1、工程實例工程實例工程實例工程實例在梁的自由端截面處作用附加力和如圖課件工程實例工程實例在梁的自由端截面處作用附加力和如圖課件工程實例工程實例工程實例工程實例工程實例工程實例工程實例工程實例本章要點（1）莫爾定理的推導(dǎo)和應(yīng)用（2）卡氏定理的應(yīng)用（3）圖乘法原理重要概念變形能、莫爾定理、卡氏定理、單位力、虛位移、虛力本章要點（1）莫爾定理的推導(dǎo)和應(yīng)用重要概念變形能、莫爾定理、10-1 概 述目錄10-2 桿件變形能的計算10-3 莫爾定理10-4 圖形互乘法10-5 卡氏定理10-6 功的互等定理和位移互等定理10-1 概 述目錄10-2 桿件變形能的計算110-1 概 述.上冊總結(jié)：二.本節(jié)課所

2、要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容及中心內(nèi)容：1.能量法的概念2.桿件變形能的計算3.莫爾定理 一種具體的能量方法（本節(jié)課的中心內(nèi)容）10-1 概 述.上冊總結(jié)：二.本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的主能量 變形 1. 功能原理W=U 物理意義：彈性體在變形的過程中，外力所做的功全部 轉(zhuǎn)化為儲存于彈性體內(nèi)部的變形能。 2. 能量法從能量的角度出發(fā)，利用功能原理來求解彈 性體變形的方法，即：三.基本概念：完目錄能量 變形三.基本概念：完目錄 (2) 在闡述功能原理的過程中，必須強調(diào)：在功能的轉(zhuǎn)化 過程中，還會有動能的損失，還會產(chǎn)生熱能等其它形式的能量 ，但由于這些能量同變形能相比，是很小的，故在一般情況下 可以忽略不計，而近似地認(rèn)

3、為W全部地轉(zhuǎn)化成了U。 (3) 在分析了功能原理和能量法的概念之后，應(yīng)該指出能 量法的實質(zhì)，并合乎情理的引出下節(jié)內(nèi)容。 (1) 由于本課位于第二冊之首，因此在學(xué)習(xí)之前對上冊進 行簡單總結(jié)，同時，在總結(jié)過程中可自然地引出該章內(nèi)容。 (3) 在分析了功能原理和能量法的概念10-2 桿件變形能的計算.軸向拉壓變形能的計算：N=常量（圖一）復(fù)習(xí)內(nèi)容。軸向拉壓變形10-2 桿件變形能的計算.軸向拉壓變形能的計算：N=常方法：微元法：微量 相對于 的影響。而言很小，忽略 微段 近似的被看成N=常量的等直桿，從而可用公式 計算微段內(nèi)的變形能微元法圖二2 （圖二）方法：微元法：微量 相對于 的影響。而言很小，

4、忽略 微段 近令微段內(nèi)的變形能為du，則： 重點學(xué)習(xí)內(nèi)容 令微段內(nèi)的變形能為du，則： 重點學(xué)習(xí)內(nèi)容 二.扭轉(zhuǎn)變形能的計算：1 （圖三） 復(fù)習(xí)內(nèi)容2 （變量）（圖四） 方法：微元法。學(xué)習(xí)內(nèi)容 圖三扭轉(zhuǎn)變形圖四二.扭轉(zhuǎn)變形能的計算：1 （圖三） 復(fù)習(xí)內(nèi)容2 （變?nèi)龔澢冃文艿挠嬎悖?2 （圖六） 方法：微元法學(xué)習(xí)內(nèi)容注：其中 的角標(biāo)可略 1. （圖五） 復(fù)習(xí)內(nèi)容圖六圖五受力作用三彎曲變形能的計算： 2 （圖六） 方法：微元法學(xué)習(xí)3.在討論變形能的計算問題之前，應(yīng)首先強調(diào)：桿件的變 形能 可以分為兩種情況： 內(nèi)力=常量 內(nèi)力=變量 對于內(nèi)力=常量的情況在第2，3，7三章已經(jīng)分別研究過。在本節(jié)課上只

5、做簡單復(fù)習(xí)，而著重的討論內(nèi)力=變量的情況。4.由于 變形能的計算方法都是一樣的，故在此只需對 三種情況下的情況做細(xì)致的討論，后面兩種情況可一帶而過，無須多講。完目錄3.在討論變形能的計算問題之前，應(yīng)首先強調(diào)：桿件的變 形能 10-3 莫爾定理計算線彈性結(jié)構(gòu)變形的一種非常有效的工具計算撓度的莫爾定理一定理：f 線位移在原始載荷P1、P2、P3作用下，X截面彎矩。在預(yù)加單位載荷P0=1 作用下，X截面的彎矩。其中：10-3 莫爾定理計算線彈性結(jié)構(gòu)變形的一種非常有效的工圖七圖八圖七圖八 在研究莫爾定理之前，首先應(yīng)明確：在這一章中，我們將學(xué)習(xí)兩種能量方法：1，莫爾定理。2，卡氏定理。其中莫爾定理是今天

