第八章采樣控制系統(tǒng) 以上各章所講的根本方法只適合于分析與綜合連續(xù)系統(tǒng)。本章將主要講述分析與綜合線性離散系統(tǒng)的根本方法。 線性離散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，可以用差分方程描述。其中，變換是更好的工具。利用變換分析與綜合采樣系統(tǒng)的重要優(yōu)點(diǎn)之一，在于它使整個(gè)離散系統(tǒng)分析與綜合方法與連續(xù)系統(tǒng)的拉氏〔Laplace〕變換分析與綜合方法很相象。某些概念和方法，例如傳遞函數(shù)，穩(wěn)定準(zhǔn)那么等，都可以推廣應(yīng)用于線性離散系統(tǒng)?！?-1引言第二次世界大戰(zhàn)以后，全世界科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中開(kāi)展最快的技術(shù)有：集成電路技術(shù)、自動(dòng)化技術(shù)、核能技術(shù)、航天技術(shù)等。而這些技術(shù)是相互依賴，相互促進(jìn)的。計(jì)算機(jī)參與的自動(dòng)控制系統(tǒng)被稱為計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，由于計(jì)算機(jī)所使用的量都是數(shù)字量，所以計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)又稱為數(shù)字控制系統(tǒng)或離散系統(tǒng)，后面還要對(duì)離散系統(tǒng)給出更嚴(yán)格的定義。 在工業(yè)應(yīng)用方面，主要是工業(yè)生產(chǎn)的過(guò)程控制。最早出現(xiàn)直到目前仍被廣泛利用的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，是直接數(shù)字控制系統(tǒng)，即DDC〔DirectDigitalControl〕系統(tǒng)。圖8-1所示是計(jì)算機(jī)控制的溫度控制系統(tǒng)。圖8-1計(jì)算機(jī)控制的溫度控制系統(tǒng) 圖8-2計(jì)算機(jī)DDC控制系統(tǒng)方框圖由圖8-1可知，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)首先是把反映過(guò)程狀態(tài)的參數(shù)〔本例是溫度〕，經(jīng)過(guò)采樣與給定量比擬后，經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的數(shù)字量，計(jì)算機(jī)根據(jù)一定的控制算法進(jìn)行計(jì)算，將控制作用經(jīng)轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的模擬量〔根據(jù)需要〕，通過(guò)執(zhí)行機(jī)構(gòu)去控制生產(chǎn)過(guò)程，以到達(dá)預(yù)期目的。同時(shí)，也可根據(jù)需要將必要的信息〔如溫度〕在終端的屏幕上顯示或用打印機(jī)打印出來(lái)。一般情況下，DDC系統(tǒng)可用圖8-2表示。含有離散環(huán)節(jié)的系統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)，離散環(huán)節(jié)一般指采樣器。滿足疊加原理的離散系統(tǒng)稱為線性離散系統(tǒng)，線性離散系統(tǒng)可以用線性差分方程來(lái)描述?！?-2采樣 數(shù)字計(jì)算機(jī)只能接受和處理時(shí)間離散的數(shù)碼，這些數(shù)碼可以代表某一物理量的數(shù)據(jù)大小，也可以代表字符的約定代碼，這些數(shù)碼稱為數(shù)字信號(hào)。 大量的物理過(guò)程或物理量的數(shù)學(xué)描述都是模擬信號(hào)。因此，數(shù)字計(jì)算機(jī)要獲取原始信息，應(yīng)對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣。一、采樣過(guò)程 計(jì)算機(jī)控制生產(chǎn)過(guò)程，一般要經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)采集、計(jì)算機(jī)處理、控制輸出這三個(gè)環(huán)節(jié)。 ①數(shù)據(jù)采集；對(duì)生產(chǎn)過(guò)程的工藝參數(shù)〔模擬量、開(kāi)關(guān)量、脈沖量等〕進(jìn)行采樣，通過(guò)數(shù)據(jù)采集通道〔傳感器、標(biāo)度變換器、采樣設(shè)備、數(shù)據(jù)放大器、模數(shù)轉(zhuǎn)換器、數(shù)字量輸入設(shè)備等〕，把它們轉(zhuǎn)換成計(jì)算機(jī)能夠接受的數(shù)字量〔二進(jìn)制代碼〕，輸入到計(jì)算機(jī)中。 ②計(jì)算機(jī)處理；根據(jù)數(shù)據(jù)采集通道發(fā)送來(lái)的生產(chǎn)過(guò)程工藝參數(shù)和管理人員通過(guò)人機(jī)對(duì)話設(shè)備送來(lái)的控制信息，按照人們預(yù)先在計(jì)算機(jī)中建立的數(shù)學(xué)模型，自動(dòng)地分析和計(jì)算，并做出判斷，通過(guò)控制輸出通道發(fā)出控制命令，控制生產(chǎn)過(guò)程，或者通過(guò)各種顯示、打印或通訊設(shè)備，與管理人員進(jìn)行聯(lián)系。 ③控制輸出；經(jīng)計(jì)算機(jī)分析和計(jì)算的結(jié)果〔數(shù)字量〕，通過(guò)控制輸出通道〔數(shù)模轉(zhuǎn)換器、信號(hào)電平轉(zhuǎn)換器、電流電壓轉(zhuǎn)換器、脈沖量和開(kāi)關(guān)量輸出緩沖器、光電隔離器等〕，轉(zhuǎn)換成模擬量、開(kāi)關(guān)量和脈沖等，傳輸?shù)絻x表和執(zhí)行機(jī)構(gòu)去調(diào)節(jié)被控制對(duì)象。 從“信息觀點(diǎn)〞來(lái)看，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)可以抽象為信息變換與信息處理兩個(gè)環(huán)節(jié)。如圖8-3所示，信息的變換主要是模擬信號(hào)與數(shù)字信號(hào)之間的變換，信息處理的關(guān)鍵是如何建立正確反映生產(chǎn)過(guò)程規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。圖8-3計(jì)算機(jī)信息流通示意圖 1．模擬信號(hào)的采樣 生產(chǎn)過(guò)程的有關(guān)工藝參數(shù)，即物理量，經(jīng)過(guò)標(biāo)度變換器將各種信號(hào)變成統(tǒng)一的電信號(hào)，這種電信號(hào)按其數(shù)學(xué)描述是一種時(shí)間上連續(xù)和幅值上連續(xù)的信號(hào)，稱為模擬信號(hào)。 由于數(shù)字計(jì)算機(jī)只能接受和處理時(shí)間上離散而且幅值上也離散的信號(hào)，即數(shù)字信號(hào)，因此，計(jì)算機(jī)要獲取原始信號(hào)信息，應(yīng)對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣和量化，如圖8-4所示。所謂采樣就是利用采樣設(shè)備，按一定時(shí)間間隔〔采樣周期〕將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成離散模擬信號(hào)〔時(shí)間上離散而幅值上連續(xù)的信號(hào)〕的過(guò)程?！瞐〕模擬信號(hào) 如圖8-4和8-5所示，其中是模擬信號(hào)，是采樣信號(hào)〔離散模擬信號(hào)〕，是采樣周期，為采樣時(shí)間，為幅值不變〔假定為1〕寬度為的采樣脈沖，采樣信號(hào)可以表示為〔a〕模擬信號(hào)〔8-1〕采樣其中采樣〔數(shù)據(jù)〕〔數(shù)據(jù)〕通常，采樣時(shí)間遠(yuǎn)小于采樣周期，可以認(rèn)為采樣過(guò)程是理想的，這時(shí)模擬信號(hào)經(jīng)過(guò)理想采樣后的采樣信號(hào)表示為〔8-2〕〔b〕離散信號(hào)其中〔b〕離散信號(hào)量化量化 2．量化〔c〕數(shù)字信號(hào)8-4信息轉(zhuǎn)化過(guò)程 對(duì)模擬信號(hào)采樣所得到的采樣信號(hào)的幅值仍是連續(xù)的。為了得到用二進(jìn)制表示的計(jì)算機(jī)的數(shù)字信號(hào)，必須將采樣信號(hào)的連續(xù)幅值轉(zhuǎn)換成離散幅值，即轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)。這樣一來(lái)，數(shù)字信號(hào)幅值就是采樣信號(hào)連續(xù)值的近似，這種近似過(guò)程稱為量化。量化誤差與二進(jìn)制字長(zhǎng)有關(guān)。顯然，二進(jìn)制字長(zhǎng)愈長(zhǎng)，由量化引起的誤差愈小。然而，字長(zhǎng)總有一個(gè)限度且直接影響到轉(zhuǎn)換器的選擇，因而必須允許有一定的誤差?！