1、第 頁共13頁項的個數(shù)稱為的f負(fù)慣性指數(shù).第 頁共13頁淺談?wù)ǘ涡偷呐卸ǚ椒ㄕ涡团c其矩陣具有一一對應(yīng)關(guān)系,可以通過研究矩陣的正定性來研究二次型的正定性及其應(yīng)用.本文主要通過正定二次型的定義，實矩陣的正定性的定義，特征值法，矩陣合同以及相應(yīng)的推導(dǎo)性質(zhì)來判定二次型的正定性。關(guān)鍵詞二次型矩陣正定性應(yīng)用引言在數(shù)學(xué)中，二次型的理論起源于解析幾何中化二次曲線和二次曲面方程為標(biāo)準(zhǔn)形的問題.現(xiàn)在二次型常常出現(xiàn)在許多實際應(yīng)用和理論研究中，有很大的實際使用價值。它不僅在數(shù)學(xué)的許多分支中用到，而且在物理學(xué)中也會經(jīng)常用到，其中實二次型中的正定二次型占用特殊的位置.二次型的有定性與其矩陣的有定性之間具有一一對

2、應(yīng)關(guān)系.因此,二次型的正定性判別可轉(zhuǎn)化為對稱矩陣的正定性判別，下面將用二次型的性質(zhì)來求函數(shù)的最值和證明不等式因此，對正定矩陣的討論有重要的意義.二次型的相關(guān)概念二次型的定義設(shè)p是一個數(shù)域，aGp,n個文字x,x，x的二次齊次多項式ij12nf(x,x，x)=ax2+2axx+2axxHFax2=axx12n11112121313nnnijiji=1j=1(a=a,i,j=1,2,.,n)稱為數(shù)域上p的一個n元二次型，簡稱二次型.當(dāng)a為實數(shù)時，f稱ijjiij為實二次型.當(dāng)a為復(fù)數(shù)時，稱f為復(fù)二次型.如果二次型中只含有文字的平方項，即ijf(x,x,.,x)=dx2Fdx2F.Fdx2稱f為標(biāo)準(zhǔn)

3、型.12n1112nn定義1在實數(shù)域上，任意一個二次型經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換可以變成規(guī)范性Z2+Z2+Z2-Z2-Z2，其中正平方項的個數(shù)p稱為f的正慣性指數(shù)，負(fù)平方12ppF1r二次型的矩陣形式二次型f（x,x，,x）可唯一表示成f（x,x，,x）=xTAx,其中x二（x,x，,x）T,12n12n12nA二（a）為對稱矩陣，稱上式為二次型的矩陣形式，稱A為二次型的矩陣（必是對稱矩陣），jnxn稱A的秩為二次型f的秩.正定二次型與正定矩陣的概念定義2.3.1設(shè)f（x,x,.,x）=xTAx是n元實二次型（A為實對稱矩陣），如果對任意不12n全為零的實數(shù)c,c,.,c都有f（c,c，c）0，

4、則稱/為正定二次型，稱A為正定矩陣；如12n12n果f（c,c，c）0，則稱f為半正定二次型，稱A為半正定矩陣;如果f（c,c，c）0，12n12n則稱f為負(fù)定二次型，稱A為負(fù)定矩陣;如果f（c,c，c）0（或XTAX0（或XTAX0）成立，且有非零向量X0，使XTAX=0，貝9稱f=XTAX為半正定（半負(fù)定）二次型，矩陣000A稱為半正定矩陣（半負(fù)定矩陣）.注:二次型的正定（負(fù)定）、半正定（半負(fù)定）統(tǒng)稱為二次型及其矩陣的有定性.不具備有定性的二次型及其矩陣稱為不定的.二次型的有定性與其矩陣的有定性之間具有一一對應(yīng)關(guān)系.因此,二次型的正定性判別可轉(zhuǎn)化為對稱矩陣的正定性判別.定義3n階矩陣A=（

5、a.）的k個行標(biāo)和列標(biāo)相同的子式ijaaaiiiiiii2iiikaaai2i1i2i2ik(1iii0(2)1122nn若有某個d(1in),比方說d0.則對y=y=y=0,y=1這組不全為in12n-1n零的數(shù)，代入(1)式后得f=d0.(i=1,2,n)i即f的正慣性指數(shù)等于n(u)如果f的正慣性指數(shù)等于n,則d0,(i=1,2,n)于是當(dāng)x,x,x不全為零TOC o 1-5 h zi12n,即當(dāng)y,y,y不全為零時(2)式成立,從而f是正定型12n定理2實二次型f(x,x,x)=XAX(A=A)是正定二次型的充要條件是對任 HYPERLINK l bookmark48 o Curren

