1、數(shù)學(xué)深度教學(xué)的課堂要素摘 要 為扎實(shí)理解的教學(xué)(Teaching fbr Robust Understanding,簡稱TRU)項(xiàng)目基于培養(yǎng)學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)思維 的目的，將高效課堂的基本屬性總結(jié)為數(shù)學(xué)內(nèi)容、認(rèn)知需求、公平獲得、身份認(rèn)同感，以及形成性評(píng)價(jià)等 五個(gè)維度。TRU的課堂評(píng)價(jià)和改進(jìn)工具有助于一線教師改善課堂教學(xué)。關(guān)鍵詞TRU數(shù)學(xué)課堂深度教學(xué)、引言深度教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途 徑，重視引導(dǎo)學(xué)生更清晰、深入、全面、合理的思 考1o數(shù)學(xué)課堂是師生互動(dòng)最多的情境，如何在其 中滲透深度教學(xué)的理念是需要關(guān)注的重要問題。 關(guān)于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的理論成果汗牛充棟，但高深理 論難以融入實(shí)際教學(xué)仍是常

2、見難題。數(shù)學(xué)課堂教 學(xué)的形式化、模板化導(dǎo)致了“為深度而深度”、“表面 上熱鬧，實(shí)際沒有收獲”的現(xiàn)狀。因此需進(jìn)一步審 視數(shù)學(xué)深度教學(xué)需要什么樣的課堂、怎樣以友好方 式讓一線教師將深度教學(xué)理念滲透在數(shù)學(xué)課堂中。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)是使學(xué)生慣 用數(shù)學(xué)思維來思考,有深度的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)更 注重“如何做”“為什么”，而非簡單機(jī)械的“是什 么”。深度教學(xué)的理念與美國學(xué)者Alan Schoenfeld 發(fā)起的為扎實(shí)理解的數(shù)學(xué)教學(xué)(Teaching for Robust Understanding in Mathematics，簡稱 TRU-Math )研究 不謀而合2。該項(xiàng)目探究了數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注什

3、 么，怎樣的課堂環(huán)境能幫學(xué)生成為淵博靈活的思考 者和學(xué)習(xí)者，教師如何創(chuàng)造更有效的課堂環(huán)境等方 面的問題4，從數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)(Why )，有效課堂的 要素(What)，教師或教育研究者如何使用(How)等 三個(gè)維度提供了有效數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的框架。盡管有學(xué)者已介紹了 TRU的框架以及評(píng)分標(biāo) 準(zhǔn)3，Schoenfeld本人于2018年也在第三屆華人數(shù) 學(xué)教育大會(huì)(上海)中做了相關(guān)報(bào)告,但該框架依舊 被我國的一線教師冷落。TRU在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)理 念和實(shí)踐等層面都體現(xiàn)了深度教學(xué)的目標(biāo)，有助于 改善數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，因此本文將介紹TRU的目標(biāo)、 框架和工具，以期提供有價(jià)值的參考。二、TRU的目標(biāo)數(shù)學(xué)深度教學(xué)能夠

4、使所有學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上有機(jī)會(huì)掌握豐 富的數(shù)學(xué)知識(shí)、能夠靈活地?cái)?shù)學(xué)地思考，是TRU項(xiàng) 目的研究目標(biāo)。TRU框架認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并不 是對(duì)知識(shí)或步驟的記憶、重復(fù)和演練，因此，數(shù)學(xué)課 堂教學(xué)不能滿足于灌輸給學(xué)生一系列數(shù)學(xué)知識(shí)或 步驟的表面功夫，而應(yīng)達(dá)到使學(xué)生理解各個(gè)概念或 主題背后的聯(lián)系、數(shù)學(xué)學(xué)科的基本思想之深度。這 體現(xiàn)了深度教學(xué)的宗旨一讓學(xué)生在課堂中體驗(yàn) 像數(shù)學(xué)家一樣思考的過程。深度教學(xué)首先需要教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理 解。教師關(guān)于“學(xué)生應(yīng)該怎樣理解數(shù)學(xué)”的觀點(diǎn)，很 大程度反映在課堂教學(xué)的目標(biāo)和實(shí)施過程中向。因 此，教師在授課前就應(yīng)深入思考數(shù)學(xué)中各個(gè)主題之 間的互相聯(lián)系和基本思想，除此之外，還需要

