如何在數(shù)學教學中體現(xiàn)“立德樹人”的根本任務(wù)，如何實施數(shù)學學科德育，日益受到人們的關(guān)注。國際上，數(shù)學核心素養(yǎng)的內(nèi)涵涉及知識、能力、思維、情感，而國內(nèi)目前的數(shù)學核心素養(yǎng)框架中并未涉及數(shù)學情感。數(shù)學史與數(shù)學教育之間的關(guān)系（HPM）是今日數(shù)學教育領(lǐng)域的熱門課題。HPM產(chǎn)生濃厚興趣。如何設(shè)計、實施、評價HPM課例？HPM視角下的數(shù)學教學實踐是否可以促進教師的專業(yè)發(fā)展？背景如何在數(shù)學教學中體現(xiàn)“立德樹人”的根本任務(wù)，如何實施數(shù)學學科為什么要將數(shù)學史融入數(shù)學教學？融入什么？如何融入？背景數(shù)學史料人物事件概念術(shù)語數(shù)學問題公式定理學科思想工具符號選材原則趣味性可學性科學性有效性新穎性運用方式附加式復制式順應(yīng)式重構(gòu)式效果評價知識之諧方法之美探究之樂能力之助文化之魅德育之效為什么要將數(shù)學史融入數(shù)學教學？融入什么？如何融入？背背景教師專業(yè)發(fā)展信念知識能力教學取向的數(shù)學知識（MKT）的構(gòu)成背景教師專業(yè)發(fā)展信念知識能力教學取向的數(shù)學知識（MKT）背景HPM課例的設(shè)計、實施和評價背景HPM課例的設(shè)計、實施和評價數(shù)學史融入中學數(shù)學教學的實踐與案例背景概念與思想公式與定理問題與求解結(jié)語數(shù)學史融入中學數(shù)學教學的實踐與案例背景概念與思想公式與定理問教學設(shè)計引入古埃及一元一次方程問題探究古希臘丟番圖問題的求解形成用字母表示任意數(shù)或一類數(shù)鞏固字母表示數(shù)的應(yīng)用小結(jié)字母表示數(shù)的意義案例1用字母表示數(shù)案例1用字母表示數(shù)教學設(shè)計引入古埃及一元一次方程問題探究古希臘丟番圖問題的求解案例1用字母表示數(shù)問題1：一個量，加上它的2/3，它的1/2和它的1/7，等于33。求該量。案例1用字母表示數(shù)問題1：一個量，加上它的2/3，它的1案例1用字母表示數(shù)問題2：已知兩數(shù)的和與差，你能求出這兩個數(shù)嗎？案例1用字母表示數(shù)問題2：已知兩數(shù)的和與差，你能求出這兩公元前1700年16世紀公元3世紀古巴比倫人修辭代數(shù)：用文字來表達一個方程丟番圖縮略代數(shù)：用字母表示未知數(shù)符號代數(shù)用字母表示任意數(shù)韋達案例1用字母表示數(shù)公元前1700年16世紀公元3世紀古巴比倫人修辭代數(shù)：丟番圖案例1用字母表示數(shù)問題3：搭5個正方形，需要幾根火柴棍？搭任意多個正方形呢？44+134+234+33生：任意多個正方形所需火柴棍數(shù)：4+(正方形個數(shù)-1)3案例1用字母表示數(shù)問題3：搭5個正方形，需要幾根火柴棍？案例1用字母表示數(shù)知識之諧經(jīng)歷從字母表示未知數(shù)到字母表示任意數(shù)的自然過程探究之樂積累數(shù)學活動經(jīng)驗文化之魅字母表示數(shù)的歷史德育之效數(shù)學思想發(fā)展的曲折與艱辛學生教師內(nèi)容與課程知識（KCC）字母表示數(shù)的歷史內(nèi)容與學生知識（KCS）從字母表示未知數(shù)到字母表示任意數(shù)的困難內(nèi)容與教學知識（KCT）借鑒代數(shù)學的歷史來設(shè)計教學案例1用字母表示數(shù)知識之諧學生教師內(nèi)容與課程知《太上感應(yīng)篇》“入重出輕”的故事。案例2反比例函數(shù)引入案例2反比例函數(shù)《太上感應(yīng)篇》“入重出輕”的故事。案例2反比例函數(shù)引案例2反比例函數(shù)數(shù)據(jù)a(cm)n(g)b(cm)m(g)第1次8100450第2次810012150第3次810016200a和n不變,b和m之間的正比例關(guān)系新課探究案例2反比例函數(shù)數(shù)據(jù)a(cm)n(g)b(cm)m(g)案例2反比例函數(shù)a和m不變,b和n之間的反比例關(guān)系數(shù)據(jù)a(cm)m(g)b(cm)n(g)第1次81001650第2次81008100第3次81004200總結(jié)：當n增加時，b卻減少，b隨n的增加而減小。且滿足bn=am=非零常數(shù)，b與n成反比例。案例2反比例函數(shù)a和m不變,b和n之間的反比例關(guān)系數(shù)據(jù)案例2反比例函數(shù)定義：設(shè)b=y，n=x，則y=k/x。形如y=k/x（k為常數(shù)，且k0）的函數(shù)成為反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)，k是比例系數(shù)。概念形成辨析：（1）對“形如”怎樣理解？（2）怎樣理解“k為常數(shù)，且k0”？（3）反比例函數(shù)與前面所學的什么知識有聯(lián)系？（4）為什么成為反比例函數(shù)？案例2反比例函數(shù)定義：設(shè)b=y，n=x，則y=教學設(shè)計引入笛卡兒的故事探究如何表示天花板上的蒼蠅的位置？形成直角坐標的概念鞏固在直角坐標系中求點的坐標小結(jié)直角坐標系的意義案例3直角坐標系案例3直角坐標系教學設(shè)計引入笛卡兒的故事探究如何表示天花板上的蒼蠅的位置？形從那天起，當它們臆測又一個真理揭開了面容在地獄般的圈欄暴發(fā)出一陣陣哀鳴案例3直角坐標系繆斯女神把這光芒饋贈畢達哥拉斯要把祭禮行百?？臼煊智衅y表心中感激之情難阻真理發(fā)現(xiàn)者的暴行畢氏讓它們永不得安寧它們瑟瑟顫抖著絕望地閉上了眼睛復習舊知：數(shù)軸的三要素；笛卡兒的故事；問題1：蒼蠅向右爬5cm，如何表示它的位置？問題2：蒼蠅向左爬5cm，如何表示它的位置？從那天起，當它們臆測案例3直角坐標系繆斯女神把這光芒饋案例3直角坐標系問題3：蒼蠅向上爬5cm，如何表示它的位置？問題4：蒼蠅向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？案例3直角坐標系問題3：蒼蠅向上爬5cm，如何表示S：用+3表示。T：那如果蒼蠅向上爬了6cm，7cm，又如何表示它的位置呢？S：還是+3。T：可是，蒼蠅的位置明明不同啊？案例3直角坐標系問題4：蒼蠅向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？S：用+3表示。案例3直角坐標系問題4：蒼蠅向右爬案例3直角坐標系S：用8來表示。T：那么如果蒼蠅先向右爬4cm，再向上爬4cm，那你怎么表示？S：還是8。T：不同的位置，但是你卻用同一個數(shù)來表示，同學們覺得這樣可行嗎？S：不可行。問題4：蒼蠅向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？案例3直角坐標系S：用8來表示。問題4：蒼蠅向右爬案例3直角坐標系S：用“5垂直于3”表示。T：那如果蒼蠅向左爬了3cm，再向上爬了5cm呢？S：“5垂直于-3”。T：這位同學很棒，用兩個數(shù)來表示點的位置，那么能不能再簡練一點呢？S：53。S：5.3。S：5/3。問題4：蒼蠅向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？案例3直角坐標系S：用“5垂直于3”表示。問題4：T：還有其他表示方法嗎？[有兩組學生開始用量角器與直尺]S7：北偏東50。T：……T：我們將5垂直于3表示為（3,5）。案例3直角坐標系T：還有其他表示方法嗎？案例3直角坐標系案例3直角坐標系知識之諧經(jīng)歷坐標概念的自然發(fā)生過程探究之樂體驗成功的快樂、積累數(shù)學活動經(jīng)驗文化之魅數(shù)學與現(xiàn)實生活之間的聯(lián)系德育之效興趣、自信心、親近數(shù)學學生教師內(nèi)容與課程知識（KCC）直角坐標系的歷史內(nèi)容與學生知識（KCS）從一維到二維的困境內(nèi)容與教學知識（KCT）借鑒坐標概念的歷史來設(shè)計教學水平內(nèi)容知識（HCK）直角坐標系與數(shù)軸的聯(lián)系案例3直角坐標系知識之諧學生教師內(nèi)容與課程案例4函數(shù)的概念函數(shù)概念的歷史案例4函數(shù)的概念案例4函數(shù)的概念函數(shù)概念的歷史案例4函數(shù)的概念總之有自變量、因變量且一個x有且僅有一個y的值與其對應(yīng)的式子案例4函數(shù)的概念師：關(guān)于函數(shù)概念，同學們并不陌生?，F(xiàn)在，請大家回憶一下，初中數(shù)學中的函數(shù)是怎么定義的？引入總之有自變量、因變量且一個x有且僅有一個y的值與其對L.Euler(1707–1783)案例4函數(shù)的概念歐拉的函數(shù)定義(1748)：一個變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何方式組成的解析式。——《無窮分析引論》L.Euler(1707–1783)案例4函數(shù)的德摩根《代數(shù)學》的定義(1837)：A.deMorgan(1806-1871)案例4函數(shù)的概念Anyexpressionwhichcontainsxinanywayiscalledafunctionofx.德摩根《代數(shù)學》的定義(1837)：A.deMorg李善蘭的譯文：“凡式中含天，為天之函數(shù)。”這便是中文“函數(shù)”名稱的由來。案例4函數(shù)的概念李善蘭的譯文：“凡式中含天，為天之函數(shù)?！边@便是中文“函數(shù)”例1(課本)：表1列出了男子一百米欄項目從1900年開始的世界紀錄創(chuàng)立的時間和成就，請思考：（1）統(tǒng)計表中有哪幾個變量？是什么？（2）當時間年份確定時，相應(yīng)的世界紀錄成績是否確定？能寫出成績隨時間變化的關(guān)系式嗎？年份19001908192019361959197319932006成績15.41514.814.213.213.112.9112.88男子100米欄世界紀錄統(tǒng)計表案例4函數(shù)的概念概念生成從“解析式”到“變量依賴關(guān)系”例1(課本)：表1列出了男子一百米欄項目從1900年開始的世案例4函數(shù)的概念問題：下圖為某天滬深300指數(shù)隨時刻變化的圖像。該圖像體現(xiàn)了指數(shù)和時刻之間的關(guān)系，那么這兩個變量之間的關(guān)系能否用一個解析式來刻畫呢？案例4函數(shù)的概念問題：下圖為某天滬深300指數(shù)隨時刻變化

