1、淺談在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生發(fā)散性思維能力的培養(yǎng)一、發(fā)散性思維的特征。發(fā)散思維是一種不依常規(guī)，尋求多變，多方面尋求答案的思維。這種思維方法要求從一個(gè)目標(biāo)或思維起點(diǎn)出發(fā)， 沿著不同方向， 順應(yīng)各個(gè)角度， 提出各種設(shè)想， 尋求各種解題途徑去分析和解決問題。 發(fā)散性思維的流暢性、 變通性和獨(dú)特性可以有效地拓展學(xué)生的思維廣度和深度， 是進(jìn)行發(fā)明創(chuàng)造所不可缺少的思維品質(zhì)。二、數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維能力的意義。美國心理學(xué)家J- S布魯納認(rèn)為，要培養(yǎng)具有發(fā)明創(chuàng)造才能的科技人才，不但要使學(xué)生掌握科學(xué)的基本概念、 基本原理和基本方法， 而且要發(fā)展學(xué)生對待學(xué)習(xí)的探索性態(tài)度。而發(fā)散性思維就是通過多問、多思、多變等方

2、式方法，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、 不同思路去探索、 思考問題。 教師在教學(xué)過程中通過有目的、 有意識地提供培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的時(shí)間和空間， 通過對問題的發(fā)散、 條件結(jié)論的變換、 圖形的遷移變換、 解題思路和知識應(yīng)用等方面訓(xùn)練， 指導(dǎo)學(xué)生不拘泥狹隘的解題思路， 突破單一的思維模式， 允許學(xué)生、 鼓勵(lì)學(xué)生敢于在分析問題中突破陳規(guī)，大膽設(shè)想，獨(dú)特見解，標(biāo)新立異，培養(yǎng)思維的獨(dú)創(chuàng)性。徐利治教授指出： 任何一位科學(xué)家的創(chuàng)造力， 可用如下的公式來估計(jì)： 創(chuàng)造能力=知識量X發(fā)散思維能力。由此可見，發(fā)散性思維能力對培養(yǎng)人的發(fā)展和成才有著至關(guān)重要的作用。在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視和運(yùn)用發(fā)散思維，有利于教師創(chuàng)設(shè)良好的課堂教學(xué)情景，

3、教師通過一題多解、一題多變、一圖多用的方式方法提出各類問題，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。 當(dāng)學(xué)生在教師引導(dǎo)下， 帶著積極的情感去學(xué)習(xí)思考時(shí)，他們的思維就更加活躍， 學(xué)生的智力活動就能得到充分的施展。 當(dāng)學(xué)生的無意知覺和有意知覺趨于和諧時(shí)， 就能創(chuàng)設(shè)最融恰、 最順暢的課堂氣氛， 獲得最佳的學(xué)習(xí)效果。在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視和運(yùn)用發(fā)散思維， 可以突破消極的思維定勢， 打破習(xí)慣性的思維程序。 因?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)中從概念的分析、 理解， 公式、 定理的初步應(yīng)用，首先必須讓學(xué)生形成一種思維定勢， 并且必須通過鞏固練習(xí)強(qiáng)化這一思維定勢的積極作用。教師如果在教學(xué)中不及時(shí)、有效地通過思維的發(fā)散訓(xùn)練去矯正，就會形成學(xué)生思維的呆

4、板和單向性， 沿用一個(gè)固定的思路去分析思考問題， 只會模仿制作不會發(fā)明創(chuàng)造。 思維定勢所表現(xiàn)出來的惰性就會造成學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的簡單化； 只有知識點(diǎn)的堆積， 而缺少知識點(diǎn)的聯(lián)系， 只有感性的片面、 零星、局部的知識， 而沒有全面的、 完整的知識體系， 最終形成學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維障礙。在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視和應(yīng)用發(fā)散思維，更有利于知識的縱向和橫向的聯(lián)系， 拓寬學(xué)生知識面。知識是思維的對象，無知或少知，學(xué)生的思維便難于發(fā)散； 能力是思維的結(jié)晶，多思廣想，多疑善解，學(xué)生的思維就會閃耀出探新與獨(dú)創(chuàng) 的智慧火花。提出一個(gè)問題，要求學(xué)生從不同角度、不同方位快速聯(lián)想，使學(xué) 生從“知識點(diǎn)”發(fā)展到“線和面”乃至整個(gè)數(shù)學(xué)空