瞔〕數(shù)字信號(hào)8-4信息轉(zhuǎn)化過(guò)程圖8-5脈沖序列 設(shè)和為信號(hào)的最大值和最小值，q為量化單位即允許的誤差尺度，那么所選定的二進(jìn)制字長(zhǎng)，即的位數(shù)應(yīng)有圖8-5脈沖序列〔8-3〕 3．保持器 在信號(hào)變換中，廣泛采用信號(hào)保持器，它有零階、一階和高階之分。常用的保持器是按多項(xiàng)式外推公式，即〔8-4〕的規(guī)律構(gòu)成的，式中是以時(shí)刻為原點(diǎn)的時(shí)間坐標(biāo)。式〔8-4〕表示現(xiàn)在時(shí)刻的輸出取決于過(guò)去時(shí)刻，即，，，，…，各時(shí)刻的離散信號(hào)值，，，…，的個(gè)值，這時(shí)稱之為階保持器。外推公式〔8-4〕的系數(shù)〔0，1，…，〕唯一地由過(guò)去各采樣時(shí)刻的離散信號(hào)〔0，1，…，〕來(lái)確定。因?yàn)閭€(gè)一階方程確定個(gè)未知數(shù)，所以系數(shù)有唯一解。 零階保持器的外推公式為顯然，時(shí)，此式也成立，故有從而為采樣周期，其工作過(guò)程如圖8-6所示。零階保持器〔低通濾波器〕零階保持器〔低通濾波器〕圖8-6零階保持器工作過(guò)程對(duì)于一階保持器，其外推公式為將和代入上式，得聯(lián)立解方程，得從而，得〔〕為采樣周期，其工作過(guò)程如圖8-7所示。圖8-7一階保持器工作過(guò)程 可見(jiàn)，信號(hào)保持是將離散信號(hào)轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)的轉(zhuǎn)換過(guò)程，用于這種轉(zhuǎn)換過(guò)程的裝置稱為保持器。零階保持器的作用是，當(dāng)輸入是離散脈沖序列時(shí)，保持器的輸出在采樣周期內(nèi)保持不變。一階保持器的作用是，當(dāng)輸入是離散脈沖序列時(shí)，保持器的輸出在采樣周期內(nèi)直線變化。由于零階保持器比擬簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)，相位滯后相對(duì)較小，因此被廣泛采用。實(shí)際應(yīng)用中，保持器在控制輸出過(guò)程中用來(lái)將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)變成模擬信號(hào)，在數(shù)據(jù)采集過(guò)程中接在采樣器后面保證圖8-7一階保持器工作過(guò)程二、采樣定理 將式〔8-1〕稱為實(shí)際采樣，式〔8-2〕稱為理想采樣，正如前文所述，由于，可以認(rèn)為采樣過(guò)程是理想的。 1．采樣定理 香農(nóng)〔Shannon〕采樣定理指出，對(duì)于一個(gè)具有有限頻譜〔〕的連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣，當(dāng)采樣頻率時(shí)，采樣函數(shù)能無(wú)失真地恢復(fù)到原來(lái)的連續(xù)信號(hào)。 采樣定理可以通過(guò)理想采樣過(guò)程推出。 首先求取理想脈沖序列的傅氏級(jí)數(shù)。因?yàn)闉橹芷诤瘮?shù)，可以展開(kāi)為復(fù)數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)，即式中：為采樣周期，為采樣角頻率，為傅氏系數(shù)，即因?yàn)樗砸虼四敲磳?duì)上式進(jìn)行傅氏變換，可以求得理想采樣的原信號(hào)和采樣信號(hào)的頻譜為〔8-5〕為連續(xù)函數(shù)即模擬函數(shù)的頻譜，為采樣函數(shù)的頻譜。一般說(shuō)來(lái)，模擬函數(shù)的頻帶寬度是有限的，其頻譜如圖8-8所示，最高頻率為。采樣函數(shù)具有以采樣頻率為周期的無(wú)限多個(gè)頻譜〔見(jiàn)圖8-8〕，其中的一項(xiàng)就是采樣前原始連續(xù)信號(hào)的頻譜，只是幅值變化為原來(lái)的，除此以外的各個(gè)頻譜都是由于采樣產(chǎn)生的高頻頻譜。為了使那一項(xiàng)的原信號(hào)頻譜不發(fā)生畸變，必須使采樣頻率足夠高，使位于各頻帶的頻譜彼此間互不重疊?！瞐〕模擬信號(hào)頻譜〔〕〔b〕采樣信號(hào)頻譜〔〕〔c〕采樣信號(hào)頻譜〔〕圖8-8模擬信號(hào)頻譜和采樣信號(hào)頻譜 如果模擬函數(shù)所含的最高頻率為，那么相鄰兩頻譜互不重疊的條件是〔8-6〕上式說(shuō)明采樣頻率應(yīng)大于或等于信號(hào)所含最高頻率的兩倍，才有可能通過(guò)理想的低通濾波器，將原信號(hào)完整地提取出來(lái)，這就是采樣定理。 2．采樣周期的選取 香農(nóng)采樣定理雖然為確定采樣頻率奠定了理論根底，但在實(shí)際應(yīng)用中是有問(wèn)題的。 首先，采樣理論要求將所有的采樣值取到后才能定出被采樣的時(shí)間函數(shù)，對(duì)連續(xù)運(yùn)行的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，這一點(diǎn)是做不到的。因?yàn)樵谀骋徊蓸訒r(shí)刻，計(jì)算機(jī)雖然取到了本次采樣值和以前各次采樣值，但它必須在以后的采樣動(dòng)作尚未進(jìn)行前就對(duì)生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行計(jì)算和控制。 顯然，采樣周期選得越小，也就是采樣頻率選得越高，那么對(duì)控制過(guò)程的信息了解得就越多，對(duì)控制效果就越有利。但需注意，采樣周期選得過(guò)短，將增加不必要的計(jì)算負(fù)擔(dān)，而選得過(guò)長(zhǎng)，又會(huì)給控制過(guò)程帶來(lái)較大誤差，降低了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，甚至有可能導(dǎo)致整個(gè)控制系統(tǒng)的不穩(wěn)定。在實(shí)際工作中，一般根據(jù)經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)選取，然后在試驗(yàn)中進(jìn)行調(diào)整，主要有兩種情況?！?〕過(guò)程控制系統(tǒng) 在多數(shù)的過(guò)程控制中，一般計(jì)算機(jī)所能提供的運(yùn)算速度，對(duì)于采樣周期的選擇來(lái)說(shuō)，盤旋余地較大，工程實(shí)踐證明，采樣周期根據(jù)表8-1給出的參考數(shù)據(jù)選取時(shí)，可取得較滿意的效果。表8-1選擇采樣周期參考表控制回路類別采樣周期〔s〕備注流量壓力液面溫度成分1～53～105～815～2015～20優(yōu)選1～2優(yōu)選6～8優(yōu)選5～6優(yōu)選20優(yōu)選20〔2〕隨動(dòng)控制系統(tǒng) 對(duì)于隨動(dòng)系統(tǒng)，采樣周期的選取在很大程度上取決于系統(tǒng)的性能指標(biāo)。在一般情況下，控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率響應(yīng)具有低通濾波特性，當(dāng)隨動(dòng)系統(tǒng)輸入信號(hào)的頻率高于其閉環(huán)幅頻特性的諧振頻率時(shí)，信號(hào)通過(guò)控制系統(tǒng)將會(huì)很快地衰減。而在隨動(dòng)系統(tǒng)中，一般可近似認(rèn)為，開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)幅頻特性的剪切頻率與閉環(huán)頻率響應(yīng)幅頻特性的諧振頻率相接近，即。這就是說(shuō)，通過(guò)隨動(dòng)系統(tǒng)的輸入信號(hào)的最高頻率分量為，超過(guò)的分量通過(guò)控制系統(tǒng)時(shí)，將被大幅度衰減掉，根據(jù)工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，隨動(dòng)系統(tǒng)的采樣頻率可選為〔8-7〕考慮到，按上式選取的采樣周期與剪切頻率的關(guān)系為〔8-8〕從時(shí)域性能指標(biāo)來(lái)看，采樣周期通過(guò)單位階躍響應(yīng)的上升時(shí)間及調(diào)整時(shí)間，可按以下經(jīng)驗(yàn)關(guān)系選取，即〔8-9〕〔8-10〕§8-3線性差分方程 假設(shè)研究一個(gè)實(shí)際的物理系統(tǒng)，首先應(yīng)解決它的數(shù)學(xué)描述和分析工具的問(wèn)題。前已敘及，連續(xù)控制系統(tǒng)主要是用微分方程描述的，它的數(shù)學(xué)工具是拉氏變換；而離散系統(tǒng)主要用差分方程描述的，其數(shù)學(xué)工具是變換。本節(jié)主要介紹線性差分方程的根本概念及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。一、線性常系數(shù)差分方程 1．差分方程的根本概念 離散系統(tǒng)對(duì)控制變量的測(cè)量不是連續(xù)的，只測(cè)得這些變量在時(shí)刻，，，…，，…的數(shù)值〔即采樣值〕，其動(dòng)態(tài)過(guò)程是用線性差分方程來(lái)描述的。 設(shè)控制系統(tǒng)的微分方程為〔8-11〕式中——時(shí)間常數(shù)；——靜態(tài)放大倍數(shù)；——被控制變量。 設(shè)系統(tǒng)的采樣周期是，當(dāng)時(shí)，單位階躍函數(shù)保持常數(shù)，即這時(shí)方程〔8-11〕成為〔8-12〕在變量滿足不等式時(shí)，它有一個(gè)特解它的全解是〔8-13〕當(dāng)時(shí)，得〔8-14〕因此所以，當(dāng)時(shí)，方程〔8-12〕的解為〔8-15〕當(dāng)時(shí)，得〔8-16〕即〔8-17〕方程〔8-17〕表示了被控制量在采樣時(shí)刻和之間的關(guān)系，這種關(guān)系的方程稱之為差分方程。 方程〔8-17〕也可寫(xiě)為〔8-18〕或而上式就是導(dǎo)數(shù)在的近似值，我們稱之為差商。它是對(duì)應(yīng)一階導(dǎo)數(shù)在處的值，因此稱上式為一階差商。由一階差商所對(duì)應(yīng)的方程又稱為一階差分方程。又由于式〔8-18〕是線性微分方程變換得來(lái)的，故式〔8-18〕又稱為線性一階差分方程。又因?yàn)樗南禂?shù)、是常數(shù)，故式〔8-18〕又稱為線性常系數(shù)一階差分方程。也就是說(shuō)式〔8-17〕是線性常系數(shù)一階差分方程。 式〔8-17〕可寫(xiě)為〔8-19〕式中；。

