1、前言剛體的平面運(yùn)動非慣性基下剛體動力學(xué)碰撞剛體的定點(diǎn)運(yùn)動理論力學(xué)CAI版權(quán)所有, 2000 (c) 理論力學(xué) CAI剛體動力學(xué)剛體的平面運(yùn)動2022/9/181剛體的平面運(yùn)動剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)條件 處理動力學(xué)問題的一般方法處理動力學(xué)問題的獨(dú)立坐標(biāo)方法 剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動2022/9/182剛體的平面運(yùn)動剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)條件 處理動力學(xué)問題的一般方法處理動力學(xué)問題的獨(dú)立坐標(biāo)方法 剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動2022/9/183剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)條件剛體在力或力偶的作用下產(chǎn)生運(yùn)動作用于剛體上的一個(gè)平面力系，剛體是否一定作平面運(yùn)動？剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/動力學(xué)條件2022/9/1

2、84剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/動力學(xué)條件/例1例1對象：啞鈴(間距2l)外力(不考慮重力) ：力偶矩矢量假定在平面內(nèi)繞Oz作定軸轉(zhuǎn)動動量矩定理可能成立啞鈴可能在平面內(nèi)繞Oz作定軸轉(zhuǎn)動平面力系平面運(yùn)動關(guān)系平面力系平面運(yùn)動2022/9/185剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/動力學(xué)條件/例2對象：啞鈴?fù)饬?不考慮重力) ：力偶矩矢量假定在平面內(nèi)繞Oz作定軸轉(zhuǎn)動例2平面力系平面運(yùn)動動量動量矩連體基2022/9/186剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/動力學(xué)條件/例2動量矩定理要求不可能成立啞鈴不可能繞Oz作定軸轉(zhuǎn)動動量矩在連體基中為常矢量假定在平面內(nèi)繞Oz作定軸轉(zhuǎn)動連體基矢端作圓周運(yùn)動2022/9/187剛體

3、動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/動力學(xué)條件Oz為主軸結(jié)論剛體作平面運(yùn)動的慣量條件：剛體運(yùn)動平面的法線方向應(yīng)為剛體的一主軸滿足作平面運(yùn)動動力學(xué)條件的剛體稱為平面剛體Oz為非主軸2022/9/188剛體的平面運(yùn)動剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)條件 處理動力學(xué)問題的一般方法處理動力學(xué)問題的獨(dú)立坐標(biāo)方法 剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動2022/9/189處理動力學(xué)問題的一般方法單剛體動力學(xué)方程一般形式單剛體動力學(xué)問題剛體系動力學(xué)方程一般形式剛體系動力學(xué)問題 剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法2022/9/1810剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法單剛體動力學(xué)方程一般形式慣性基平動參考基基點(diǎn)為質(zhì)心C連體基作用于受約束剛體

4、的外力理想約束力系主動力系向質(zhì)心C簡化向質(zhì)心C簡化通常未知主矢主矢主矩主矩2022/9/1811剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法慣性基平動參考基基點(diǎn)為質(zhì)心C連體基運(yùn)動描述位置質(zhì)心運(yùn)動定理姿態(tài)動力學(xué)方程對質(zhì)心動量矩定理2022/9/1812剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法位置姿態(tài)單剛體動力學(xué)方程組單剛體動力學(xué)方程組縮并位形加速度坐標(biāo)陣增廣質(zhì)量陣 增廣主動力陣 增廣理想約束力陣 2022/9/1813單剛體動力學(xué)問題單剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)微分方程組由三個(gè)方程組成剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法動力學(xué)逆問題，剛體的運(yùn)動已知通過方程組可求得作用于剛體的主動力(偶)與理想約束力(偶)的關(guān)系求

5、解的未知量個(gè)數(shù)不能超過32022/9/1814剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法動力學(xué)正問題，作用于剛體的主動力(偶) 已知如果剛體沒受到約束，3個(gè)位形坐標(biāo)未知得到剛體質(zhì)心的加速度和角加速度與主動力(矩)的關(guān)系可通過積分方程組，得到位形坐標(biāo)與速度的時(shí)間歷程如果剛體受到約束， 3個(gè)位形坐標(biāo)未知，理想約束力未知未知的變量超過方程的個(gè)數(shù)，必須附加方程2022/9/1815剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/例例 均質(zhì)桿AB長為l，質(zhì)量為m。當(dāng)該桿由靜止開始，在地面與墻面上無摩擦地滑動(a) 試建立桿的動力學(xué)方程(b)初始為靜止?fàn)顟B(tài)，初始角為j0，計(jì)算當(dāng)桿下滑到角j位置瞬時(shí)的角速度w(c) 計(jì)算該

