1、蘇教版高中數(shù)學(xué)課件數(shù)學(xué)歸納法的綜合應(yīng)用一、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時(shí)，不等式成立，則當(dāng)nk1時(shí)，所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立.綜上所述，對(duì)任意n2的正整數(shù)，不等式都成立.反思感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個(gè)關(guān)鍵(1)驗(yàn)證第一個(gè)n的值時(shí)，要注意n0不一定為1，若nk(k為正整數(shù))，則n0k1.(2)證明不等式的第二步中，從nk到nk1的推導(dǎo)過(guò)程中，一定要用歸納假設(shè)，不應(yīng)用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)槿鄙贇w納假設(shè).(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的

2、大小.對(duì)第二類(lèi)形式往往要先對(duì)n取前k個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個(gè)k值開(kāi)始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明.(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk時(shí)成立，得nk1時(shí)成立，主要方法有比較法、放縮法等.不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時(shí)，不等式成立.當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立.由(1)(2)可知，不等式對(duì)一切nN*且n2時(shí)成立.二、歸納猜想證明例2在數(shù)列an中，a11，a2 ，且an1 (n2，nN*)，求a3，a4，猜想an的表達(dá)式，并加以證明.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確：(1)當(dāng)n1,2時(shí)易知猜想正確.(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時(shí)猜想正確，當(dāng)nk1

3、時(shí)，當(dāng)nk1時(shí)猜想也正確.由(1)(2)可知，猜想對(duì)任意nN*都正確.反思感悟(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問(wèn)題、存在性問(wèn)題，其基本模式是“歸納猜想證明”.(2)“歸納猜想證明”的基本步驟是“試驗(yàn)歸納猜想證明”.高中階段與數(shù)列結(jié)合的問(wèn)題是最常見(jiàn)的問(wèn)題.這種方法更適用于已知數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式.跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列計(jì)算S1，S2，S3，S4，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.可以看出，上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項(xiàng)數(shù)n一致，分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n1.下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.猜想成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)猜想成立，當(dāng)nk1時(shí)

4、，所以當(dāng)nk1時(shí)猜想也成立.根據(jù)(1)和(2)，可知猜想對(duì)任何nN*都成立.三、整除問(wèn)題例3證明：當(dāng)nN*時(shí)，f(n)32n28n9能被64整除.證明(1)當(dāng)n1時(shí)，f(1)348964能被64整除.(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)，f(k)32k28k9能被64整除，則當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)32(k1)28(k1)9932k28k179(32k28k9)64k64.故f(k1)也能被64整除.綜合(1)(2)，知當(dāng)nN*時(shí)，f(n)32n28n9能被64整除.反思感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題的關(guān)鍵是證明當(dāng)nk1時(shí)，代數(shù)式可被除數(shù)整除，一般利用構(gòu)造法，構(gòu)造出含有除數(shù)及nk時(shí)的代數(shù)式，根據(jù)歸納

5、假設(shè)即可證明.跟蹤訓(xùn)練3用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除.證明(1)當(dāng)n1時(shí)，xnynxy顯然能被xy整除.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*且k為奇數(shù))時(shí)命題成立，即xkyk能被xy整除，當(dāng)nk2時(shí)，xk2yk2x2(xkyk)yk2x2ykx2(xkyk)yk(xy)(xy).又根據(jù)假設(shè)xkyk能被xy整除，x2(xkyk)能被xy整除.又(xy)(xy)yk能被xy整除，x2(xkyk)yk(xy)(xy)能被xy整除，當(dāng)nk2時(shí)命題成立.由(1)(2)知，命題成立.1.知識(shí)清單：(1)利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.(2)歸納猜想證明.(3)利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題.2.方法歸納

6、：數(shù)學(xué)歸納法.3.常見(jiàn)誤區(qū)：從nk到nk1時(shí)，注意兩邊項(xiàng)數(shù)的變化.課堂小結(jié)隨堂演練12341234即5k2k能被3整除，則當(dāng)nk1時(shí)，5k12k155k22k 55k52k52k22k 123412343.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2an(n2)，而a11，通過(guò)計(jì)算a2，a3，a4，猜想an等于1234課時(shí)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(n3，nN)，第一步應(yīng)驗(yàn)證A.n1 B.n2 C.n3 D.n4解析由題意知，n的最小值為3，所以第一步驗(yàn)證n3是否成立.123456789101112131415162.已知87,169,3211，