假設(shè)將微分方程的系數(shù)項(xiàng)直接用差分項(xiàng)代替，積分項(xiàng)用求和項(xiàng)代替，就可以得到近似差分方程，并記為或，為或,其余類推。由此得 ，稱為一階差商； ，稱為二階差商； ，稱為三階差商；

，稱為差商和式。 把上述關(guān)系代入式〔8-11〕，可求得近似差分方程為經(jīng)整理，得〔8-20〕比擬式〔8-19〕和式〔8-20〕各項(xiàng)系數(shù)，有 例8-1寫(xiě)出工業(yè)控制機(jī)PID調(diào)節(jié)器的位置式和速度式的控制算式。 解：常規(guī)調(diào)節(jié)器PID調(diào)節(jié)規(guī)律是〔1〕式中——調(diào)節(jié)器的輸出；——偏差值；——比例放大倍數(shù)；——積分時(shí)間常數(shù)；——微分時(shí)間常數(shù)。 工業(yè)控制機(jī)直接數(shù)字控制算式可對(duì)式〔1〕應(yīng)用差分求得，在第采樣時(shí)刻的控制作用，其輸出值為〔2〕第采樣時(shí)刻的控制作用其輸出為增量式為〔3〕或?qū)憺槭街小壤禂?shù)；——積分比例系數(shù)，； ——微分比例系數(shù)，。式〔2〕為位置式PID控制算式，式〔3〕為速度式PID控制算式。 2．線性差分方程的求取 因?yàn)閷?shí)際應(yīng)用中，二階線性定常系統(tǒng)和純滯后系統(tǒng)較多，下面表達(dá)一下這兩種差分方程的求取。〔1〕二階線性定常系統(tǒng)差分方程的求取 設(shè)二階系統(tǒng)的微分方程為〔8-21〕當(dāng)時(shí)，有下面我們用降階法求式〔8-21〕的差分方程。設(shè)〔8-22〕將式〔8-22〕代入式〔8-21〕，得〔8-23〕由式〔8-17〕，得〔8-24〕顯然，將用來(lái)替代，用來(lái)替代，上式也成立，因此有〔8-25〕式〔8-25〕式〔8-24〕，得〔8-26〕同理，設(shè)〔8-27〕將式〔8-27〕代入〔8-21〕，得〔8-28〕由式〔8-17〕，得〔8-29〕用代替，代替,上式變?yōu)椤?-30〕式〔8-30〕(8-29)，得〔8-31〕〔8-26〕〔8-31〕，得〔8-32〕注意到，將式〔8-32〕兩邊同時(shí)除以，得〔8-33〕式〔8-33〕即為所對(duì)應(yīng)的線性二階系統(tǒng)的差分方程，也就是說(shuō)，在連續(xù)系統(tǒng)中，用二階線性微分方程描述的系統(tǒng)，在離散系統(tǒng)中，將用等價(jià)的二階線性差分方程來(lái)描述。寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式為〔8-34〕式中；； ；。 2．具有純滯后系統(tǒng)差分方程的求取 在控制系統(tǒng)中，輸入作用往往不是立即發(fā)生作用而是延遲一段時(shí)間后才發(fā)生作用〔〕，習(xí)慣上稱之為純滯后，比方流水管道等，描述這類系統(tǒng)的微分方程為〔8-35〕〔8-36〕 在離散系統(tǒng)中具有純滯后的差分方程，只需要對(duì)沒(méi)有滯后的相應(yīng)差分方程略加修改，將滯后時(shí)間換算成滯后假設(shè)干個(gè)采樣周期，輸入作用減去假設(shè)干個(gè)采樣周期即可，因此對(duì)應(yīng)式〔8-35〕的差分方程為〔8-37〕式中；；。對(duì)應(yīng)式〔8-36〕的差分方程為〔8-38〕式中 ；； ；； 。 式〔8-37〕和式〔8-38〕這兩個(gè)式子很有用，例如熱電廠的長(zhǎng)管道供暖系統(tǒng)，石油工業(yè)方面的長(zhǎng)管道輸油系統(tǒng)，都屬于滯后系統(tǒng)，如用計(jì)算機(jī)參于控制時(shí)，就需要找出相應(yīng)滯后系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的差分方程。 3．線性差分方程的解 線性差分方程是研究離散系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具，它不僅可以描述控制系統(tǒng)，而且通過(guò)方程的求解，可以分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)。差分方程和微分方程一樣，有一套求解的方法，其解的結(jié)果是各采樣時(shí)刻的采樣輸出值。 線性差分方程的一般形式為〔8-39〕或〔8-40〕式中代表某一采樣時(shí)刻的輸出值，為對(duì)應(yīng)這一時(shí)刻的輸入值。 上式可以代表一個(gè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述，而且很容易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，即如果系統(tǒng)的差分方程以及輸入序列，當(dāng)給定了輸出值序列的初值以后，就可以利用遞推關(guān)系一步一步地計(jì)算出所需要的輸出值。 差分方程有與微分方程類似的古典解法。差分方程的全解包括兩局部：對(duì)應(yīng)齊次方程的通解和非齊次方程的特解。 與式〔8-39〕對(duì)應(yīng)的齊次方程為〔8-41〕要滿足齊次方程，設(shè)通解具有的形式是合理的，將其代入式〔8-41〕，有故〔8-42〕因?yàn)?，且用乘式?-42〕兩邊并除以，那么有〔8-43〕式〔8-43〕稱為式〔8-41〕的特征方程。下面根據(jù)其特點(diǎn)分別討論一下?！并　臣僭O(shè)特征方程有兩兩相異的根，，…，，那么方程〔8-41〕的通解為〔8-44〕式中由初始條件決定。 當(dāng)式〔8-39〕右端不等于零，稱為非齊次線性方程。它的特解求法與微分方程一樣，是用試探法。 與連續(xù)系統(tǒng)相似，齊次差分方程的物理意義是：在無(wú)外界作用的情況下，離散系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)，反映了系統(tǒng)本身的物理特性。而對(duì)于非齊次方程的特解，那么反映了在輸入量的作用下，系統(tǒng)強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)的情況。例8-2設(shè)有描述系統(tǒng)的差分方程為〔1〕初始條件為：，，求該差分方程的解。 解：特征方程為特征根為；得，差分方程的通解為由初始條件有解得，所以通解是〔2〕顯然，y的通解也是式〔1〕的特解，故式〔2〕也是差分方程〔1〕的全解?！并ⅰ橙绻衜重根，那么差分方程的通解為〔8-45〕比照微分方程的求解方法，式〔8-45〕的合理性是顯然的，故不予證明。例8-3求差分方程〔1〕的通解。解：特征方程為特征根為三重根，所以對(duì)應(yīng)式〔1〕齊次方程的通解是式中，，由初始條件確定。3．由傳遞函數(shù)求差分方程通過(guò)傳遞函數(shù)求差分方程，實(shí)質(zhì)上是利用連續(xù)系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)與傳遞函數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，求出脈沖響應(yīng)函數(shù)。根據(jù)單位脈沖響應(yīng)的概念，用疊加的方法來(lái)推出輸出信號(hào)的表達(dá)式，然后再按差分的定義推出差分方程。設(shè)采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖8-9所示。連續(xù)局部的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)式被稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)，習(xí)慣上記為g，即圖8-9圖8-9采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖其中g(shù)滿足如下關(guān)系：現(xiàn)在考察一系列脈沖依次加到的情況。