1、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)討論下列函數(shù)序列在所示區(qū)域的一致收斂性：fn(x)fn(x)xfn(x)fn(x)xfn(x)xfn(x)fn(x)xxfn(x)fn(x)fn(x)fn(x)x2sinn( l,l), ii) nx111a,n2x1a,nx1 nx10,b,ba,xnxnx xn n1n1n2xx,nxnx),a2n3x),a,xnx1, ii) ),ax2n,xn ,ln ,ln(1 e, x函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)討論下列函數(shù)序列在所示區(qū)域的一致收斂性：fn(x)fn(x)xfn(x)fn(x)xfn(x)xfn(x)fn(x)xxfn(x)fn(x)fn(x)fn(x)x2sinn( l,

2、l), ii) nx111a,n2x1a,nx1 nx10,b,ba,xnxnx xn n1n1n2xx,nxnx),a2n3x),a,xnx1, ii) ),ax2n,xn ,ln ,ln(1 e, x,(x,0,30,xnx 0,1;1;x1xnx(,(0,1); ii) , ii) 0,1;,0,1;x(0,1);),);xx0,1;x);(0,(0,(););,);1. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性1.i) i) i) i) iii) 1 / 9 fn(x)x設(shè) f () 定義于 (a,b)，令nf(x)n參數(shù)n0,1證明序列1lim f (xdx設(shè)a,b (n按定義討論下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致

3、收斂性：(1 x)x( 1)n x(1 x2)n設(shè). 設(shè) 在n f(x , (a設(shè)e , l,l,(nf取什么值時(shí)，xe ,0,1f (x)n ( )1,2,n1 2,ff (fn(x)x設(shè) f () 定義于 (a,b)，令nf(x)n參數(shù)n0,1證明序列1lim f (xdx設(shè)a,b (n按定義討論下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性：(1 x)x( 1)n x(1 x2)n設(shè). 設(shè) 在n f(x , (a設(shè)e , l,l,(nf取什么值時(shí)，xe ,0,1f (x)n ( )1,2,n1 2,ff () (a,b)內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)1n)b)上， ( )f x) a,b(x n)2 ii) 1,2,nnx

4、一致收斂？使nnf x a,b) lim x,xn(f (x)，且f (x),fn x f1(x). (x)nlimnnxe (nlimn，滿足x 0,1;(x) (n一致收斂于在 上黎曼可積，定義函數(shù)序列(在1,2,3,10nx20是 上的連續(xù)函數(shù)列，且n,1,2,(x). ,(a,b)上一致收斂于f1,2,f fn). ) 在a,b上有界，并且 fn(x) 在a,b上一致收斂，求證：)f(x)n() 0,1n(n(x0，求證. x)dx可在積分號(hào)下取極在閉區(qū)間 上收斂，但x)dxx) a,bn n.在 一致收斂于(x )f(x)f(x0).；又i) 2.fn(x)求證：3.fn(x)在閉區(qū)

5、間 收斂？在閉區(qū)間限？4.10n5.xn6.n 0n 17.fn(x)在a,b上一致有界8.fn(x)求證：在閉區(qū)間9.2 / 9 x1(flim f ( )0lim a lim f(x)lim lim f ( )0sin3 4x1( 1)n(1 en2 x2sinnxx 2nnx1n2n!x2exnlnn xn!x2nxfn(t)dtafnnnnnxnn4xnx,n5x(xnnx,1n2n(nn(x)an, (nx xx0nx2),x2xx1(flim f ( )0lim a lim f(x)lim lim f ( )0sin3 4x1( 1)n(1 en2 x2sinnxx 2nnx1n2

6、n!x2exnlnn xn!x2nxfn(t)dtafnnnnnxnn4xnx,n5x(xnnx,1n2n(nn(x)an, (nx xx0nx2),x2x ),xx2,1,2,(x)在(a,b)內(nèi)一致收斂于1,2,0lim x)4, xx( 2,n2x0,1;1(|x| r)在 . f(x)， x). n(, x(0,);x10,n 1)21;a,b上一致收斂于零0. (,);(|x|);,(a,b)且,);,2;x););(,);求證：10. 設(shè)x證明： 和n x11. 討論下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性：n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 2n 13 / 9 ln(1 nxn

7、xn2n3n2 x2sin xsinnxn x( 1)nx n( 1)nn2 sin ,( 1)3 2xn( 1)nn(x2(1un(x)的一般項(xiàng) u xn 1X), x, x,sinn3nx2, x| a;n exn,x2n2nln(1 nxnxn2n3n2 x2sin xsinnxn x( 1)nx n( 1)nn2 sin ,( 1)3 2xn( 1)nn(x2(1un(x)的一般項(xiàng) u xn 1X), x, x,sinn3nx2, x| a;n exn,x2n2n(x)都是1)nx2)n| ( )|上也一致收斂且絕對(duì)收斂,(0,2 ;xx1x11a,b 上的單調(diào)函數(shù)，如果1n雖在n.

