1、第二節(jié)定積分計算公式和性質(zhì)、變上限函數(shù)設(shè)函數(shù)丁卜）在區(qū)間L引上連續(xù)，并且設(shè)x為卜，目上的任一點，于是，丁卜）在區(qū)間L出上的定積分為囑加妝這里x既是積分上限，又是積分變量，由于定積分與積分變量無關(guān)，故可將此改為如果上限x在區(qū)間上任意變動，則對于每一個取定的x值，定積分有一個確定值與之對應(yīng)，所以定積分在氏昂上定義了一個以 x為自變量的函數(shù)杰）,我們把向現(xiàn)稱為函數(shù)/（X）在區(qū)間【明引上變上限函數(shù)記為伽:； 圖 5-10為底的曲邊梯x的函數(shù)（見圖從幾何上看，也很顯然。因為 X是1步】上一個動點，從而以線段 形的面積，必然隨著底數(shù)端點的變化而變化，所以陰影部分的面積是端點 5-10）定積分計算公式利用定

2、義計算定積分的值是十分麻煩的，有時甚至無法計算。因此，必須尋求計算定積分的簡便方法。我們知道：如果物體以速度 麗做刈 作直線運動，那么在時間區(qū)間 除M 上所經(jīng)過的路程s為圖 5-11另一方面，如果物體經(jīng)過的路程 s是時間t的函數(shù)期,那么物體從t=a到t=b 所經(jīng)過的路程應(yīng)該是（見圖5-11 ）由導數(shù)的物理意義可知：$ =（）即s（力是y（力一個原函數(shù)，因此，為了求出定積分 應(yīng)先求出被積函數(shù)W）的原函數(shù)期,再求）在區(qū)間上引上的增量曲）-他）如果拋開上面物理意義，便可得出計算定積分設(shè)函數(shù)/卜）在閉區(qū)間I2閡上連續(xù)，F(xiàn)是（6的一個原函數(shù),即口 （加碼幽這個公式叫做牛頓-萊布尼茲公式。 為了使用方便，

3、將公式寫成加氏十（玳=喇-硝牛頓-萊布尼茲公式通常也叫做微積分基本公式。它表示一個函數(shù)定積分等于這個函數(shù)的原函數(shù)在積分上、下限處函數(shù)值之差。它揭示了定積分和不定積分的內(nèi)在聯(lián)系，提供了計算定積分有效而簡便的方法，從而使定積分得到了廣泛的應(yīng)用。例i計算一1 2因為3 是1的一個原函數(shù)所以7=SlrtXol.例2求曲線= SIH X和直線x=0、x=jT及y=0所圍成圖形面積A（5-12）解這個圖形的面積為A- sin idx- -cosi?Jo3圖5-12= -cosff+cos 0=1+1= 2二、定積分的性質(zhì)設(shè)/、gh）在相應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，利用前面學過的知識，可以得到定積分以下幾個簡單性質(zhì)：性質(zhì)

4、i被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到定積分符號前面，即1旬（加=乂/卜協(xié)（A為常數(shù)）性質(zhì)2函數(shù)的代數(shù)和的定積分等于它們的定積分的代數(shù)和，即:卜土 g出=/卜比土 g卜氏這個性質(zhì)對有限個函數(shù)代數(shù)和也成立。性質(zhì)3積分的上、下限對換則定積分變號，即:小）二-門卜加以上性質(zhì)用定積分的定義及牛頓 -萊布尼茲公式均可證明，此處證明從略。性質(zhì)4如果將區(qū)間分成兩個子區(qū)間及LM那么有加比=加以+/卜出這個于區(qū)間分成有限個的情形也成立。下面用定積分的幾何意義，對性質(zhì) 4加以說明。當acb時，從圖5-13a可知，由y=f （1）與和x=a x=b及x軸圍成的曲邊梯形面積 乂 :圖 5-13a圖 5-13b因 為H二，戲?工

5、鴻二&=右A幾北即性質(zhì)4成立。當abc時，即點c在明司外,由圖5-13b可知,7卜加工4 +劣=/(加+： /(9所以1/=加* P(加=f/W+J/(Ja 凡顯然，性質(zhì)4也成立?？傊?，不論c點在內(nèi)還是次力外，性質(zhì)4總是成立的。+ L ；r = ：3/右 + : Lx= k+kklt= 8-l+ln2-lnl = 7+ln2告-Fcos 1d工=需-sin xj7T . 7T .汗 r22例 5求-sin + sin U = 一 一 11+，=(刀- arctan x)； = 1-所以口業(yè)4(-加+,xdx+ 2 =之22例6求J-1_ x 0W 疆 2二 It -E#Ql#=fr+fxdx1

6、-A2求J-一1-x2二2/M =,設(shè)解因為江源-1,2上分段連續(xù)所以L人2例8火車以v=72km/h的速度在平直的軌道上行駛，到某處需要減速停車。設(shè)火車以加速度a=-5m/p剎車。問從開始剎車到停車，火車走了多少距離？解首先要算出從開始剎車到停車經(jīng)過時間。當時火車速度7” 以 72x1000 /v0 =12km!h = 2。胭/s3600剎車后火車減速行駛。其速度為M=%-加= 20-%當火車停住時，速度W)=0 ,故從朔=20-% = 020網(wǎng) fs . - 4s TOC o 1-5 h z 解得一.于是在這段時間內(nèi)，火車走過的距離為|4=20-5； = 20Z- L 25x420 x4m = 40 用=2廣即在剎車后，火車需走過 40m才能停住。習題5-21求下列定積分：叭 擊)(