輸入脈沖序列可表示為下面分析在各段時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)的響應(yīng)。在時(shí)間內(nèi)，只有時(shí)刻參加的第一個(gè)脈沖起作用，其余各個(gè)脈沖尚未參加，因此這段時(shí)間內(nèi)輸出響應(yīng)為在時(shí)間內(nèi)，實(shí)際起作用的只有和時(shí)刻參加的前兩個(gè)脈沖，第一個(gè)脈沖產(chǎn)生的響應(yīng)依然存在，再加上第二個(gè)脈沖產(chǎn)生的響應(yīng)，因此這段時(shí)間內(nèi)的輸出響應(yīng)為在時(shí)間內(nèi)，輸出響應(yīng)為所以，當(dāng)系統(tǒng)的輸入為一系列脈沖時(shí)，輸出為各脈沖響應(yīng)之和，如圖8-10所示。在采樣時(shí)刻，輸出的采樣值是時(shí)刻及時(shí)刻之前所有輸入脈沖在該時(shí)刻的脈沖響應(yīng)值的總和，所以〔8-46〕…………圖8-10系統(tǒng)輸出曲線式〔8-46〕即為熟知的采樣函數(shù)的卷積。由上述可知，它所表示的信號(hào)疊加有明顯的物理意義，而它的數(shù)學(xué)意義表示系統(tǒng)的輸出函數(shù)序列等于脈沖響應(yīng)函數(shù)序列與輸入函數(shù)序列的卷積之和，簡(jiǎn)記為〔8-47〕利用式〔8-47〕可寫(xiě)出各采樣時(shí)刻的輸出，根據(jù)差分的定義可推出系統(tǒng)相應(yīng)的差分方程，求其相應(yīng)的解。例8-4圖8-11所示電路，鼓勵(lì)信號(hào)，初始時(shí)刻，電容端電壓均為零，求輸出信號(hào)的函數(shù)序列的表示式。解：〔1〕列寫(xiě)差分方程為〔1〕〔2〕為求通解，寫(xiě)出特征方程圖8-圖8-11例8-4的電路，差分方程的通解為〔3〕由差分方程知特解為代入式〔1〕求系數(shù)，解得，于是，特解為〔2〕〔4〕全解為由于電容初始端電壓為零，因而有，又因?yàn)殡娙莩跏级穗妷阂矠榱?，于是流過(guò)，的初始電流也為零，即由這兩個(gè)初始條件，可解得，將，代入式〔2〕，得全解為〔3〕以上求解過(guò)程用流程圖8-12表示如下圖8-12求解線性常系數(shù)差分方程的流程圖§8-4變換在連續(xù)系統(tǒng)分析中，應(yīng)用拉氏變換作為工具，將系統(tǒng)的微分方程化為代數(shù)方程，建立以傳遞函數(shù)為根底的復(fù)域分析法，使得問(wèn)題簡(jiǎn)化。在離散系統(tǒng)中，也有類似的途徑。上節(jié)已論述了線性離散系統(tǒng)可以用線性差分方程來(lái)描述，通過(guò)變換法，可將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，同樣可以建立以脈沖傳遞函數(shù)為根底的復(fù)域分析法。一、變換1．變換的定義如前所述，采樣信號(hào)可以描述為式中為采樣周期，為采樣序號(hào)，采樣值也可寫(xiě)為。由于時(shí)，故上式可改寫(xiě)為取采樣信號(hào)的拉氏變換，得假設(shè)令，并將記作，那么由上式得上式就是變換的定義式。變換的符號(hào)用來(lái)表示，因此，變換的定義式可重寫(xiě)為〔8-48〕應(yīng)當(dāng)指出，在工程上對(duì)某信號(hào)取變換，是對(duì)其采樣序列，即進(jìn)行變換。因此，正反變換并非任何時(shí)刻都是一一對(duì)應(yīng)的。顯然，假設(shè)兩個(gè)不同的時(shí)間函數(shù)和的采樣值完全相同，那么其變換是一樣的，見(jiàn)圖8-13所示。圖8-13正反圖8-13正反Z變換的非唯一性2．變換的求法求取離散時(shí)間函數(shù)——脈沖序列的變換有多種方法，下面介紹三種主要方法?！?〕按定義求例8-5求取單位階躍函數(shù)的變換。解：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)在所有采樣時(shí)刻上的采樣值均為1，即，，2，…，根據(jù)式〔8-48〕求得〔1〕將上式兩端乘以，有〔2〕〔1〕〔2〕，得所以(|z|1)例8-6求衰減的指數(shù)函數(shù)〔〕的變換。解：根據(jù)式〔8-48〕，得因?yàn)閨|所以，對(duì)上式應(yīng)用等比遞減級(jí)數(shù)求和公式，有(||)〔2〕局部分式法設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)的拉氏變換為復(fù)變量的有理函數(shù)，并且有如下形式：其中及分別為復(fù)變量的多項(xiàng)式，并且有，以及。將展開(kāi)成局部分式和的形式，即式中——的零點(diǎn)，即的極點(diǎn)；，為常系數(shù)。由拉氏變換知，與項(xiàng)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)為，又根據(jù)，便可求得因此，函數(shù)的變換由象函數(shù)求得為〔8-49〕例8-7求取拉氏變換為的連續(xù)時(shí)間函數(shù)的變換。解：首先寫(xiě)出的拉氏變換的局部分式展開(kāi)式，即其次對(duì)上式逐項(xiàng)求取拉氏反變換，有最后根據(jù)上列時(shí)間函數(shù)，逐項(xiàng)寫(xiě)出相應(yīng)的變換，即得連續(xù)時(shí)間函數(shù)的變換，即〔3〕留數(shù)計(jì)算法連續(xù)時(shí)間函數(shù)的拉氏變換及其全部極點(diǎn)〔1，2，3，…，〕，那么的變換可通過(guò)以下留數(shù)計(jì)算式求得，即〔8-50〕式中——重極點(diǎn)的個(gè)數(shù)；——彼此不等的極點(diǎn)個(gè)數(shù)。例8-8求取連續(xù)時(shí)間函數(shù)的變換。解：首先寫(xiě)出的拉氏變換，即由上式求得的重極點(diǎn)，其個(gè)數(shù)，以及。其次根據(jù)式〔8-50〕，求取的變換，即二、變換的根本性質(zhì)這里介紹變換的一些根本性質(zhì)，它們與拉氏變換的根本性質(zhì)有許多相似之處?！?〕線性性質(zhì)假設(shè)，，，為常數(shù)，那么〔8-51〕〔2〕平移定理假設(shè)，那么〔8-52〕〔3〕復(fù)域微分定理假設(shè)，那么〔8-53〕〔4〕復(fù)域積分定理假設(shè)，那么〔8-54〕〔5〕初值定理假設(shè)，那么〔8-55〕或〔6〕終值定理假設(shè)，那么或〔8-56〕〔7〕迭值定理假設(shè),0，1，2，…，那么〔8-57〕〔8〕乘以指數(shù)序列性質(zhì)假設(shè)，a為整數(shù)，那么〔8-58〕〔9〕比例尺變換假設(shè)，那么〔8-59〕〔10〕卷積定理假設(shè)，〔，〕，那么〔8-60〕三、反變換由的變換求相應(yīng)的離散時(shí)間序列或，稱為反變換，并表示為〔8-61〕求反變換的常見(jiàn)方法有三種，即長(zhǎng)除法、局部分式法、留數(shù)法。作反變換時(shí)，仍假定信號(hào)序列是單邊的，即時(shí)，?！?〕長(zhǎng)除法〔冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法〕1〕長(zhǎng)除法將按降冪展開(kāi)為無(wú)窮級(jí)數(shù)。如果級(jí)數(shù)收斂，根據(jù)平移定理，可得離散時(shí)間序列的值。展開(kāi)成為式中的，，，…，即為所求的序列值。例8-9求下式的反變換。解：長(zhǎng)除格式如下：由長(zhǎng)除結(jié)果，得即2〕比擬系數(shù)法設(shè) 據(jù)變換定義，有即〔8-62〕對(duì)上述恒等式，同次冪系數(shù)相等，注意到上式左端最高次項(xiàng)是，據(jù)此可以很方便地求出前假設(shè)干項(xiàng)的系數(shù)值，即。例8-10仍以例9為例解：結(jié)合式〔8-62〕，得逐項(xiàng)比擬系數(shù)，得：1：2：0：所得結(jié)果與例5一致。比擬系數(shù)法本質(zhì)上也是冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法，只要合理地運(yùn)用格式，一般是較方便的?！?〕局部分式展開(kāi)法〔查表法〕這種方法的依據(jù)是變換的線性性質(zhì)。變換式通常是的有理分式。只要將的有理分式展開(kāi)為局部分式，逐項(xiàng)查變換表，就可以得到反變換式。這里與拉氏變換不同的是，不是直接將展開(kāi)，而是將展開(kāi)。道理很簡(jiǎn)單，在變換表上，根本變換式中普遍含有因子，因此，假設(shè)展開(kāi)，即把中的因式提出來(lái)，可保證分解后的各個(gè)分式都含有因子。設(shè)先求出的特征根，即將其分母分解因式，形如：在工程上，一般所有極點(diǎn)都是一階極點(diǎn)的情況，即分母多項(xiàng)式中無(wú)重根時(shí)，上式那么可化為〔8-63〕其中系數(shù)，可由下式?jīng)Q定：〔8-64〕例8-11求下式的反變換解：用局部分式展開(kāi)法，有利用式〔8-64〕解得，查表可得相應(yīng)序列值列于表8-2。表8-2012345……11.51.751.8751.93751.96875……2〔3〕反演積分法〔留數(shù)法〕根據(jù)變換的定義，得此式乃是復(fù)變函數(shù)的羅朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式的主部。