1、第2章 時域離散信號的頻域分析 2.1 引言 2.2 序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì) 2.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)2.4 時域離散信號的傅里葉變換與模擬 信號傅里葉變換之間的關(guān)系 2.5 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng) 2.1 引言 信號和系統(tǒng)的分析方法有兩種，即時域分析方法和頻率分析方法。 模擬域，信號-連續(xù)變量時間t的函數(shù) 系統(tǒng)-微分方程描述 頻域分析-用拉普拉斯變換和傅里葉變換 時域離散信號和系統(tǒng)， 信號-序列表示，其自變量僅取整數(shù)。 系統(tǒng)-用差分方程描述 頻域分析-用Z變換或序列的傅里葉變換序列的傅里葉變換周期序列的離散傅里葉級數(shù)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng) 本章學(xué)習(xí)：2.2 時域離散

2、信號的傅里葉變換的定義及性質(zhì) 2.2.1 序列傅里葉變換的定義 序列x(n)的傅里葉變換定義為(2.2.1) FTx(n)存在的充分必要條件是序列x(n)滿足 (2.2.2) X(e j)的傅里葉反變換為(2.2.3) X(e j)表示x(n)的頻域特性，也稱為頻譜，是連續(xù)變量的復(fù)函數(shù)，可表示為：幅度譜相位譜序列x(n)的傅里葉變換和Z變換之間的關(guān)系： 式中z=e j表示在z平面上r=1的圓，該圓稱為單位圓。(2.2.4)式表明單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。如果已知序列的Z變換，可用(2.2.4)式，很方便的求出序列的FT，條件是收斂域中包含單位圓。 比較二式可得： (2.2.4) 例

3、 2.2.1 設(shè)x(n)=RN(n)， 求x(n)的FT 解：(2.2.5) 設(shè)N=4，x(n)=R4(n)， 設(shè)N=4，幅度與相位隨變化曲線如圖2.2.1所示。 圖 2.2.1 R4(n)的幅度與相位曲線 2.2.2 序列傅里葉變換的性質(zhì)1. FT的周期性在定義(2.2.1)式中，n 取整數(shù)， 因此下式成立 (2.2.6) 因此序列的傅里葉變換是頻率的周期函數(shù)，周期是 2。 這樣X(e j)可以展成傅里葉級數(shù)，其實(shí)(2.2.1)式已經(jīng)是傅里葉級數(shù)的形式， x(n)是其系數(shù)。 圖 2.2.2 cosn的波形 2. 線性 那么 設(shè) 式中a, b為常數(shù) 3. 時移與頻移設(shè)X(e j) = FTx(

4、n)， 那么(2.2.7)(2.2.8) (2.2.9) 4. FT的對稱性 設(shè)序列xe(n)滿足下式： xe(n) = x*e(-n) 則稱xe(n)為共軛對稱序列。 將xe(n)用其實(shí)部與虛部表示 xe(n)=xer(n)+jxei(n) 將上式兩邊n用-n代替， 并取共軛， 得到 x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n) 因此得到 xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n) 即共軛對稱序列其實(shí)部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。類似地， 可定義滿足下式的共軛反對稱序列 xo(n) = -x*o(-n)同理可以得到： xor(n) = -xor(-n) xoi(n) =

5、xoi(-n)即共軛反對稱序列的實(shí)部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)。 對于一般序列可用共軛對稱與共軛反對稱序列之和表示，即 x(n) = xe(n)+xo(n) 式中xe(n), xo(n)可以分別用原序列x(n)求出， 對于頻域函數(shù)X(ej)也有和上面類似的概念和結(jié)論。 (a) 將序列x(n)分成實(shí)部xr(n)與虛部xi(n) x(n)=xr(n)+jxi(n) 將上式進(jìn)行FT，得到 X(e j)=Xe(e j)+Xo(e j) 式中 (b)將序列分成共軛對稱部分xe(n)和共軛反對稱部分 xo(n)，即 x(n)=xe(n)+xo(n) 進(jìn)行FT可以得到： X(ej)=XR(ej)+jXI(ej

6、) 式中： FTxe(n)= XR(ej) FTxo(n)= jXI(ej)圖 2.2.3 例2.2.3圖 5. 時域卷積定理 設(shè) y(n)=x(n)*h(n), 則 Y(e j)=X(e j)H(e j) 6. 頻域卷積定理 設(shè)y(n)=x(n)h(n) 則 7. 帕斯維爾(Parseval)定理 帕斯維爾定理告訴我們，信號時域的總能量等于頻域的總能量。表 2.2.1 序列傅里葉變換的性質(zhì) 2.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù) 2.3.1 周期序列的離散傅里葉級數(shù) 設(shè) 是以N為周期的周期序列，可以展成傅里葉級數(shù) 式中ak是傅里葉級數(shù)的系數(shù)。為求系數(shù)ak，將上式兩邊乘以 ，并對n在一個周期N中求和

7、。 (2.3.1) 可以證明 上式中， k和n均取整數(shù)， 當(dāng)k或者n變化時， ak 是周期為N的周期序列，令 則 也是周期為N的周期序列，稱為 的離散 傅里葉級數(shù)系數(shù)，用DFS表示。 取整數(shù) (2.3.2) (2.3.3) (2.3.4)式和(2.3.5)式稱為一對DFS。(2.3.5)式表明將一個周期序列分解成N個諧波，第k個諧波頻率為k=(2/N)k, k=0, 1, 2 N-1， 幅度為 。 基波分量的頻率是2/N， 幅度是 。 一個周期序列可以用其DFS表示它的頻譜分布規(guī)律。 將(2.3.3)式和(2.3.1)式重寫如下， (2.3.4) (2.3.5) 上式中， k和n均取整數(shù)。并記

