1、第四節(jié) 直線相關(guān)一、相關(guān)系數(shù)當(dāng)兩個(gè)變量協(xié)同變化時(shí)，度量其相關(guān)密切程度和性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)量，稱(chēng)其為相關(guān)系數(shù)。1、相關(guān)系數(shù)的定義及公式 當(dāng)以 來(lái)計(jì)算Y的離均差平方和的時(shí)候并未考慮X對(duì)Y的影響。如果X與Y存在回歸關(guān)系，則：即Y依X的變化而變化，我們可以對(duì)Y的離均差平方和做新的分解。因?yàn)椋?，（求回歸方程時(shí)依據(jù)的規(guī)則）所以：稱(chēng)： 為回歸平方和；為回歸關(guān)系引起。稱(chēng)： 為離回歸平方和；由回歸估計(jì)誤差引起。其中，SSy的自由度 df = n-1， SSe 的自由度 df = n-2， SSR 的自由度 df = 1，所謂的相關(guān)系數(shù)，就是指由于回歸因素所引起的平方和與Y的總平方和之比的平方根，以r表示相關(guān)系數(shù)。由回

2、歸因素所引起的回歸平方和SSR越大，回歸的成分就越大，這兩個(gè)變量間的相關(guān)程度就越密切。2、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式我們已知：所以：所以有：相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式：二、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)當(dāng)SSe= SSy 時(shí)，r2 = 0，則X與Y完全不相關(guān)。 SSe = 0 時(shí)， r2 = 1，則X與Y完全相關(guān)。而-1 r 1，利用散點(diǎn)圖說(shuō)明r的性質(zhì)：利用(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)在直角坐標(biāo)上作圖：r=0, 散點(diǎn)不規(guī)則地分布在4個(gè)象限內(nèi)，X與Y完全不相關(guān)。當(dāng) 0 r 1時(shí)，散點(diǎn)在I、III象限分布的多，在II、IV象限分布的少，X與Y正相關(guān)。當(dāng)-1 r 0時(shí)，散點(diǎn)分布在II、IV象限的多，分布在I、II

3、I象限的少，X與Y負(fù)相關(guān)。當(dāng) r = 1時(shí)，所有的散點(diǎn)都分布在I、III象限，且分布在一條直線上。當(dāng) r = -1時(shí)，所有的散點(diǎn)都分布在II、IV象限，且同時(shí)分布在一條直線上。此時(shí)，X與Y呈完全的相關(guān)關(guān)系。三、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算利用 計(jì)算。例：每1000克土壤中NaCl的含量呈的回歸關(guān)系，若回歸關(guān)系顯著，則兩變量應(yīng)存在相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)。已經(jīng)計(jì)算出：SP=200，SSx=17.92，SSy=2587.71所以：四、相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn) 相關(guān)系數(shù)是兩個(gè)變量間相關(guān)程度的度量，r=0和| r |=1是兩種極端的情況，在實(shí)際工作中，這兩種情況是很少見(jiàn)的。 我們經(jīng)常遇到的情形是0 | r | 1，r 依賴(lài)于

4、從總體中抽出的樣本的結(jié)果。 縱然當(dāng)r的總體平均數(shù)即總體相關(guān)系數(shù)=0，也不能排除由于偶然因素的影響造成的 r 0，另一方面，也不能只看到0 | r | r，n-2 ，則相關(guān)顯著，否則相關(guān)不顯著。例題1：測(cè)得每1000克土壤中NaCl含量的克數(shù)與植物葉片干物重的數(shù)值如下，問(wèn)兩者間的相關(guān)關(guān)系是否顯著？H0： ， HA： ， 0.05 計(jì)算：當(dāng)df = n-2=7-2=5時(shí)，查r0.05，5 =0.874，因?yàn)閨 r | r0.05，5 ，所以拒絕H0： ， 接受HA： ，即在 0.05水平上,每1000克土壤中NaCl含量的克數(shù)與植物葉片干物重的相關(guān)關(guān)系是顯著的。在生物統(tǒng)計(jì)學(xué)中，有時(shí)并不嚴(yán)格地區(qū)分回

5、歸和相關(guān)。例2：一些夏季害蟲(chóng)的盛發(fā)期的早遲與春季溫度高低有關(guān)。江蘇省武進(jìn)縣測(cè)定了1956-1964年間3月下旬至4月中旬旬平均溫度累積值（x，單位：旬度）和一代三化螟蛾盛發(fā)期（y，以5月10日為0）的關(guān)系，數(shù)據(jù)列于下表。試計(jì)算回歸方程，并檢驗(yàn)可否用該回歸方程進(jìn)行一代三化螟蛾盛發(fā)期的預(yù)測(cè)？ 若今年3月下旬至4月中旬旬平均溫度累積值為32旬度，則今年一代三化螟蛾盛發(fā)期大致在什么時(shí)候？繪制回歸圖X累積值44.235.534.131.740.336.840.231.739.2Y盛發(fā)期-112169273139解：計(jì)算有關(guān)的二級(jí)數(shù)據(jù)如下：故得直線回歸方程：考慮到精確度和實(shí)際意義：回歸關(guān)系的檢驗(yàn)：H0： = 0，HA： 0 ， = 0.05因?yàn)椋核裕簩?duì)相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)：H0： ， HA： ， 0.05 計(jì)算：當(dāng)df = n-2=9-2=7時(shí)，查r0.05，7 = 0.668， r0.01，7 = 0.798因?yàn)閨 r | r0.01，7 ，所以拒絕H0： ， 接受HA： ，即在 0.01水平上,X與Y的相關(guān)關(guān)系極為密切，利用旬平均溫度的累積值可以預(yù)報(bào)一代