如果某個量依賴于另一個量，當后面這個量變化時，前面這個量也隨之變化，則前面這個量稱為后面這個量的函數(shù)。

——《微分學基礎(chǔ)》L.Euler(1707–1783)案例4函數(shù)的概念歐拉的新定義（1755）：如果某個量依賴于另一個量，當后面這個量變化時，前面這案例4函數(shù)的概念例2：y=0(xR)是不是一個函數(shù)？說明理由。師：初中階段我們學習了具體的一次、二次函數(shù)等，在這些函數(shù)中，變量

y與

x之間就有明確的依賴關(guān)系。但是，利用“依賴關(guān)系”來刻畫函數(shù)，是否盡善盡美了呢？從“變量依賴關(guān)系”到“變量對應(yīng)關(guān)系”案例4函數(shù)的概念例2：y=0(xR)是課前的問卷調(diào)查表明：161人中有65人認為它不是函數(shù)關(guān)系，占比40.37%。理由是：y不隨x的變化而變化；沒有y與x的關(guān)系式；x與y之間沒有關(guān)系；y沒有依賴x的變化而改變，…………案例4函數(shù)的概念例2：y=0(xR)是不是一個函數(shù)？說明理由。課前的問卷調(diào)查表明：161人中有65人認為它不是函數(shù)關(guān)系，占師：那我們該怎樣描述這兩個變量之間的關(guān)系呢？重新審視函數(shù)

y=0(xR)

，無論

怎樣變化，

的值都是以不變應(yīng)萬變，此處的關(guān)鍵詞“應(yīng)”即為“對應(yīng)”之意，也就是對每一個

的值，都有

的值0與之對應(yīng)。我們能否從這樣一個新的視角來理解前面遇到的例子呢？生：男子100米欄世界紀錄表中，對于每一個出現(xiàn)的年份，都能找到一個世界紀錄與之對應(yīng)；而在滬深指數(shù)圖像中，每一個時刻都有一個確定的股票指數(shù)與之對應(yīng)。案例4函數(shù)的概念師：那我們該怎樣描述這兩個變量之間的關(guān)系呢？重新審視函數(shù)y師：理解得很到位，那么對于我們熟悉的函數(shù)y=2x2

呢？生：對每一個x的值，都有y的值與之對應(yīng)。師：我們還發(fā)現(xiàn)，對于變量x的每一個值，y都有唯一的值與之對應(yīng)，說明我們同樣可以從對應(yīng)的角度來理解曾經(jīng)學習過的函數(shù)。通過以上實例的分析，同學們能否提煉并概括一下這些關(guān)系的共同特征？生：以上函數(shù)關(guān)系中，對變量

x的每一個值，變量

y都有唯一確定的值與之對應(yīng)。案例4函數(shù)的概念師：理解得很到位，那么對于我們熟悉的函數(shù)y=2x2呢？案例師：那么，能不能用集合的語言和對應(yīng)關(guān)系來描述初中所學的函數(shù)概念呢？生：如果在某個變化的過程中有兩個變量

x和

y，對于某個實數(shù)集合

D內(nèi)的每一個確定的

x，

y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么

y

就是

x

的函數(shù)，x叫做自變量，x

的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，和

x對應(yīng)的

y的值叫做函數(shù)值。師：非常好！這正是德國數(shù)學家狄利克雷于1837年提出的函數(shù)定義。案例4函數(shù)的概念師：那么，能不能用集合的語言和對應(yīng)關(guān)系來描述初中所學的函數(shù)概

狄利克雷的現(xiàn)代定義（1837）：設(shè)a、b是兩個確定的值，x是可取a、b之間一切值的變量。如果對于每一個x，有唯一有限的y值與它對應(yīng),當x連續(xù)變化時，y也隨之變化那么

y叫做

x

的函數(shù)。L.Dirichlet（1805-1859）案例4函數(shù)的概念狄利克雷的現(xiàn)代定義（1837）：設(shè)a、b是兩個確定的案例4函數(shù)的概念師：反觀剛才分析過的這些函數(shù)，其對應(yīng)關(guān)系可以用一個圖表、一個圖像或者一個解析式來呈現(xiàn)，我們把它統(tǒng)稱為“對應(yīng)法則”。例如表1中，14.2與1936對應(yīng)，1973有唯一的13.1與之對應(yīng)，這個表格就是一個對應(yīng)法則。那么同學們能否從這個角度來分析其他例子的對應(yīng)關(guān)系呢?生：圖2的滬指變化圖像就是一種對應(yīng)法則。生：函數(shù)