6、t Document 12n何n維實的非零列向量X必有XAX0證明(二)由假設(shè)f是正定二次型,故存在實的非退化的線形替換X=QY,使XAXy2+y2+y2(1)12n對X豐0,因Q非奇異,故Y豐0,于是由可知XAX0(u)設(shè)XAX的秩與正慣性指數(shù)分別為r與p,先證rp,如p0,但對列向量XQ(0,.,0,1,0,.,0)h0(因Q是非奇異陣,1是X的第p+1個分量)卻有XAX-10這與假設(shè)矛盾故rp.再證rn.如果rn,則(2)式應(yīng)化為XAXy2+y2+y2,r0,(k=1,2,n),考慮以A為矩陣的二次型kkg(x1,x2,，x)kk乙乙axxijiji=1j=1由于g(x,x,x)=f(x

7、,x,x,0,0)所以當(dāng)x,x,x不全為零時，由f正12k12k12k定二次型可知g0,從而g為正定二次型，故|A|0.k(u)對二次型的元數(shù)n作數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)n=1時,f(x)=ax2,因為aii0,所以f正定,假設(shè)n1,且對n-1元實二次型結(jié)111111論成立aa由于a=a0,用-f乘A的第1列到第i列，再用-亠乘第A的第1行到第i行1111aa1111(i=2,3,n),經(jīng)此合同變換后,A可變?yōu)橐韵碌囊粋€矩陣第 頁共13頁1第 頁共13頁a0ii0因為矩陣A與B合同,所以B是一個n階對稱矩陣.從而也是對稱矩陣上述的變換不改變A的主子式的值,因此,B的主子式也全大于零，而B的k(2k0于是A

8、的主子式全大于111,111零,由歸納假設(shè)，A與I合同,所以A與單位矩陣合同,此即f是正定二次型1n-1定理6實二次型f(x,x,x)二XAX(A=A)是正定二次型的充要條件是矩陣12nA的順序主子式全都大于零證明(n)實二次型f(X,x,x)二XAX(A二A)是正定二次型，則由定理5可知12nA的主子式全大于零，所以A的順序主子式也全大于零.(u)對二次型的元數(shù)n作數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)n=1時,f(x1)-anx12,由條件知an，所以f(x1)是正定的.、a1,n-1假設(shè)充分性的判斷對于n-1元的二次型已經(jīng)成立，現(xiàn)在來證n元的情形.a1n(a11Wn-1,laa丿n-1,1n-1,n-1于是矩陣A

9、可以分塊寫成：A=a丿nn則的順序主子式也全大于零,由歸納法假定，A是正定矩陣則存在可逆的n-1階矩陣G,使得GAG=En-1于是CAC11Grl0Gaa人nnn-1laGa丿nn再令C2=則有CCACC=2(En1100、aaGGa丿nn令C二CC12(1annaGGa二d就有CAC=兩邊取行列式,C卩|A|=d，則由條件|A|0,因此d0.所以矩陣A與單位矩陣合同，因此A是正定矩陣即f是正定二次型定理7實二次型f（X1,X2,，）二XAX（A二A）是正定二次型的充要條件是矩陣A二TT（T是實可逆矩陣）證明（實二次型f（*x2,）二XAX（八A）是正定二次型，則由定理4可知存在可逆矩陣C,使

10、得CAC=E則A二(C)-1C-1二(C-1)C-1令T=C-1,則A二TT(u)若A二TT,則f(x,x，,x)二XAX二XAX二XTTX=(TX)(TX)TOC o 1-5 h z12n令Y二TX貝yf(x,x，,x)二YY二y2+y2+.+y212n12n所以f為正定二次型. HYPERLINK l bookmark76 o Current Document 定理8實二次型f(x,x,x)二XAX(A二A)是正定二次型的充要條件是TAT12n正定矩陣(其中T是實可逆矩陣)證明(實二次型f(x,x,x)二XAX(A二A)是正定二次型，則A是正定陣,12n令T-1X=Y(其中T可逆)則f(x

11、,x,x)二(TY)A(TY)二YTATY12n又因非退化線性替換不改變正定性,則f(x,x，,x)二YTATY12n是正定二次型，所以TAT是正定陣(u)TAT是正定陣，令g(y,y,y)二YTATY，則g(y,y,y)是正定二次型12n12n令X二TY則g(y,y,y)=f(x,x,x)二XAX是正定二次型12n12n定理9實二次型f(x,x,x)二XAX(A二A)是正定二次型的充要條件是矩陣12nA的全部特征值都是正的證明(實二次型f(x,x,x)二XAX(A二A)是正定二次型，則A是正定陣,12n又對于任意一個n階實對稱矩陣A,都存在一個n階正交矩陣T,使得TAT=T-iAT成為對角形

