1、全國中考數(shù)學(xué)直角三角形的邊角關(guān)系的綜合中考真題匯總一、直角三角形的邊角關(guān)系1圖1是一種折疊式晾衣架晾衣時，該晾衣架左右晾衣臂張開后示意圖如圖2所示，兩支腳OC=OD=10分米，展開角/COD=60,晾衣臂OA=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=6分米，且H0=F0=4分米.當/AOC=90時，點A離地面的距離AM為分米；當OB從水平狀態(tài)旋轉(zhuǎn)到OB，（在CO延長線上）時，點E繞點F隨之旋轉(zhuǎn)至OB上的點E處，則BE-BE為分米.AH比圖2找平地面【答案】55爲4【解析】【分析】如圖，作0P丄CD于P，0Q丄AM于Q，F(xiàn)K丄0B于K，F(xiàn)J丄0C于J.解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM,再分別

2、求出BE，BE即可.【詳解】解：如圖，作OP丄CD于P，OQ丄AM于Q，F(xiàn)K丄OB于K，F(xiàn)J丄OC于J.TAM丄CD，ZQMP=ZMPO=ZOQM=90,四邊形OQMP是矩形，QM=OP,OC=OD=10,ZCOD=60,.COD是等邊三角形，OP丄CD,1ZCOP=ZCOD=30,2QM=OP=OCcos30=5J3（分米），ZAOC=ZQOP=90,ZAOQ=ZCOP=30,1AQ=-OA=5（分米），厶AM=AQ+MQ=5+5啟.OBIICD,ZBOD=ZODC=60在RtAOFK中，KO=OFcos60=2（分米），F(xiàn)K=OFsin60=2J3（分米）,在RtAPKE中，EK=fEF2

3、_FK2=26（分米），BE=10-2-2；6=（8-2冷6）（分米），在RtAOFJ中，OJ=OFcos60=2（分米），F(xiàn)J=2（分米），在RtAFJE中，EJ=ABC的中位線，.AC=2OE，TZC=ZC，ZABC=ZBDC，.ABC-BDC，BCACcBc即BC2=ACCD.二bc2=2CDOE；3(3)解：TcosZBAD=?,OA.BC-4二sinZBAC=一AC5U2S又:BE,E是BC的中點，即BC=,又：AC=2OE,OE=：AC=.26考點：1、切線的判定；2、相似三角形的判定與性質(zhì)；3、三角函數(shù)5閱讀下面材料：觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題.在銳角厶ABC中，

4、ZA、ZB、ZC的對ADAD邊分別是a、b、c,過A作AD丄BC于D(如圖)，則sinB=,sinC=，即AD=cbbccacsinB，AD=bsinC,于是csinB=bsinC，即=.同理有：=，sinBsinCsinCsinAababc-，所以宀=一=.sinAsinBsinAsinBsinC即：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個元素(至少有一條邊)，運用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個未知元素根據(jù)上述材料，完成下列各題如圖，ABC中，ZB=75,ZC=45,BC=60，貝AB=；如圖，一貨輪在C處測得燈塔A在貨輪的北偏西30的方向上，隨后貨輪以6

5、0海里/時的速度按北偏東30的方向航行，半小時后到達B處，此時又測得燈塔A在貨輪的北偏西75。的方向上(如圖)，求此時貨輪距燈塔A的距離AB.(3)在(2)的條件下，試求75的正弦值.(結(jié)果保留根號)5D南西詠C北SD囹2【答案】(1)20：6；(2)15、；6海里;(3)寧【解析】【分析】(1)根據(jù)材料：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，寫出比例關(guān)系，代入數(shù)值即可求得AB的值.此題可先由速度和時間求出BC的距離，再由各方向角得出ZA的角度，過B作BM丄AC于M,求出/MBC=30，求出MC,由勾股定理求出BM,求出AM、BM的長，由勾股定理求出AB即可；在三角形ABC中，ZA=4