y=2x2，這個解析式就是一種對應(yīng)法則。案例4函數(shù)的概念師：反觀剛才分析過的這些函數(shù)，其對應(yīng)關(guān)系案例4函數(shù)的概念案例4函數(shù)的概念案例5對數(shù)的概念計算：案例5對數(shù)的概念案例5對數(shù)的概念計算：案例5對數(shù)的概念案例5對數(shù)的概念x123456789102481632641282565121024x1112131415161718204840968192163843276865536131072262144x192021222324524288x2526272829134217728268435456536870912x303132331073741824214748364842949672968589934592案例5對數(shù)的概念x1234567891024816326mnm+nMN=MN案例5對數(shù)的概念mnm+nMN=MN案例5對數(shù)的概念299792.458+光在真空中的速度（千米/秒)一年的秒數(shù)=1光年一個天文單位29979245831536179875474889937737414989622902997924588993773749454254955488案例5對數(shù)的概念計算：299792.458+光在真空中的速度（千米/秒案例5對數(shù)的概念x1112131415161718204840968192163843276865536131072262144x252627282913421772826843545653687091231536299792458案例5對數(shù)的概念x1112131415161718204案例5對數(shù)的概念x1416384.00014.930573.62514.9431433.16614.94431520.43814.944531531.36414.9445931533.331…………14.9450031537.7031532768.000我們需要創(chuàng)造新數(shù)！31536.000案例5對數(shù)的概念x1416384.00014.93057《幾何原本》卷11之棱柱定義一個棱柱是一個立體圖形，它是有一些平面構(gòu)成的，其中有兩個面是相對的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四邊形。案例6棱柱的概念案例6棱柱的概念《幾何原本》卷11之棱柱定義案例6棱柱的概念案例6Wentworth&Smith(1913)之棱柱定義：有兩個面為平行平面上的全等多邊形、其他面均為平行四邊形的多邊形叫棱柱。案例6棱柱的概念Wentworth&Smith(1913)之棱柱定義：案案例6棱柱的概念歷史上的棱柱定義分布案例6棱柱的概念歷史上的棱柱定義分布案例6棱柱的概念棱柱定義的演進案例6棱柱的概念棱柱定義的演進Schuyler(1876)最早對歐氏定義進行改進。棱柱是一個多面體，它有兩個面為全等、平行的多邊形且對應(yīng)邊平行，其余各面均為以全等多邊形對應(yīng)邊為底的平行四邊形。案例6棱柱的概念Schuyler(1876)最早對歐氏定義進行改進。案例Stone&Millis(1916)的定義：棱柱是這樣的多面體，它的兩個面為平行平面上的全等多邊形，其余各面均為平行四邊形、且有一組對邊分別為這兩個全等多邊形的對應(yīng)邊。案例6棱柱的概念Stone&Millis(1916)的定義：棱柱是這樣案例6棱柱的概念嘗試對空間幾何體進行歸類案例6棱柱的概念嘗試對空間幾何體進行歸類52案例6棱柱的概念案例6棱柱的概念53案例6棱柱的概念師：我們身邊有各種各樣的空間幾何體，下面請大家將下列幾何體按照一定的特征進行分類。生：根據(jù)有沒有曲面，①、②、⑤、⑥、⑦、⑧和⑨為一類，③、④、⑩、?和?為一類。案例6棱柱的概念師：我們身邊有各種各樣的空間幾何體，下54案例6棱柱的概念師：很好，像①、②、⑤、⑥、⑦、⑧和⑨這些幾何體，是由什么圖形圍成的？生：平面多邊形。師：這些幾何體就叫做多面體。師：像③、⑩、?和?這些幾何體可以由一個平面圖形繞其平面內(nèi)一條定直線旋轉(zhuǎn)而圍成，它們叫做旋轉(zhuǎn)體。師：如果將①、②、⑤、⑥、⑦、⑧和⑨這些多面體再細分的話，應(yīng)該怎么分呢？生：我根據(jù)上下兩頭的大小，認為①、②、⑧為一類，⑥、⑦為一類，⑤是一類，⑨是一類。案例6棱柱的概念師：很好，像①、②、⑤、⑥、⑦、⑧和⑨55案例6棱柱的概念師：很好，大家都同意他的意見嗎？生：我認為⑤與①、②、⑧是同一類，因為它們都不是尖的。（猶豫一下）但是好像又不能歸為一類，畢竟⑤上下不一樣大，側(cè)面是梯形。師：很好，其實①、②、⑧就是棱柱，⑥、⑦是棱錐，⑤是棱臺，而這三類幾何體是多面體中最基本、最簡單的幾何體。下面，我們逐個對棱柱、棱錐、棱臺進行研究。首先，我們來研究棱柱的結(jié)構(gòu)特征。案例6棱柱的概念師：很好，大家都同意他的意見嗎？56案例6棱柱的概念棱柱定義的初步構(gòu)建讓學生用自己的語言，以小組為單位嘗試給棱柱下一個定義。教師強調(diào)：定義必須真正刻畫出棱柱這一類幾何體，而不會產(chǎn)生意外。[經(jīng)過5分鐘的討論，學生逐漸提交成果，筆者將學生的定義分成7類，分別用D1、D2、…、D7表來示，見下表。]案例6棱柱的概念棱柱定義的初步構(gòu)建讓學生用自己的語57案例6棱柱的概念類別定義屬性D1上下面相同且平行的多面體叫棱柱。底面特征D2兩個底面是平行且相等的多邊形，側(cè)面是平行四邊形。底面、側(cè)面特征D3側(cè)面的棱要平行且長度相等，上底和下底一樣的多面體。底面、側(cè)棱特征D4有互相平行的兩個面，且兩個面之間的連線相互平行的幾何體叫棱柱。底面、側(cè)棱特征D5至少有兩個面互相平行，由多個四邊形組成，且相鄰的邊互相平行。底面、側(cè)面、側(cè)棱特征D6上下有兩個平行并相等的多邊形，并由相對不平行的線段將上下各點平行相連的柱體。動態(tài)生成D7由一個多邊形向一個固定的方向，掃過所形成的空間幾何立體圖形。動態(tài)生成案例6棱柱的概念類別定義屬性D1上下面相同且平行的多面58案例6棱柱的概念棱柱定義的不斷完善師：滿足條件D1的多面體是棱柱嗎？生：不是，⑨就是反例。師：看來只規(guī)定上下兩個面的屬性是不夠的，那如何完善呢？生：側(cè)面都是平行四邊形。師：很好，這就是D2（屏幕投影D2），我們來看看，滿足條件D2的幾何體是不是棱柱呢？[D1：上、下面相同且平行的多面體叫棱柱。][D2：兩個底面是平行且相等的多邊形，側(cè)面是平行四邊形。]案例6棱柱的概念棱柱定義的不斷完善師：滿足條件D159案例6棱柱的概念[教師逐一將“棱柱類”實物進行驗證，發(fā)現(xiàn)側(cè)面都是平行四邊形，絕大多數(shù)學生也開始相信D2是正確的。]生：將兩個像⑧這樣的棱柱疊在一起，讓它們“扭”一下，也許是個反例。師：你能利用現(xiàn)有的教具將反例構(gòu)造出來嗎？學生用斜棱柱拼接形成一個反例案例6棱柱的概念[教師逐一將“棱柱類”實物進行驗證，發(fā)60案例6棱柱的概念生：這個不算反例，因為它本質(zhì)上是兩個棱柱。師：很好，看來有同學對這個反例不滿意，畢竟它是可以分解成兩個棱柱。師：其實，D2與歷史上偉大的數(shù)學家歐幾里得的定義是一致的?！稁缀卧尽肪?1之棱柱定義一個棱柱是一個立體圖形，它是有一些平面構(gòu)成的，其中有兩個面是相對的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四邊形。[PPT放映歐幾里得的畫像、生平以及《幾何原本》中的棱柱定義。]案例6棱柱的概念生：這個不算反例，因為它本質(zhì)上是兩個棱61案例6棱柱的概念生：哇，好神奇！它符合D2，但一點棱柱的影子都沒有。師：是的，但是它可以分解成4個棱柱。[學生們用期待的眼神看著教師，迫切想見證奇跡的發(fā)生。教師用事先制作好的模型現(xiàn)場分解（如下圖），學生驚呆了。][教師用8個菱形、4個正方形磁力片現(xiàn)場拼出這個反例，如圖4。]案例6棱柱的概念生：哇，好神奇！它符合D2，但一點棱柱62案例6棱柱的概念案例6棱柱的概念63案例6棱柱的概念生：（驚嘆）竟然是4個棱柱！師：對，這就是立體幾何的奇妙之處?？磥戆牙庵敵勺罨A(chǔ)、最簡單的幾何體來研究是非常有必要。師：既然D2規(guī)定了底面的特征以及側(cè)面是平行四邊形還不夠，那么如何修改呢？生：加上“側(cè)棱都平行”這個條件。師：很好，如果加上“側(cè)棱都平行”這個條件，棱柱的定義就完整了。但我們再仔細剖析一下，如果有了“側(cè)棱都平行”這個條件，那么側(cè)面一定會是平行四邊形嗎？生：會的。案例6棱柱的概念生：（驚嘆）竟然是4個棱柱！64案例6棱柱的概念師：所以，我們這時把“側(cè)面都是平行四邊形”弱化成“側(cè)面都是四邊形”可不可以？生：可以。師：很好，這就是D5，也是教材上對棱柱的定義，下面請大家一起看教材。師：其實D3、D4都關(guān)注到了側(cè)棱的特征，而D6、D7是從棱柱生成的角度定義了棱柱。歷史上都有類似的定義（PPT上放映），有興趣的同學課后自己去查閱資料。D5：至少有兩個面互相平行，由多個四邊形組成，且相鄰的邊互相平行。D3：側(cè)面的棱要平行且長度相等，上底和下底一樣的多面體。D4：互相平行的兩個面，且兩個面之間的連線相互平行的幾何體叫棱柱。D7：一個多邊形向一個固定的方向，掃過所形成的空間幾何立體圖形。案例6棱柱的概念師：所以，我們這時把“側(cè)面都是平行四邊65數(shù)學史融入中學數(shù)學教學的實踐與案例背景概念與思想公式與定理問題與求解結(jié)語數(shù)學史融入中學數(shù)學教學的實踐與案例背景概念與思想公式與定理問案例8三角形內(nèi)角和[從泰勒斯的故事引入泰勒斯的發(fā)現(xiàn)。]三角形內(nèi)角和的發(fā)現(xiàn)案例8三角形內(nèi)角和[從泰勒斯的故事引入泰勒斯的發(fā)現(xiàn)。]案例8三角形內(nèi)角和師：請同學們以小組為單位，分別用六個同樣的等腰三角形（黃色）和六個同樣的不等邊三角形（紅色）來拼圖，感受泰勒斯當年的探究和發(fā)現(xiàn)過程。案例8三角形內(nèi)角和師：請同學們以小組為單位，分別用六個同案例8三角形內(nèi)角和等腰三角形拼圖方案案例8三角形內(nèi)角和等腰三角形拼圖方案案例8三角形內(nèi)角和不等邊三角形拼圖方案案例8三角形內(nèi)角和不等邊三角形拼圖方案案例8三角形內(nèi)角和案例8三角形內(nèi)角和案例8三角形內(nèi)角和[教師讓學生在圖中鎖定某一個三角形，通過添加輔助線來說理。按位置，六個三角形分別稱為上左、上中、上右、下左、下中和下右三角形。各小組經(jīng)過討論之后，產(chǎn)生了多種方案。]三角形內(nèi)角和的說理案例8三角形內(nèi)角和[教師讓學生在圖中鎖定某一個三角形，通案例8三角形內(nèi)角和第1組的方案：鎖定下中三角形。[與畢達哥拉斯的證明相同]案例8三角形內(nèi)角和第1組的方案：鎖定下中三角形。[與案例8三角形內(nèi)角和第2組的方案：鎖定下中三角形。[與19世紀末美國教科書上的證明相同]案例8三角形內(nèi)角和第2組的方案：鎖定下中三角形。[與19案例8三角形內(nèi)角和第3組的方案：鎖定下中三角形。[與克萊羅的證明相同]案例8三角形內(nèi)角和第3組的方案：鎖定下中三角形。[與案例8三角形內(nèi)角和第4組的方案：鎖定下中三角形。[與歐幾里得的證明相同]案例8三角形內(nèi)角和第4組的方案：鎖定下中三角形。[與案例8三角形內(nèi)角和方法之美三角形內(nèi)角和定理的不同證明探究之樂積累數(shù)學活動經(jīng)驗、體驗成功快樂文化之魅三角形內(nèi)角和定理的歷史德育之效興趣、自信心、親近數(shù)學學生教師內(nèi)容與課程知識（KCC）三角形內(nèi)角和定理的歷史材料專門內(nèi)容知識（SCK）三角形內(nèi)角和定理的發(fā)現(xiàn)與各種證明內(nèi)容與教學知識（KCT）借鑒定理的歷史來設(shè)計教學案例8三角形內(nèi)角和方法之美學生教師內(nèi)容與案例9正弦定理同學們有沒有想過，流星離我們有多遠呢？像星星那樣遠嗎？比月亮離得近嗎？圖5是某次測量的示意圖，其中O是地球的球心，A、B是兩個觀測者所在的位置，相距500km（球面距離）。AD、BD表示地平線，相交于點D。兩人觀測到同一顆流星C時的仰角分別為

