1、第十部分 液體運(yùn)動(dòng)的三元分析第1頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一本章重點(diǎn)理解液體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的4種基本形式： 平移、旋轉(zhuǎn)剛體運(yùn)動(dòng)理論力學(xué) 伸縮、剪切變形運(yùn)動(dòng)變形體力學(xué) 掌握液體流動(dòng)的連續(xù)方程、運(yùn)動(dòng)方程及其推導(dǎo)思路掌握勢(shì)流的概念，掌握流速勢(shì)函數(shù)、流函數(shù)的性質(zhì)第2頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一本章對(duì)后續(xù)內(nèi)容的意義本章所介紹的概念方程滲流、波浪、明渠非恒定流等實(shí)用水力學(xué)之基礎(chǔ)連續(xù)方程、運(yùn)動(dòng)方程的推導(dǎo)思路方法有助于培養(yǎng)創(chuàng)新能力理論聯(lián)系實(shí)際能力從解決工程問(wèn)題的角度去尋求方法和理論第3頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一本章學(xué)習(xí)方法上

2、課聽(tīng)講，思考課后看書(shū)，思考參考文獻(xiàn)教材第4頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一第10章 液體運(yùn)動(dòng)的三元分析10.1 基本概念回顧10.2 液體運(yùn)動(dòng)的基本形式10.3 基本方程連續(xù)方程，運(yùn)動(dòng)方程 10.4 液體流動(dòng)的一個(gè)特例勢(shì)流第5頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一流動(dòng)是液體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之一。液體的流動(dòng)除了存在運(yùn)動(dòng)學(xué)方面的問(wèn)題外，還有動(dòng)力學(xué)方面的向題。運(yùn)動(dòng)學(xué)：給出位移、速度、加速度等運(yùn)動(dòng)要素之間的關(guān)系。動(dòng)力學(xué)：給出作用在液體上的各種力與運(yùn)動(dòng)要素的關(guān)系。 10.1 關(guān)于液體流動(dòng)的基本概念回顧第6頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一液

3、體的一元、二元、三元運(yùn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)要素與幾個(gè)位置坐標(biāo)有關(guān)？恒定流與非恒定流：運(yùn)動(dòng)要素是否與時(shí)間有關(guān)？均勻流與非均勻流（漸變流、急變流）：流線(xiàn)是否相互平行？理想液體與實(shí)際液體：是否考慮液體黏性？壓縮與不可壓縮：密度是否為常數(shù)（不隨時(shí)間和空間變化）？第7頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一液體的一元、二元、三元運(yùn)動(dòng)，例子：（1）一元流管道、渠道中水的流動(dòng)；廣闊地層中地下河槽、集水井的滲流。特點(diǎn)是：斷面平均流速v或流量Q僅和一個(gè)空間位置坐標(biāo)（流程s）有關(guān)。（2）二元流土石壩壩身及地基的滲流（斷面）；二維規(guī)則波浪運(yùn)動(dòng)（剖面）；寬矩形斷面渠道中的流動(dòng)（點(diǎn)流速u(mài)和流程s與豎向位置坐標(biāo)z有

4、關(guān)）第8頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一可簡(jiǎn)化成一元流動(dòng)和二元流動(dòng)的例子一元流：地下河槽中的滲流二元流：長(zhǎng)大型港工或水工建筑物基礎(chǔ)下某一斷面的滲流第9頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一波浪的二維規(guī)則波動(dòng)對(duì)于微幅波，波的剖面形狀類(lèi)似余弦（或正弦）曲線(xiàn)二元流：二維規(guī)則波浪運(yùn)動(dòng)，波的剖面第10頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一三元流是最一般的流動(dòng)。流速u(mài)是三個(gè)坐標(biāo)s,y,z的函數(shù)實(shí)際問(wèn)題中，三元流能簡(jiǎn)化成二元流、一元流的則盡量簡(jiǎn)化。以滿(mǎn)足要求和工程精度為準(zhǔn)。第11頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一通過(guò)基