6、5，ZABC=75，ZACB=60,過點C作AC的垂線BD，構(gòu)造直角三角形ABD，BCD，在直角三角形ABD中可求出AD的長，進而可求出sin75的值.【詳解】解：(1)在AABC中，ZB=75，ZC=45,BC=60，則ZA=60，.abbcsinCsinA.AB60.=sin45sin60ABo60。即忑=Z3，丁1-解得：AB=20f6.(2)如圖，依題意：BC=60 x0.5=30（海里）TCDIIBE,ZDCB+ZCBE=180TZDCB=30,.ZCBE=150TZABE=75.ZABC=75，.ZA=45，在AABC中,ABBCsinAACBsinZAAB30即sin60?sin

7、45?解之得：AB=15p6.答：貨輪距燈塔的距離AB=15空6海里.(3)過點B作AC的垂線BM,垂足為M.在直角三角形ABM中，ZA=45,AB=15y6，所以AM=15；3，在直角三角形BDC中，ZBCM=60，BC=30，可求得CM=15,所以AC=15：3+15，由題意得，込5=亞,sin75=玄sin75sin604【點睛】。本題考查方向角的含義，三角形的內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識點，解題關(guān)鍵是熟練掌握解直角三角形方法6蘭州銀灘黃河大橋北起安寧營門灘，南至七里河馬灘，是黃河上游的第一座大型現(xiàn)代化斜拉式大橋如圖，小明站在橋上測得拉索AB與水平橋面

8、的夾角是31,拉索AB的長為152米，主塔處橋面距地面7.9米（CD的長），試求出主塔BD的高.（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin31=0.52,cos31=0.86,tan31=0.60)【答案】主塔BD的高約為86.9米.【解析】【分析】根據(jù)直角三角形中由三角函數(shù)得出BC相應(yīng)長度，再由BD=BC+CD可得出.【詳解】在RtAABC中，ZACB=90,BCSinA=AB二BC=ABxsinA二152xsin31152x0.52二79.04.BD=BC+CD=79.04+7.9=86.94二86.9（米）答：主塔BD的高約為86.9米.【點睛】本題考察了直角三角形與三角函數(shù)的結(jié)合，熟悉掌握

9、是解決本題的關(guān)鍵.7.如圖，正方形OABC的頂點0與原點重合，點A，C分別在x軸與y軸的正半軸上，點1A的坐標為（4,0）,點D在邊AB上，且tanZAOD=込，點E是射線OB上一動點，EF丄x軸于點F,交射線OD于點G,過點G作GHIIx軸交AE于點H.（1）求B，D兩點的坐標；（2）當點E在線段OB上運動時，求ZHDA的大??；（3）以點G為圓心，GH的長為半徑畫OG.是否存在點E使OG與正方形OABC的對角線所在的直線相切？若不存在，請說明理由；若存在，請求出所有符合條件的點E的坐標.2【答案】(1)B(4,4),D(4,2)；(2)45；(3)存在，符合條件的點為(8-4邁,8-45)或

10、(8+4邁,8+4邁)或,理由見解析解析】分析】1(1)由正方形性質(zhì)知AB=0A=4,ZOAB=90,據(jù)此得B(4,4),再由tanZAOD=-得AD=-OA=2,據(jù)此可得點D坐標;GF11=-知GF=OF,再由ZAOB=ZABO=45知OF=EF，即(2)由tanZGOF=OF-1GF=-EF,根據(jù)GHIIx軸知H為AE的中點，結(jié)合D為AB的中點知DH是厶ABE的中位線，即HDIIBE,據(jù)此可得答案；分OG與對角線OB和對角線AC相切兩種情況，設(shè)PG=x，結(jié)合題意建立關(guān)于x的方程求解可得【詳解】解：(1)TA(4,0),0A=4,T四邊形OABC為正方形,AB=OA=4,ZOAB=90,B(