6、瞬時(shí)桿受到的約束力(d) 計(jì)算當(dāng)桿與鉛垂壁脫離時(shí)的角j1(e)計(jì)算此瞬時(shí)桿的角速度與質(zhì)心C的水平運(yùn)動速度 j02022/9/1816剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解解桿的運(yùn)動為平面一般運(yùn)動 慣性基連體基受力分析（一般位置） 主動力理想約束力動力學(xué)方程 (a)建動力學(xué)方程 2022/9/1817剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解(b)已知主動力求運(yùn)動動力學(xué)正問題初始當(dāng)前2022/9/1818剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解方程（一般位形）未知量數(shù)(5)方程數(shù)(3)需附加2個(gè)方程約束方程(一般位置)加速度約束方程2022/9/1819剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解2

7、022/9/1820剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解(c)初始當(dāng)前當(dāng)前2022/9/1821剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解方程當(dāng)前態(tài) 2022/9/1822剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解(d)初始過程當(dāng)前桿與鉛垂壁脫離瞬時(shí)何謂桿與鉛垂壁脫離2022/9/1823剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解求桿離壁時(shí)的姿態(tài)離壁條件 解1 與題意不符 解2 2022/9/1824剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解(e)初始過程當(dāng)前桿與鉛垂壁脫離瞬時(shí)運(yùn)動學(xué)問題2022/9/1825剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解(e)求桿離壁時(shí)位形速度(運(yùn)動學(xué)問題)離壁瞬時(shí) 約

8、束方程 速度約束方程 離壁瞬時(shí)質(zhì)心水平速度 離壁瞬時(shí)桿角速度2022/9/1826剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/例例 一均質(zhì)圓柱質(zhì)量為m，半徑為r，無初速地放在傾斜角為q的斜面上，不計(jì)滾動摩擦力，考慮滑動摩擦力試討論圓柱運(yùn)動的情況 2022/9/1827剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解解 圓柱運(yùn)動為平面一般運(yùn)動 慣性基連體基受力分析（一般位置） 重力 理想約束力 滑動摩擦力 （a）理想光滑 圓柱與斜面的相對光滑程度不同會產(chǎn)生不同的摩擦效應(yīng)（b）非常粗糙 （c）兩者之間 2022/9/1828剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解解 圓柱運(yùn)動為平面一般運(yùn)動 受力分析（一般位置）

9、 重力 理想約束力 無滑動摩擦力 (a)圓柱與斜面理想光滑動力學(xué)方程 2022/9/1829剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解動力學(xué)方程 未知量數(shù)(4)方程數(shù)(3)需附加1個(gè)方程約束方程(一般位置)求解圓柱勻加速度斜面平移下滑 2022/9/1830剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解圓柱運(yùn)動為平面一般運(yùn)動 受力分析（一般位置） 重力 理想約束力 滑動摩擦力 (b)圓柱與斜面非常粗糙動力學(xué)方程 未知未知臨界狀態(tài)? 2022/9/1831剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解動力學(xué)方程 未知量數(shù)(5)方程數(shù)(3)需附加2個(gè)方程約束方程(一般位置)純滾動構(gòu)成封閉的方程組2022/9/1

10、832剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解未知量數(shù)(3)=方程數(shù)(3)求解圓柱沿斜面純滾動，質(zhì)心的加速度不變 2022/9/1833剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解討論 斜面極限靜摩擦力 圓柱與斜面無相對滑動的條件 圓柱在斜面純滾動的條件 圓柱在斜面將又滾又滑 非常粗糙的含義 2022/9/1834剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解受力分析（一般位置） 重力 理想約束力 滑動摩擦力 (c)圓柱與斜面不很粗糙未知2022/9/1835剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解動力學(xué)方程未知量數(shù)(4)方程數(shù)(3)需附加1個(gè)方程約束方程(一般位置)封閉2022/9/1836剛體動力學(xué)