6、這節(jié)課的內(nèi)容。并且，在變形能概念的基礎(chǔ)上來研究莫爾定理。 對于圖六的情況：由于該梁是一橫力彎曲梁，即在橫截面上不僅有彎矩，而且還有剪力，因此在梁的變形中，彎矩不僅要產(chǎn)生影響，剪力也要產(chǎn)生影響，但當(dāng) 變形都是由于 于彎矩的影響來說是很小的，的影響而產(chǎn)生的。 時，剪力的影響相對故可略而不計，而近似地認(rèn)為梁的 在研究莫爾定理之前，首先應(yīng)明確：在這一章中，我們將學(xué)二.定理證明：1在原始載荷P1、P2、P3單獨作用下，梁內(nèi)變形能U 2在P0=1單獨作用下，梁內(nèi)變形能U0 圖七圖八二.定理證明：1在原始載荷P1、P2、P3單獨作用下， 3. 采用先加P0 =1，然后再加P1、P2、P3.的加載方式時，梁內(nèi)

7、的變形能 P0作用下： P1、P2、P3作用下： 圖七 3. 采用先加P0 =1，然后再加P1、P2、P3.圖七圖八圖九圖七圖八圖九在產(chǎn)生 f變形過程中，P0做功： 轉(zhuǎn)變成變形能儲存于彈性體中，從而可求出梁內(nèi)最終所儲存的總變形能 4. 采用將P0、（P1、P2、P3）同時作用于梁上的加載方式時X截面彎矩:根據(jù)疊加原理在產(chǎn)生 f變形過程中，P0做功： 轉(zhuǎn)變成變形能儲存于彈性 在求U之前，應(yīng)將圖六和圖七進行比較，即可發(fā)現(xiàn)圖七實質(zhì)上是圖六的計算簡圖，因此，此時梁內(nèi)的變形能仍應(yīng)為： 在進行第二步計算之前應(yīng)明確：彈性體內(nèi)所儲存的變形能只與外力和位移的最終數(shù)值有關(guān)，而與加載方式無關(guān)；基于這個道理，在此分別

8、研究梁在不同的加載方式作用情況下，變形能的情況。 此時應(yīng)強調(diào)P1、P2、P3對梁的作用效果并不因預(yù)先在C點作用了單位載荷而有所改變，因此得出：由于P1、P2、P3的作用，C點產(chǎn)生的位移 況下梁內(nèi)的變形能。即式。應(yīng)等于f；產(chǎn)生的變形能也應(yīng)等于圖七情 在求U之前，應(yīng)將圖六和圖七進行比較，即可發(fā)現(xiàn)圖七實質(zhì)4.根據(jù)變形能與加載方式無關(guān)的道理得：計算撓度的莫爾定理 5.推論：同樣的道理，如果我們要求截面的轉(zhuǎn)角，也只需在C截面上施加一個單位力偶，用上述同樣的方法可求出： 4.根據(jù)變形能與加載方式無關(guān)的道理得：計算撓度的莫爾定理計算轉(zhuǎn)角的莫爾定理三.總結(jié)：1.莫爾定理單位力法2.適用范圍線彈性結(jié)構(gòu)四.應(yīng)用舉

9、例：例1：如圖所示：簡支梁AB，跨長為L，抗彎剛度為 。其上受均布載荷作用，載荷集度為q，試求出梁跨中點C的撓度 及端面B的轉(zhuǎn)角 圖九計算轉(zhuǎn)角的莫爾定理三.總結(jié)：1.莫爾定理單位力法四.在梁的自由端截面處作用附加力和如圖課件解：一求支反力RA，RB由對稱性： 二求 及 解：一求支反力RA，RB由對稱性： 二求 及 在材料力學(xué)中，由于每一個具體的問題都要涉及到一定結(jié)構(gòu)的具體圖形，因此，在接到問題，了解了已知條件和要求解的問題之后，緊接著應(yīng)該來分析圖形的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。很顯然，圖十為一對稱結(jié)構(gòu)。 對于對稱結(jié)構(gòu)，在求其某一具體物理量的數(shù)值時，只需取其一個對稱部分來進行計算，其結(jié)果再乘以對稱部分的個數(shù)即可。