11、4,4),在RtAOAD中，ZOAD=90,1TtanZAOD=.AD=112OA=2也=2.D(4，2)；(2)如圖1,在RtAOFG中，ZOFG=90GF11tanZGOF=，即gf=OF,OF22四邊形OABC為正方形，ZAOBZABO=45,OFEF,GF=EF,2.G為EF的中點，GHIIx軸交AE于H,H為AE的中點，B(4,4),D(4,2),D為AB的中點，DH是厶ABE的中位線，.HDIBE,.ZHDA=ZABO=45(3)若OG與對角線OB相切，如圖2,當點E在線段OB上時，過點G作GP丄OB于點P,設(shè)PG=x,可得PE=x,EG=FG=呂x,OF=EF=22x,OA=4,

12、AF=4-2耳迅x,TG為EF的中點，H為AE的中點，GH為氐A(chǔ)FE的中位線，11GH=一AF=x（4-2、.：2x）=2-X,2則x=2-、；2x,解得：x=2弋2-2,E（8-4邁,8-4、遼）,如圖3當點E在線段0B的延長線上時，x=丫2x-2,解得：x=2+f2,E（8+42,8+42）；若OG與對角線AC相切，如圖4,當點E在線段BM上時，對角線AC,OB相交于點M,Jcz/JD0卩AL圖4過點G作GP丄0B于點P,設(shè)PG=x,可得PE=x,EG=FG=弋2x,0F=EF=2込x,TOA=4,AFf2x,TG為EF的中點，H為AE的中點，GH為AFE的中位線，11GH=AF=x（4-

13、2*2x）=2-J2x,過點G作GQ丄AC于點Q,貝9GQ=PM=3x-2邁,3x_2空2=2-2x,.4邁+2x=一7E（4近+164近+16）7如圖5，當點E在線段OM上時，GQ=PM=22-3x，貝2弋2-3x=2_2x,解得x二土壬2,7（16-4邁16-4邁）7-E7丿，如圖6，當點E在線段OB的延長線上時3x-2：2=2x-2,4J2一2解得：x二（舍去）；7綜上所述，符合條件的點為（8-4J2,8-4邁）或（8+4,8+47）或【點睛】本題是圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握正方形和直角三角形的性質(zhì)、正切函數(shù)的定義三角形中位線定理及分類討論思想的運用8如圖，AB為O0的直徑，P是BA

14、延長線上一點，CG是O0的弦/PCA=AABC,CG丄AB,垂足為D求證：PC是OO的切線;(2)求證：PA_ADPCCD過點A作AEIIPC交OO于點E,交CD于點F,連接BE,若sinZP=5，CF=5,求BE的長【答案】(1)見解析；(2)BE=12.解析】分析】(1)連接OC,由PC切OO于點C,得到OC丄PC,于是得到ZPCA+ZOCA=90，由AB為OO的直徑，得到ZABC+ZOAC=90,由于OC=OA,證得ZOCA=ZOAC，于是得到結(jié)論；(2)由AEIIPC,得到ZPCA=ZCAF根據(jù)垂徑定理得到弧AC=弧AG,于是得到ZACF=ZABC，由于ZPCA=ZABC，推出ZACF

15、=ZCAF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CF=AF，在AFD中，AF=5,sinZFAD=5求得FD=3,AD=4,CD=8，在OCD中,設(shè)OC=r,根據(jù)勾股定理得到方程r2=(r-4)2+82，解得r=10，得到AB=2r=20,由于AB為BE3OO的直徑，得到ZAEB=90，在rAABE中，由sinZEAD=，得到=匸，于是求得t5AB5結(jié)論【詳解】(1)證明：連接OC,PC切OO于點C,OC丄PC,ZPCO=90,ZPCA+ZOCA=90,TAB為OO的直徑，.ZACB=90,.ZABC+ZOAC=90TOC=OA,.ZOCA=ZOAC,.ZPCA=ZABC；(2)解：TAEIIPC,.ZP

