1、2022-2023學年廣東省揭陽市普寧實驗中學高二數(shù)學理期末試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. 過雙曲線C1：=1（a0，b0）的左焦點F作圓C2：x2+y2=a2的切線，設切點為M，延長FM交雙曲線C1于點N，若點M為線段FN的中點，則雙曲線C1的離心率為（）ABC +1D參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【分析】通過雙曲線的特點知原點O為兩焦點的中點，利用中位線的性質(zhì)，求出NF的長度及判斷出NF垂直于NF，通過勾股定理得到a，c的關系，進而求出雙曲線的離心率【解答】解：如圖，記右焦點為F，則O為FF的中點

2、，M為NF的中點，OM為FFN的中位線，NF=2OM=2a，M為切點，OMNF，NFNF，點N在雙曲線上，NFNF=2a，NF=NF+2a=4a，在RtNFF中，有：NF2+NF2=FF2，16a2+4a2=4c2，即5a2=c2，離心率e=故選：A【點評】本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)、圓的方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，在圓錐曲線中，求離心率關鍵就是求三參數(shù)a，b，c的關系，注意解題方法的積累，屬于中檔題2. 不等式4x24x+10的解集為（）ABx|xCRD?參考答案：C【考點】一元二次不等式的解法【專題】對應思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應用【分析】把原

3、不等式化為（2x1）20，由此解出不等式的解集【解答】解：不等式4x24x+10可化為（2x1）20，解得xR；該不等式的解集為R故選：C【點評】本題考查了不等式的解法與應用問題，解題時應根據(jù)不等式的特征進行解答，是基礎題3. 已知函數(shù)，其圖像大致為（ ）A. B. C. D. 參考答案：B【分析】檢驗得：，所以為奇函數(shù)，排除C,D，再利用導數(shù)即可求得，即可判斷在上存在遞增區(qū)間，排除A，問題得解?！驹斀狻恳颍詾槠婧瘮?shù)，排除C,D當時，所以，所以在上存在遞增區(qū)間，排除A.故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的圖像識別，考查了奇函數(shù)的圖像特征及利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查計算能力及轉(zhuǎn)化能力，

4、屬于中檔題。4. 拋物線的焦點為，準線為，點為拋物線上的兩個動點，且滿足.設線段的中點在準線上的投影為，則的最大值為（ ）A B C. D 參考答案：A5. 若定義運算則函數(shù)的值域是 A. 0,+) B. (0,1 C. 1,+) D. R參考答案：A6. 若、為實數(shù)，則下面一定成立的是（ ）A若,則 B若,則 C若,則 D若,則參考答案：C7. 函數(shù)的圖像大致為參考答案：A略8. 已知雙曲線（a0，b0），過其右焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線交于M，N 兩點，O為坐標原點若OMON，則雙曲線的離心率為_參考答案：9. 已知向量a ，b ，ab則k=（ ）（A） （B） （C）（D）參考答案：

5、A略10. A是圓上固定的一點，在圓上其他位置任取一點A，連接AA如右圖，它是一條弦，它的長度大于等于半徑長的概率為() A. B. C. D.參考答案：B略二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 已知曲線、的極坐標方程分別為，則曲線上的點與曲線上的點的最遠距離為_.參考答案：12. 在三角形ABC中,有命題:-= ;+=.若(+).( - )=0,則三角形ABC為等腰三角形;若.0則三角形ABC為銳角三角形,上述命題正確的是 參考答案：23略13. 不等式的解集為 參考答案： 14. 定義在R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=ax+b（a，b為常數(shù)），使得f（x）g（

6、x）對一切實數(shù)x都成立，則稱g（x）為函數(shù)f（x）的一個承托函數(shù)給出如下命題：函數(shù)g（x）=2是函數(shù)f（x）=的一個承托函數(shù)；函數(shù)g（x）=x1是函數(shù)f（x）=x+sinx的一個承托函數(shù)；若函數(shù)g（x）=ax是函數(shù)f（x）=ex的一個承托函數(shù)，則a的取值范圍是0，e；值域是R的函數(shù)f（x）不存在承托函數(shù)；其中，所有正確命題的序號是參考答案：【考點】命題的真假判斷與應用【分析】，由f（x）=知，x0時，f（x）=lnx（，+），不滿足f（x）g（x）=2對一切實數(shù)x都成立，可判斷；，令t（x）=f（x）g（x），易證t（x）=x+sinx（x1）=sinx+10恒成立，可判斷；，令h（x）=ex

7、ax，通過對a=0，a0的討論，利用h（x）=exa，易求x=lna時，函數(shù)取得最小值aalna，依題意即可求得a的取值范圍，可判斷；，舉例說明，f（x）=2x，g（x）=2x1，則f（x）g（x）=10恒成立，可判斷【解答】解：，x0時，f（x）=lnx（，+），不能使得f（x）g（x）=2對一切實數(shù)x都成立，故錯誤；，令t（x）=f（x）g（x），則t（x）=x+sinx（x1）=sinx+10恒成立，故函數(shù)g（x）=x1是函數(shù)f（x）=x+sinx的一個承托函數(shù)，正確；，令h（x）=exax，則h（x）=exa，由題意，a=0時，結(jié)論成立；a0時，令h（x）=exa=0，則x=lna，函