=23.2，=44.3。問題是：流星距離兩位觀測者分別有多遠呢？引入案例9正弦定理同學們有沒有想過，流星離我們有多遠呢？像星案例9正弦定理定理探究直角三角形中的邊角關(guān)系，，斜三角形中有同樣結(jié)果嗎？案例9正弦定理定理探究直角三角形中的邊角關(guān)系，，斜案例9正弦定理定理新證17世紀，中國清代數(shù)學家和天文學家梅文鼎在《平三角舉要》給出了另一種精彩的證明。梅文鼎(1633-1721)案例9正弦定理定理新證17世紀，中國清代數(shù)學家和天文韋達(1571)的證明案例9正弦定理，，，故得

定理拓展F.Viete（1540-1603)

韋達(1571)的證明案例9正弦定理，，，定理拓案例9正弦定理歷史概說雷格蒙塔努斯梅文鼎納綏爾丁韋達案例9正弦定理歷史概說雷格蒙塔努斯梅文鼎納綏爾丁韋達案例9正弦定理一個定理

：正弦定理兩種方法；納綏爾丁同徑法和韋達的外接圓方法；三類應(yīng)用：

角邊角、角角邊、邊邊角（一般含兩個解）。四則啟示：（1）數(shù)學源于實際問題；（2）數(shù)學發(fā)展逐漸完善；（3）數(shù)學方法豐富靈動；（4）多元文化精彩紛呈。課堂小結(jié)案例9正弦定理一個定理：正弦定理課堂小結(jié)數(shù)學史融入中學數(shù)學教學的實踐與案例背景概念與思想公式與定理問題與求解結(jié)語數(shù)學史融入中學數(shù)學教學的實踐與案例背景概念與思想公式與定理問案例10全等三角形的應(yīng)用Thales(624B.C.?-547?B.C.)泰勒斯出生于米利都，希臘七賢之一。青年時代曾游歷埃及，利用竿影測量過金字塔的高度，利用全等三角形計算過輪船到海岸的距離。創(chuàng)立愛奧尼亞學派。最早將幾何學引入希臘，并將其變?yōu)檠堇[科學。被譽為“幾何學鼻祖”。幾何鼻祖泰勒斯案例10全等三角形的應(yīng)用Thales(624B.C.案例10全等三角形的應(yīng)用