5、間。對數(shù)學(xué)命題的變換和延 伸有如枝葉蔓衍、縱橫交錯(cuò)，有助于學(xué)生達(dá)到舉一反三、觸類旁通的數(shù)學(xué)境界， 達(dá)到教師對學(xué)生既要“授之以魚”，更要“授之以漁”的真正目的。三、發(fā)散性思維的培養(yǎng)和訓(xùn)練。一題多解是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的重要手段。首先發(fā)散性思維是變通的，因此，在教學(xué)過程中，對一些有代表性問題的 解決，教師要充分利用學(xué)生學(xué)過的基礎(chǔ)知識和基本技能，調(diào)動一切做題手段， 從各個(gè)側(cè)面論證同一命題的真實(shí)性。通過分析比較，讓學(xué)生知道哪種方法靈活 巧妙，具有思維的敏捷、靈活性和流暢性；哪種方法呆板沉繁，具有思維的局 限性。教師要通過一題多解的分析訓(xùn)練，讓學(xué)生在普遍性中尋求規(guī)律性，融數(shù) 形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想于一體，優(yōu)化

6、解題方法、拓寬解題思路的廣度和深度。 TOC o 1-5 h z 例1:已知 ABC, AB=AC, D是底邊BC上任意一點(diǎn)，DELAB于E, DFLAC于F, BG是AC邊上的高，求證：DE+DF=BG （如A圖）分析提問：，一這是屬于哪一類題型的幾何證明題？（線段和差問；，.、：題）常用證明方法是什么？（截長補(bǔ)短法）夕尸 c可采用怎樣的方法來證？（添加輔助線）,1怎樣添加輔助線？（過D點(diǎn)畫DHHL BG需要運(yùn)用哪些性質(zhì)來證明？（全等三角形性質(zhì)和矩形性質(zhì)）這樣從學(xué)生 實(shí)際出發(fā)，由易到難循序漸進(jìn)地教給學(xué)生分析問題、解決問題的基本思維方法。還有別的添線方法嗎？（引導(dǎo)學(xué)生思維簡單發(fā)散求異，分析出過

7、B點(diǎn)作 FD的垂線交FD延長線于（在學(xué)生掌握了分析問題的基本方法后， 教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同 方向探索思路，抓住各部分知識點(diǎn)的聯(lián)系及方法間的聯(lián)系，一題多解、發(fā)散求 異。DE DE BG分別是AABD ACDffi ABC中的什么線段？（高）三角 形的高與什么有關(guān)？（面積）那么你能用面積法證明嗎？ BDE ACDF BC是什么三角形？（直角三角形），/B與/C有怎樣數(shù)量關(guān)系？（相等） 直角三角形的邊與角有怎樣的關(guān)系？（三角函數(shù)關(guān)系）那么你是否能運(yùn)用三角 函數(shù)性質(zhì)證明結(jié)論？這樣發(fā)散性分析、引導(dǎo)，融幾何知識、面積公式、三角函數(shù)等數(shù)學(xué)知識于一體，既培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)散性思維的變通性、 靈活性，又對培