8、數(shù)h（x）在（，lna）上為減函數(shù)，在（lna，+）上為增函數(shù)，x=lna時，函數(shù)取得最小值aalna；g（x）=ax是函數(shù)f（x）=ex的一個承托函數(shù)，aalna0，lna1，0ae，綜上，0ae，故正確；，不妨令f（x）=2x，g（x）=2x1，則f（x）g（x）=10恒成立，故g（x）=2x1是f（x）=2x的一個承托函數(shù)，錯誤；綜上所述，所有正確命題的序號是故答案為：15. 已知函數(shù)，則= 。參考答案：略16. 已知aR，若在區(qū)間（0，1）上只有一個極值點，則a的取值范圍為參考答案：a0【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【分析】求導數(shù)，分類討論，利用極值、函數(shù)單調(diào)性，即可確定a的取值范圍【

9、解答】解：f（x）=（x+）ex，f（x）=（）ex，設h（x）=x3+x2+axa，h（x）=3x2+2x+a，a0，h（x）0在（0，1）上恒成立，即函數(shù)h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，h（0）=a0，h（1）=20，h（x）在（0，1）上有且只有一個零點x0，使得f（x0）=0，且在（0，x0）上，f（x）0，在（x0，1）上，f（x）0，x0為函數(shù)f（x）在（0，1）上唯一的極小值點；a=0時，x（0，1），h（x）=3x2+2x0成立，函數(shù)h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，此時h（0）=0，h（x）0在（0，1）上恒成立，即f（x）0，函數(shù)f（x）在（0，1）上為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)f（x

10、）在（0，1）上無極值；a0時，h（x）=x3+x2+a（x1），x（0，1），h（x）0在（0，1）上恒成立，即f（x）0，函數(shù)f（x）在（0，1）上為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)f（x）在（0，1）上無極值綜上所述，a0，故答案為：a017. 函數(shù)的定義域為 參考答案：（【考點】33：函數(shù)的定義域及其求法【分析】根據(jù)二次根式以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的定義域即可【解答】解：由題意得：02x11，解得：x1，故答案為：（三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. （本題滿分12分）已知函數(shù)的圖象過點，且函數(shù)是偶函數(shù).（1）求的值； （2）若，求函數(shù)在區(qū)間的極值.

11、參考答案：（1）由函數(shù)的圖象過點，得由得，則而的圖像關于軸對稱，所以，由得 4分（2）由（1）知，令得5分由得，由得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減在處取得極大值，在處取得極小值 8分由此可得：當時，在內(nèi)有極大值=-2，無極小值.當時，在內(nèi)無極值.當時，在內(nèi)有極小值=-6，無極大值.當時，在內(nèi)無極值. 12分19. （本小題滿分12分）運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米(50 x100)(單位：千米/小時)假設汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油(2)升，司機的工資是每小時14元(1)求這次行車總費用y關于x的表達式；(2)當x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值參考答案

12、：解：(1)行車所用時間為t(h)，y2(2)，x50,100所以，這次行車總費用y關于x的表達式是yx，x50,100(2)yx26，當且僅當x，即x18時，上述不等式中等號成立當x18時，這次行車的總費用最低，最低費用為26元略20. 已知函數(shù)（）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論；（）當時，恒成立，求整數(shù)的最大值；（）試證明：參考答案：解：（）由題故在區(qū)間上是減函數(shù)（）當時，恒成立，即在上恒成立，取，則，再取則故在上單調(diào)遞增，而，故在上存在唯一實數(shù)根，故時，時，故故（）由（）知：令，又即：略21. 如圖，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，A

13、BDC，BCD=90（1）求證：PCBC；（2）求點A到平面PBC的距離參考答案：考點： 點、線、面間的距離計算；空間中直線與平面之間的位置關系專題： 空間位置關系與距離；立體幾何分析： （1），要證明PCBC，可以轉(zhuǎn)化為證明BC垂直于PC所在的平面，由PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90，容易證明BC平面PCD，從而得證；（2），有兩種方法可以求點A到平面PBC的距離：方法一，注意到第一問證明的結(jié)論，取AB的中點E，容易證明DE平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等，而A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍，由第一問證明的結(jié)論知平面PBC平

14、面PCD，交線是PC，所以只求D到PC的距離即可，在等腰直角三角形PDC中易求；方法二，等體積法：連接AC，則三棱錐PACB與三棱錐APBC體積相等，而三棱錐PACB體積易求，三棱錐APBC的地面PBC的面積易求，其高即為點A到平面PBC的距離，設為h，則利用體積相等即求解答： 解：（1）證明：因為PD平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PDBC由BCD=90，得CDBC，又PDDC=D，PD、DC?平面PCD，所以BC平面PCD因為PC?平面PCD，故PCBC（2）（方法一）分別取AB、PC的中點E、F，連DE、DF，則：易證DECB，DE平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等又點A到

15、平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因為PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F易知DF=，故點A到平面PBC的距離等于（方法二）等體積法：連接AC設點A到平面PBC的距離為h因為ABDC，BCD=90，所以ABC=90從而AB=2，BC=1，得ABC的面積SABC=1由PD平面ABCD及PD=1，得三棱錐PABC的體積因為PD平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PDDC又PD=DC=1，所以由PCBC，BC=1，得PBC的面積由VAPBC=VPABC，得，故點A到平面PBC的距離等于點評： 本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關系，考查幾何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力22. （本小題滿分13分）如右圖所示，拋