1、第四章 維度4.1 半導(dǎo)體低維電子系統(tǒng) 4.2 二維體系中的相變4.3 準(zhǔn)一維體系的Peierls 不穩(wěn)定性和電荷密度波第1頁，共53頁。4.1 半導(dǎo)體低維電子系統(tǒng)1.維度 三維自由電子氣體，沿z方向?qū)w系的尺寸限制： zWn=1kn=2電子只占據(jù)n=1的子帶，二維體系n1也占據(jù)，準(zhǔn)二維體系第2頁，共53頁。2. Si反型層及GaAs-AlGaAs異質(zhì)結(jié)第3頁，共53頁。第4頁，共53頁。金屬SiO2耗盡層反型層導(dǎo)帶價帶價帶導(dǎo)帶z第5頁，共53頁。Split gates and one-dimensional electron gasesThis split-gate technique wa

2、s pioneered by the Semiconductor Physics Group at the Cavendish Laboratory of the University of Cambridge, in England, in 1986, by Trevor Thornton and Professor Michael Pepper. 第6頁，共53頁。3.量子化霍爾效應(yīng)（Quantum Hall Effects (QHE) )(1)霍爾效應(yīng)基礎(chǔ)E. Hall, Am. J. Math. 2, 287 (1879)= Hall effect I+ -VVcurrent sour

3、ceresistivityHall voltageBxyzd第7頁，共53頁。根據(jù)德魯特電導(dǎo)理論, 金屬中的電子在被雜質(zhì)散射前的一段時間t內(nèi)在電場下加速, 散射后速度為零. t稱為弛豫時間. 電子的平均遷移速度為:電流密度為:若存在外加靜磁場, 則電導(dǎo)率和電阻率都變?yōu)閺埩看颂幦猿闪⒂写艌鰰r, 加入羅侖茲力, 電子遷移速度為第8頁，共53頁。穩(wěn)態(tài)時, , 假定磁場沿z方向, 在xy 平面內(nèi)易得如果 , 則當(dāng) 為0時 也為0. 第9頁，共53頁。另一方面由此, 當(dāng) 時, , 為霍爾電導(dǎo)在量子力學(xué)下（E沿x方向）選擇矢量勢波函數(shù)為經(jīng)典回旋半徑第10頁，共53頁。解為：Landau 能級 In two

4、-dimensional systems, the Landau energy levels are completely seperate while in three-dimensional systems the spectrum is continuous due to the free movement of electrons in the direction of the magnetic field. 第11頁，共53頁。計算平均速度與經(jīng)典結(jié)果相同.在Landau能級上, 縱向電流為0.(2)整數(shù)量子霍爾效應(yīng)1975年S.Kawaji等首次測量了反型層的霍爾電導(dǎo), 1978年

5、Klaus von Klitzing 和Th. Englert 發(fā)現(xiàn)霍爾平臺, 但直到1980年, 才注意到霍爾平臺的量子化單位 , 第12頁，共53頁。K. von Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 495 (1980) for a sufficiently pure interface ( Si-MOSFET ) = integer quantum Hall effect The Nobel Prize in Physics 1985for the discovery of the quantized Hall

6、effect. K. von Klitzing（1943）第13頁，共53頁。第14頁，共53頁。實驗設(shè)置示意圖 實驗觀測到的霍爾電阻1, 霍爾電阻有臺階,2, 臺階高度為 , i 為整數(shù), 對應(yīng)于占滿第 i 個Landau能級,精度大約為5ppm.3, 臺階處縱向電阻為零.第15頁，共53頁。第16頁，共53頁。第17頁，共53頁。由于雜質(zhì)的作用, Landau能級的態(tài)密度將展寬(如下圖). 兩種狀態(tài): 擴(kuò)展態(tài) 和 局域態(tài)只有擴(kuò)展態(tài)可以傳導(dǎo)霍爾電流(0度下), 因此若擴(kuò)展態(tài)的占據(jù)數(shù)不變, 則霍爾電流不變. 當(dāng)Fermi能級位于能隙中時, 出現(xiàn)霍爾平臺. Laughlin(1981) 和 Ha

7、lperin(1982)基于規(guī)范變換證明：第18頁，共53頁。When these levels are well resolved, if a voltage is applied between the ends of a sample, the voltage drop between voltage probes along the edge of a sample can go to zero in particular ranges of B, and the Hall resistance becomes extremely accurately quantised第19頁，共5

8、3頁。AB效應(yīng)、Berry位相與拓?fù)洳蛔兞康?0頁，共53頁。量子自旋霍爾效應(yīng)與拓?fù)浣^緣體第21頁，共53頁。應(yīng)用： (a)電阻標(biāo)準(zhǔn)第22頁，共53頁。應(yīng)用： (b)精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)的測量第23頁，共53頁。(3)分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)1982年, 崔琦, H.L. Stomer 等發(fā)現(xiàn)具有分?jǐn)?shù)量子數(shù)的霍爾平臺, 一年后, R.B.Laughlin寫下了一個波函數(shù), 對分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)給出了很好的解釋.D. C. Tsui, H. L. Stormer, and A. G. Gossard, Phys. Rev. Lett. 48, 1559 (1982) for an extremely pure i

