§7.3

利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器?基本原理：頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)FIR頻率采樣結(jié)構(gòu)兩個(gè)問題：1.用頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位濾波器的條件頻域采樣值滿足線性相位的條件：2.逼近誤差及其改進(jìn)措施理想低通濾波器增加過渡點(diǎn)

4．頻率采樣法設(shè)計(jì)步驟綜上所述，可歸納出頻率采樣法的設(shè)計(jì)步驟:（1）根據(jù)阻帶最小衰減

s選擇過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)m。（2）確定過渡帶寬度Bt，估算頻域采樣點(diǎn)數(shù)（即濾波器長(zhǎng)度）N。如果增加m個(gè)過渡帶采樣點(diǎn)，則過渡帶寬度近似變成(m+1)2π/N。當(dāng)N確定時(shí)，m越大，過渡帶越寬。如果給定過渡帶寬度Bt，則要求(m+1)2π/N≤Bt

，濾波器長(zhǎng)度N必須滿足如下估算公式:

（3）構(gòu)造一個(gè)希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù):設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)型片斷常數(shù)特性的FIR數(shù)字濾波器時(shí)，一般構(gòu)造幅度特性函數(shù)Hdg(ω)為相應(yīng)的理想頻響特性，且滿足表7.1.1要求的對(duì)稱性。（4）按照（7.3.1）式進(jìn)行頻域采樣:（7.3.16）（7.3.17）并加入過渡帶采樣。過渡帶采樣值可以設(shè)置為經(jīng)驗(yàn)值，或用累試法確定，也可以采用優(yōu)化算法估算。（5）對(duì)H(k)進(jìn)行N點(diǎn)IDFT，得到第一類線性相位FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)：

（6）檢驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果。如果阻帶最小衰減未達(dá)到指標(biāo)要求，則要改變過渡帶采樣值，直到滿足指標(biāo)要求為止。如果濾波器邊界頻率未達(dá)到指標(biāo)要求，則要微調(diào)Hdg(ω)的邊界頻率。

【例7.3.1】用頻率采樣法設(shè)計(jì)第一類線性相位低通FIR數(shù)字濾波器，要求通帶截止頻率ωp=π/3，阻帶最小衰減大于40dB，過渡帶寬度Bt≤π/16。

解查表7.3.1，

s=40dB時(shí)，過渡帶采樣點(diǎn)數(shù)m=1。將m=1和Bt≤π/16代入（7.3.15）式估算濾波器長(zhǎng)度:N≥(m+1)2π/Bt=64，留一點(diǎn)富余量，取N=65。構(gòu)造Hd(ejω)=Hdg(ω)e－jω(N－1)/2為理想低通特性，其幅度響應(yīng)函數(shù)Hdg(ω)如圖7.3.3(a)中實(shí)線所示。圖7.3.3一個(gè)過渡點(diǎn)的設(shè)計(jì)結(jié)果(T=0.38)設(shè)計(jì)由以下程序ep731.m完成：％ep732.m:用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR低通濾波器

T=input(‘T=’)％輸入過渡帶采樣值T

Bt=pi/16;wp=pi/3;％過渡帶寬度為pi/16，通帶截止頻率為pi/3

m=1;N=ceil(m+1)*2*pi/Bt)+1;％按式（7.3.15）估算采樣點(diǎn)數(shù)N

Np=fix(wp/(2*pi/N)); ％Np+1為通帶［0,wp］上采樣點(diǎn)數(shù)

Ns=N－2*Np－1;％Ns為阻帶［wp,2*pi－wp］上采樣點(diǎn)數(shù)

Hk=［ones(1,Np+1),zeros(1,Ns),ones(1,Np)］

;％N為奇數(shù)，幅度采樣向量偶對(duì)稱A(k)=A(N－k)

Hk(Np+2)=T;Hk(N－Np)=T;％加一個(gè)過渡采樣

thetak=－pi*(N－1)*(0:N－1)/N; ％相位采樣向量θ(k)=(N－1)πk/N,0≤k≤N－1

Hdk=Hk.*exp(j*thetak);％構(gòu)造頻域采樣向量Hd(k)

hn=real(ifft(Hdk)); ％h(n)=IDFT［H(k)］

Hw=fft(hn,1024); ％計(jì)算頻率響應(yīng)函數(shù):DFT［h(n)］

wk=2*pi*［0:1023］/1024;

Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N－1)/2);

％計(jì)算幅度響應(yīng)函數(shù)Hg(ω)％計(jì)算通帶最大衰減Rp和阻帶最小衰減Rs

Rp=max(20*log10(abs(Hgw)))

hgmin=min(real(Hgw));Rs=20*log10(abs(hgmin))％以下繪圖部分略去運(yùn)行程序，輸入T=0.38，得到設(shè)計(jì)結(jié)果如圖7.3.3所示，并輸出通帶最大衰減

p=0.4767dB，阻帶最小衰減

s=－43.4411dB。但是，如果過渡帶采樣值T=0.5和0.6，則得到阻帶最小衰減

s=－29.6896dB和－25.0690dB。由此可見，當(dāng)過渡帶采樣點(diǎn)數(shù)給定時(shí)，過渡帶采樣值不同，則逼近誤差不同。所以，對(duì)過渡帶采樣值進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)才是有效的方法。