按羅朗級(jí)數(shù)求系數(shù)的公式，項(xiàng)的系數(shù)為故有其積分曲線L包圍的所有極點(diǎn)，設(shè)共有，，…，共個(gè)極點(diǎn)，為重極點(diǎn)〔…〕的個(gè)數(shù)，那么根據(jù)柯西留數(shù)定理，上式可改寫(xiě)為〔8-65〕即等于的全部極點(diǎn)的留數(shù)之和。例8-12求下式的反變換解：所以留數(shù)計(jì)算法的優(yōu)點(diǎn)在于，它給出了直接求反變換的表達(dá)式，不必去查變換表。它的缺乏是用了復(fù)變函數(shù)的數(shù)學(xué)方法，有些人不熟，但如果按照規(guī)定的步驟求解，也不是很麻煩。上面列舉了求反變換的三種常用方法。其中長(zhǎng)除法最簡(jiǎn)單，但由長(zhǎng)除法得到的Z反變換為開(kāi)式，而其余兩種方法得到的均為閉式。四、變換法解差分方程類似于連續(xù)系統(tǒng)的拉氏變換，利用變換可將線性定常系統(tǒng)的差分方程變換為變量的代數(shù)方程來(lái)運(yùn)算，這就簡(jiǎn)化了離散控制系統(tǒng)的分析和綜合問(wèn)題。利用平移定理，將作變換：同理有〔8-66〕由式〔8-66〕可以看到，對(duì)差分方程進(jìn)行變換時(shí)，初始值便都自動(dòng)地包含在代數(shù)方程中了。這一點(diǎn)與拉氏變換類似，也是比古典法方便之處。例8-13試用變換法解以下二階差分方程初始條件，。解：取方程兩端的變換，得代入初始值，有所以查反變換表，得，1，2，…眾所周知，是代表每一采樣時(shí)刻的函數(shù)值——權(quán)。故輸出脈沖序列為該系統(tǒng)的響應(yīng)圖形是一條指數(shù)曲線。差分方程的解，可以提供線性定常離散系統(tǒng)在給定輸入序列作用下的輸出序列響應(yīng)特性，但不便于研究系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)離散系統(tǒng)性能的影響。因此，需要研究線性定常離散系統(tǒng)的另一種數(shù)學(xué)模型——脈沖傳遞函數(shù)?！?-5脈沖傳遞函數(shù)這一節(jié)將考察用變換分析離散系統(tǒng)的根本數(shù)學(xué)工具，這就是脈沖傳遞函數(shù)。它對(duì)應(yīng)于分析連續(xù)系統(tǒng)的根本數(shù)學(xué)工具——傳遞函數(shù)。一、脈沖傳遞函數(shù)1．脈沖傳遞函數(shù)的定義在連續(xù)系統(tǒng)中，傳遞函數(shù)的定義為：在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)或元件輸出信號(hào)的拉氏變換與輸入信號(hào)拉氏變換之比，即類似地，離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可定義為：在零初始條件下，線性定常離散系統(tǒng)或元件輸出和輸入的變換之比，即為了區(qū)別于連續(xù)系統(tǒng)，離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)稱為脈沖傳遞函數(shù)或傳遞函數(shù)。如果系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)及輸入信號(hào)的變換。那么輸出的離散信號(hào)就可求得實(shí)際上，大多數(shù)采樣系統(tǒng)的輸出信號(hào)往往是連續(xù)信號(hào)而不是離散信號(hào)，如圖8-14〔b〕所示。在這種情況下，為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)的概念，我們可以在輸出端虛設(shè)一個(gè)采樣開(kāi)關(guān)，如圖8-14〔b〕中虛線所示，它與輸入端采樣開(kāi)關(guān)一樣以周期T同步工作?！瞐〕〔b〕圖8-14開(kāi)環(huán)采樣系統(tǒng)2．求脈沖傳遞函數(shù)的一般步驟圖8-15和之間的關(guān)系參看圖8-15，連續(xù)局部的輸入為采樣脈沖序列，為了討論方便，我們選擇單位脈沖函數(shù)作為連續(xù)局部的輸入。由于脈沖函數(shù)的拉氏變換與變換均為1。因此，根據(jù)脈沖響應(yīng)的定義及性質(zhì)和脈沖傳遞函數(shù)的定義，可得〔8-67〕或〔8-68〕由此可見(jiàn)，求脈沖傳遞函數(shù)的步驟為〔1〕求得連續(xù)局部的傳遞函數(shù)；〔2〕求得連續(xù)局部的脈沖瞬態(tài)響應(yīng)g；〔3〕求得采樣的脈沖函數(shù)g的變換。例8-14開(kāi)環(huán)系統(tǒng)如圖8-15所示。，求其脈沖傳遞函數(shù)。解：該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以展成以下局部分式所以系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)可以求得因?yàn)間所以查變換表〔見(jiàn)附錄Ⅲ〕，得〔8-69〕由上式可見(jiàn)，脈沖傳遞函數(shù)與采樣周期T有關(guān)。二、串聯(lián)元件的脈沖傳遞函數(shù)在線性連續(xù)系統(tǒng)里，如果兩個(gè)元件相串聯(lián)，根據(jù)傳遞函數(shù)的相乘性，那么總的傳遞函數(shù)等于每個(gè)元件傳遞函數(shù)之積?？墒菍?duì)于離散系統(tǒng)而言，情況那么不同，分別討論如下。1．中間沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)的兩個(gè)連續(xù)環(huán)節(jié)的串聯(lián)圖8-16帶一個(gè)采樣器的線性離散系統(tǒng)查看圖8-16所示的系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是根據(jù)式〔8-69〕知它的脈沖傳遞函數(shù)為〔8-70〕2．中間有采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)的兩個(gè)連續(xù)環(huán)節(jié)的串聯(lián)中間帶兩個(gè)采樣器的系統(tǒng)，如圖8-17所示，這兩個(gè)采樣器是同步的，并且具有相同的采樣周期。應(yīng)用上述求脈沖傳遞函數(shù)的方法，得圖8-17帶兩個(gè)同步采樣器的線性離散系統(tǒng)查變換表，得〔8-71〕比擬式〔8-70〕和式〔8-71〕，可以得出兩者并不相等。因此，我們?cè)谇笕‰x散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)時(shí)，要注意在串聯(lián)元件之間是否存在采樣器，對(duì)于圖8-17來(lái)說(shuō)，輸入給和的都是離散信號(hào)，故有〔8-72〕但是，對(duì)于圖8-16那么不然。由于的輸入不是離散信號(hào)，因此它不能用變換的概念，只能和第一級(jí)連起來(lái)考慮才能用變換的概念，所以〔8-73〕其中相當(dāng)于對(duì)進(jìn)行變換。3．具有零階保持器的開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)如果開(kāi)環(huán)系統(tǒng)具有零階保持器，如圖8-18所示。圖8-18具有零階保持器的開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)圖8-19具有零階保持器的等效開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)由于零階保持器的傳遞函數(shù)為不是的有理分式。因此，用上述方法不能直接求出開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，將其變換為等效開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，如圖8-19所示。由圖8-19，得兩邊變換，有據(jù)變換的性質(zhì)和定義，得〔8-74〕例8-15如圖8-18所示，，求。解：首先將分解成局部分式據(jù)式〔8-74〕，得查變換表〔見(jiàn)附錄Ⅲ〕，得〔8-75〕圖8-18是線性離散系統(tǒng)的常見(jiàn)形式，因此，式〔8-75〕可做公式使用。無(wú)零階保持器時(shí)，圖8-15開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為將兩種情況下開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)進(jìn)行比擬，可見(jiàn)，兩者極點(diǎn)完全相同，僅零點(diǎn)不同，故得零階保持器不影響離散系統(tǒng)的極點(diǎn)。三、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)和開(kāi)環(huán)系統(tǒng)一樣采樣器的位置和個(gè)數(shù)不同閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)不同而實(shí)際系統(tǒng)可能有一個(gè)采樣器也可能有多個(gè)同步采樣器可以位于主通路中，也可以位于反應(yīng)通路中。