1、 9/9課時分層作業(yè)(十四)函數(shù)模型的應(yīng)用一、選擇題1高為H，滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，其底部破了一個小洞，滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為h時水的體積為v，則函數(shù)vf(h)的大致圖象是()ABCDBvf(h)是增函數(shù)，且曲線的斜率應(yīng)該是先變大后變小，故選B2在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)，現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是()x1.992345.156.126y1.5174.041 87.51218.01Ay2x2Byeq f(1,2)(x21)Cylog2x Dylogeq sdo16(eq f(1,2)xB由題表可知函

2、數(shù)在(0，)上單調(diào)遞增，且y的變化隨x的增大而增大得越來越快，分析選項可知B符合，故選B3近些年，我國在治理生態(tài)環(huán)境方面推出了很多政策，習近平明確提出大力推進生態(tài)文明建設(shè)，努力建設(shè)美麗中國！某重型工業(yè)企業(yè)的生產(chǎn)廢水中某重金屬對環(huán)境有污染，因此該企業(yè)研發(fā)了治理回收廢水中該重金屬的過濾裝置，廢水每通過一次該裝置，可回收20%的該重金屬若當廢水中該重金屬含量低于最原始的4%時，至少需要經(jīng)過該裝置的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：lg 20.301)()A12B13 C14D15D設(shè)廢水中最原始的該重金屬含量為a，則經(jīng)過x次該裝置過濾后，該重金屬含量為aeq blc(rc)(avs4alco1(120%)eq su

3、p12(x)aeq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)eq sup12(x)，由題意知aeq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)eq sup12(x)0.04a，所以eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)eq sup12(x)eq f(1g 42,1g 41g 5)eq f(21g 22,31g 21)14.4，所以x取最小整數(shù)為15.故選D4新冠肺炎疫情防控中，核酸檢測是新冠肺炎確診的有效快捷手段某醫(yī)院在成為新冠肺炎核酸檢測定點醫(yī)院并開展檢測工作的第n天，每個檢測對象從接受檢測到檢測報告生成平均耗時teq (avs4alco1(n)(單位：小時)大

4、致服從的關(guān)系為teq (avs4alco1(n)eq blcrc (avs4alco1(f(t0,r(n)，nN0,f(t0,r(N0)，nN0) (t0、N0為常數(shù))已知第16天檢測過程平均耗時為16小時，第64天和第67天檢測過程平均耗時均為8小時，那么可得到第49天檢測過程平均耗時大致為()A16小時 B11小時C9小時 D8小時C由第64天和第67天檢測過程平均耗時均為8小時知，160，a1，k72，不符合題意綜上所述： 此戶居民本月用水量為15 m3.8為了響應(yīng)政府推進“菜籃子”工程建設(shè)的號召，某經(jīng)銷商投資60萬元建了一個蔬菜生產(chǎn)基地，第一年支出各種費用8萬元，以后每年支出的費用比上

5、一年多2萬元，每年銷售蔬菜的收入為26萬元設(shè)f (n)表示前n年的純利潤，則從第_年開始盈利(f (n)前n年的總收入前n年的總費用支出投資額)5由題意知f (n)26neq blcrc(avs4alco1(8nf(nn1,2)2)60n219n60.令f (n)0，即n219n600，解得4n0，a0，a1)增長，則該城市人口從8萬人開始增長到16萬人，大約需要經(jīng)過_年20根據(jù)圖象，函數(shù)ykax過點(20,10)，(40,20)，所以eq blcrc (avs4alco1(ka2010,ka4020) ，解得eq blcrc (avs4alco1(a202,k5) ，當人口從8萬人開始增長到

6、16萬人，則eq blcrc (avs4alco1(kaeq sup10(x1)8,kaeq sup10(x2)16) ，所以aeq sup10(x2x1)2，所以x2x120.所以從8萬人開始增長到16萬人，大約需要經(jīng)過20年三、解答題10某公司計劃投資開發(fā)一種新能源產(chǎn)品，預(yù)計能獲得101 000萬元的收益現(xiàn)準備制定一個對開發(fā)科研小組的獎勵方案：資金y(單位：萬元)隨收益x(單位：萬元)的增加而增加，且獎金總數(shù)不超過9萬元，同時獎金總數(shù)不超過收益的20%.(1)若建立獎勵方案函數(shù)模型yf(x)，試確定這個函數(shù)的定義域、值域和eq f(y,x)的范圍；(2)現(xiàn)有兩個獎勵函數(shù)模型：yeq f(x

7、,150)2；y4lg x3.試分析這兩個函數(shù)模型是否符合公司的要求？請說明理由解(1)yf(x)的定義域是10,1 000，值域是(0,9，eq f(y,x)(0,0.2(2)不符合，符合理由如下：當yeq f(x,150)2時，eq f(y,x)eq f(1,150)eq f(2,x)的最大值是eq f(31,150)0.2，不符合公司的要求當y4lg x3時，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，最大值為9.由eq f(y,x)0.2可知y0.2x0.令g(x)4lg x30.2x，x10,1 000，則g (x)eq f(20 xln 10,5xln 10)0，所以g(x)在10,1 000上單調(diào)遞

8、減，所以g(x)g(10)10，即eq f(y,x)0.2.故函數(shù)y4lg x3符合公司的要求11近年來，我國大部分地區(qū)遭遇霧霾天氣，給人們的健康、交通安全等帶來了嚴重影響經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)工業(yè)廢氣等污染物排放是霧霾形成和持續(xù)的重要因素，污染治理刻不容緩為此，某工廠新購置并安裝了先進的廢氣處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，以降低對空氣的污染已知過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(單位：mg/L)與過濾時間t(單位：h)間的關(guān)系為P(t)P0ekt(P0，k均為非零常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù))，其中P0為t0時的污染物數(shù)量若經(jīng)過5 h過濾后還剩余90%的污染物(1)求常數(shù)k的值；(2)試計算污染物減少到40