5、礎(chǔ)水力學(xué)的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道了一些基本理論： 最重要的就是理解描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法； 控制體的概念對(duì)應(yīng)Euler方法 質(zhì)點(diǎn)系的概念對(duì)應(yīng)Lagrange方法 描述和求解運(yùn)動(dòng)要素的連續(xù)方程、運(yùn)動(dòng)方程， 分別依據(jù)質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒定律推導(dǎo)而出。目的：最終要得到流場(chǎng)中的流速、壓強(qiáng)、密度分布；通過(guò)過(guò)流斷面的流量等。為確定水流流態(tài)，確定過(guò)流能力，設(shè)計(jì)建筑物的尺寸和給出所受荷載，以及利用水能消能服務(wù)。第12頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一第10章 液體運(yùn)動(dòng)的三元分析10.1 基本概念回顧10.2 液體運(yùn)動(dòng)的基本形式10.3 基本方程連續(xù)方程，運(yùn)動(dòng)方程 10.4 液體流動(dòng)的一個(gè)特例

6、勢(shì)流第13頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一10.2 液體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的基本形式Lagrange方法，追蹤液體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)液體微團(tuán)：是由液體質(zhì)點(diǎn)組成的（有限尺寸），具有平移、旋轉(zhuǎn)剛體運(yùn)動(dòng)和伸縮、剪切等變形運(yùn)動(dòng)的微小液體團(tuán)。其邊界隨著液體一起運(yùn)動(dòng)，邊界面的形狀和大小可以隨時(shí)間變化。 如何采用力學(xué)手段進(jìn)行描述？ 變形體力學(xué)+剛體力學(xué)第14頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一10.2.1 液體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的剛體運(yùn)動(dòng)平移運(yùn)動(dòng)：例如，液體微團(tuán)的“隨大流”，滔滔江水，勢(shì)不可擋旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)：液體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度液體微團(tuán)上相互垂直的兩條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)角速度的平均值。以直線(xiàn)的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

7、的角度為正旋轉(zhuǎn)角速度z表示液體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)軸與z軸平行第15頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一10.2.2 液體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的變形運(yùn)動(dòng)伸縮運(yùn)動(dòng)：線(xiàn)變形運(yùn)動(dòng)。單位時(shí)間、單位長(zhǎng)度線(xiàn)段的伸縮變形速度稱(chēng)為線(xiàn)變形速度。第16頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一液體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的變形運(yùn)動(dòng)（續(xù)）剪切變形運(yùn)動(dòng)：角變形運(yùn)動(dòng)。平面上相互垂直的線(xiàn)段間的夾角在流動(dòng)中會(huì)擴(kuò)張或收縮。這個(gè)擴(kuò)張或收縮速度的一半定義為液體微團(tuán)的剪切變形速度。第17頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一例子液體微團(tuán)的平移運(yùn)動(dòng)液體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)-有渦流（繞自身軸的旋轉(zhuǎn)）第18頁(yè)，共47頁(yè)，2

8、022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一例子液體微團(tuán)的伸縮運(yùn)動(dòng)液體微團(tuán)的剪切變形運(yùn)動(dòng)，無(wú)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)第19頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一第10章 液體運(yùn)動(dòng)的三元分析10.1 基本概念回顧10.2 液體運(yùn)動(dòng)的基本形式10.3 基本方程連續(xù)方程，運(yùn)動(dòng)方程 10.4 液體流動(dòng)的一個(gè)特例勢(shì)流第20頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一應(yīng)用控制體的概念，已推導(dǎo)出液體三元流動(dòng)的連續(xù)方程（式（）：隨時(shí)間和空間的變化教材10.3節(jié)再次應(yīng)用控制體的概念，重新推導(dǎo)了液體三元流動(dòng)的連續(xù)方程（式（）：基本思路是：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，控制體內(nèi)的質(zhì)量隨時(shí)間的變化與流出與流入控制體的液

9、體質(zhì)量之和等于零。因?yàn)橐后w是連續(xù)的，充滿(mǎn)整個(gè)流動(dòng)空間。10.3.1 基本方程連續(xù)方程第21頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一實(shí)際上，推導(dǎo)大可不必這么繁瑣！只需應(yīng)用高斯公式，即可由式（）直接推導(dǎo)出式（）： cos,cos,cos為曲面S法向正方向的方向余弦 第22頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一對(duì)于不可壓縮液體，密度為常數(shù)（不隨時(shí)空而變），從而上式就是對(duì)于實(shí)際液體和理想液體都適用的連續(xù)方程！第23頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一連續(xù)方程只反映了液體運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件，即液體質(zhì)點(diǎn)速度之間的關(guān)系，沒(méi)有說(shuō)明液體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)條件，