5、對(duì)學(xué) 生的學(xué)習(xí)心理有較好的把握。在此前提下，TRU研 究提出深度課堂教學(xué)的五個(gè)維度，包括數(shù)學(xué)內(nèi)容、 認(rèn)知需求、公平獲得、歸屬感和身份認(rèn)同感，以及形 成性評(píng)價(jià)6。TRU遵循培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思考的原 則,刻畫了數(shù)學(xué)深度課堂教學(xué)。從綜合的角度來看, 如果課堂教學(xué)能夠按照這五個(gè)維度去設(shè)計(jì)或?qū)嵤? 那么學(xué)生在這樣有深度的學(xué)習(xí)環(huán)境下，將成為有學(xué) 識(shí)、靈活和機(jī)智的思考者和學(xué)習(xí)者。從分析的角度 來看，每個(gè)單獨(dú)的維度都是教師專業(yè)發(fā)展中應(yīng)關(guān)注 的焦點(diǎn)，在教師教育過程中，應(yīng)專注于系統(tǒng)地改進(jìn) 每個(gè)維度。那么,怎樣闡釋這些維度的含義？如何 將其應(yīng)用于教學(xué)？以下將就這兩個(gè)問題具體分析。三、TRU框架有效課堂的要素在數(shù)學(xué)課堂

6、中進(jìn)行什么樣的活動(dòng)才能發(fā)展學(xué) 生的數(shù)學(xué)能力？ TRU認(rèn)為優(yōu)秀的深度課堂教學(xué)在 以下五方面為學(xué)生提供了好的學(xué)習(xí)環(huán)境，即數(shù)學(xué)內(nèi) 容，認(rèn)知需求，公平獲得,歸屬感和身份認(rèn)同感，以 及形成性評(píng)價(jià)。需要明確的是，TRU框架并不規(guī)定 深度課堂中應(yīng)該發(fā)生什么，因?yàn)榻虒W(xué)無定法。TRU 的五個(gè)維度僅提供有效課堂的參考和方向。數(shù)學(xué)內(nèi)容賦予學(xué)生數(shù)學(xué)思維是TRU的主要目標(biāo)，學(xué)生 在課堂上應(yīng)體驗(yàn)到連貫的、將有意義的解題過程 和步驟符號(hào)化了的數(shù)學(xué)，而不是一系列被用來背 誦的彼此孤立的事實(shí)、步驟和概念。例如,直角坐 標(biāo)系下直線的方程可表示為y=kx+b； Ax+By=C； x/a+y/b=1，y-yo / x-x0=m這幾種

7、線性關(guān)系的不同形 式，分別表示已知直線的任意兩個(gè)信息就可以決定 其位置，互相之間能自由轉(zhuǎn)換。數(shù)學(xué)教學(xué)中需用聯(lián) 系的觀點(diǎn)看待以突出知識(shí)的連貫性。這反映了深 度教學(xué)從“知識(shí)點(diǎn)”走向“知識(shí)結(jié)構(gòu)”的基本理念叫知識(shí)問題是深度課堂教學(xué)中的關(guān)鍵，“知其所 以然”的課程內(nèi)容是必要前提。將數(shù)學(xué)知識(shí)作為需 要死記硬背的步驟來教學(xué)，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的知識(shí)停留 在淺層，思維固化等后果面。TRU提倡使數(shù)學(xué)知識(shí) 深入而重點(diǎn)突出、具有連貫性和準(zhǔn)確性，幫助學(xué)生 理解數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)。認(rèn)知需求教師在幫助學(xué)生處理任務(wù)時(shí)不能削弱重要的 數(shù)學(xué)內(nèi)容，深度的數(shù)學(xué)課堂需滿足學(xué)生的認(rèn)知需 求。為此需找到平衡點(diǎn)，教師既能讓學(xué)生明白自己 遇到了什么問題，又留