對頂角相等；圓為直徑所平分；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形底角相等；角邊角定理；半圓上的圓周角為直角；相似三角形對應(yīng)邊成比例泰勒斯發(fā)現(xiàn)的幾何命題案例10全等三角形的應(yīng)用對頂角相等；泰勒斯發(fā)現(xiàn)的幾何命案例10全等三角形的應(yīng)用普羅克拉斯（Proclus,5世紀）說：“歐得姆斯在其《幾何史》中將該定理歸于泰勒斯。因為他說，泰勒斯證明了如何求出海上輪船到海岸的距離，其方法中必須用到該定理。”Thales泰勒斯與角邊角定理案例10全等三角形的應(yīng)用普羅克拉斯（Proclus,5案例10全等三角形的應(yīng)用直竿EF垂直于地面，在其上有一固定釘子A，另一橫桿可以繞A轉(zhuǎn)動，但可以固定在任一位置上。將該細竿調(diào)準到指向船的位置，然后轉(zhuǎn)動EF（保持與底面垂直），將細竿對準岸上的某一點C。則根據(jù)ASA定理，DC=DB。泰勒斯的測量方法案例10全等三角形的應(yīng)用直竿EF垂直于地面案例10全等三角形的應(yīng)用16世紀意大利數(shù)學家貝里（S.Belli,?～1575）出版于1565年的測量著作中的插圖，圖中所示的方法與泰勒斯所用方法相同。案例10全等三角形的應(yīng)用16世紀意大利數(shù)學家貝里拿破侖軍隊在行軍途中為一河流所阻，一名隨軍工程師用運用泰勒斯的方法迅速測得河流的寬度，因而受到拿破侖的嘉獎。因此，從古希臘開始，角邊角定理在測量中一直扮演者重要角色。案例10全等三角形的應(yīng)用戰(zhàn)爭中的泰勒斯方法拿破侖軍隊在行軍途中為一河流所阻，一名隨軍工程師用運用泰勒斯案例10全等三角形的應(yīng)用在抗美援朝戰(zhàn)爭中，一名志愿軍戰(zhàn)士利用泰勒斯的方法測量敵營的距離。戰(zhàn)爭中的泰勒斯方法案例10全等三角形的應(yīng)用在抗美援朝戰(zhàn)爭中，一名志愿軍戰(zhàn)士案例10全等三角形的應(yīng)用鞏固兩個三角形全等的基本判定方法；經(jīng)歷構(gòu)造全等三角形解決實際問題的過程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識、合作能力和表達能力，激發(fā)學生學習的積極性和自信心；認識數(shù)學的價值，感受數(shù)學與現(xiàn)實生活之間的密切聯(lián)系。感悟數(shù)學背后的人文精神。教學目標案例10全等三角形的應(yīng)用鞏固兩個三角形全等的基本判定方法案例10全等三角形的應(yīng)用鞏固兩個三角形全等的基本判定方法；經(jīng)歷構(gòu)造全等三角形解決實際問題的過程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識、合作能力和表達能力，激發(fā)學生學習的積極性和自信心；認識數(shù)學的價值，感受數(shù)學與現(xiàn)實生活之間的密切聯(lián)系。感悟數(shù)學背后的人文精神。教學目標案例10全等三角形的應(yīng)用鞏固兩個三角形全等的基本判定方法案例10全等三角形的應(yīng)用探究之樂體驗成功的快樂、積累數(shù)學活動經(jīng)驗文化之魅角邊角定理的悠久歷史；數(shù)學與現(xiàn)實生活之間的聯(lián)系德育之效人文精神與意志品質(zhì)；傾聽、合作、交流、包容學生教師內(nèi)容與課程知識（KCC）全等三角形的歷史內(nèi)容與教學知識（KCT）借鑒全等三角形的歷史來設(shè)計教學水平內(nèi)容知識（HCK）全等三角形與相似三角形之間的聯(lián)系；案例10全等三角形的應(yīng)用探究之樂學生教師內(nèi)容與課案例11解一元二次方程的配方法數(shù)學泥版YBC6967案例11解一元二次方程的配方法數(shù)學泥版YBC6967案例11解一元二次方程的配方法《幾何原本》卷2命題6案例11解一元二次方程的配方法《幾何原本》卷2命題6案例11解一元二次方程的配方法花拉子米《代數(shù)學》案例11解一元二次方程的配方法花拉子米《代數(shù)學》案例11解一元二次方程的配方法復習舊知解一元二次方程：用幾何語言來表達上述方程。案例11解一元二次方程的配方法復習舊知解一元二次方程案例11解一元二次方程的配方法問題提出9世紀阿拉伯數(shù)學家花拉子米在他的《代數(shù)學》中提出以下問題：一平方與十根等于二十迪拉姆，求根。（解一元二次方程方程）師：在古代，開方就相當于“已知正方形面積求邊長”。那么，這個問題是否也可以借助幾何圖形來解決呢？請同學們觀察一下，這個方程的左邊可以表示成什么圖形？生1：邊長為x的正方形面積，再加上一個長和寬分別為x和10的長方形。方法引導案例11解一元二次方程的配方法問題提出9世紀阿拉伯數(shù)案例11解一元二次方程的配方法師：將它們拼在一起，能得到什么圖形？生：長為x+10，寬為x的長方形。師：請畫到黑板上，讓大家看看。生1：[在黑板上作出一個長方形。]案例11解一元二次方程的配方法師：將它們拼在一起，能得到案例11解一元二次方程的配方法師：但問題又來了，這不是一個正方形，不能直接開平方吧。生2：要把它變成一個正方形，用截補的方法。生3：[在黑板上將生1所作的長方形補成正方形。]案例11解一元二次方程的配方法師：但問題又來了，這不是一案例11解一元二次方程的配方法師：我們一起來看看，此時這個圖形的面積是怎么表示的？生：表示為

x2+20x+100。師：對比一下原來的方程，這里的一次項與原方程有出入，怎么辦？生4：在等式右邊也加上10x。生5：不行，這樣不滿足開平方法的特征呀。生：左邊滿足，右邊不行，加得太復雜了。師：右邊多了一次項，那怎么辦？能不能不讓它多出來？案例11解一元二次方程的配方法師：我們一起來看看，此時這案例11解一元二次方程的配方法生5：[在黑板上給出了一種作圖法。]案例11解一元二次方程的配方法生5：[在黑板上給出了一種案例11解一元二次方程的配方法師：請生5說說你的具體做法。生5：把長為x、寬為10的矩形一分為二，再把其中一半移到正方形的下方，最后補上邊長為5的小正方形。師：太棒了！和花拉子米的做法完全一樣。[眾生嘖嘖稱奇。]請同學們想一想，這相當于對原方程實施了怎樣的操作呢？生：

。師：我們最后得到的方程滿足開平方法的特征。案例11解一元二次方程的配方法師：請生5說說你的具體做法案例11解一元二次方程的配方法拓展理解古巴比倫泥板上的問題：已知兩數(shù)乘積為10，差為4，求這兩數(shù)，相當于解方程一元二次方程