10、即液體所受外力與速度之間的關(guān)系。這個(gè)關(guān)系要通過(guò)描述運(yùn)動(dòng)方程來(lái)反映（是動(dòng)量守恒的體現(xiàn)）。對(duì)于實(shí)際液體（此處只指牛頓液體），液體質(zhì)點(diǎn)間除法向存在假想的平均動(dòng)水壓強(qiáng)p以外，還存在著由于液體粘性所引起的附加正應(yīng)力和附加剪應(yīng)力。 10.3.2 基本方程運(yùn)動(dòng)方程第24頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一附加正應(yīng)力總正應(yīng)力附加切應(yīng)力第25頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一針對(duì)微元控制體，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律，可得不可壓縮、實(shí)際液體的運(yùn)動(dòng)微分方程（過(guò)程見(jiàn)教材）： 式中v為運(yùn)動(dòng)黏度，與動(dòng)力黏度的關(guān)系v=/，見(jiàn)表。 第26頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分

11、，星期一對(duì)于理想液體，則令v =0，可得不可壓縮、理想液體的運(yùn)動(dòng)微分方程，稱(chēng)為Euler運(yùn)動(dòng)微分方程： 理想液體式中未知數(shù)為壓強(qiáng)p，液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度ux,uy,uz 。上式共3個(gè)方程，加上1個(gè)連續(xù)方程，共4個(gè)。4個(gè)未知數(shù)，4個(gè)方程，加上給定的初始、邊界條件，理論上可求解。 第27頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一需要指出的是：（1）連續(xù)方程在滲流、波浪、明渠非恒定流等具體工程應(yīng)用中的形式基本不變。它反映了流場(chǎng)中的流動(dòng)連續(xù)，質(zhì)量守恒。（2）運(yùn)動(dòng)方程在滲流、波浪、明渠非恒定流等具體工程應(yīng)用中具有不同的變化和利用形式。學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意前后對(duì)照。第28頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5

12、月20日，20點(diǎn)38分，星期一例如，若在Euler運(yùn)動(dòng)微分方程中引入旋轉(zhuǎn)角速度，可導(dǎo)出葛羅米柯運(yùn)動(dòng)微分方程：式中 第29頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一第10章 液體運(yùn)動(dòng)的三元分析10.1 基本概念回顧10.2 液體運(yùn)動(dòng)的基本形式10.3 基本方程連續(xù)方程，運(yùn)動(dòng)方程 10.4 液體流動(dòng)的一個(gè)特例勢(shì)流第30頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一 10.4 液體流動(dòng)的一個(gè)特例：勢(shì)流無(wú)渦流若液體流動(dòng)時(shí)每個(gè)液體微團(tuán)不存在繞自身軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱(chēng)此流動(dòng)為無(wú)渦流，也稱(chēng)為無(wú)旋流，勢(shì)流。有渦流若液體流動(dòng)時(shí)每個(gè)微團(tuán)都存在著自身軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱(chēng)此流動(dòng)為有渦流。 下面

13、只講無(wú)渦流，即勢(shì)流。第31頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一勢(shì)流上之右式的成立，是為某一函數(shù) 的全微分的充分必要條件，其中t為參變量。 旋轉(zhuǎn)角速度x表示液體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)軸與x軸平行。第32頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一由于無(wú)渦流中存在著流速勢(shì)函數(shù) (x,y,z,t)，因此也稱(chēng)無(wú)渦流為勢(shì)流。第33頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一（1）對(duì)于不可壓縮液體的勢(shì)流，連續(xù)方程小結(jié)勢(shì)流需要滿(mǎn)足的連續(xù)方程運(yùn)動(dòng)方程：第34頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一（2）對(duì)于理想液體的無(wú)渦流動(dòng)，假設(shè)質(zhì)量力有勢(shì)，液體不可壓縮