因此，求閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)時(shí)不像連續(xù)系統(tǒng)那樣簡(jiǎn)便，它還要考慮采樣器的影響。1．采樣器在誤差通道這種系統(tǒng)如圖8-20所示。在該系統(tǒng)中，誤差是被采樣的。由圖可知圖8-圖8-20閉環(huán)離散系統(tǒng)情況一式中表示經(jīng)過(guò)采樣，對(duì)其兩邊采樣得即因?yàn)樗约僭O(shè)以變換形式表示，那么為〔8-76〕2．采樣器在反應(yīng)通道這種系統(tǒng)如圖8-21所示。其傳遞函數(shù)推導(dǎo)過(guò)程如下圖8-21圖8-21閉環(huán)離散系統(tǒng)情況二取上式變換，得式中因此〔8-77〕3．在主通道中有同步采樣器這種系統(tǒng)如圖8-22所示。其傳遞函數(shù)推導(dǎo)過(guò)程如下兩邊采樣，得故圖8-圖8-22閉環(huán)離散系統(tǒng)情況三消去，得進(jìn)行變換，得〔8-78〕4．在主通道中有串聯(lián)環(huán)節(jié)和同步采樣器這種系統(tǒng)如圖8-23所示。圖8-23閉環(huán)離散系統(tǒng)情況四實(shí)際上最常碰到的是這種離散系統(tǒng)，其中表示對(duì)象〔包括D/A轉(zhuǎn)換器〕的傳遞函數(shù)，表示測(cè)量反應(yīng)通道的傳遞函數(shù)，而表示由數(shù)字計(jì)算機(jī)充當(dāng)?shù)臄?shù)字調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)。脈沖傳遞函數(shù)推導(dǎo)如下對(duì)上式兩邊采樣得得又消去，得對(duì)上式進(jìn)行變換，得〔8-79〕式中我們列舉了閉環(huán)離散系統(tǒng)的幾種情況，并求得了它們的脈沖傳遞函數(shù)。當(dāng)然，還有其它的閉環(huán)形式，用時(shí)可查其它有關(guān)參考書(shū)?！?-6線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)有三個(gè)重要的特性：穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)特性、瞬態(tài)響應(yīng)。分析系統(tǒng)時(shí)，首先感興趣的是穩(wěn)定性分析。由第三章中，線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)特征方程的所有根全部位于平面虛軸的左半部，即都具有負(fù)實(shí)部。對(duì)線性離散系統(tǒng)進(jìn)行了變換以后，要用平面分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此首先必須知道平面和平面的對(duì)應(yīng)關(guān)系。一、平面與平面的映射關(guān)系由變換的定義知設(shè)那么依據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算原那么，的模是|z|〔8-80〕的幅角是〔8-81〕由式〔8-80〕，可以找到與|z|存在的關(guān)系，|z|1，|z|1，|z|1〔8-82〕圖8-24平面與的映射關(guān)系對(duì)于平面的虛軸，復(fù)變量的實(shí)部，其虛部從變化到時(shí)，從式〔8-81〕、〔8-82〕知，在平面映射成假設(shè)干個(gè)單位圓；對(duì)于平面的左半部，即，當(dāng)由變化到時(shí)，從式〔8-81〕，〔8-82〕知，映射在平面的單位圓內(nèi)；而對(duì)于s平面的右半部，即，當(dāng)由變化到時(shí)，從式〔8-81〕，〔8-82〕知，映射在平面的單位圓外，圖8-24表示了上述映射關(guān)系。二、線性離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件線性離散控制系統(tǒng)的方框圖如圖8-25所示。圖8-25線性離散控制系統(tǒng)其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為由上式得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的特征根或閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)極點(diǎn)為，，，。我們知道，連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)特征方程的根位于平面的左半部，即。通過(guò)上面的分析可知，平面的左半部與平面上單位圓的內(nèi)部相對(duì)應(yīng)。因此，線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：線性離散系統(tǒng)的全部特征根〔，2，…〕均分布在平面的單位圓內(nèi)，或全部特征根的模必須小于1，即||1〔，2，…〕。如果在上述特征根中，有單位圓外者，那么閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例8-16線性離散系統(tǒng)的方框圖如圖8-26所示。試分析其穩(wěn)定性。圖8-26線性離散系統(tǒng)解：將寫(xiě)成局部分式為那么系統(tǒng)閉環(huán)的脈沖傳遞函數(shù)為解得特征根為，。因?yàn)橛幸粋€(gè)根的模大于1，所以如圖8-26所示的線性離散系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。三、推廣的勞斯穩(wěn)定判據(jù)對(duì)于高階系統(tǒng)，直接求根就很困難，自然會(huì)想到，能否把連續(xù)系統(tǒng)理論中的勞斯判據(jù)直接搬到采樣系統(tǒng)中來(lái)呢？這顯然是不行的。因?yàn)閯谒古袚?jù)只能用來(lái)判斷代數(shù)方程的根是否在虛軸的左邊，而不能用來(lái)判斷是否在單位圓之內(nèi)。另外，如果為了解決穩(wěn)定性問(wèn)題，再?gòu)钠矫妗胺祷亘暤狡矫?，這樣雖然解決了判斷“虛軸左右〞的問(wèn)題，但這時(shí)將面臨處理超越方程的問(wèn)題，故勞斯判據(jù)仍不能使用。因此，必須尋求一種新的坐標(biāo)變換，來(lái)解決這個(gè)矛盾。設(shè)或令故〔8-83〕根據(jù)式〔8-83〕有如下關(guān)系當(dāng)|z|1時(shí)，，，即平面的單位圓的圓周，映射成平面的虛軸。進(jìn)一步講，平面的虛軸，通過(guò)算子映射為平面上的單位圓；平面上的單位圓，通過(guò)算子映射為平面上的虛軸。當(dāng)|z|1時(shí)，，,即平面單位圓之外，映射成平面的右半平面。進(jìn)一步講，平面的右半平面，通過(guò)算子映射為平面上的單位圓之外；平面上的單位圓之外，通過(guò)算子映射為平面上的右半平面。當(dāng)|z|1時(shí)，那么,,即平面單位圓之內(nèi)，映射成平面的左半平面。進(jìn)一步講，平面的左半平面，通過(guò)算子映射為平面上的單位圓之內(nèi)；平面上的單位圓之內(nèi)，通過(guò)算子映射為平面上的左半平面。這樣就有如圖8-27所示的映射關(guān)系。圖8-27的映射關(guān)系圖因?yàn)樽儞Q是線性變換，所以映射關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的。的有理多項(xiàng)式經(jīng)算子映射后仍是的有理多項(xiàng)式，特征方程仍是代數(shù)方程。又因?yàn)樗阕拥姆肿?、分母都是線性的，因此又稱變換為雙線性變換。因?yàn)閯谒古袚?jù)是在線性代數(shù)方程的情況下得到的，為應(yīng)用勞斯判據(jù)，必須找其對(duì)應(yīng)的線性代數(shù)方程。即在離散系統(tǒng)中，在平面下才能應(yīng)用勞斯判據(jù)。為了區(qū)別平面下的勞斯判據(jù)，稱平面下的勞斯判據(jù)為推廣的勞斯穩(wěn)定判據(jù)。例8-17試分析如圖8-28所示線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖8-28線性離散系統(tǒng)解：因?yàn)樗?，系統(tǒng)的特征方程為將代入上式得進(jìn)一步整理，得列勞斯計(jì)算表由于第一列符號(hào)改變兩次，所以特征方程在平面右半部有兩個(gè)根，它相應(yīng)于平面單位圓外，故本系統(tǒng)不穩(wěn)定。四、舒爾－柯恩〔Schour－Cohn〕穩(wěn)定判據(jù)線性離散系統(tǒng)的舒爾－柯恩穩(wěn)定判據(jù)與連續(xù)系統(tǒng)的胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)類似，是通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)行列式，從而來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)線性離散系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為，其單位反應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為其系數(shù)行列式構(gòu)造如下。式中令，2，…，,為特征方程的階次，為的共軛復(fù)數(shù)。是行列的行列式，把各階行列式按順序排成，，…，,。