9、nterface ( GaAs/AlGaAs heterojunction ) where electrons could move ballistically = fractional quantum Hall effect R.B.Laughlin, Phys. Rev. Lett. 50, No.18 (1983) The Nobel Prize in Physics 1998Robert B. Laughlin(1950)DANIEL C. TSUI(1939)Horst L. Stormer(1949)for their discovery of a new form of quan

10、tum fluid with fractionally charged excitations.第24頁，共53頁。分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng):崔琦, Stomer 等發(fā)現(xiàn), 當(dāng)Landau能級的占據(jù)數(shù)有霍爾平臺第25頁，共53頁。第26頁，共53頁。分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)不可能在單粒子圖象下解釋, 引入相互作用在超強磁場下, 電子位于第一Landau能級. 其單粒子波函數(shù)為這一狀態(tài)對應(yīng)于電子在一由下式給出的面積內(nèi)運動Laughlin 建議了如下形式的波函數(shù)這一狀態(tài)的占據(jù)數(shù)為第27頁，共53頁。Laughlin 計算了m=3, m=5時這一波函數(shù)的能量, 發(fā)現(xiàn)比對應(yīng)密度下CDW的能量要低. 這一狀態(tài)稱為分?jǐn)?shù)量

11、子霍爾態(tài), 或Laughlin態(tài), 當(dāng)密度改變從而偏離占據(jù)數(shù)1/3, 1/5時, 對應(yīng)于準(zhǔn)粒子激發(fā), 激發(fā)譜具有能隙, 準(zhǔn)粒子的電荷為分?jǐn)?shù)(1/3, 1/5). 因此Laughlin態(tài)是一個不可壓縮的量子液體狀態(tài). FQHE 態(tài). 綠球代表被暫時凍結(jié)的電子, 藍(lán)色為代表性電子的電荷密度, 黑色箭頭代表磁通線.第28頁，共53頁。同 IQHE一樣, Fermi 能級處于能隙位置時, 出現(xiàn)FQHE 平臺. 不同之處在于IHQE的能隙來源于單粒子態(tài)在強磁場中的量子化, 而FQHE的能隙來源于多體關(guān)聯(lián)效應(yīng). Haldane 和 Halperin, 利用級聯(lián)模型, 指出Laughlin 態(tài)的準(zhǔn)粒子和準(zhǔn)空

12、穴激發(fā)將凝聚為高階分?jǐn)?shù)態(tài), 如從 1/3 態(tài)出發(fā), 加入準(zhǔn)粒子導(dǎo)致 2/5態(tài), 加入空穴導(dǎo)致2/7態(tài). 準(zhǔn)粒子由這些態(tài)激發(fā)出來并凝聚為下一級的態(tài) . P 為偶數(shù), 對應(yīng)于粒子型元激發(fā)對應(yīng)于空穴型元激發(fā)第29頁，共53頁。級聯(lián)模型的特點: 1. 無法解釋那一個子態(tài)是較強的態(tài). 2. 幾次級聯(lián)后, 準(zhǔn)粒子的數(shù)目將超過電子的數(shù)目.3. 系統(tǒng)在分?jǐn)?shù)占據(jù)數(shù)之間沒有定義.4. 準(zhǔn)粒子具有分?jǐn)?shù)電荷.復(fù)合費米子模型 (CF) 一個復(fù)合費米子由一個電子和偶數(shù)個磁通線構(gòu)成. 復(fù)合費米子包含了所有的多體相互作用. FQHE是CF在一個有效磁場下的IQHE. CF 具有整數(shù)電荷. CF 模型可以給出所有觀察到的分?jǐn)?shù)態(tài)

13、, 包括這些態(tài)的相對強度及當(dāng)減小溫度, 提高樣品質(zhì)量時出現(xiàn)的次序. CF 指出: v=1/2 態(tài), 對應(yīng)的有效磁場為0, 是具有金屬特征的特殊狀態(tài).第30頁，共53頁。第31頁，共53頁。第32頁，共53頁。第33頁，共53頁。第34頁，共53頁。第35頁，共53頁。新進(jìn)展觀察到分?jǐn)?shù)電荷漲落.FQHE 的Ginsburg Landau 理論.費米, 玻色 和分?jǐn)?shù)統(tǒng)計.邊緣態(tài)和共形場論.利用一維結(jié)觀察分?jǐn)?shù)電荷 C.L. Kane and M.P.A. Fisher, Shot in the Arm for Fractional Charge, Nature 389, 119 (1997).第36