x2-4x=10。[教師讓學生分小組討論相應(yīng)的幾何方法。學生遇到了很大困難，一籌莫展！]案例11解一元二次方程的配方法拓展理解古巴比倫泥板上案例11解一元二次方程的配方法最后，一個學生仿照一次項系數(shù)為正的情形解決了難題。相應(yīng)的配方過程：案例11解一元二次方程的配方法最后，一個學生仿照一次項系數(shù)學史融入中學數(shù)學教學的實踐與案例背景概念與思想公式與定理問題與求解結(jié)語數(shù)學史融入中學數(shù)學教學的實踐與案例背景概念與思想公式與定理問數(shù)學史融入中學數(shù)學教學的實踐與案例數(shù)學史與教師MKT之間的密切關(guān)聯(lián)數(shù)學史一般內(nèi)容知識專門內(nèi)容知識內(nèi)容與課程知識內(nèi)容與學生知識內(nèi)容與教學知識水平內(nèi)容知識數(shù)學史融入中學數(shù)學教學的實踐與案例數(shù)學史與教師MKT之間的密一種模式一個團隊一批案例一條進路數(shù)學史融入中學數(shù)學教學的實踐與案例一種模式數(shù)學史融入中學數(shù)學教學的實踐與案例如何在數(shù)學教學中體現(xiàn)“立德樹人”的根本任務(wù)，如何實施數(shù)學學科德育，日益受到人們的關(guān)注。國際上，數(shù)學核心素養(yǎng)的內(nèi)涵涉及知識、能力、思維、情感，而國內(nèi)目前的數(shù)學核心素養(yǎng)框架中并未涉及數(shù)學情感。數(shù)學史與數(shù)學教育之間的關(guān)系（HPM）是今日數(shù)學教育領(lǐng)域的熱門課題。HPM產(chǎn)生濃厚興趣。如何設(shè)計、實施、評價HPM課例？HPM視角下的數(shù)學教學實踐是否可以促進教師的專業(yè)發(fā)展？背景如何在數(shù)學教學中體現(xiàn)“立德樹人”的根本任務(wù)，如何實施數(shù)學學科為什么要將數(shù)學史融入數(shù)學教學？融入什么？如何融入？背景數(shù)學史料人物事件概念術(shù)語數(shù)學問題公式定理學科思想工具符號選材原則趣味性可學性科學性有效性新穎性運用方式附加式復制式順應(yīng)式重構(gòu)式效果評價知識之諧方法之美探究之樂能力之助文化之魅德育之效為什么要將數(shù)學史融入數(shù)學教學？融入什么？如何融入？背背景教師專業(yè)發(fā)展信念知識能力教學取向的數(shù)學知識（MKT）的構(gòu)成背景教師專業(yè)發(fā)展信念知識能力教學取向的數(shù)學知識（MKT）背景HPM課例的設(shè)計、實施和評價背景HPM課例的設(shè)計、實施和評價數(shù)學史融入中學數(shù)學教學的實踐與案例背景概念與思想公式與定理問題與求解結(jié)語數(shù)學史融入中學數(shù)學教學的實踐與案例背景概念與思想公式與定理問教學設(shè)計引入古埃及一元一次方程問題探究古希臘丟番圖問題的求解形成用字母表示任意數(shù)或一類數(shù)鞏固字母表示數(shù)的應(yīng)用小結(jié)字母表示數(shù)的意義案例1用字母表示數(shù)案例1用字母表示數(shù)教學設(shè)計引入古埃及一元一次方程問題探究古希臘丟番圖問題的求解案例1用字母表示數(shù)問題1：一個量，加上它的2/3，它的1/2和它的1/7，等于33。求該量。案例1用字母表示數(shù)問題1：一個量，加上它的2/3，它的1案例1用字母表示數(shù)問題2：已知兩數(shù)的和與差，你能求出這兩個數(shù)嗎？案例1用字母表示數(shù)問題2：已知兩數(shù)的和與差，你能求出這兩公元前1700年16世紀公元3世紀古巴比倫人修辭代數(shù)：用文字來表達一個方程丟番圖縮略代數(shù)：用字母表示未知數(shù)符號代數(shù)用字母表示任意數(shù)韋達案例1用字母表示數(shù)公元前1700年16世紀公元3世紀古巴比倫人修辭代數(shù)：丟番圖案例1用字母表示數(shù)問題3：搭5個正方形，需要幾根火柴棍？搭任意多個正方形呢？44+134+234+33生：任意多個正方形所需火柴棍數(shù)：4+(正方形個數(shù)-1)3案例1用字母表示數(shù)問題3：搭5個正方形，需要幾根火柴棍？案例1用字母表示數(shù)知識之諧經(jīng)歷從字母表示未知數(shù)到字母表示任意數(shù)的自然過程探究之樂積累數(shù)學活動經(jīng)驗文化之魅字母表示數(shù)的歷史德育之效數(shù)學思想發(fā)展的曲折與艱辛學生教師內(nèi)容與課程知識（KCC）字母表示數(shù)的歷史內(nèi)容與學生知識（KCS）從字母表示未知數(shù)到字母表示任意數(shù)的困難內(nèi)容與教學知識（KCT）借鑒代數(shù)學的歷史來設(shè)計教學案例1用字母表示數(shù)知識之諧學生教師內(nèi)容與課程知《太上感應(yīng)篇》“入重出輕”的故事。案例2反比例函數(shù)引入案例2反比例函數(shù)《太上感應(yīng)篇》“入重出輕”的故事。案例2反比例函數(shù)引案例2反比例函數(shù)數(shù)據(jù)a(cm)n(g)b(cm)m(g)第1次8100450第2次810012150第3次810016200a和n不變,b和m之間的正比例關(guān)系新課探究案例2反比例函數(shù)數(shù)據(jù)a(cm)n(g)b(cm)m(g)案例2反比例函數(shù)a和m不變,b和n之間的反比例關(guān)系數(shù)據(jù)a(cm)m(g)b(cm)n(g)第1次81001650第2次81008100第3次81004200總結(jié)：當n增加時，b卻減少，b隨n的增加而減小。且滿足bn=am=非零常數(shù)，b與n成反比例。案例2反比例函數(shù)a和m不變,b和n之間的反比例關(guān)系數(shù)據(jù)案例2反比例函數(shù)定義：設(shè)b=y，n=x，則y=k/x。形如y=k/x（k為常數(shù)，且k0）的函數(shù)成為反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)，k是比例系數(shù)。概念形成辨析：（1）對“形如”怎樣理解？（2）怎樣理解“k為常數(shù)，且k0”？（3）反比例函數(shù)與前面所學的什么知識有聯(lián)系？（4）為什么成為反比例函數(shù)？案例2反比例函數(shù)定義：設(shè)b=y，n=x，則y=教學設(shè)計引入笛卡兒的故事探究如何表示天花板上的蒼蠅的位置？形成直角坐標的概念鞏固在直角坐標系中求點的坐標小結(jié)直角坐標系的意義案例3直角坐標系案例3直角坐標系教學設(shè)計引入笛卡兒的故事探究如何表示天花板上的蒼蠅的位置？形從那天起，當它們臆測又一個真理揭開了面容在地獄般的圈欄暴發(fā)出一陣陣哀鳴案例3直角坐標系繆斯女神把這光芒饋贈畢達哥拉斯要把祭禮行百?？臼煊智衅y表心中感激之情難阻真理發(fā)現(xiàn)者的暴行畢氏讓它們永不得安寧它們瑟瑟顫抖著絕望地閉上了眼睛復習舊知：數(shù)軸的三要素；笛卡兒的故事；問題1：蒼蠅向右爬5cm，如何表示它的位置？問題2：蒼蠅向左爬5cm，如何表示它的位置？從那天起，當它們臆測案例3直角坐標系繆斯女神把這光芒饋案例3直角坐標系問題3：蒼蠅向上爬5cm，如何表示它的位置？問題4：蒼蠅向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？案例3直角坐標系問題3：蒼蠅向上爬5cm，如何表示S：用+3表示。T：那如果蒼蠅向上爬了6cm，7cm，又如何表示它的位置呢？S：還是+3。T：可是，蒼蠅的位置明明不同??？案例3直角坐標系問題4：蒼蠅向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？S：用+3表示。案例3直角坐標系問題4：蒼蠅向右爬案例3直角坐標系S：用8來表示。T：那么如果蒼蠅先向右爬4cm，再向上爬4cm，那你怎么表示？S：還是8。T：不同的位置，但是你卻用同一個數(shù)來表示，同學們覺得這樣可行嗎？S：不可行。問題4：蒼蠅向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？案例3直角坐標系S：用8來表示。問題4：蒼蠅向右爬案例3直角坐標系S：用“5垂直于3”表示。T：那如果蒼蠅向左爬了3cm，再向上爬了5cm呢？S：“5垂直于-3”。T：這位同學很棒，用兩個數(shù)來表示點的位置，那么能不能再簡練一點呢？S：53。S：5.3。S：5/3。問題4：蒼蠅向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？案例3直角坐標系S：用“5垂直于3”表示。問題4：T：還有其他表示方法嗎？[有兩組學生開始用量角器與直尺]S7：北偏東50。T：……T：我們將5垂直于3表示為（3,5）。案例3直角坐標系T：還有其他表示方法嗎？案例3直角坐標系案例3直角坐標系知識之諧經(jīng)歷坐標概念的自然發(fā)生過程探究之樂體驗成功的快樂、積累數(shù)學活動經(jīng)驗文化之魅數(shù)學與現(xiàn)實生活之間的聯(lián)系德育之效興趣、自信心、親近數(shù)學學生教師內(nèi)容與課程知識（KCC）直角坐標系的歷史內(nèi)容與學生知識（KCS）從一維到二維的困境內(nèi)容與教學知識（KCT）借鑒坐標概念的歷史來設(shè)計教學水平內(nèi)容知識（HCK）直角坐標系與數(shù)軸的聯(lián)系案例3直角坐標系知識之諧學生教師內(nèi)容與課程案例4函數(shù)的概念函數(shù)概念的歷史案例4函數(shù)的概念案例4函數(shù)的概念函數(shù)概念的歷史案例4函數(shù)的概念總之有自變量、因變量且一個x有且僅有一個y的值與其對應(yīng)的式子案例4函數(shù)的概念師：關(guān)于函數(shù)概念，同學們并不陌生?，F(xiàn)在，請大家回憶一下，初中數(shù)學中的函數(shù)是怎么定義的？引入總之有自變量、因變量且一個x有且僅有一個y的值與其對L.Euler(1707–1783)案例4函數(shù)的概念歐拉的函數(shù)定義(1748)：一個變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何方式組成的解析式?！稛o窮分析引論》L.Euler(1707–1783)案例4函數(shù)的德摩根《代數(shù)學》的定義(1837)：A.deMorgan(1806-1871)案例4函數(shù)的概念Anyexpressionwhichcontainsxinanywayiscalledafunctionofx.德摩根《代數(shù)學》的定義(1837)：A.deMorg李善蘭的譯文：“凡式中含天，為天之函數(shù)?！边@便是中文“函數(shù)”名稱的由來。案例4函數(shù)的概念李善蘭的譯文：“凡式中含天，為天之函數(shù)。”這便是中文“函數(shù)”例1(課本)：表1列出了男子一百米欄項目從1900年開始的世界紀錄創(chuàng)立的時間和成就，請思考：（1）統(tǒng)計表中有哪幾個變量？是什么？（2）當時間年份確定時，相應(yīng)的世界紀錄成績是否確定？能寫出成績隨時間變化的關(guān)系式嗎？年份19001908192019361959197319932006成績15.41514.814.213.213.112.9112.88男子100米欄世界紀錄統(tǒng)計表案例4函數(shù)的概念概念生成從“解析式”到“變量依賴關(guān)系”例1(課本)：表1列出了男子一百米欄項目從1900年開始的世案例4函數(shù)的概念問題：下圖為某天滬深300指數(shù)隨時刻變化的圖像。該圖像體現(xiàn)了指數(shù)和時刻之間的關(guān)系，那么這兩個變量之間的關(guān)系能否用一個解析式來刻畫呢？案例4函數(shù)的概念問題：下圖為某天滬深300指數(shù)隨時刻變化