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：，為奇數(shù)，為偶數(shù)〔8-84〕當(dāng)，因此當(dāng)，，，因此同樣地，例8-18開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)試分析其單位反應(yīng)閉環(huán)后，系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：法1：注：算出，如上式那樣舍去，不但不會(huì)影響分析結(jié)果，而且會(huì)給分析帶來(lái)很大方便。當(dāng)，即當(dāng)，即滿足式〔8-84〕，故系統(tǒng)穩(wěn)定。法2：已求得進(jìn)一步求得特征根為，，因閉環(huán)特征根全在平面的單位圓內(nèi)，故系統(tǒng)穩(wěn)定，說(shuō)明兩種方法的結(jié)論是一致的?！?-7線性離散系統(tǒng)的時(shí)域分析如果在一定的增益范圍內(nèi)，系統(tǒng)具有穩(wěn)定的性能，那么后面感興趣的問(wèn)題是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差特性和瞬態(tài)時(shí)間響應(yīng)。首先，討論一下瞬態(tài)響應(yīng)。一、平面上極點(diǎn)的位置與系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)

如前所述，線性離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)都落在平面的單位圓內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。但在工程上，不僅要求系統(tǒng)是穩(wěn)定的，而且希望系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)性能。而極點(diǎn)在平面上的分布，對(duì)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)具有重要的影響。對(duì)這個(gè)問(wèn)題的了解，是有現(xiàn)實(shí)意義的。1．在實(shí)軸上的單極點(diǎn)如果系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，在實(shí)軸上具有一個(gè)單極點(diǎn)，那么相應(yīng)的局部分式展開(kāi)式中有一項(xiàng)為在單位脈沖函數(shù)作用下，對(duì)應(yīng)這一項(xiàng)的輸出序列為對(duì)應(yīng)不同位置的極點(diǎn)有不同的序列y，我們將其表示在圖8-29中，情況如下：〔1〕，y是發(fā)散的序列；〔2〕，y是等幅脈沖序列；〔3〕，y是單調(diào)衰減正序列；〔4〕，y是交替變化的衰減序列；〔5〕,y是交替變化的等幅脈沖序列；〔6〕，y是交替變化的發(fā)散序列。顯然，當(dāng)在單位圓內(nèi)時(shí)，序列y是收斂的，而且|a|越小，y衰減越快。圖8-29實(shí)軸上極點(diǎn)與時(shí)間響應(yīng)的關(guān)系2．共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)設(shè)系統(tǒng)有一對(duì)共軛極點(diǎn)jb，通過(guò)反變換和復(fù)數(shù)理論可以證明，這一對(duì)共軛極點(diǎn)將產(chǎn)生的輸出時(shí)間序列為，式中，和是由局部分式展開(kāi)式的系數(shù)所決定的常數(shù)，而，極點(diǎn)在平面上的位置由、確定。對(duì)于不同的、值，即極點(diǎn)在不同的位置，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)也分為幾種不同的情況，如圖8-30所示?！?〕，和，極點(diǎn)在單位圓外，y振蕩且發(fā)散；〔2〕，和，極點(diǎn)在單位圓周上，y等幅振蕩；〔3〕，和，極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，y衰減振蕩。下面把脈沖傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布與穩(wěn)定條件的關(guān)系總結(jié)如下：〔1〕落在平面上的單位圓外的極點(diǎn)，代表不穩(wěn)定項(xiàng)；〔2〕落在平面上的單位圓上的極點(diǎn)，代表臨界穩(wěn)定項(xiàng)；〔3〕落在平面上的單位圓內(nèi)的極點(diǎn)，代表穩(wěn)定項(xiàng)；〔4〕一個(gè)離散系統(tǒng)是以最不穩(wěn)定的局部來(lái)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此，完全穩(wěn)定的系統(tǒng)，其所有極點(diǎn)必須全部落在平面單位圓內(nèi)；〔5〕對(duì)于穩(wěn)定性來(lái)說(shuō)，零點(diǎn)可位于平面的任何地方。圖8-30共軛極點(diǎn)的時(shí)間響應(yīng)對(duì)于脈沖傳遞函數(shù)零極點(diǎn)分布對(duì)性能指標(biāo)的影響，可以通過(guò)離散系統(tǒng)的根軌跡法、頻率法、狀態(tài)空間法等來(lái)進(jìn)行分析。二、線性離散系統(tǒng)的響應(yīng)過(guò)程應(yīng)用變換方法分析線性離散控制系統(tǒng)，需根據(jù)其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，通過(guò)給定輸入信號(hào)的變換，求取被控制信號(hào)的變換，最后經(jīng)過(guò)反變換求取被控制信號(hào)的脈沖序列，代表線性離散控制系統(tǒng)對(duì)給定輸入信號(hào)的響應(yīng)。根據(jù)線性離散控制系統(tǒng)的響應(yīng)過(guò)程，便可分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能〔如超調(diào)量、過(guò)渡過(guò)程時(shí)間、上升時(shí)間〕和穩(wěn)態(tài)性能等。例8-19試用變換方法分析如圖8-31所示線性離散系統(tǒng)。：，，，。圖8-31線性離散系統(tǒng)解：因?yàn)?那么據(jù)式〔8-75〕及，得通過(guò)長(zhǎng)除法，將展成無(wú)窮級(jí)數(shù)形式，即據(jù)變換定義，由上式求得被控制信號(hào)在各采樣時(shí)刻上的函數(shù)值〔0，1，2，…〕為………根據(jù)上列〔0，1，2…〕數(shù)值繪出給定線性離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，如圖8-32所示。從圖中可求出該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)指標(biāo)如下：，〔以誤差小于5%計(jì)算〕，，次，…。圖8-32線性離散系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)注意：由于變換不能給出相鄰兩采樣時(shí)刻之間的數(shù)據(jù)，所以上圖只能畫(huà)出各采樣時(shí)刻上的值。圖中的虛線只表示一種近似曲線。三、線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差1．查曲線求取根據(jù)線性離散系統(tǒng)的響應(yīng)曲線或誤差響應(yīng)曲線，然后在的情況下，由與的差值或直接由響應(yīng)誤差求取系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。這里，為系統(tǒng)響應(yīng)的過(guò)渡過(guò)程時(shí)間。注意：是從開(kāi)始計(jì)算的，是誤差變量對(duì)于t的函數(shù)。在工程上，一般取〔正好是采樣點(diǎn)〕，或略大于〔不是采樣點(diǎn)〕的采樣點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間求穩(wěn)態(tài)誤差。例如在上例題中，穩(wěn)定誤差為3.2%〔〕。這種方法在工程上是常用的，因?yàn)橥ㄟ^(guò)一條響應(yīng)曲線，控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)特性和穩(wěn)態(tài)誤差特性都可以得到。2．誤差系數(shù)法求取線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可通過(guò)誤差系數(shù)和輸入信號(hào)及其各階導(dǎo)數(shù)在采樣時(shí)刻上的數(shù)值來(lái)求取。設(shè)線性離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)為，系統(tǒng)響應(yīng)理想單位脈沖的響應(yīng)誤差為，它們之間的關(guān)系是〔8-85〕因?yàn)樗杂勺儞Q的卷積定理可知由卷積定義，得〔8-86〕假設(shè)系統(tǒng)的輸入信號(hào)對(duì)的前階導(dǎo)數(shù)均存在，那么可將展成臺(tái)勞級(jí)數(shù)，即在上式中，令,及，得〔8-87〕將式〔8-87〕代入式〔8-86〕，得〔8-88〕記〔8-89〕將式〔8-89〕代入式〔8-88〕，得〔8-90〕式中系數(shù)，，，，…，，…定義為線性離散控制系統(tǒng)的誤差系數(shù)。