8、養(yǎng)學(xué)生分析問題思 維創(chuàng)新、解決問題方法創(chuàng)新有良好的效果。例2:解方程：用手2分析：這是一個(gè)什么方程？（二次根式方程）常規(guī)的解法是什么？（兩邊平方去根號法）這題左邊有幾個(gè)根號？（兩個(gè)）常規(guī)處理該怎樣做？（把一個(gè)根號移到右邊，然后再兩邊平方）這題的兩個(gè)根號有什么特點(diǎn)？你能否看出來？（通過仔細(xì)觀察后，發(fā) 現(xiàn)根號內(nèi)的代數(shù)式是互為倒數(shù)），那么寸:管 與是否也互為倒數(shù)？ （是）為什么？那么解這題時(shí)該選擇怎樣的方法？（兩邊直接平方法）為什么？ （因 為兩個(gè)互為倒數(shù)的積為1,乘積項(xiàng)不含根號，因此一次平方就可以去根 號）。在學(xué)生掌握了常規(guī)的解法后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生挖掘題目的隱含條件， 思 維發(fā)散求異，尋求更好、

9、更簡捷的解法。題中左邊兩個(gè)根式是何關(guān)系？（互為倒數(shù)）若設(shè)其中一個(gè)為 y,則另一 個(gè)可以怎樣表示？ （ 9 ）那么原二次根式方程可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)怎樣的方程？ （含 字母y的分式方程），這是運(yùn)用了什么方法解題？（換元法），你能做嗎？在以上的觀察中，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)方程左邊是兩個(gè)互為倒數(shù)的和， 那么右 邊的微是否有一定的特殊性呢？（讓學(xué)生觀察、思考，短時(shí)間內(nèi)多數(shù)學(xué)生不會理解成2+g）,教師再引導(dǎo)，微的整數(shù)部分是幾？ （ 2）0分?jǐn)?shù)部分呢（）,那么2與斗是什么關(guān)系？（互為倒數(shù)，學(xué)生思維活躍通順了）既然方程左邊的代 數(shù)式和右邊的數(shù)都是兩個(gè)互為倒數(shù)的和；那么左邊的代數(shù)式與右邊的數(shù)之間又 有怎樣的關(guān)系呢？（引導(dǎo)學(xué)

10、生得出原方程與 后=2或/零同同解）。這樣的 解法與前兩種相比誰優(yōu)誰劣顯而易見，學(xué)生的思維活動和學(xué)習(xí)興奮點(diǎn)達(dá)到了高 潮。數(shù)學(xué)解題的簡潔美在這里得到了充分的展現(xiàn)。當(dāng)素質(zhì)教育要求課堂教學(xué)以思維為核心，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和思維習(xí) 慣，實(shí)現(xiàn)知識向智慧轉(zhuǎn)化時(shí)，一題多解的發(fā)散性思維以其獨(dú)有的變通性， 啟發(fā)學(xué)生在解題的過程中不斷探索新的方法，尋找新的途徑，從而去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造。因此，一題多解的發(fā)散性思維訓(xùn)練。既溝通了不同部分的知識和方法間的聯(lián)系， 又開拓了解題思路，對于開發(fā)學(xué)生的智力潛能有著不可低估的作用。一題多變，是培養(yǎng)發(fā)散性思維的重要技巧。發(fā)散性思維又是流暢的。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，一些表面看來一般但內(nèi)涵卻 十

11、分豐富的問題，是一個(gè)可以發(fā)展和發(fā)掘的問題。教師要通過精心策劃、設(shè)計(jì)、 組織學(xué)生主動地參與到“知識生產(chǎn)”的過程中去。教師要盡力施展自己潛在的發(fā)散性思維能力，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行縱、橫向的拓展，使之成為學(xué)生思維發(fā)展的發(fā)散源，讓學(xué)生在一題多變中開闊思路、提高能力，在變化條件、發(fā)散結(jié)論、 改變形式、轉(zhuǎn)換背景、適時(shí)引申中使題目具有開放性和幅射性，通過解一題，帶一片，強(qiáng)化知識的正遷移。例3:如圖，當(dāng) ABC是頂角為鈍角的等腰三角形時(shí)，你能畫出圖形,證明題給的結(jié)論嗎？（腰上的高在形外，對學(xué)生畫圖、看圖、識圖，增加了難度）如圖，在矩形 ABCm，AD=12, AB=5, P是AD 上任意一點(diǎn)，PE, AC于 E,