11、/剛體的平面運(yùn)動/一般方法動力學(xué)正問題小結(jié)如果剛體受到約束， 3個(gè)位形坐標(biāo)未知，理想約束力未知未知的變量超過方程的個(gè)數(shù)，必須附加方程剛體位形坐標(biāo)的加速度層次上的關(guān)系可以作為附加方程對于未知的非理想約束力，還需增加一些描述非理想約束力關(guān)系式（如摩擦）2022/9/1837剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法動力學(xué)正問題解題過程動力學(xué)方程組加速度約束方程組獨(dú)立坐標(biāo)動力學(xué)方程組(力與加速度的關(guān)系)非獨(dú)立坐標(biāo)的位置、速度與加速度整理消去理想約束力獨(dú)立坐標(biāo)的位置與速度積分加速度理想約束力解代數(shù)方程原動力學(xué)方程組解代數(shù)方程位置、速度加速度約束方程組2022/9/1838剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法

12、剛體系動力學(xué)方程一般形式所受的外力理想約束力系主動力系包括剛體間的理想約束力主矢主矢主矩主矩剛體系2022/9/1839剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法剛體系動力學(xué)方程組2022/9/1840剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法剛體系動力學(xué)方程組組集2022/9/1841剛體系動力學(xué)問題對于N個(gè)剛體作平面運(yùn)動的系統(tǒng)，可以系統(tǒng)的每一個(gè)剛體為單位，定義它們的位形坐標(biāo)，建立動力學(xué)方程位形坐標(biāo)與方程的個(gè)數(shù)均為3N有多少未知的理想約束力需增加多少的加速度約束關(guān)系約束包括剛體間的約束剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法2022/9/1842剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/例例 圖示機(jī)構(gòu)由均質(zhì)滑塊

13、和長為2l的均質(zhì)桿組成。剛度為k的線彈簧連接滑塊與墻面?；瑝K在光滑的水平面滑動，均質(zhì)桿由轉(zhuǎn)動鉸懸掛在滑塊的質(zhì)心C1上可在鉛垂面內(nèi)擺動。滑塊和擺桿質(zhì)量分別為m1和m2試建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程 2022/9/1843剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解解 慣性基滑塊連體基擺桿連體基點(diǎn)O在彈簧原長處坐標(biāo)基的選取是人為的考慮建立約束方程的方便連體基的基點(diǎn)在慣性基的第1象限姿態(tài)角為銳角2022/9/1844剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解慣性基受力分析（一般位置） 重力 滑槽理想約束力 點(diǎn)O在彈簧原長處滑塊鉸理想約束力 擺桿重力 鉸理想約束力 設(shè)定正向設(shè)定正向設(shè)定正向線彈性力 2022/9/1

14、845剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解慣性基滑塊連體基動力學(xué)方程 擺桿連體基點(diǎn)O在彈簧原長處滑塊擺桿2022/9/1846剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解動力學(xué)方程 未知量數(shù)(12)方程數(shù)(8)需附加4個(gè)方程2022/9/1847剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解約束方程(一般位置)求導(dǎo)求導(dǎo)鉸C12022/9/1848剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解約束方程與連體基選擇有關(guān)滑塊連體基擺桿連體基對于第二種坐標(biāo)基連體基的基點(diǎn)在慣性基的第1象限姿態(tài)角為銳角鉸C1建議2022/9/1849剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解動力學(xué)方程 未知量數(shù)(12)=方程數(shù)(12)

15、2022/9/1850剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解變量 方程個(gè)數(shù)=變量個(gè)數(shù) 方程封閉 消去理想約束力方程可化簡 兩個(gè)變量的封閉方程組 2022/9/1851剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解變量 變量的個(gè)數(shù)=系統(tǒng)的自由度數(shù) 方程封閉 方程不含未知的理想約束力 2022/9/1852剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解系統(tǒng)位形坐標(biāo) 系統(tǒng)有4個(gè)約束方程 變量 是系統(tǒng)的獨(dú)立變量 主動力 系統(tǒng)的獨(dú)立變量的變化 系統(tǒng)的非獨(dú)立變量的變化 動力學(xué) 運(yùn)動學(xué) 討論 求解正動力學(xué)問題的另一個(gè)途徑 2022/9/1853剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法處理動力學(xué)問題的一般方法小結(jié) 動力學(xué)問