8、下獨(dú)立思考的空間。深度教 學(xué)的實(shí)現(xiàn)需經(jīng)歷問題解決、知識(shí)運(yùn)用、開拓創(chuàng)新的 過程,如果教師將數(shù)學(xué)知識(shí)“填鴨”似地教給學(xué)生, 則不能使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)或形成良好的數(shù)學(xué)思 維習(xí)慣。公平獲得該維度聚焦于數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)是否能使學(xué)生都 參與有意義的實(shí)踐。學(xué)生所獲數(shù)學(xué)成就的高低與 他們的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)有關(guān)回。學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)差異的一個(gè)主要 來源是教師講授知識(shí)的不同方式，即課堂教學(xué)的不 同深度。在數(shù)學(xué)課堂中誰有機(jī)會(huì)真正參與到數(shù)學(xué) 活動(dòng)？所有學(xué)生都常有機(jī)會(huì)討論數(shù)學(xué)觀點(diǎn)嗎？每 個(gè)學(xué)生都有鍛煉或者展示自己的機(jī)會(huì)嗎？每個(gè)學(xué) 生都能用現(xiàn)有的知識(shí)理解遇到的問題嗎6 ？好的 教師會(huì)選擇并設(shè)計(jì)一些任務(wù)的切入點(diǎn)，鼓勵(lì)所有學(xué) 生參與到挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)

9、活動(dòng)中四。身份認(rèn)同感TRU框架的第四方面涉及學(xué)生的數(shù)學(xué)氣質(zhì)和 自我認(rèn)同(Mathematical Dispositions and Identities ), 包括態(tài)度、信心、毅力、對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)等。許多學(xué)生 持有錯(cuò)誤或消極的信念，如數(shù)學(xué)是被記憶而不是理 解的，自己不擅長數(shù)學(xué)等11o深度教學(xué)關(guān)注學(xué)生的 情感體驗(yàn)，使學(xué)生在數(shù)學(xué)上認(rèn)同自己,成為積極的 數(shù)學(xué)思維者。數(shù)學(xué)自我認(rèn)同包括兩個(gè)方面，第一是自主性 (agency),即個(gè)體做數(shù)學(xué)的意愿，源于認(rèn)識(shí)到自己 面對(duì)挑戰(zhàn)時(shí)取得的進(jìn)展和對(duì)自己所得結(jié)論的信心。 第二是權(quán)威性(ownership ),指的是個(gè)體對(duì)自己推導(dǎo) 的數(shù)學(xué)學(xué)科思想的自信。在賦予學(xué)生身份認(rèn)同

10、感 的課堂中，教師能發(fā)現(xiàn)每個(gè)學(xué)生的優(yōu)勢(shì)并借此幫助 學(xué)生參與到學(xué)習(xí)共同體中去。形成性評(píng)價(jià)形成性評(píng)價(jià)引發(fā)學(xué)生的思考和回應(yīng)，重視出現(xiàn) 的誤解,并要求教師有目的地設(shè)計(jì)任務(wù)以評(píng)估學(xué)生 的理解程度，再利用這些信息塑造課堂活動(dòng)1213O 教師在評(píng)估學(xué)生理解程度的同時(shí)也得到了改良教 學(xué)方式的機(jī)會(huì)，其后續(xù)問題、任務(wù)以及“下一步如何 做”都是為了更深層次的課堂教學(xué)目標(biāo)。此過程中 教師關(guān)注學(xué)生的理解，因材施教式地教學(xué)，就可形 成“更清晰、更關(guān)注重點(diǎn)和更有效的”深度教學(xué)課堂 了。實(shí)施形成性評(píng)價(jià)時(shí)，學(xué)生會(huì)被要求在反思中表 達(dá)自己的想法和收獲，這將使學(xué)生理解更透徹并將 新舊知識(shí)相聯(lián)系。TRU框架全面概括了深度數(shù)學(xué)課堂應(yīng)具