7、則有A.2n2n1 B.2n12n1C.2n22n5 D.2n32n7解析由87,169,3211可知第一項(xiàng)為87212215，第二項(xiàng)為169222225，第三項(xiàng)為3211232235，以此類(lèi)推第n項(xiàng)為2n22n5.123456789101112131415163.用數(shù)學(xué)歸納法證明“(3n1)7n1 能被9整除”，在假設(shè)nk時(shí)命題成立之后，需證明nk1時(shí)命題也成立，這時(shí)除了用歸納假設(shè)外，還需證明的是余項(xiàng)能被9整除.A.37k6 B.37k16C.37k3 D.37k1312345678910111213141516解析假設(shè)nk時(shí)命題成立，即(3k1)7k1能被9整除，(3k1)7k1能被9整除

8、.要證上式能被9整除，還需證明37k16也能被9整除.4.在數(shù)列an中，a12，an1 (nN*)，依次計(jì)算a2，a3，a4歸納推測(cè)出數(shù)列an的通項(xiàng)公式為12345678910111213141516123456789101112131415165.(多選)設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿(mǎn)足：當(dāng)f(k)k1成立時(shí)，總有f(k1)k2成立.則下列命題總成立的是A.若f(5)6成立，則f(6)7成立B.若f(3)4成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k1成立C.若f(2)3成立，則f(1)2成立D.若f(4)5成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k1成立12345678910111213141

9、516解析若f(5)6成立，由題意知f(6)7成立，故A正確；若f(4)5成立，則f(n01)n02(n04，n0N*)，即f(k)k1(k5)，結(jié)合f(4)5，所以當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k1成立，故D正確.所以選AD.1234567891011121314151612345678910111213141516證明：1234567891011121314151612345678910111213141516所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立，1234567891011121314151612345678910111213141516(1)求a2，a3，a4的值；1234567891011121314

10、1516(2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.1234567891011121314151612345678910111213141516當(dāng)n1時(shí)，結(jié)論成立；當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立.1234567891011121314151612345678910111213141516證明(1)當(dāng)n2時(shí)，不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時(shí)不等式成立，則當(dāng)nk1時(shí)，12345678910111213141516所以當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立.由(1)(2)可知，原不等式對(duì)一切n2，nN*都成立.1234567891011121314151612345678910111213141516綜合運(yùn)用11

11、.在用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n) 1(nN*，n3)的過(guò)程中：假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k3)，不等式f(k)1成立，則需證當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)1也成立.若f(k1)f(k)g(k)，則g(k)等于123456789101112131415161234567891011121314151612.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1 ，an1 ，nN*，則下列結(jié)論成立的是A.a2 019a2 020a2 018 B.a2 020a2 019a2 018C.a2 019a2 018a2 020 D.a2 018a2 019a2a1，即a1a3a2，所以 ，即a3a4a2，12345678910111213141516所以

12、猜想當(dāng)連續(xù)三項(xiàng)的下標(biāo)最大項(xiàng)為偶數(shù)2n時(shí)，有a2n1a2na2n2，以下為證明：當(dāng)n2時(shí)，a3a4a2成立，設(shè)當(dāng)nk時(shí)，a2k1a2ka2k2成立，當(dāng)nk1時(shí)，因?yàn)閍2k1a2ka2k2，所以有 ，即a2k1a2k1a2k成立.12345678910111213141516所以 ，即a2k1a2k2a2k.所以當(dāng)nk1時(shí)，猜想也成立.故當(dāng)連續(xù)三項(xiàng)的下標(biāo)最大項(xiàng)為偶數(shù)2n時(shí)，有a2n1a2na2n2，所以a2 019a2 020n21，當(dāng)n2時(shí)，2226n24，當(dāng)n3時(shí)，23210n29，當(dāng)n4時(shí)，24218n216，由此可以猜想，2n2n2(nN*)成立.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊2124，右邊1，12345678910111213141516所以左邊右邊，所以原不等式成立.當(dāng)n2時(shí)，左邊2226，右邊22