16、CA=ZCAF,/AB丄CG,.弧人。=弧AG,.ZACF=ZABC,TZPCA=ZABC.ZACF=ZCAF,.CF=AF,TCF=5,.AF=5,TAEIPC,.ZFAD=ZP,TsinZP=sinZFAD=3在AFD中，AF=5,sinZFAD=5.FD=3,AD=4,.CD=8,在OCD中，設(shè)OC=r,.r2=(r-4)2+82,.r=10,.AB=2r=20,AB為OO的直徑，乙AEB=90，在RqABE中,3sinZEAD=_5，-AB=20，BE=12.BE3AB_5，【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是連接OC構(gòu)造直角三角形9.如圖

17、，正方形ABCD的邊長為.：2+1,對角線AC、BD相交于點O,AE平分/BAC分別交BC、BD于E、F，求證：ABF-ACE；求tanZBAE的值；(3)在線段AC上找一點P,使得PE+PF最小，求出最小值.【答案】(1)證明見解析；(2)tanZEAB.2-1；(3)PE+PF的最小值為2+邁.【解析】【分析】根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似判斷即可；如圖1中，作EH丄AC于H.首先證明BE=EH=HC，設(shè)BE=EH=HC=x，構(gòu)建方程求出x即可解決問題；如圖2中，作點F關(guān)于直線AC的對稱點H,連接EH交AC于點P,連接PF,此時PF+PE的值最小，最小值為線段EH的長；【詳解】證明：四邊

18、形ABCD是正方形，ZACE=ZABF=ZCAB=45,AE平分ZCAB,ZEAC=ZBAF=22.5,ABF-ACE.解：如圖1中，作EH丄AC于H.22TEA平分/CAB,EH丄AC,EB丄AB,BE=EB,TZHCE=45,ZCHE=90,ZHCE=ZHEC=45,HC=EH,.BE=EH=HC,設(shè)BE=HE=HC=x，貝EC=邁x,TBC=p2+1,.x+x=+1,.x=1.在RtAABE中，TZABE=90,.tanZEAB=BB=士=21(3)如圖2中，作點F關(guān)于直線AC的對稱點H,連接EH交AC于點P,連接PF,此時PF+PE的值最小作EM丄BD于M.BM=EM=亍TAC=*AB

19、2+BC2=2+2,.OA=OC=OB=AC=2+222OH=OF=OAtanZOAF=OAtanZEAB=2+邁（邁-1）HM=OH+OM=2+*2在RtEHM中，EH=：EM2+HM2=2PE+PF的最小值為*：2+邁.【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，勾股定理，最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考常考題型10.小明坐于堤邊垂釣，如圖，河堤AC的坡角為30,AC長“米，釣竿AO的傾斜角是60,其長為3米，若AO與釣魚線OB的夾角為60,求浮漂B與河堤下端C之間的距離（如圖）.答案】15米解析】試題分析：延長OA交BC于點D.先由

20、傾斜角定義及三角形內(nèi)角和定理求出“.F在血acd中八；:米，CD=2AD=33BD-OD-OA+AD-3+-5米，再證明厶BOD是等邊三角形，得到米，然后根據(jù)BC=BD-CD即可求出浮漂B與河堤下端C之間的距離.試題解析：延長OA父BC于點D.LCAD-180ODB-ACDAD-AC一x-在RtAACD中，-八（米）,CD=2AD=3米，又I1.BOD是等邊三角形，BD-OD-OA+AD-34-45-（米），BC=BD-CD=4.5-3=1.5（米）.答：浮漂B與河堤下端C之間的距離為1.5米.如圖，在航線丨的兩側(cè)分別有觀測點A和B,點B到航線丨的距離BD為4km，點A位于點B北偏西60方向且與B相距20km處.現(xiàn)有一艘輪船從位于點A南偏東74方向的C處，沿該航線自東向西航行至觀測點A的正南方向E處.求這艘輪船的航行路程CE的長度（結(jié)果精確到0.1km）（參考數(shù)據(jù)：弋3=1.73，sin74=0.96,cos74=0.28.【解析】分析：根據(jù)題意，構(gòu)造直角三角和相似三角形的數(shù)學(xué)模型，利用相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形即可.詳解：如圖，在RtABDF中，：乙D