10、如圖十，可沿梁中截面將梁分為兩個對稱部分，因此 及 可寫成左邊的形式。 在材料力學(xué)中，由于每一個具體的問題都要涉及到一定結(jié)構(gòu)例題總結(jié)： 1.從莫爾定理的證明過程及例題的分析過程中，可以看出莫爾定理實質(zhì)上就是單位載荷法。若要求某一點的線位移，只需在該點上沿著線位移的方向作用一單位集中力就行了。若要求解一截面的轉(zhuǎn)角，也只需在該截面上作用一單位力偶就行了。2 中的正負(fù)號所表示的含義： “+”表示位移的實際方向同假設(shè)的單位載荷的方向一致?！?”表示位移的實際方向同假設(shè)的單位載荷的方向相反。中的 為了區(qū)別 及 ，在 中的 改寫的形式。 成例題總結(jié)： 1.從莫爾定理的證明過程及例題的分析過程 為了表示出這

11、兩種含義，最后在求出的數(shù)值后面應(yīng)用符號標(biāo)明實際位移方向。注意： 上述內(nèi)容為一節(jié)課（50分鐘）內(nèi)容。整個板面應(yīng)控制在兩個板面左右，以提高“講”的效果。五.莫爾定理在平面曲桿的應(yīng)用： 對于橫截面高度遠(yuǎn)小于軸線曲率半徑的平面曲桿，其彎曲正應(yīng)力分布規(guī)律接近于直梁，如再省略軸力和剪力的影響，可將計算直梁變形的莫爾定理推廣應(yīng)用于這類曲桿撓度和轉(zhuǎn)角的近似計算公式：（10-12） 為了表示出這兩種含義，最后在求出的數(shù)值后面應(yīng)用式中：S 代表曲桿軸線的弧長 載荷作用下，曲桿橫截面上的彎矩 單位力或力偶作用，曲桿橫截面上的彎矩 （計算桁架中某一點位移的莫爾定理的推導(dǎo)做為課外作業(yè)，請大家課后將它推導(dǎo)出來）完目錄式中

12、：S 代表曲桿軸線的弧長 10-4 圖形互乘法 在應(yīng)用莫爾定理求位移時，需計算下列形式的積分： 對于等直桿，EI=const，可以提到積分號外，故只需計算積分。 直桿的M0(x)圖必定是直線或折線。10-4 圖形互乘法 在應(yīng)用莫爾定理求位移在梁的自由端截面處作用附加力和如圖課件頂點頂點二次拋物線頂點頂點二次拋物線例102：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。解：例102：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。解：在梁的自由端截面處作用附加力和如圖課件例103：試用圖乘法求所示簡支梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。解：例103：試用圖乘法求所示簡支梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。解：例104：試用圖

13、乘法求所示簡支梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。解：例104：試用圖乘法求所示簡支梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。解：例105：試用圖乘法求所示簡支梁C截面的撓度和A、B截面的轉(zhuǎn)角。解：例105：試用圖乘法求所示簡支梁C截面的撓度和A、B截面的在梁的自由端截面處作用附加力和如圖課件 例106：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。解： 例106：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。解 例107：試用圖乘法求圖示懸臂梁中點C處的鉛垂位移。解： 例107：試用圖乘法求圖示懸臂梁中點C處的鉛垂位移。解例108：圖示梁，抗彎剛度為EI，承受均布載荷q及集中力X作用。用圖乘法求：(1)集中力作用端撓度為零時

14、的X值；(2)集中力作用端轉(zhuǎn)角為零時的X值。解：例108：圖示梁，抗彎剛度為EI，承受均布載荷q及集中力X例9：圖示梁的抗彎剛度為EI，試求D點的鉛垂位移。解：例9：圖示梁的抗彎剛度為EI，試求D點的鉛垂位移。解： 例1010：圖示梁的抗彎剛度為EI，試求D點的鉛垂位移。 例1010：圖示梁的抗彎剛度為EI，試求D點的鉛垂位移例1011：圖示開口剛架，EI=const。求A、B兩截面的相對角位移 AB 和沿P力作用線方向的相對線位移 AB 。解：例1011：圖示開口剛架，EI=const。求A、B兩截面例1012：用圖乘法求圖示階梯狀梁A截面的轉(zhuǎn)角及E截面的撓度。完目錄例1012：用圖乘法求圖

