3.1化與數(shù)3.1.1變率題一創(chuàng)情】為了描述現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)、過程等變化著的現(xiàn),數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)隨著對(duì)函數(shù)的研,產(chǎn)生了微積,微積分的創(chuàng)立以自然科學(xué)中四類問題的處理直接相:1、已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)的函求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度;2、求曲線的切;3、求已知函數(shù)的最大值與最小;4、求長(zhǎng)度、面積、體積和重心.導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大(小)值等問題最一般、最有效的工.導(dǎo)研究的問題即變率題究個(gè)變相于一變變的慢度.二新講一)題出問1氣膨脹我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以現(xiàn),隨氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣的半徑增加越來越.從數(shù)學(xué)角度,何描述這種現(xiàn)象?氣球的體積

V

(單位

)與半徑r

(單位

)之間的函數(shù)關(guān)系是V(r)

43

r

如果將半徑r

表示為體積

V

的函數(shù)那

r(V)

3

3分:

r(V

3(1)當(dāng)

V

從

增加到1

時(shí)氣半徑增加了r(1)(0)dm)rr氣球的平均膨率0.62(dm/)(2)當(dāng)

V

從

增加到

時(shí)氣半徑增加了r(2)氣球的平均膨率

rr2

0.16(dmL)可以看出,隨著氣球體積逐漸增,的平均膨脹率逐漸變小.思:當(dāng)空容量從V增到V時(shí)氣球的平均膨脹率是多少?問2高跳水

r(V)()2V2在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)員相對(duì)水面的高度

(單:

m

)與起跳后的時(shí)間

ht

(單位:

s

)存函數(shù)關(guān)系

(t)

26.5t

.如用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速v度略地描述其運(yùn)動(dòng)狀?思計(jì):

和

的平均速度

v在

0.5

這段時(shí)間里v

4.05(/o

t

2111221112在

這段時(shí)間里

v

(1)

/)探:計(jì)算動(dòng)員在

6549

這段時(shí)間里的平均速,并思考下問:(1)運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)使靜止嗎？(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎？探過:如圖函數(shù)

(t)t

2

t

的圖像65結(jié)合圖形可知,)h49

,所

65h)(0)496549

m雖然運(yùn)動(dòng)員在0

這段時(shí)間里的平均速度為(s/m)

,但實(shí)際情況是運(yùn)動(dòng)員仍然運(yùn)動(dòng),非靜,可以說明用平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀.二)均化概1.上述問題中的變化率可用式子

ff(x)221

表,稱為函數(shù)f(x從到的均變化.12.若設(shè),f()f()(這里作是對(duì)于x的一個(gè)“增量”可21211用x替,同樣(x)f())11(x)f(x)(x(x)則平均變化率為21思:觀察數(shù)f()

的圖象平均變化率三典分

f(x)f(x)2

表示什?例知函數(shù)

f(x

2

的圖象上的一點(diǎn)A(2)

及臨近一點(diǎn)

則

.解

∴

例

在

xx

附近的平均變化.解

x

202202所以

(x

0

2

x00

2

0

2

x0所以

在

xx0

附近的平均變化率為

0課練1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

s

,則時(shí)間,

中相應(yīng)的平均速度為2.物體按照

s()t

的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng),求在

附近的平均變化.3.過曲線

y