第四章平面向量高考導航考試要求重難點擊命題展望1.平面向量的實際背景及基本概念(1)了解向量的實際背景；(2)理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義；(3)理解向量的幾何表示.2.向量的線性運算(1)掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義；(2)掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義；(3)了解向量線性運算的性質及其幾何意義.3.平面向量的基本定理及其坐標表示(1)了解平面向量的基本定理及其意義；(2)掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；(3)會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算；(4)理解用坐標表示的平面向量共線的條件.4.平面向量的數(shù)量積(1)理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；(2)了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系；(3)掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算；(4)能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.5.向量的應用(1)會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題；(2)會用向量方法解決某些簡單的力學問題及其他一些實際問題.本章重點：1.向量的各種運算；2.向量的坐標運算及數(shù)形結合的思想；3.向量的數(shù)量積在證明有關向量相等、兩向量垂直、投影、夾角等問題中的應用.本章難點：1.向量的直角坐標運算在證明向量垂直和平行問題中的應用；2.向量的夾角公式和距離公式在求解平面上兩條直線的夾角和兩點間距離中的應用.向量是近代數(shù)學中重要和基本的數(shù)學概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實際背景，同時又是數(shù)形結合思想運用的典范，正是由于向量既具有幾何形式又具有代數(shù)形式的“雙重身份”，所以它成為中學數(shù)學知識的一個交匯點.在高考中，不僅注重考查向量本身的基礎知識和方法，而且常與解析幾何、三角函數(shù)、數(shù)列等一起進行綜合考查.在考試要求的層次上更加突出向量的實際背景、幾何意義、運算功能和應用價值.知識網(wǎng)絡4.1平面向量的概念及線性運算典例精析題型一向量的有關概念【例1】下列命題：①向量的長度與的長度相等；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③兩個有共同起點的單位向量，其終點必相同；④向量與向量是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上.其中真命題的序號是.【解析】①對；零向量與任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②錯；③顯然錯；與是共線向量，則A、B、C、D可在同一直線上，也可共面但不在同一直線上，故④錯.故是真命題的只有①.【點撥】正確理解向量的有關概念是解決本題的關鍵，注意到特殊情況，否定某個命題只要舉出一個反例即可.【變式訓練1】下列各式：①|a|＝；②(ab)c＝a(bc)；③－＝；④在任意四邊形ABCD中，M為AD的中點，N為BC的中點，則＋＝2；⑤a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a與b不共線，則(a＋b)⊥(a－b).其中正確的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 【解析】選D.|a|＝正確；(ab)c≠a(bc)；－＝正確；如下圖所示，=++且=++，兩式相加可得2＝＋，即命題④正確；因為a，b不共線，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b為菱形的兩條對角線，即得(a＋b)⊥(a－b).所以命題①③④⑤正確.題型二與向量線性運算有關的問題【例2】如圖，ABCD是平行四邊形，AC、BD交于點O，點M在線段DO上，且=，點N在線段OC上,且=,設=a,=b,試用a、b表示，，.【解析】在?ABCD中，AC，BD交于點O，所以＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(－)＝eq\f(1,2)(a－b)，＝＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(a＋b).又＝eq\f(1,3)，＝eq\f(1,3)，所以＝＋＝b＋eq\f(1,3)＝b＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(a－b)＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b，＝＋＝＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)＝eq\f(4,3)×eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\f(2,3)(a＋b).所以＝－＝eq\f(2,3)(a＋b)－(eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.【點撥】向量的線性運算的一個重要作用就是可以將平面內任一向量由平面內兩個不共線的向量表示，即平面向量基本定理的應用，在運用向量解決問題時，經(jīng)常需要進行這樣的變形.【變式訓練2】O是平面α上一點，A、B、C是平面α上不共線的三點，平面α內的動點P滿足＝＋λ(＋)，若λ＝eq\f(1,2)時，則(＋)的值為.【解析】由已知得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，當λ＝eq\f(1,2)時，得＝eq\f(1,2)(＋)，所以2＝＋，即－＝－，所以＝，所以＋＝＋＝0，所以(＋)＝0＝0，故填0.題型三向量共線問題【例3】設兩個非零向量a與b不共線.(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.【解析】(1)證明：因為＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，所以，共線.又因為它們有公共點B，所以A，B，D三點共線.(2)因為ka＋b和a＋kb共線，所以存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，所以(k－λ)a＝(λk－1)b.因為a與b是不共線的兩個非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.【點撥】(1)向量共線的充要條件中，要注意當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法的運用和方程思想.(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.【變式訓練3】已知O是正三角形BAC內部一點，+2+3=0，則△OAC的面積與△OAB的面積之比是（ ）A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3) C.2 D.eq\f(1,3)【解析】如圖，在三角形ABC中，＋2＋3＝0，整理可得＋＋2(＋)＝0.令三角形ABC中AC邊的中點為E，BC邊的中點為F，則點O在點F與點E連線的eq\f(1,3)處，即OE＝2OF.設三角形ABC中AB邊上的高為h，則S△OAC＝S△OAE＋S△OEC＝eq\f(1,2)OE(eq\f(h,2)＋eq\f(h,2))＝eq\f(1,2)OE·h，S△OAB＝eq\f(1,2)ABeq\f(1,2)h＝eq\f(1,4)AB·h，由于AB＝2EF，OE＝eq\f(2,3)EF，所以AB＝3OE，所以eq\f(S△OAC,S△OAB)＝＝eq\f(2,3).故選B.總結提高1.向量共線也稱向量平行，它與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線(即重合)的情形，而向量平行則包括共線(即重合)的情形.2.判