8、x,( 1,x 1,0;,n1x2xcn(x), xa,););x(0,x(x)關(guān)于 在(X),a(); 1,1.在a,b的端點(diǎn)為絕對(duì)收x (,并且1.,)cn(x) X);)上絕對(duì)收斂，但并不一致收斂在 上一致收斂， 證明上為一致收斂，但對(duì)任何. x并非絕n 112. 討論下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性：cosn 1n 1n 1n 1n 1n(n 1)n 1n 1n 113. 設(shè)每一項(xiàng)斂，那么這級(jí)數(shù)在 a,b上一致收斂 . 14. 證明級(jí)數(shù)n 1對(duì)收斂；而級(jí)數(shù)n 115. 若n 1un(x)在n 14 / 9 . (2x)nn!ln(n 1)n 1nnxn2nn3nn(2n)!(2n 1)!1(

9、 1)nn nx5(n!)2(2n)!1nxn;xn ;12nxn;( 2)nxn;1nn. (2x)nn!ln(n 1)n 1nnxn2nn3nn(2n)!(2n 1)!1( 1)nn nx5(n!)2(2n)!1nxn;xn ;12nxn;( 2)nxn;1nnnnx121nx;(xn2xn;x7nn1nn;1)n;n;x;n;1 求下列各冪級(jí)數(shù)的收斂域n 1n 1n 1n 13 ( 1)nn 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 15 / 9 (x(2nan xxnann 0an(ananbnakx1 ( nanan設(shè)n 0f (x)dxn 0an利用上題證明x用逐項(xiàng)微分或逐項(xiàng)

10、積分求下列級(jí)數(shù)的和：2)2n1)!2npxn 的收斂半徑為x2nbn)xn；xn . kxnxnf(x)annxn11n(1n 11;n.(x(2nan xxnann 0an(ananbnakx1 ( nanan設(shè)n 0f (x)dxn 0an利用上題證明x用逐項(xiàng)微分或逐項(xiàng)積分求下列級(jí)數(shù)的和：2)2n1)!2npxn 的收斂半徑為x2nbn)xn；xn . kxnxnf(x)annxn11n(1n 11;n.R ，；M 收斂；Man1當(dāng) xx) (0 abn0,1,. xnrnr 時(shí)是否收斂 . dx1);xn 的收斂半徑為x1當(dāng) 時(shí)收斂，那么當(dāng)n11n2Q ，討論下列級(jí)數(shù)的0) x xx r

11、1，. ，求證：當(dāng) 0 時(shí)，有an1rn 1收斂時(shí)有n 1n 1n 12 設(shè)冪級(jí)數(shù)n 0收斂半徑：n 1n 1n 1n3 設(shè)k 0n 0n 04.n 0r0不論n 05.06.6 / 9 xnnnxnn(n( 1)n(2n 1)n2 1xnn!2n( 1)nn3(n 1)!x4n4n(2n2x(2n!求下列級(jí)數(shù)的和：2n2n1n證明：x4n(4n)!xn(; ; 1)xn1x2n ; ; x1; 1nxnnnxnn(n( 1)n(2n 1)n2 1xnn!2n( 1)nn3(n 1)!x4n4n(2n2x(2n!求下列級(jí)數(shù)的和：2n2n1n證明：x4n(4n)!xn(; ; 1)xn1x2n

12、; ; x1; 1n 1n 1n 1)21. (2n滿足方程滿足方程n!)2; n1)xn; ; x; 1)yxy; 2n(4)1yy. ；y0. n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 0n 0n 1n 17.n 1n 18.n 0n 07 / 9 設(shè) 是冪級(jí)數(shù)f (x)f(x)求證： f() 在 1,1連續(xù)，求證： 在點(diǎn)求證：求證： f() 在點(diǎn). 11x)21(1cos2 x; sin3xx(1 )1n(x11 3x設(shè) 是冪級(jí)數(shù)f (x)f(x)求證： f() 在 1,1連續(xù)，求證： 在點(diǎn)求證：求證： f() 在點(diǎn). 11x)21(1cos2 x; sin3xx(1 )1n(x11 3x

13、 2x2arcsinx; 1n(1 xxarctanxf ()為偶函數(shù)，則級(jí)數(shù)中僅出現(xiàn)偶次冪的項(xiàng)xnn21n(1 n)ff() xlim f ()x,a 0; ;x)3; ;x e1;x2);ln 1an. . 1可導(dǎo)；1不可導(dǎo);xx2);x2;xn(x)在( 1,1)內(nèi)連續(xù)；. ; 在 上的和函數(shù)，若( ,)f(x)為奇函數(shù)，則級(jí)數(shù)中僅n 0出現(xiàn)奇次冪的項(xiàng)；若10. 設(shè)n 1x 111. 利用基本初等函數(shù)的展式，將下列函數(shù)展開為麥克勞林級(jí)數(shù)，并說明收斂區(qū)間a x(11 3x8 / 9 xtcost2dt.1n(1 x)1 x(arctan1n2(1 xx01a x1nln x,ex,x0f()df (x) 在區(qū)間 (a,b)內(nèi)的各階導(dǎo)數(shù)一致有界，即存在(a,b)，有f (x)| M(a,b)內(nèi)任意點(diǎn) xf (xn!sint;x)2xtcost2dt.1n(1 x)1 x(arctan1n2(1 xx01a x1nln x,ex,x0f()df (x) 在區(qū)間 (a,b)內(nèi)的各階導(dǎo)數(shù)一致有界，即存在(a,b)，有f (x)| M(a,b)內(nèi)任意點(diǎn) xf (xn