感的端鈕伏安關(guān)系。題圖6-1第6章 含耦合電感電路的分析 題圖6-2所示電路，標(biāo)出開關(guān)S閉合瞬時(shí)線圈的實(shí)際極性。6-2題圖6-2第6章 含耦合電感電路的分析 題圖6-3所示為自耦變壓器電路，試列出求解電流 、 所需的方程組。6-3題圖6-3第6章 含耦合電感電路的分析 題圖6-4所示電路，列出求解電流 、 的網(wǎng)孔電流方程。6-4題圖6-4第6章 含耦合電感電路的分析 題圖6-5所示電路，已知 ，求開關(guān)S打開和閉合時(shí)的電流 。6-5題圖6-5第6章 含耦合電感電路的分析