8、： 例2.3.1設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期，進(jìn) 行周期延拓，得到如圖2.3.1(a)所示的周期序列 ，周期為8， 求 的DFS。 解： 其幅度特性 如圖2.3.1(b)所示。 圖 2.3.1 例2.3.1圖時域的周期化 頻域的離散化 2.4 時域離散信號的傅里葉變換與模擬 信號傅里葉變換之間的關(guān)系 模擬信號xa(t)的一對傅里葉變換式用下面公式描述(2.4.1)(2.4.2) 這里t與（模擬角頻率）的域均在之間。 從模擬信號幅度取值考慮，可分為兩種信號，即連續(xù)信號和采樣信號， 它們之間的關(guān)系可描述如下： 采樣信號 和連續(xù)信號xa(t)， 它們的傅里葉變換之間的關(guān)系，重寫如

9、下： 下面我們研究如果時域離散信號x(n)，是由對模擬信號xa(t)采樣產(chǎn)生的， 即在數(shù)值上有有下面關(guān)系： x(n) = xa(nT) (2.4.3) 注意上面式中n取整數(shù)，否則無定義。x(n)的一對傅里葉變換重寫如下： 這里 （數(shù)字頻率）取0，2或-， 。X(e j)與Xa(j)之間有什么關(guān)系，數(shù)字頻率與模擬頻率( f )之間有什么關(guān)系？對上式進(jìn)行FT，得到：如果序列是由一模擬信號取樣產(chǎn)生，則序列的數(shù)字頻率與模擬信號的頻率( f )成線性性關(guān)系，即： =T 或 =/ T式中T是采樣周期T=1/fs ， =/fs=2f/fs 上面2式即表示序列的傅里葉變換X(ej)和模擬信號xa(t)的傅里葉

10、變換Xa(j)之間的關(guān)系式，得到結(jié)論： 序列的傅里葉變換和模擬信號的傅里葉變換之間的關(guān)系，與采樣信號同模擬信號的FT之間的關(guān)系一樣，都是Xa(j)以周期s=2/T進(jìn)行周期延拓，只是頻率軸上取值的對應(yīng)關(guān)系為=T 。 圖 2.4.1 模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標(biāo)關(guān)系 例2.4.1設(shè)xa(t)=cos(2f0t)，f0=50Hz以采樣頻率fs=200Hz對xa(t)進(jìn)行采樣，得到采樣信號 和時域離散信號x(n)， 求xa(t)和 的傅里葉變換以及x(n)的FT。 解： 圖 2.4.2 例2.4.1圖圖 2.4.3 四種信號的時域與頻域的對應(yīng)關(guān)系2.5 離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù) 2.5.1 頻率響

11、應(yīng)函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù) 設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，輸出端對輸入為單位脈沖序列(n)的響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位脈中響應(yīng)h(n)，對h(n)進(jìn)行傅里葉變換得到H(e j) 一般稱H(e j)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)或傳輸函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。 |H(e j)|為幅頻特性，（）為相頻特性。圖2.5.1 理想低通、高通濾波器幅度特性 若系統(tǒng)輸入為x(n), 則系統(tǒng)輸出y(n)為 對h(n)進(jìn)行Z變換，得到H(z)，一般稱H(z)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。對N階差分方程(1.4.2)式，進(jìn)行Z變換，得到系統(tǒng)函數(shù)的一般表示式(2.6.2) 如果H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1，H(e j)與H(z

12、)之間關(guān)系如下式：(2.6.3) 2.5.2 幾種特殊系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及特點(diǎn) 1. 全通濾波器 如果濾波器的幅頻特性對所有頻率均等于常數(shù)， 即 |H(ej)|=1, 02 則該濾波器稱為全通濾波器。 全通濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)可表示成 H(ej)=e j () 起純相位濾波作用。 全通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)一般形式如下式：例如： 圖 2.5.2 全通濾波器一組零極點(diǎn)示意圖 全通濾波器的極點(diǎn)與零點(diǎn)以共軛倒易關(guān)系出現(xiàn)，即如果z-1k為全通濾波器的零點(diǎn)，則z*k必然是全通濾波器的極點(diǎn)。 因此， 全通濾波器系統(tǒng)函數(shù)也可以寫成如下形式： 2. 梳狀濾波器 例如， , 0a1， 零點(diǎn)為 1， 極點(diǎn)為a, 所以H(z

13、)表示一個高通濾波器。以zN代替H(z)的z， 得到： 零點(diǎn)： 極點(diǎn)：圖 8.1.2 梳狀濾波器 的零極點(diǎn)分布和幅頻響應(yīng)特性(N=8) 3. 最小相位系統(tǒng) 最小相位系統(tǒng)在工程理論中較為重要，下面給出最小相位系統(tǒng)的幾個重要特點(diǎn)。 (1) 任何一個非最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)均可由一個最小相位系統(tǒng)Hmin(z)和一個全通系統(tǒng)Hap(z)級聯(lián)而成， 即 H(z)=Hmin(z)Hap(z) 證明：假設(shè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)僅有一個零點(diǎn)在單位圓外， 令該零點(diǎn)為z=1/z0，| z0 |1，則H(z)可表示為 (2) 在幅頻響應(yīng)特性相同的所有因果穩(wěn)定系統(tǒng)集中， 最小相位系統(tǒng)的相位延遲(負(fù)的相位值)最小，最小相位系統(tǒng)對(n)的響應(yīng)波形延遲最小。 (3)