12、i令TAT=T-1AT=則九0,(i二1,2,n)否則與f為正定二次型相矛盾,i則T-1AT特征值為九，九，,九均大于零，即為正的.12n又相似矩陣有相同特征值，則A的特征值也均為正(u)A的全部特征值均為正的,則存在一個n階正交矩陣T，使得iTAT=T-iAT=其中九(i二1,2,n)為A的特征值，此由相似矩陣有相同的特征值得到.i第 頁共13頁3第 頁共13頁令X二TY,則f(x,x,x)二XAX二YTATY二九y2+九y2+九y212n1122nn所以f為正定二次型定理10實二次型f(x,x,x)二XAX(A=A)是正定二次型的充要條件是矩陣12nA是正定陣證明(n)實二次型f(x,x,

13、x)二XAX(A二A)是正定二次型，則由正定陣的12n定義可知A是正定陣.(U)A是正定陣，則A的順序主子式全都大于零.由定理6可知f是正定二次型.性質(zhì)：若A為n階實正定陣，顯然At，A-1也是正定陣注(1)若A是負(fù)定矩陣，則-A為正定矩陣.A是負(fù)定矩陣的充要條件是：(-1”IA10,(k=1,2,n).k其中A是A的k階順序主子式.k對半正定(半負(fù)定)矩陣可證明以下三個結(jié)論等價:對稱矩陣A是半正定(半負(fù)定)的；A的所有主子式大于(小于)或等于零；A的全部特征值大于(小于)或等于零.例1考慮二次型f=x2+4x2+4x2+2xx-2xx+4xx，問九為何值時，f123121323為正定二次型.

14、（1九-1解利用順序主子式來判別，二次型f的矩陣為A=九42，A的順序主子式為I-124J-121=4九24X+8=4（九一1）（九+2）.4于是，二次型f正定的充要條件是：A0,A0,有A=4九20,可知，2X0,可得-2九1,所以，當(dāng)一2九0(，從而丄0(k=1,2n)即,EA1的特征值全大于零故，E一A-1為正定矩陣.k例3設(shè)有n元二次型f(x,x,x)=(x+ax)2+(x+ax)2+(x+ax)212n112223nn1其中a(i=1,2,n)為實數(shù)，試問：當(dāng)a,a，,a滿足何種條件時，二次型f(x，,x)為i正定二次型.解令rx)1x20、000a110000000.001an-1

15、.01二1+(-1)n+iaaa豐0，即當(dāng)aaa主(-1)n時，原12n12二次型為正定二次型.例4設(shè)A,B分別是m,n階正定陣，試判定分塊矩陣C=是否為正定矩解因為A,B都是實對稱陣，從而C也是實對稱陣.且VXeRm+n,X主0,令(X)1IX、2y則X1eRm,X2eRn，且至少一個不為零向量于是XtCX=XtXT120、B丿(X=XtAX+XtBX01122故C為正定陣.例5若A是n階實對稱陣，證明：A半正定的充要條件是對任何卩0,B=卩E+A正定.證A是實對稱陣，從而存在正交陣T,使其中X為A的全部實特征值.九丿n先證必要性若A半正定，則九0,(i二1,2,n).又因為i廠卩+片所以B

16、的全部特征值為+九0(i二1,2,n)i又B=BeRm+n，B為正定陣.再證充分性若A不是正定陣，則存在0，此時可令卩二-才，則卩0,但(卩+九iB二卩E+A=T2即B中有一個特征值為牛0，這與B為正定陣的假設(shè)矛盾，從而得證A是半正定的.例6設(shè)A=(a)是階正定陣，證明：ij(1)對任意i豐j，都有a：10aaajjijijjj移項后，開方即證論可知由此即證aij10).再由第一問結(jié)kkkka：(aa)2a2=a(i主j)iijjkkkkaija(i,j=1,2,n)kk即A中絕對值最大元素必在主對角線上.結(jié)束語二次型的研究起源于解析幾何中二次曲線和二次曲面的理論，二次型的理論在數(shù)學(xué)和物理的許

17、多分支都有著廣泛的應(yīng)用.用二次型來解決初等數(shù)學(xué)、微積分中的一些問題，有時會起到意想不到的效果.本文通過研究二次型的性質(zhì)，借助例子說明二次型在求多元函數(shù)的的極值、最值、證明不等式、及判斷二次曲線的形狀等方面的應(yīng)用.將多元元函數(shù)求極值問題化為一個二次型問第12頁共13頁第 頁共13頁題.在三元及三元以上多元函數(shù)求極值時，這個方法比一般工科高等數(shù)學(xué)教材中介紹的求極值方法好用，而且能夠確定是極大值還是極小值.參考文獻(xiàn)王萼方，石生明高等代數(shù)（第三版）M.北京:高等教育出版社，2008.白蒙蒙，朱小琨實矩陣正定性的簡單判別方法M高等函授學(xué)報LiuMaoshengTheExtensionofpositivematrix,JournalofChongQINGvocational&technicalinstitute.HeChunLingTheDisc