9、%至少需要多長時間(精確到1 h，參考數(shù)據(jù)：ln 0.21.61，ln 0.31.20，ln 0.40.92，ln 0.50.69，ln 0.90.11)解(1)由已知得，當t0時，PP0；當t5時，P90%P0.于是有90%P0P0e5k，解得keq f(1,5)ln 0.9(或k0.022)(2)由(1)，知PP0eeq sup10(eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)ln 0.9)t)，當P40%P0時，有0.4P0P0eeq sup10(eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)ln 0.9)t).解得teq f(ln 0.4,f(1,5)ln 0.9)e

10、q f(0.92,f(1,5)0.11)42.故污染物減少到40%至少需要42 h.1(2021山東濱州二模)某同學設(shè)想用“高個子系數(shù)k”來刻畫成年男子的高個子的程度，他認為，成年男子身高160 cm及其以下不算高個子，其高個子系數(shù)k應(yīng)為0；身高190 cm及其以上的是理所當然的高個子，其高個子系數(shù)k應(yīng)為1，請給出一個符合該同學想法、合理的成年男子高個子系數(shù)k關(guān)于身高xcm的函數(shù)關(guān)系式_keq blcrc (avs4alco1(0，0 x160，,f(1,30) (avs4alco1(x160)，160 x0)，x160,190，由eq blcrc (avs4alco1(160ab0,190a

11、b1) ，解得eq blcrc (avs4alco1(af(1,30),bf(16,3) ，所以k(x)eq f(1,30)xeq f(16,3)，所以keq blcrc (avs4alco1(0，0 x160，,f(1,30) (avs4alco1(x160)，160 x190，,1，x190.) 2某群體的人均通勤時間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤分析顯示：當S中x%(0 x100)的成員自駕時，自駕群體的人均通勤時間為f(x)eq blcrc (avs4alco1(30，0 x30,2xf(1 800,x)90，30 x100)

12、(單位：分鐘)，而公交群體的人均通勤時間不受x影響，恒為40分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題：(1)當x在什么范圍內(nèi)時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？(2)求該地上班族S的人均通勤時間g(x)的表達式；討論g(x)的單調(diào)性，并說明其實際意義解(1)由題意知，當30 x100時，f(x)2xeq f(1 800,x)9040，即x265x9000，解得x20或x45，x(45,100)時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間(2)當0 x30時，g(x)30 x%40(1x%)40eq f(x,10)；當30 x100時，g(x)eq blc(rc)(avs4

13、alco1(2xf(1 800,x)90)x%40(1x%)eq f(x2,50)eq f(13,10)x58；g(x)eq blcrc (avs4alco1(40f(x,10)，0 x30，,f(x2,50)f(13,10)x58，30 x100.)當0 x32.5時，g(x)單調(diào)遞減；當32.5x100時，g(x)單調(diào)遞增；說明該地上班族S中有小于32.5%的人自駕時，人均通勤時間是遞減的；有大于32.5%的人自駕時，人均通勤時間是遞增的；當自駕人數(shù)為32.5%時，人均通勤時間最少汽車急剎車的停車距離與諸多因素有關(guān)，其中最為關(guān)鍵的兩個因素是駕駛員的反應(yīng)時間和汽車行駛的速度設(shè)d表示停車距離，

14、d1表示反應(yīng)距離，d2表示制動距離，則dd1d2.如圖是根據(jù)美國公路局公布的試驗數(shù)據(jù)制作的停車距離示意圖序號速度(km/h)停車距離14017.025026.536035.747046.058052.769070.7710085.48110101.0由圖中數(shù)據(jù)得到如表的表格，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，建立停車距離與汽車速度的函數(shù)模型可選擇模型：davb模型；：dav2bv；模型：daveq f(b,v)；模型：dav2eq f(b,v)(其中v為汽車速度，a，b為待定系數(shù))進行擬合，如果根據(jù)序號3和序號7兩組數(shù)據(jù)分別求出四個函數(shù)模型的解析式，并通過計算120 km/h時的停車距離與實驗數(shù)據(jù)比較，則擬合

15、效果最好的函數(shù)模型是哪一個？解若選擇模型，則eq blcrc (avs4alco1(60ab35.7，,100ab85.4，)解得a1.242 5，b38.85.故d1.242 5v38.85.當v120時，停車距離d的預(yù)測值為1.242 512038.85110.25.若選擇模型，則eq blcrc (avs4alco1(3 600a60b35.7，,10 000a100b85.4，)解得a0.006 475，b0.206 5.故d0.006 475v20.206 5v.當v120時，停車距離d的預(yù)測值為0.006 47512020.206 5120118.02.若選擇模型，則eq blcr

16、c (avs4alco1(3 600a60b35.7，,10 000a100b85.4，)解得a0.006 475，b0.206 5.故d0.006 475v20.206 5v.當v120時，停車距離d的預(yù)測值為0.006 47512020.206 5120118.02.若選擇模型，則eq blcrc (avs4alco1(60af(b,60)35.7，,100af(b,100)85.4，)解得a0.999 687 5，b1 456.875.故d0.999 687 5veq f(1 456.875,v).當v120時，停車距離d的預(yù)測值為0.999 687 5120eq f(1 456.875,120)107.8