14、頁，共53頁。The Quantum Hall effect (QHE) is one example of a quantum phenomenon that occurs on a truly macroscopic scale. The signature of QHE is the quantization plateaus in the Hall resistance (Rxy) and vanishing magnetoresistance (Rxx) in a magnetic field. The QHE, exclusive to two-dimensional metals

15、, has led to the establishment of a new metrological standard, the resistance quantum, , that contains only fundamental constant. As with many other quantum phenomena, the observation of the QHE usually requires low temperatures (previously reported highest temperature was 30 K). In graphene, a sing

16、le atomic layer of graphite, however, we have observed a well-defined QHE at room temperature owing to the unusual electronic band structure and the relativistic nature of the charge carriers of graphene.Room-Temperature Quantum Hall Effect in GraphenePI: Philip Kim, Department of Physics, Columbia

17、UniverstySupported by NSF (No. DMR-03-52738 and No. CHE-0117752), NYSTARDOE (No. DE-AIO2-04ER46133 and No. DE-FG02-05ER46215), and Keck FoundationNHMFLT=300 K B=45 TNovoselov, K.S.; Jiang, Z.; Zhang, Y.; Morozov, S.V.;Stormer, H.L.; Zeitler, U.; Maan, J.C.; Boebinger, G.S.;Kim, P. and Geim, A.K., Sc

18、ience, 315 (5817), 1379 (2007).Figure: Magnetoresistance (Rxx) and Hall resistance (Rxy) ofgraphene as a function of the back gate voltage (Vg) in amagnetic field of B=45 T at room temperature.第37頁，共53頁。第38頁，共53頁。4.2 二維體系中的相變連續(xù)相變的描述：序參量 非零零維度對相變、臨界行為有重要影響一維體系，T0時，體系總是無序，不存在長程序，無相變二維體系？相變?nèi)Q于序參量的自由度數(shù)N

19、=1,有相變，如二維Ising模型N=3,無相變，如二維Heisenberg模型N=2: 序參量為零，但可有準(zhǔn)長程序， Kosterlitz-Thouless(K-T)相變 相變概念的拓寬第39頁，共53頁。序參量自由度n=2的二維系統(tǒng)： 自旋X-Y模型，二維超流體、二維超導(dǎo)體及二維晶體等低溫下，自旋的關(guān)聯(lián)隨距離作代數(shù)式的衰減。對有限尺寸的樣品，二維X-Y模型的低溫相就呈現(xiàn)出表觀的長程序（準(zhǔn)長程序），到高溫，則為沒有長程序的無序相所取代，期間有無相變？1970年：Brezinskii提出渦旋對松解所對應(yīng)的連續(xù)相變思想 (Z.Eksp.Tev.Fiz.,59,907(1970)1973年：Kos

20、terlitz和Thouless討論二維超流相變，獨立提 出類似想法并發(fā)展為較完整理論（J.Phys.C,6,1181(1973)基本思想：拓?fù)淙毕?如渦旋（Vortex)介入的相變第40頁，共53頁。拓?fù)浼ぐl(fā)： 二維點陣格點：格點i上的自旋與X軸夾角為通過任意一些格點，劃一閉合回路L，沿此回路逆時針方向繞行一周，相鄰兩格點的方向角之差：拓?fù)浼ぐl(fā)和非拓?fù)浼ぐl(fā)可分開來討論第41頁，共53頁。自旋渦旋正渦旋負(fù)渦旋第42頁，共53頁。拓?fù)湫栽ぐl(fā)之間的相互作用二維靜電場二維點電荷：第43頁，共53頁。K-T相變正渦旋負(fù)渦旋渦旋對低溫下，正負(fù)渦旋構(gòu)成束縛對，對長程的自旋排列影響不大，系統(tǒng)具有拓?fù)溟L程序

21、。高于某臨界溫度，系統(tǒng)中產(chǎn)生大量的單個渦旋，導(dǎo)致拓?fù)溟L程序被破壞。第44頁，共53頁。第45頁，共53頁。考慮低溫下存在具有有限能量的束縛渦旋對（可由熱激發(fā)，不破壞長程的自旋序)渦旋對類似于屏蔽正負(fù)電荷相互作用的電介質(zhì)的作用K-T理論是對屏蔽效應(yīng)的重正化群的處理。自由能的第n級微商在相變點出現(xiàn)突變就稱為第n級相變K-T相變是無窮級第46頁，共53頁。Two dimensional heliumSince helium is attracted to almost anything* , it will form a 2D film.Most long-range order is forbid

22、den in 2D (Mermin-Wagner theorem), e.g. BEC not allowed for T0 because the system is susceptible to long-range phase decoherence.However, it does become a superfluid.The transition is called the Kosterlitz-Thouless transition.Superfluid-normal fluid transition is caused by vortex-anti-vortex unbinding.KT predicts algebraic decay of single particle density matrix*except for Cs第47頁，共53頁。2d helium energeticsIn contrast to 3D the energy is a smooth function of temperature.Bump in Cv above the transition.No feature at the transition (only an essential singu