12、 PF, BD于 F,則 P&PF =?（98全國初數(shù)競賽題）（讓學(xué)生觀察分析實(shí)質(zhì)是在等腰 三角形ACD求解，思維又深化了一個(gè)層次）如圖，若D是底邊BC延長線上一點(diǎn)，則DE DF、BG三個(gè)線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（讓學(xué)生畫圖、觀 察、猜想，然后證明）圖如圖，若P是正AB任意一點(diǎn)，PEBC于E, PFAB于 F, PGL AC于 G,貝（J PEfPF+PGLtzAH有什么樣 的數(shù)量關(guān)系？ （97年全國初中數(shù)學(xué)競賽題）。（啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過添加輔助轉(zhuǎn)化為等腰三角形的問題， 思維層次進(jìn)步深化）又如例2的變式訓(xùn)練：解方程3xx2 1x2 153x2解方程AlAl25 /259加干4 I x 1x i12

13、 I 12告i提高了解題的難度）解方程 方 正 3 （與例2相區(qū)別）你能歸納出一類形如x x a a方程的一般解法嗎？（讓學(xué)生總結(jié)規(guī)律）你是否還能通否適當(dāng)?shù)淖冃谓夥匠?X工a，（這里巧妙運(yùn)用等式性質(zhì)兩邊加上“-1 ”是學(xué)生始料不及的，只有通過有目的的思維逐步深化才能 發(fā)現(xiàn)比用常規(guī)解法的運(yùn)算簡潔了很多。因此學(xué)生對學(xué)習(xí)的收獲也就會意外的驚 喜，在這里數(shù)學(xué)的魅力和價(jià)值得到了真正的體現(xiàn)） 。象這樣的一題多解和一題多變，教師引導(dǎo)學(xué)生在“發(fā)散中求異”，在“發(fā)現(xiàn)中求同”。既培養(yǎng)了發(fā)散性思維，又培養(yǎng)了歸納思維能力，讓學(xué)生真正領(lǐng)略 解一題，有多法；做一題懂一類，觸類旁通、舉一反三。數(shù)學(xué)的知識就會轉(zhuǎn)化 為學(xué)生智慧

14、的結(jié)晶。只要教師精心設(shè)計(jì)，加強(qiáng)對課本上例、習(xí)題和數(shù)學(xué)命題的變換、延伸和拓 展，有如枝葉蔓延，縱橫交錯(cuò)，既可豐富學(xué)生的表象貯備，擴(kuò)大思維的流暢性， 又能促使學(xué)生知識綜合運(yùn)用能力的提高。只要不離開問題，發(fā)散的面越大越好， 使學(xué)生對原問題的認(rèn)識更加深刻，知識間的聯(lián)系就會得到強(qiáng)化，思維的創(chuàng)造性 素質(zhì)必將得以發(fā)展。因此，教師在平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維貴在精心設(shè)計(jì)， 把學(xué)生的思維引入求新、求異的天地，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知興趣和創(chuàng)造欲望，就能 讓學(xué)生嘗到發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造和成功后的喜悅。思維的深度和廣度就會得到良好的培 養(yǎng)發(fā)展。指導(dǎo)學(xué)生探索非常規(guī)解法是培養(yǎng)發(fā)散性思維的重要訓(xùn)練方法。發(fā)散性思維更具有獨(dú)特性，因