如果某個量依賴于另一個量，當后面這個量變化時，前面這個量也隨之變化，則前面這個量稱為后面這個量的函數(shù)。

——《微分學基礎(chǔ)》L.Euler(1707–1783)案例4函數(shù)的概念歐拉的新定義（1755）：如果某個量依賴于另一個量，當后面這個量變化時，前面這案例4函數(shù)的概念例2：y=0(xR)是不是一個函數(shù)？說明理由。師：初中階段我們學習了具體的一次、二次函數(shù)等，在這些函數(shù)中，變量

y與

x之間就有明確的依賴關(guān)系。但是，利用“依賴關(guān)系”來刻畫函數(shù)，是否盡善盡美了呢？從“變量依賴關(guān)系”到“變量對應(yīng)關(guān)系”案例4函數(shù)的概念例2：y=0(xR)是課前的問卷調(diào)查表明：161人中有65人認為它不是函數(shù)關(guān)系，占比40.37%。理由是：y不隨x的變化而變化；沒有y與x的關(guān)系式；x與y之間沒有關(guān)系；y沒有依賴x的變化而改變，…………案例4函數(shù)的概念例2：y=0(xR)是不是一個函數(shù)？說明理由。課前的問卷調(diào)查表明：161人中有65人認為它不是函數(shù)關(guān)系，占師：那我們該怎樣描述這兩個變量之間的關(guān)系呢？重新審視函數(shù)

y=0(xR)

，無論

怎樣變化，

的值都是以不變應(yīng)萬變，此處的關(guān)鍵詞“應(yīng)”即為“對應(yīng)”之意，也就是對每一個

的值，都有

的值0與之對應(yīng)。我們能否從這樣一個新的視角來理解前面遇到的例子呢？生：男子100米欄世界紀錄表中，對于每一個出現(xiàn)的年份，都能找到一個世界紀錄與之對應(yīng)；而在滬深指數(shù)圖像中，每一個時刻都有一個確定的股票指數(shù)與之對應(yīng)。案例4函數(shù)的概念師：那我們該怎樣描述這兩個變量之間的關(guān)系呢？重新審視函數(shù)y師：理解得很到位，那么對于我們熟悉的函數(shù)y=2x2

呢？生：對每一個x的值，都有y的值與之對應(yīng)。師：我們還發(fā)現(xiàn)，對于變量x的每一個值，y都有唯一的值與之對應(yīng)，說明我們同樣可以從對應(yīng)的角度來理解曾經(jīng)學習過的函數(shù)。通過以上實例的分析，同學們能否提煉并概括一下這些關(guān)系的共同特征？生：以上函數(shù)關(guān)系中，對變量

x的每一個值，變量

y都有唯一確定的值與之對應(yīng)。案例4函數(shù)的概念師：理解得很到位，那么對于我們熟悉的函數(shù)y=2x2呢？案例師：那么，能不能用集合的語言和對應(yīng)關(guān)系來描述初中所學的函數(shù)概念呢？生：如果在某個變化的過程中有兩個變量

x和

y，對于某個實數(shù)集合

D內(nèi)的每一個確定的

x，

y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么

y

就是

x

的函數(shù)，x叫做自變量，x

的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，和

x對應(yīng)的

y的值叫做函數(shù)值。師：非常好！這正是德國數(shù)學家狄利克雷于1837年提出的函數(shù)定義。案例4函數(shù)的概念師：那么，能不能用集合的語言和對應(yīng)關(guān)系來描述初中所學的函數(shù)概

狄利克雷的現(xiàn)代定義（1837）：設(shè)a、b是兩個確定的值，x是可取a、b之間一切值的變量。如果對于每一個x，有唯一有限的y值與它對應(yīng),當x連續(xù)變化時，y也隨之變化那么

y叫做

x

的函數(shù)。L.Dirichlet（1805-1859）案例4函數(shù)的概念狄利克雷的現(xiàn)代定義（1837）：設(shè)a、b是兩個確定的案例4函數(shù)的概念師：反觀剛才分析過的這些函數(shù)，其對應(yīng)關(guān)系可以用一個圖表、一個圖像或者一個解析式來呈現(xiàn)，我們把它統(tǒng)稱為“對應(yīng)法則”。例如表1中，14.2與1936對應(yīng)，1973有唯一的13.1與之對應(yīng)，這個表格就是一個對應(yīng)法則。那么同學們能否從這個角度來分析其他例子的對應(yīng)關(guān)系呢?生：圖2的滬指變化圖像就是一種對應(yīng)法則。生：函數(shù)