14、，則由葛羅米柯運(yùn)動(dòng)微分方程可導(dǎo)出如下運(yùn)動(dòng)方程第35頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一進(jìn)一步，若質(zhì)量力只有重力（X=Y=0，Z=-g），則由上之微分方程進(jìn)行積分，可導(dǎo)出如下的拉格朗日能量方程（運(yùn)動(dòng)方程的積分形式）：此式表明，在理想、不可壓縮、重力作用下液體的勢(shì)流中，在任一指定時(shí)刻t，流場(chǎng)中任何位置處的 均相等，且等于常數(shù)C(t)。該常數(shù)由邊界條件定出。此方程在波浪理論中有應(yīng)用。第36頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一對(duì)平面勢(shì)流存在 運(yùn)動(dòng)要素僅和兩個(gè)坐標(biāo)有關(guān)的流動(dòng)稱(chēng)為平面流動(dòng)。無(wú)渦的平面流動(dòng)稱(chēng)為平面勢(shì)流。勢(shì)流理論在滲流、波浪等工程問(wèn)題中有很大的用處。

15、 10.4.1. 連續(xù)方程、運(yùn)動(dòng)方程勢(shì)流的特殊情況恒定平面勢(shì)流第37頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一對(duì)不可壓縮液體，恒定平面勢(shì)流的運(yùn)動(dòng)方程：連續(xù)方程：第38頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一10.4.2 流速勢(shì)及等勢(shì)線(xiàn)把 值相等的點(diǎn)連接起來(lái)的曲線(xiàn)就稱(chēng)為等勢(shì)線(xiàn)。函數(shù) 的全微分為所以有等勢(shì)線(xiàn)的方程為第39頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一流速勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)：流速勢(shì)函數(shù) 在某一方向m上的偏導(dǎo)數(shù)，就等于流速u(mài)在該方向上的投影。等勢(shì)面或等勢(shì)線(xiàn)與流線(xiàn)正交，等勢(shì)面就是過(guò)水?dāng)嗝?。流速?shì)函數(shù)沿流線(xiàn)s方向增大。 流速勢(shì)函數(shù)是調(diào)和函數(shù)，滿(mǎn)足La

16、place方程。第40頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一的方程就是Laplace方程，故流速勢(shì)是一個(gè)調(diào)和(Harmonic)函數(shù)。Laplace方程的解法在水力學(xué)及流體力學(xué)中最常用的有流網(wǎng)法、勢(shì)流疊加法、數(shù)值解法等。形如第41頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一在XY平面的平面流，其流線(xiàn)方程式為若上式左邊是某一函數(shù) 的全微分，則上式就可積分。10.4.3 流函數(shù)及其性質(zhì)： 求解平面流就是要求解水流的流動(dòng)場(chǎng)和流動(dòng)圖形，流線(xiàn)反映了平面流的流動(dòng)圖形?；?qū)懽鞔撕瘮?shù) 叫做平面流的流函數(shù)。第42頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一比較上兩

17、式可知，流函數(shù) 存在的充分必要條件在某一確定時(shí)刻，函數(shù) 的全微分可寫(xiě)作 流函數(shù)存在的充分必要條件就是不可壓縮液體的連續(xù)方程，所以不可壓縮液體作平面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)就有流函數(shù)存在。第43頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一流函數(shù)的性質(zhì)：同一流線(xiàn)上各點(diǎn)的流函數(shù)為常數(shù)，或流函數(shù)相等的點(diǎn)連成的曲線(xiàn)就是流線(xiàn)。兩流線(xiàn)間所通過(guò)的單寬流量等于該兩流線(xiàn)的流函數(shù)值之差。第44頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一當(dāng)平面流為勢(shì)流時(shí)，則所以有所以平面勢(shì)流的流函數(shù)與流速勢(shì)一樣是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。平面勢(shì)流的流函數(shù)是一個(gè)調(diào)和函數(shù)第45頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)38分，星期一10.4.4 流函數(shù)與流速勢(shì)的關(guān)系平面勢(shì)流中任何一點(diǎn)都有一個(gè)流函數(shù)和流速勢(shì)函數(shù)。等流函數(shù)線(xiàn)與等流速勢(shì)線(xiàn)相正交，即流線(xiàn)與等勢(shì)線(xiàn)相正交。與該點(diǎn)上等勢(shì)線(xiàn)的斜率流線(xiàn)上任意一點(diǎn)斜率流函數(shù)與