15、此，教師在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，對一些構(gòu)思 巧妙，版條件隱蔽的問題的解決，教師要指導(dǎo)學(xué)生在熟練掌握常規(guī)思維方法的 同時(shí)，探索一些不同尋常的非常規(guī)解法。如數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法、代換法等。如例1的面積證法和三角函數(shù)證法，例 2的同解性方法等都是很好的范例。例4:已知方程x2 gx m 0的兩個(gè)實(shí)根都在-1和1之間，求m的取值范圍。分析：學(xué)生根據(jù)習(xí)慣性思維求出兩個(gè)根，列出如1、；1 4m下不等式組：11初中學(xué)生直接解題肯定會1 1 21有很大困難。但教師只要引導(dǎo)學(xué)生把方程的“根”與拋物線與X 軸“交點(diǎn)”聯(lián)系起來，由方程問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問 題來解決。構(gòu)造y X2 1x m的二次函數(shù)，畫出草圖（如圖），結(jié)合

16、圖像分析可得出結(jié)論，當(dāng) x=-1時(shí)，y0和當(dāng)x=1時(shí)，y0, （1）2 7 （ 1） m0得下列不等式組12 2 m 0 解得gm 。4 4m 0通過運(yùn)用非常規(guī)方法解題的教學(xué)，學(xué)生的思維得到了獨(dú)特的發(fā)散，學(xué)會了 用前所未有的新角度、新觀點(diǎn)去解決數(shù)學(xué)問題，既克服了思維定勢的束縛和知 識的負(fù)遷移，又培養(yǎng)了思維的靈活性。改編例題、習(xí)題為思維發(fā)散題是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維能力的有效載體。因?yàn)榘l(fā)散性思維在思維內(nèi)容上具有流暢性、變通性、深刻性；在思維方向上具有逆向性、橫向性和多向性，所以，發(fā)散思維對推廣問題、引伸知識等方 面具有積極開拓作用。對例、習(xí)題的條件進(jìn)行發(fā)散，一方面可以提高數(shù)學(xué)問題的層次，另一方面又可

17、以暴露學(xué)生的思維層次，具有舉 一反三的作用。例5 （浙義教數(shù)學(xué)第六冊P136例1）如圖,A ABC中，Z ACB:RtZ, CDLAB于 D,若AD=2Cm, DB=6cm,求 CD的長？可改編為：在Rt A ABC中，/ACBRt/, CDL AB于D,試給出兩個(gè)條件，以確定 CD的長。然后讓學(xué)生邊給條件，邊計(jì)算，既刺激了學(xué)生的求知欲，變被動練習(xí)為主 動練習(xí)，又激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。持之以恒，學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會產(chǎn)生一種愉 悅的心情。而結(jié)論的發(fā)散則要求學(xué)生根據(jù)條件， 盡可能多得確定未知元素，并求解這 些未知元素。這一過程充分暴露了發(fā)散性思維的深度和廣度。例6 （浙義教數(shù)學(xué)第四冊P33例）如圖，已

18、知：在四邊形 ABC時(shí)，E、F、GH分別是AB BG CD DA的中點(diǎn)，求證：四邊形 EFGK平行四邊形。可改編為：任意畫出一個(gè)四邊形，順次連接四 邊中點(diǎn)，觀察所得的圖形是什么四邊形？并給以證 明。在教師的引導(dǎo)下，先讓學(xué)生畫矩形、菱形、正方形、等腰梯形等特殊圖形，通過畫圖一一觀察變化一一探求規(guī)律， 從而發(fā)現(xiàn) 結(jié)論。再引導(dǎo)學(xué)生畫任意四邊形，一般梯形、對角線相等的四邊形、對角線互 相垂直的四邊形、對角線既相等又互相垂直的四邊形，再讓學(xué)生通過畫圖一一 猜想轉(zhuǎn)化論證。這種改編題目條件或結(jié)論方法， 充分運(yùn)用了變化的觀點(diǎn)， 不斷變換問題情景，使知識縱橫變通，縱深發(fā)展，思維的靈活性、深刻性得到充分的體現(xiàn)，是運(yùn)用發(fā)散性思維提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的好方法。綜上所述， 教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重對學(xué)生發(fā)散性思維能力的培養(yǎng)訓(xùn)練， 能有效地突破思維定勢的局限性， 思維重現(xiàn)了以往記憶和儲存的信息。 通過變換、延伸、多思、多