y=2x2，這個解析式就是一種對應(yīng)法則。案例4函數(shù)的概念師：反觀剛才分析過的這些函數(shù)，其對應(yīng)關(guān)系案例4函數(shù)的概念案例4函數(shù)的概念案例5對數(shù)的概念計算：案例5對數(shù)的概念案例5對數(shù)的概念計算：案例5對數(shù)的概念案例5對數(shù)的概念x123456789102481632641282565121024x1112131415161718204840968192163843276865536131072262144x192021222324524288x2526272829134217728268435456536870912x303132331073741824214748364842949672968589934592案例5對數(shù)的概念x1234567891024816326mnm+nMN=MN案例5對數(shù)的概念mnm+nMN=MN案例5對數(shù)的概念299792.458+光在真空中的速度（千米/秒)一年的秒數(shù)=1光年一個天文單位29979245831536179875474889937737414989622902997924588993773749454254955488案例5對數(shù)的概念計算：299792.458+光在真空中的速度（千米/秒案例5對數(shù)的概念x1112131415161718204840968192163843276865536131072262144x252627282913421772826843545653687091231536299792458案例5對數(shù)的概念x1112131415161718204案例5對數(shù)的概念x1416384.00014.930573.62514.9431433.16614.94431520.43814.944531531.36414.9445931533.331…………14.9450031537.7031532768.000我們需要創(chuàng)造新數(shù)！31536.000案例5對數(shù)的概念x1416384.00014.93057《幾何原本》卷11之棱柱定義一個棱柱是一個立體圖形，它是有一些平面構(gòu)成的，其中有兩個面是相對的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四邊形。案例6棱柱的概念案例6棱柱的概念《幾何原本》卷11之棱柱定義案例6棱柱的概念案例6Wentworth&Smith(1913)之棱柱定義：有兩個面為平行平面上的全等多邊形、其他面均為平行四邊形的多邊形叫棱柱。案例6棱柱的概念Wentworth&Smith(1913)之棱柱定義：案案例6棱柱的概念歷史上的棱柱定義分布案例6棱柱的概念歷史上的棱柱定義分布案例6棱柱的概念棱柱定義的演進案例6棱柱的概念棱柱定義的演進Schuyler(1876)最早對歐氏定義進行改進。棱柱是一個多面體，它有兩個面為全等、平行的多邊形且對應(yīng)邊平行，其余各面均為以全等多邊形對應(yīng)邊為底的平行四邊形。案例6棱柱的概念Schuyler(1876)最早對歐氏定義進行改進。案例Stone&Millis(1916)的定義：棱柱是這樣的多面體，它的兩個面為平行平面上的全等多邊形，其余各面均為平行四邊形、且有一組對邊分別為這兩個全等多邊形的對應(yīng)邊。案例6棱柱的概念Stone&Millis(1916)的定義：棱柱是這樣案例6棱柱的概念嘗試對空間幾何體進行歸類案例6棱柱的概念嘗試對空間幾何體進行歸類161案例6棱柱的概念案例6棱柱的概念162案例6棱柱的概念師：我們身邊有各種各樣的空間幾何體，下面請大家將下列幾何體按照一定的特征進行分類。生：根據(jù)有沒有曲面，①、②、⑤、⑥、⑦、⑧和⑨為一類，③、④、⑩、?和?為一類。案例6棱柱的概念師：我們身邊有各種各樣的空間幾何體，下163案例6棱柱的概念師：很好，像①、②、⑤、⑥、⑦、⑧和⑨這些幾何體，是由什么圖形圍成的？生：平面多邊形。師：這些幾何體就叫做多面體。師：像③、⑩、?和?這些幾何體可以由一個平面圖形繞其平面內(nèi)一條定直線旋轉(zhuǎn)而圍成，它們叫做旋轉(zhuǎn)體。師：如果將①、②、⑤、⑥、⑦、⑧和⑨這些多面體再細分的話，應(yīng)該怎么分呢？生：我根據(jù)上下兩頭的大小，認為①、②、⑧為一類，⑥、⑦為一類，⑤是一類，⑨是一類。案例6棱柱的概念師：很好，像①、②、⑤、⑥、⑦、⑧和⑨164案例6棱柱的概念師：很好，大家都同意他的意見嗎？生：我認為⑤與①、②、⑧是同一類，因為它們都不是尖的。（猶豫一下）但是好像又不能歸為一類，畢竟⑤上下不一樣大，側(cè)面是梯形。師：很好，其實①、②、⑧就是棱柱，⑥、⑦是棱錐，⑤是棱臺，而這三類幾何體是多面體中最基本、最簡單的幾何體。下面，我們逐個對棱柱、棱錐、棱臺進行研究。首先，我們來研究棱柱的結(jié)構(gòu)特征。案例6棱柱的概念師：很好，大家都同意他的意見嗎？165案例6棱柱的概念棱柱定義的初步構(gòu)建讓學生用自己的語言，以小組為單位嘗試給棱柱下一個定義。教師強調(diào)：定義必須真正刻畫出棱柱這一類幾何體，而不會產(chǎn)生意外。[經(jīng)過5分鐘的討論，學生逐漸提交成果，筆者將學生的定義分成7類，分別用D1、D2、…、D7表來示，見下表。]案例6棱柱的概念棱柱定義的初步構(gòu)建讓學生用自己的語166案例6棱柱的概念類別定義屬性D1上下面相同且平行的多面體叫棱柱。底面特征D2兩個底面是平行且相等的多邊形，側(cè)面是平行四邊形。底面、側(cè)面特征D3側(cè)面的棱要平行且長度相等，上底和下底一樣的多面體。底面、側(cè)棱特征D4有互相平行的兩個面，且兩個面之間的連線相互平行的幾何體叫棱柱。底面、側(cè)棱特征D5至少有兩個面互相平行，由多個四邊形組成，且相鄰的邊互相平行。底面、側(cè)面、側(cè)棱特征D6上下有兩個平行并相等的多邊形，并由相對不平行的線段將上下各點平行相連的柱體。動態(tài)生成D7由一個多邊形向一個固定的方向，掃過所形成的空間幾何立體圖形。動態(tài)生成案例6棱柱的概念類別定義屬性D1上下面相同且平行的多面167案例6棱柱的概念棱柱定義的不斷完善師：滿足條件D1的多面體是棱柱嗎？生：不是，⑨就是反例。師：看來只規(guī)定上下兩個面的屬性是不夠的，那如何完善呢？生：側(cè)面都是平行四邊形。師：很好，這就是D2（屏幕投影D2），我們來看看，滿足條件D2的幾何體是不是棱柱呢？[D1：上、下面相同且平行的多面體叫棱柱。][D2：兩個底面是平行且相等的多邊形，側(cè)面是平行四邊形。]案例6棱柱的概念棱柱定義的不斷完善師：滿足條件D1168案例6棱柱的概念[教師逐一將“棱柱類”實物進行驗證，發(fā)現(xiàn)側(cè)面都是平行四邊形，絕大多數(shù)學生也開始相信D2是正確的。]生：將兩個像⑧這樣的棱柱疊在一起，讓它們“扭”一下，也許是個反例。師：你能利用現(xiàn)有的教具將反例構(gòu)造出來嗎？學生用斜棱柱拼接形成一個反例案例6棱柱的概念[教師逐一將“棱柱類”實物進行驗證，發(fā)169案例6棱柱的概念生：這個不算反例，因為它本質(zhì)上是兩個棱柱。師：很好，看來有同學對這個反例不滿意，畢竟它是可以分解成兩個棱柱。師：其實，D2與歷史上偉大的數(shù)學家歐幾里得的定義是一致的。《幾何原本》卷11之棱柱定義一個棱柱是一個立體圖形，它是有一些平面構(gòu)成的，其中有兩個面是相對的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四邊形。[PPT放映歐幾里得的畫像、生平以及《幾何原本》中的棱柱定義。]案例6棱柱的概念生：這個不算反例，因為它本質(zhì)上是兩個棱170案例6棱柱的概念生：哇，好神奇！它符合D2，但一點棱柱的影子都沒有。師：是的，但是它可以分解成4個棱柱。[學生們用期待的眼神看著教師，迫切想見證奇跡的發(fā)生。教師用事先制作好的模型現(xiàn)場分解（如下圖），學生驚呆了。][教師用8個菱形、4個正方形磁力片現(xiàn)場拼出這個反例，如圖4。]案例6棱柱的概念生：哇，好神奇！它符合D2，但一點棱柱171案例6棱柱的概念案例6棱柱的概念172案例6棱柱的概念生：（驚嘆）竟然是4個棱柱！師：對，這就是立體幾何的奇妙之處。看來把棱柱當成最基礎(chǔ)、最簡單的幾何體來研究是非常有必要。師：既然D2規(guī)定了底面的特征以及側(cè)面是平行四邊形還不夠，那么如何修改呢？生：加上“側(cè)棱都平行”這個條件。師：很好，如果加上“側(cè)棱都平行”這個條件，棱柱的定義就完整了。但我們再仔細剖析一下，如果有了“側(cè)棱都平行”這個條件，那么側(cè)面一定會是平行四邊形嗎？生：會的。案例6棱柱的概念生：（驚嘆）竟然是4個棱柱！173案例6棱柱的概念師：所以，我們這時把“側(cè)面都是平行四邊形”弱化成“側(cè)面都是四邊形”可不可以？生：可以。師：很好，這就是