11、備的 屬性，五個(gè)維度彼此緊密聯(lián)系成一個(gè)整體,共同作 用于挖掘教師數(shù)學(xué)教學(xué)的深度，以及學(xué)生思考能力 的清晰、深入、全面、合理，如圖1。圖1 TRU五個(gè)維度之間的關(guān)系數(shù)學(xué)內(nèi)容的選擇決定了是否滿足學(xué)生的認(rèn)知 需求,形成性評(píng)價(jià)是否具有好的切入點(diǎn)。公平獲得 保證每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)身份認(rèn)同感，認(rèn)知需求以及恰 當(dāng)?shù)男纬尚栽u(píng)價(jià)確保了參與的意義。四、TRU在數(shù)學(xué)深度教學(xué)中的應(yīng)用TRU在教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂教學(xué)評(píng)價(jià)、教學(xué)研究等 實(shí)踐環(huán)節(jié)中均有其價(jià)值。理論上如果課堂教學(xué)能 按TRU的五個(gè)維度設(shè)計(jì)實(shí)施，學(xué)生將有可能成為淵 博睿智的思考者和學(xué)習(xí)者。但如果這些教育理論 不能以一線數(shù)學(xué)教師能夠接受的方式呈現(xiàn)，其價(jià)值 就無法體現(xiàn)。因此

12、以一線教師能夠?qū)嶋H操作的語 言和方式應(yīng)用TRU的理論具有重要意義。1.作為改善教學(xué)設(shè)計(jì)的工具課堂教學(xué)隨時(shí)代發(fā)展變化，沒有絕對(duì)正確的課 堂教學(xué)方式。TRU框架從備課和反思圍繞教學(xué)設(shè) 計(jì)提出相應(yīng)的問題。首先在備課階段，教師需要依 情況選擇教學(xué)內(nèi)容，TRU提供了一系列問題，以幫 助教師審視對(duì)學(xué)生認(rèn)知需求的滿足程度，如：為學(xué) 生獲得重要思維提供了哪些機(jī)會(huì)？如何回應(yīng)學(xué)生 的努力并保證學(xué)生能發(fā)展自己的思維和理解？其 次在反思階段，反思上一階段的完成度并繼續(xù)調(diào) 整。TRU從各維度設(shè)計(jì)了有助于教師專業(yè)發(fā)展的 工具，下表是身份認(rèn)同感維度的工具。表1 TRU為教師改善教學(xué)設(shè)計(jì)提供的工具身份認(rèn)同感核心:可以提供哪些

13、機(jī)會(huì)讓學(xué)生認(rèn)為自己或者別人是數(shù)學(xué)思維好的思考者和 學(xué)習(xí)者？如何能提供更多？計(jì)劃有哪些機(jī)會(huì)可以讓學(xué)生形成及闡述 自己的想法，回應(yīng)別人的想法？如 何創(chuàng)造更多的機(jī)會(huì)？反思如何看到學(xué)生解釋自己的想法及回應(yīng) 別人的想法？在具體的案例中，這些 想法的闡述和交流是怎樣的？需考慮的問題誰提出了可討論的想法？學(xué)生有機(jī)會(huì)提出和分享哪種類型的想法（技巧，聯(lián)系，學(xué)過的知識(shí)等）？ 是誰評(píng)價(jià)或回應(yīng)了他人的想法？學(xué)生解釋想法的深度如何2.作為聽課評(píng)課的工具課堂觀察是教師提高專業(yè)素養(yǎng)的重要途徑，相 關(guān)反饋有助于教師認(rèn)識(shí)自身得失，實(shí)現(xiàn)深度教學(xué)目 標(biāo)。課堂觀察的反饋可來自不同角度，TRU針對(duì)不 同維度設(shè)計(jì)了課堂觀察表。以下為形成