16、題的求解規(guī)模與系統(tǒng)剛體的個(gè)數(shù)有關(guān)剛體的個(gè)數(shù)為N，系統(tǒng)的位形坐標(biāo)為n=3N，動力學(xué)方程的個(gè)數(shù)也為n對于存在約束的系統(tǒng)，動力學(xué)方程中將出現(xiàn)未知的理想約束力如果它們個(gè)數(shù)為s。對于動力學(xué)正問題，需要補(bǔ)充s個(gè)獨(dú)立的加速度約束關(guān)系式通過消去理想約束力，動力學(xué)方程可縮并為d=3N-s個(gè)方程變量為系統(tǒng)的獨(dú)立坐標(biāo)2022/9/1854剛體的平面運(yùn)動剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)條件 處理動力學(xué)問題的一般方法處理動力學(xué)問題的獨(dú)立坐標(biāo)方法 剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動2022/9/1855處理動力學(xué)問題的獨(dú)立坐標(biāo)方法以系統(tǒng)描述位形的獨(dú)立坐標(biāo)為變量建立動力學(xué)方程方程個(gè)數(shù)為d = ns，d為系統(tǒng)的自由度數(shù)方程為d個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)的二階微

17、分方程組方程中不含未知理想約束力剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/獨(dú)立坐標(biāo)方法2022/9/1856剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/獨(dú)立坐標(biāo)方法/例例 利用獨(dú)立坐標(biāo)方法建立桿AB的動力學(xué)方程 2022/9/1857剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/獨(dú)立坐標(biāo)方法/解解慣性基連體基受力分析（一般位置） 運(yùn)動學(xué)分析 位形坐標(biāo)約束方程自由度選取獨(dú)立坐標(biāo)主動力理想約束力2022/9/1858剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/獨(dú)立坐標(biāo)方法/解建立以獨(dú)立坐標(biāo)為變量的動力學(xué)方程動量矩定理動量定理矩心定點(diǎn)質(zhì)心瞬心約束力不出現(xiàn)SS2022/9/1859剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/獨(dú)立坐標(biāo)方法/解動力學(xué)方程點(diǎn)O為圓心的圓桿對瞬心定軌跡點(diǎn)

18、S的絕對動量矩 桿對瞬心S的轉(zhuǎn)動慣量 瞬心定軌跡SS2022/9/1860剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/獨(dú)立坐標(biāo)方法/例例 一質(zhì)量為m，半徑為R的圓環(huán)上固結(jié)一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)利用獨(dú)立坐標(biāo)方法建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程 圓環(huán)在水平面上作無滑動的滾動2022/9/1861剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/獨(dú)立坐標(biāo)方法/解解 慣性基質(zhì)心連體基系統(tǒng)質(zhì)心C為O1m的中點(diǎn)受力分析（一般位置） 運(yùn)動學(xué)分析 位形坐標(biāo)自由度為1選取獨(dú)立坐標(biāo)主動力理想約束力摩擦力2022/9/1862剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/獨(dú)立坐標(biāo)方法/解動量矩定理動量定理矩心定點(diǎn)質(zhì)心瞬心約束力摩擦力不出現(xiàn)建立已獨(dú)立坐標(biāo)為變量的動力學(xué)方程2022/9/18

19、63剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/獨(dú)立坐標(biāo)方法/解直線系統(tǒng)對瞬心定軌跡點(diǎn)S的絕對動量矩 系統(tǒng)對瞬心S的轉(zhuǎn)動慣量 瞬心定軌跡方向如圖方向如圖2022/9/1864剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/獨(dú)立坐標(biāo)方法/解2022/9/1865剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/獨(dú)立坐標(biāo)方法/例例 圖示機(jī)構(gòu)由均質(zhì)滑塊和長為2l的均質(zhì)桿組成。剛度為k的線彈簧連接滑塊與墻面?；瑝K在光滑的水平面滑動，均質(zhì)桿由轉(zhuǎn)動鉸懸掛在滑塊的質(zhì)心C1上可在鉛垂面內(nèi)擺動?；瑝K和擺桿質(zhì)量分別為m1和m2試?yán)锚?dú)立坐標(biāo)方法建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程 2022/9/1866剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/一般方法/解解 慣性基滑塊連體基擺桿連體基點(diǎn)O在彈簧原長處2022/9/1867剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/獨(dú)立坐標(biāo)方法/解解 慣性基滑塊連體基擺桿連體基點(diǎn)O在彈簧原長處自由度為2選取獨(dú)立坐標(biāo)運(yùn)動學(xué)分析 以整體為對象 受力分析（一般位置） 重力 滑槽理想約束力 設(shè)定正向線彈性力 2022/9/1868剛體動力學(xué)/剛體的平面運(yùn)動/獨(dú)立坐標(biāo)方法/解方向建立以獨(dú)立坐標(biāo)為變量的動力學(xué)方程動量矩定理動量定理動量擺桿質(zhì)心速度擺桿連體基方向如圖方向如圖