1、 生理系統(tǒng)建模第一章 數(shù)學建模概述1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型1.2 數(shù)學建模的重要意義1.3 數(shù)學建模示例1.4 數(shù)學建模的方法和步驟1.5 數(shù)學模型的特點和分類1.6 怎樣學習數(shù)學建模玩具、照片、飛機、火箭模型 實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機 物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型我們常見的模型你碰到過的數(shù)學模型“航行問題”用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需

2、30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x =20y =5求解航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟 作出簡化假設（船速、水速為常數(shù)）； 用符號表示有關量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以 時間）列出數(shù)學式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學解答（x=20, y=5）； 回答原問題（船速每小時20千米/小時）。數(shù)學模型 (Mathematical Model) 和數(shù)學建模（Mathematical Modeling)對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學模型的全過程（包括表

3、述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學模型數(shù)學建模 1.2 數(shù)學建模的重要意義隨著電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展，數(shù)學以空前的廣度和深度向一切領域滲透。數(shù)學建模作為用數(shù)學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。 在一般工程技術領域數(shù)學建模仍然大有用武之地； 在高新技術領域數(shù)學建模幾乎是必不可少的工具； 數(shù)學進入一些新領域，為數(shù)學建模開辟了新的天地。數(shù)學建模的具體應用 分析與設計 預報與決策 控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理數(shù)學建模計算機技術知識經(jīng)濟如虎添翼1.3 數(shù)學建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析模型假設通常 三只腳著地放穩(wěn) 四只腳著地 四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形

4、; 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面; 地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。模型構(gòu)成用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來 椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCODC B A 用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置 四只腳著地距離是的函數(shù)四個距離(四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和 f()B,D 兩腳與地面距離之和 g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉(zhuǎn)正方形對稱性用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來f() , g()是連續(xù)函數(shù)對任意, f(), g()至少一個為0數(shù)學問題已知： f() , g()是連續(xù)函數(shù) ; 對任意， f

5、() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0.令h()= f()g(), 則h(0)0和h(/2)0.由 f, g的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .因為f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.評注和思考建模的關鍵 和 f(), g()的確定背景 年 1625 1830 19

6、30 1960 1974 1987 1999人口(億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長概況中國人口增長概況 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口(億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長1.3.2 如何預報人口的增長指數(shù)增長模型馬爾薩斯提出 (1798)常用的計算公式x(t) 時刻t的人口基本假設 : 人口(相對)增長率 r 是常數(shù),即單位時間內(nèi)x(t)的增量等于r 乘以x(t)今年人口 x0, 年增長率 rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長指數(shù)

7、增長模型的應用及局限性 與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合 適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預測 不符合19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律 不能預測較長期的人口增長過程19世紀后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設r固有增長率(x很小時)xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲線, x增加先快后慢x0 xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)

8、模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為281.4 (百萬)模型應用預報美國2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)Logistic 模型在經(jīng)濟領域中的應用(如耐用消費品的售量)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0與實際數(shù)據(jù)的誤差約2.5%,可以認為該模型是相當滿意的。參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數(shù) r, xm 利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位百萬） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 5

9、0.2 179.3 204.0 226.5 251.4阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557, xm=392.1 數(shù)學建模的基本方法機理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律將對象看作“黑箱”,通過對測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究 (Case Studies)來學習。二者結(jié)合用機理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測試分析確定模型參數(shù)1.4 數(shù)學建模的方法和步驟 數(shù)學建模的一般步驟模型準備模型假設模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗模型應用模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關信息掌握對象特征形成一個比較清晰的問題模

10、型假設針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設在合理與簡化之間作出折衷通常假設的依據(jù)，一是出于對問題內(nèi)在規(guī)律的認識，二是來自對現(xiàn)象、數(shù)據(jù)的分析，以及二者的綜合。 模型構(gòu)成用數(shù)學的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學工具 數(shù)學建模的一般步驟模型求解解方程、畫圖形、優(yōu)化方法、數(shù)值計算、統(tǒng)計分析等各種數(shù)學方法，數(shù)學軟件和計算機技術如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗模型的合理性、適用性模型應用 數(shù)學建模的一般步驟數(shù)學建模的全過程現(xiàn)實對象的信息數(shù)學模型現(xiàn)實對象的解答數(shù)學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋

11、驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學問題選擇適當?shù)臄?shù)學方法求得數(shù)學模型的解答將數(shù)學語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答實踐現(xiàn)實世界數(shù)學世界理論實踐1.5 數(shù)學模型的特點和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進性模型的強健性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的非預制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性 數(shù)學模型的特點數(shù)學模型的分類應用領域人口、交通、經(jīng)濟、生態(tài) 數(shù)學方法初等數(shù)學、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計 表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預報、決策 建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)1.6 怎樣學習數(shù)學建模數(shù)學建模與其說是一門技術，不如說是一門藝術技術大致有章

12、可循藝術無法歸納成普遍適用的準則想像力洞察力判斷力 學習、分析、評價、改進別人作過的模型 親自動手，認真作幾個實際題目 大學生數(shù)學建模競賽介紹 早在1938年，美國數(shù)學協(xié)會（MAA）主持了一種在每年12月的第一個星期六舉行的大學生數(shù)學競賽，簡稱Putnam（普特南）數(shù)學競賽，主要考核基礎知識和訓練邏輯推理及證明、思維、計算能力等，后成為歷史悠久、影響很大的全美大學生數(shù)學競賽。 但該競賽因缺乏實際應用能力和計算機能力的考核，逐漸影響了大學生們參賽的積極性，后經(jīng)過論證、討論和爭取資助，終于在1985年開始了第一屆美國大學生數(shù)學模型競賽。 美國在1985年舉行的首屆競賽時就有美國70所大學的90個隊