設(shè)線性離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)為〔8-91〕對(duì)上式求反變換，得〔8-92〕理想單位脈沖采樣可以寫(xiě)為〔8-93〕式〔8-92〕和式〔8-93〕比擬，得〔0，1，2，…〕〔8-94〕將代入式〔8-91〕，得上式對(duì)求各階導(dǎo)數(shù)得在上列各式中，令，得由式〔8-94〕上式進(jìn)一步可寫(xiě)為〔8-95〕比照式〔8-89〕與式〔8-95〕，得〔8-96〕式〔8-96〕是計(jì)算線性離散系統(tǒng)誤差系數(shù)較常用的公式。例8-20試應(yīng)用誤差系數(shù)法，求取如圖8-33所示線性離散系統(tǒng)，響應(yīng)輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖8-33線性離散系統(tǒng)解：由式〔8-75〕，得因?yàn)樗詫?，代入上式，得由式?-90〕，得又因?yàn)?，那么，那么，那么，那么〔〕所以從上式可?jiàn)，給定系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為它為離散時(shí)間的函數(shù)，當(dāng)〔〕時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差，即穩(wěn)態(tài)誤差隨時(shí)間的推移在增大，3．用終值定理求取如圖8-34所示系統(tǒng)，為系統(tǒng)誤差連續(xù)信號(hào)，為系統(tǒng)誤差采樣信號(hào)。系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為圖8-圖8-34單位反應(yīng)線性離散系統(tǒng)系統(tǒng)誤差脈沖傳遞函數(shù)為如果的所有極點(diǎn)都在平面的單位圓內(nèi)，那么由終值定理可求出離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為〔8-97〕例8-21試求如圖8-35所示線性離散系統(tǒng)，當(dāng)和時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖8-35線性離散系統(tǒng)解：相應(yīng)的變換為系統(tǒng)誤差脈沖傳遞函數(shù)為當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，，那么此例說(shuō)明，用變換的終值定理求得的穩(wěn)態(tài)誤差，僅代表由極限決定的一個(gè)數(shù)值，而不是時(shí)間的函數(shù)。此例還說(shuō)明，線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，與外加信號(hào)作用形式和系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)及作用點(diǎn)有關(guān)。與連續(xù)系統(tǒng)一樣，也可用系統(tǒng)類型及系統(tǒng)作用信號(hào)的形式及作用位置，來(lái)研究線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差?！?-8線性離散系統(tǒng)的綜合有了前幾章的理論根底和數(shù)學(xué)工具，我們可以開(kāi)始討論：怎樣對(duì)一個(gè)線性離散系統(tǒng)進(jìn)行綜合。線性離散系統(tǒng)的綜合方法有兩種：一種是模擬化的方法；一種是數(shù)字化的方法。我們主要介紹后一種，稱為直接數(shù)字綜合法，它所需的數(shù)學(xué)工具主要是變換。線性離散系統(tǒng)的形式是多種多樣的，它取決于控制規(guī)律的選擇以及受控對(duì)象的特性。然而，它們也有著共同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。我們把主要工作放在數(shù)字控制器上。一、數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)圖8－36具有校正裝置的線性離散系統(tǒng)典型的線性離散控制系統(tǒng)如圖8-36所示。圖中保持器和控制對(duì)象合記為，稱為廣義控制對(duì)象。單位反應(yīng)線性離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

〔8-98〕〔8-99〕其中為數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)，在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，是由計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的。由上面兩式可以分別求出數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為〔8-100〕或〔8-101〕

式〔8-100〕及〔8-101〕說(shuō)明，根據(jù)線性離散系統(tǒng)連續(xù)局部的脈沖傳遞函數(shù)，以及閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)或，可以確定出數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)。在這里，對(duì)系統(tǒng)控制性能的要求，由閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)或閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)來(lái)反映。二、最少拍系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)所謂最少拍系統(tǒng)，也稱為最小調(diào)整時(shí)間系統(tǒng)或最快響應(yīng)系統(tǒng)。它是指系統(tǒng)對(duì)于典型的輸入：?jiǎn)挝浑A躍輸入、單位速度輸入或單位加速度輸入，具有最快的響應(yīng)速度。所以最小拍控制實(shí)質(zhì)上是時(shí)間最優(yōu)控制，即系統(tǒng)在典型的輸入信號(hào)作用下，經(jīng)過(guò)最少采樣周期，使得輸出穩(wěn)態(tài)誤差為零，到達(dá)完全跟蹤。從這個(gè)準(zhǔn)那么出發(fā)，確定系統(tǒng)開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，從而導(dǎo)出所需要的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)。典型的輸入信號(hào)，通常指其一般形式可寫(xiě)成〔8-102〕其中為不含因子的以為變量的多項(xiàng)式。根據(jù)變換的定義要求系統(tǒng)經(jīng)過(guò)最少拍數(shù)到達(dá)完全跟蹤，即要求系統(tǒng)在特定的典型輸入作用下，盡快到達(dá)并保持為零。假定存在一個(gè)整數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有。也就是多項(xiàng)式只有有限項(xiàng)，且項(xiàng)數(shù)〔〕越少越好。由終值定理，得構(gòu)造式中是不含的的多項(xiàng)式。假設(shè)那么由得所以為使含有的項(xiàng)數(shù)最少，只有取那么〔8-103〕〔8-104〕這就是在最少拍跟蹤情況下，單位反應(yīng)系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)的表達(dá)式。其中冪指數(shù)與系統(tǒng)輸入信號(hào)的類型相一致，如單位階躍輸入時(shí)，；單位勻速與勻加速輸入時(shí)，分別為2與3。下面分析最少拍系統(tǒng)響應(yīng)單位階躍、勻速與勻加速等典型控制輸入時(shí)的情況。1．單位階躍輸入時(shí)，，即由變換定義，，知輸出序列如圖8-37所示。由圖8-37可以看到單位階躍輸入時(shí)，最少拍系統(tǒng)的圖8-37單位階躍輸入時(shí)圖8-37單位階躍輸入時(shí)的輸出序列2．勻速輸入時(shí)，，即由變換定義，，知，，輸出序列如圖8-38所示。由圖8-38可以看到勻速輸入時(shí)，最少拍系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間。3．勻加速度輸入時(shí)，，即由變換定義，，知，，，輸出序列如圖8-39所示。圖8-38勻速輸入時(shí)的輸出序列圖8-39勻加速度輸入時(shí)的輸出序列由圖8-39可以看到勻加速度輸入時(shí)，最少拍系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間。上面的討論可以匯總于表8-3中，即表8-3最少拍系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間典型輸