MATLAB信號(hào)處理工具箱函數(shù)fir2是一種頻率采樣法與窗函數(shù)法相結(jié)合的FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)。

hn=fir2(M,F,A,window(M+1))設(shè)計(jì)一個(gè)M階線性相位FIR數(shù)字濾波器，返回長(zhǎng)度為N=M+1的單位脈沖響應(yīng)序列向量hn。window表示窗函數(shù)名，缺省該項(xiàng)時(shí)默認(rèn)選用Hamming窗?？晒┻x擇的窗函數(shù)有Boxcar、Bartlett、Hann、Hamm、Blackman、Kaiser和Chebwin。當(dāng)window=boxcar時(shí)，fir2就是純粹的頻率采樣設(shè)計(jì)法。希望逼近的幅度特性由邊界頻率向量F和相應(yīng)的幅度向量A確定，

plot(F,A)畫出的就是希望逼近的幅度特性曲線。圖7.3.4例7.3.1希望逼近的幅度特性（T=0.38）

F為對(duì)π歸一化的數(shù)字頻率向量，0≤F≤1。而且F的元素必須是單調(diào)遞增的，以0開始，以1結(jié)束，1對(duì)應(yīng)于模擬頻率Fs/2。對(duì)例7.3.1，F(xiàn)=［0,wc/pi,wc/pi+2/N,wc/pi+4/N,1］;A=［1,1,T,0,0］。其中，wc/pi+2/N為過渡帶采樣點(diǎn)頻率，T為過渡帶采樣值。plot(F,A)畫出的就是希望逼近的幅度特性曲線,如圖7.3.4所示。調(diào)用fir2求解例7.3.1的程序?yàn)閑p731b.m。與程序ep731.m比較，ep731b.m更加簡(jiǎn)單。應(yīng)當(dāng)注意，用Fir2設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器時(shí)，應(yīng)當(dāng)靈活利用其頻率采樣法與窗函數(shù)法相結(jié)合的特性，既可以采用優(yōu)化過渡帶采樣，設(shè)計(jì)希望逼近的幅度特性，來控制阻帶最小衰減（程序ep731b.m中采用這種方法）,又可以不加過渡帶采樣，通過選用合適的窗函數(shù)來控制阻帶最小衰減。但優(yōu)化過渡帶采樣可以使濾波器階數(shù)更低。

%調(diào)用fir2求解例7.3.1的程序ep731b.m

T=input('T=')%鍵入過渡采樣值T

Bt=pi/16;wp=pi/3;

%過渡帶寬度pi/16,通帶截止頻率為pi/3；

m=1;

%過渡點(diǎn)個(gè)數(shù)m=1

N=ceil((m+1)*2*pi/Bt)+1%按（7.3.15）式估算采樣點(diǎn)數(shù)N

F=［0,wp/pi,wp/pi+2/N,wp/pi+4/N,1］;

A=［1,1,T,0,0］; %設(shè)置調(diào)用參數(shù)向量F和A

hn=fir2(N-1,F,A,boxcar(N));

%選用矩形窗函數(shù)以下與ep731.m相同（省略）。窗函數(shù)設(shè)計(jì)法和頻率采樣法簡(jiǎn)單方便，易于實(shí)現(xiàn)。但它們存在以下缺點(diǎn):①濾波器邊界頻率不易精確控制。②窗函數(shù)設(shè)計(jì)法總使通帶和阻帶波紋幅度相等，頻率采樣法只能依靠?jī)?yōu)化過渡帶采樣點(diǎn)的取值控制阻帶波紋幅度，所以兩種方法都不能分別控制通帶和阻帶波紋幅度。但是工程上對(duì)二者的要求是不同的，希望能分別控制。③所設(shè)計(jì)的濾波器在阻帶邊界頻率附近的衰減最小，距阻帶邊界頻率越遠(yuǎn)，衰減越大。所以，如果在阻帶邊界頻率附近的衰減剛好達(dá)到設(shè)計(jì)指標(biāo)要求，則阻帶中其他頻段的衰減就有很大富余量。這就說明這兩種設(shè)計(jì)法存在較大的資源浪費(fèi)，或者說所設(shè)計(jì)濾波器的性能價(jià)格比低。下一節(jié)介紹一種能克服上述缺點(diǎn)的最優(yōu)逼近設(shè)計(jì)方法。floor(x)

朝負(fù)無(wú)窮方向取整ceil(x)

朝正無(wú)窮方向取整round(x)

朝最近的整數(shù)取整fix(x)