13、參加，到1992年已經(jīng)發(fā)展到有美國和其它一些國家的189所大學的292個隊參加的國際性的競賽了。它有美國大學生數(shù)學建模競賽（MCM）和交叉學科建模競賽（ICM）兩種。因我國大學生參賽有兩個困難：（1）時間是在中國傳統(tǒng)節(jié)日春節(jié)其間。（2）題目是英文的，論文也要求用英文。 在1992年由中國工業(yè)與應用數(shù)學學會（CSIAM）舉辦后改由國家教委高教司和中國工業(yè)與應用數(shù)學學會共同主辦的面向全國大學生的全國大學生數(shù)學建模競賽CUMCM(China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling)也逐漸開展起來了。 其形式：全國統(tǒng)一競賽題目，采取通訊競賽方式，以

14、相對集中的形式進行。 其時間：一般在每年9月中旬后的三天內(nèi)舉行。 其特點： 1）開放性：試題的解答過程、解答工具、結(jié)果都是開放的。 2）應用性：試題來源于工程技術、社會經(jīng)濟生活中的實際問題。 3）挑戰(zhàn)性、趣味性：考察數(shù)學知識、計算機知識、發(fā)現(xiàn)及解答問題能力、 信息收集能力、文字表達能力、合作交流能力。 4）可參與性：強綜合性、開放性的競賽結(jié)果，不排名不打分。 1992年由中國工業(yè)與應用數(shù)學學會(CSIAM)組織第一次競賽 1994年起由教育部高教司和CSIAM共同舉辦，每年一次全國大學生數(shù)學建模競賽迅速發(fā)展的十年 全國高校規(guī)模最大的課外科技活動 受到廣大師生的熱烈歡迎，得到社會各界的廣泛支持

15、數(shù)學教育應該培養(yǎng)學生兩種能力：“算數(shù)學”（計算、推導、證明）和“用數(shù)學”（實際問題建模及模型結(jié)果的分析、檢驗、應用）； 傳統(tǒng)數(shù)學教學體系和內(nèi)容偏重前者，忽略后者； 數(shù)學建模引入教學是不打亂現(xiàn)有體系下的教改實驗。 數(shù)學建模進入大學是教學改革的需要 數(shù)學建模引入教學旨在培養(yǎng)“用數(shù)學”的能力 引起注意 激發(fā)興趣 介紹方法 培養(yǎng)能力 在教師指導下以學生自己動手、動眼、動腦為主，借助計算機的運算、圖形功能和方便的數(shù)學軟件，通過數(shù)值的、幾何的觀察、聯(lián)想、類比，去發(fā)現(xiàn)線索，探討規(guī)律，學習解決實際問題常用的數(shù)學方法； 在此基礎上分析、解決經(jīng)過簡化的實際問題，親身感受“用數(shù)學”的酸甜苦辣，“做然后知不足”，提高

16、學數(shù)學、用數(shù)學的興趣、意識和能力，促成數(shù)學教學的良性循環(huán)； 在大學數(shù)學教學體系中起著承上（數(shù)學基礎課）、啟下（研究生課程）的作用。目的 集數(shù)值計算、優(yōu)化方法、數(shù)理統(tǒng)計、數(shù)學建模及數(shù)學軟件技術于一體，以“了解數(shù)學基本原理、知道主要數(shù)值算法、會用計算機軟件實現(xiàn)、培養(yǎng)數(shù)學建模能力” 為基本要求； 選擇一個合適的軟件平臺，如MATLAB，能夠方便地實現(xiàn)上述內(nèi)容的主要算法 ； 以數(shù)學方法為橫向安排課程內(nèi)容，以數(shù)學建模為縱向引入問題、引出方法，最后落實于問題的解決。內(nèi)容競賽內(nèi)容：題目由工程技術、管理科學中的實際問題簡化而成，沒有事先設定的標準答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。競賽形式：

17、三名大學生組成一隊，可以自由地收集資料、調(diào)查研究，使用計算機、互聯(lián)網(wǎng)和任何軟件，在三天時間內(nèi)分工合作完成一篇論文。評獎標準：假設的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性、文字表述的清晰程度。競賽宗旨：創(chuàng)新意識 團隊精神 重在參與 公平競爭全國大學生數(shù)學建模競賽運用學過的數(shù)學知識和計算機（包括選擇合適的數(shù)學軟件）分析和解決實際問題的能力面對復雜事物的想象力、洞察力、創(chuàng)造力和獨立進行研究的能力關心、投身國家經(jīng)濟建設的意識和理論聯(lián)系實際的學風團結(jié)合作精神和進行協(xié)調(diào)的組織能力勇于參與的競爭意識和不怕困難、奮力攻關的頑強意志查閱文獻、收集資料及撰寫科技論文的文字表達能力數(shù)學建模競賽培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神，提高學生綜合素質(zhì)數(shù)學建模競賽優(yōu)秀論文評析 每年出兩道題(大學:A,B題; 大專:C,D題), 任選一題. A,C 為連續(xù)型題目; B,D為離散型題目數(shù)學建模競賽的組織培訓和論文撰寫數(shù)學建模競賽的培訓內(nèi)容1）建模的基本概念和方法（數(shù)學建模課程的主要內(nèi)容）2）建模過程中常用的數(shù)學方法(微積分、代數(shù)、概率外)，主要有：計算方法(如數(shù)值微分和積分、微分方程數(shù)值解、代數(shù)方程組解法)，優(yōu)化方法(如線性、非線性規(guī)劃)，數(shù)理統(tǒng)計(如假設檢驗、回歸分析)，圖論(如最短路)等。 只要求知道實際問題與這些數(shù)學知識之間的對應關系（如哪些問題可用線性規(guī)劃求解，或線性規(guī)劃可