14、性評(píng)價(jià)的 課堂觀察表（表2 ）：表2形成性評(píng)價(jià)的課堂觀察表形成性評(píng)價(jià)課堂活動(dòng)在多大程度上吸引學(xué)生的思考互動(dòng)，通過引導(dǎo)優(yōu)質(zhì)開端或化 解誤解來回應(yīng)這種思維。高質(zhì)量的教學(xué)“滿足學(xué)生的參與感”并提供深層 次理解的機(jī)會(huì)，期間既有教師角色的參與也有學(xué)生之間的互動(dòng)。學(xué)生：闡釋自己的想法，即使有點(diǎn)初 步將錯(cuò)誤看作學(xué)習(xí)新知識(shí)的機(jī)會(huì) 反思自己和同學(xué)的作業(yè) 將同學(xué)的觀點(diǎn)當(dāng)作學(xué)習(xí)資源 為同學(xué)提供具體和精準(zhǔn)的反饋 利用反饋修改作業(yè)教師：營造寬松的氣氛讓學(xué)生敢于表達(dá) 使用可以引出多種策略的材料，讓 學(xué)生解釋他們的推理，從而獲得學(xué) 生閃現(xiàn)出的想法靈活調(diào)整教學(xué)內(nèi)容和步驟，為學(xué)生 提供重新參與和修改的機(jī)會(huì)作為日常課堂中一部分，

15、為學(xué)生提 供及時(shí)準(zhǔn)確的反饋,促使學(xué)生深層 次學(xué)習(xí)為學(xué)生的反思提供機(jī)會(huì)其他觀察的焦點(diǎn)：為所有學(xué)生闡述理解提供了哪些機(jī)會(huì)？對(duì)建立已揭示的思想有哪些機(jī)會(huì)？ 教師或?qū)W生如何抓住這些機(jī)會(huì)？哪些方面可以進(jìn)一步提高？目標(biāo):持續(xù)靈活地提供一些技巧和活動(dòng)，讓學(xué)生能表達(dá)他們新出現(xiàn)的理解， 并通過重新思考誤解及建立有效的觀點(diǎn)加強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)。從上表可見，形成性評(píng)價(jià)的課堂觀察師生的課 堂表現(xiàn)并提供建議。TRU的五個(gè)維度彼此聯(lián)系，觀 察者可以將其他相關(guān)維度的評(píng)價(jià)列在表中。綜上，TRU描述了有效課堂的屬性，提供了研 究課堂教學(xué)的框架和工具。教師借此計(jì)劃和反思 教學(xué)，在教學(xué)評(píng)價(jià)中尋求反饋，將促使數(shù)學(xué)課堂向 深度教學(xué)發(fā)展，學(xué)生

16、在這樣的課堂中能夠?qū)崿F(xiàn)更為 清晰、深入、全面、合理的思考。五、結(jié)語TRU研究在追求培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維習(xí)慣的宗 旨下，致力于探究優(yōu)質(zhì)的深度教學(xué)課堂所具備的基 本屬性。在多元文化的背景下，數(shù)學(xué)課堂具有多樣 性，TRU在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地 思維為出發(fā)點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)深度教學(xué)的目標(biāo)。TRU 將數(shù)學(xué)深度課堂的基本要素歸結(jié)于五個(gè)維度，并在 某種程度證明了這個(gè)框架的完備性。這一思路類 似于數(shù)學(xué)研究中的理性精神，將原本模糊復(fù)雜的系 統(tǒng)，以結(jié)構(gòu)的角度更清晰地刻畫出來，使得深度課 堂教學(xué)不再是令一線教師無法厘清的概念。盡管TRU項(xiàng)目是在西方文化的背景下針對(duì)西 方課堂進(jìn)行的，但該研究得出的評(píng)價(jià)工具，是一線 教師在改進(jìn)深度課堂教學(xué)中能夠理解且容易達(dá)到的。歷史總是告誡著今人：文化的交融互鑒推動(dòng)著 人類的進(jìn)步,創(chuàng)造出無限的機(jī)遇與希望；拒絕融合