15、示階梯狀梁A截面的轉(zhuǎn)角及E截面的撓10-5卡氏定理式中： U 彈性體內(nèi)的變形能（在P2作用下）作用在彈性體上一組外力P1、P2中，作用在n點處的外力. 對應(yīng)于 所發(fā)生的n點沿 方向的位移。 一定理：的偏導(dǎo)數(shù)，作用點沿 位移，即： 方向的對于線彈性結(jié)構(gòu)，變形能對任一外力等于10-5卡氏定理式中： U 彈性體內(nèi)的變形能（在P二.定理證明：1.在原始載荷作用下（ P1、P2作用下）的變形能。令此兩種情況下的變形能為 相同。 如圖所示： P1、P2為作用于彈性體上的一組載荷，在此稱為原始載荷。 為我們?yōu)榱饲蠼鈫栴}的需要，地施加于彈性體上的一微小增量，其作用方向及作用位置與 而假想2.在原始載荷作用的基

16、礎(chǔ)上，在n點沿 方向施加 彈性體的變形能，由于 處施加了一增量 能U也應(yīng)產(chǎn)生一增量 故此時彈性體內(nèi)的變形能應(yīng) 后，則變形為：二.定理證明：1.在原始載荷作用下（ P1、P2作用下）的卡氏定理增加載荷原始載荷彈性體卡氏定理增加載荷原始載荷彈性體 由=可得：，而總的變形能應(yīng)為： 3.先作用 而后作用 P1、P2。由于 的作用， 彈性體內(nèi)所產(chǎn)生的變形能為： 在 的作用過程中，由 不因先前作用了 而有所改變， 同時由于 在這一過程中始終作用在彈性體上，因此該過程中，彈性體內(nèi)再次產(chǎn)生的變形能應(yīng)為： 對彈性體的作用效果并P1、P2P1、P2 由=可得：，而總的變形能應(yīng)為： 3.先作略去二階微量： ，求得：

17、 卡氏定理。橫力彎曲梁：變形能： 三.卡氏定理的應(yīng)用略去二階微量： ，求得： 卡氏定理。橫力彎曲梁：變形能：2.平面曲桿（截面高度遠(yuǎn)小于軸線曲率半徑）變形能： 3.桁架：變形能： 2.平面曲桿（截面高度遠(yuǎn)小于軸線曲率半徑）變形能： 3.桁分別指廣義位移和廣義力，即： 注：上述公式中， 則為線位移， 為力偶時， 則為一轉(zhuǎn)角。為集中力時， 和左端截面A的轉(zhuǎn)角 例1013：如圖所示為一外伸梁，其抗彎剛度EI已知，試求外伸端C的撓度分別指廣義位移和廣義力，即： 注：上述公式中， 則為線位移，解：一求支座反力及內(nèi)力方程：1.支反力：由 2.彎矩方程：AB段： BC段： 解：一求支座反力及內(nèi)力方程：1.支

18、反力：由 2.彎矩方程3求 和 3求 和 注：此處 和 力的方向一致。 的結(jié)果為正，說明位移方向同各自處外舉例說明卡氏定理的附加力法：例14：如圖所示為一懸臂梁，其抗彎剛度EI為已知，試求自由端截面的垂直位移及截面轉(zhuǎn)角。解：一在梁的自由端截面處作用附加力 和 如圖：注：此處 和 力的方向一致。 的結(jié)果為正，說明位移方向同各自二求 和 此時，二求 和 此時，討論：當(dāng)我們所要求其位移的截面處無集中力作用時，或所要 求其轉(zhuǎn)角的截面處無集中力偶作用時，為了能夠使用卡 氏定理解 題，我們可以在上述位置處作用上附加力 和附加力偶 然后按照卡氏定理求出結(jié)果，并在結(jié)果中令 即可。，完目錄討論：當(dāng)我們所要求其位

19、移的截面處無集中力作用時，或所要 和10-6 功的互等定理和位移互等定理二.定理證明：1 和 所示，在線彈性范圍之內(nèi)的情況下，梁內(nèi)的變形能應(yīng)為： 緩慢地按相同的比例增加地作用在梁上，如圖.定理：功的互等定理位移互等定理10-6 功的互等定理和位移互等定理二.定理證明：1 和圖a圖b圖c圖d圖a圖b圖c圖d 作用下，1點沿 方向的位移 作用下，2點沿 方向的位移 2.按照先作用 后作用 證明莫爾定理同樣地道理，可得；梁內(nèi)的變形能應(yīng)為：的方式施加載荷，根據(jù)3.由于梁內(nèi)的變形能與加載方式是無關(guān)的，故 即： 作用下，1點沿 方向的位移 作用下，2點沿 方向功的互等定理 4.在 時：位移互等定理 功的互等定理 4.在 時：位移互等定理 例1015：試求圖示懸臂梁的變形能，并利用功能原理求自由 端B的撓度。解：例1015：試求圖示懸臂梁的變形能，并利用功能原理求自由解例1016：