中考要據(jù)二次根式的性質(zhì)對代數(shù)式做簡例題精 正整數(shù) 整數(shù) 有理數(shù) 負(fù)整數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小 實(shí)數(shù) 正分?jǐn)?shù) 分?jǐn)?shù) 負(fù)分?jǐn)?shù) 正無理數(shù)無理數(shù) 無限不循環(huán)小 負(fù)無理數(shù)如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根．也就是說，若x2a，則x就叫做a的平方根．a(chǎn)一個非負(fù)數(shù)a的平方根可用符號表示為“ a一個正數(shù)aa“a”；0000，負(fù)數(shù)沒有平方根，當(dāng)然也沒有算術(shù)平方根.（負(fù)數(shù)的平方根a一個非負(fù)數(shù)的平方根不一定是非負(fù)數(shù)，但它的算術(shù)平方根一定是非負(fù)數(shù)，即若a0， 0a①若a0，則

a)2a；②不管a

|a|a(aa(a⑶若一個非負(fù)數(shù)a介于另外兩個非負(fù)數(shù)a1、a20a1aa2

、a2a間，即：0 a如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做ax3ax就叫做a的立方根，一個數(shù)a的立方根可用符號表“3a”，其中3”叫做根指數(shù)，不能省略.前面學(xué)習(xí)的“a”其實(shí)省略了根指數(shù)2”2a也可以表示為a3a讀作“三次根號a”2a讀作“二次根號a”，a讀作“根號a0的立方根為0⑴當(dāng)被開方數(shù)(大于0)擴(kuò)大(或縮小)n3倍，它的立方根相應(yīng)地擴(kuò)大(或縮小)n倍3 a，(3a)33⑶若一個數(shù)a介于另外兩個數(shù)a1a2之間，即a1aa2333它的立方根也介于3a1 之間，即333301，0.1235 【難度】1【答案】【例2】

22

3.140.61414

，7 【難度】2π

21

【答案】【例3】有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器原理，則當(dāng)輸入x為64時，輸出的y是 是有理輸出是有理輸出輸入2 B．2

D．3232【難度】2【【答案】【例4】證明2【難度】52【答案】用反證法。假設(shè)2不是無理數(shù)，則22p22q2p

p（pq是互質(zhì)的正整數(shù)q設(shè)p2m（m是自然數(shù)，代入上式得4m2q2q22m2所以q是也是偶數(shù)，p與q均為偶數(shù)和pq互質(zhì)，所以2不是有理數(shù)，于是2是無理數(shù)?！纠?1的正方形的對角線的長度為21ABCD是邊長為11ABC24個與ABCACFE2AC2ABCD的對角線長度為2B B F【例6【難度】3【b①若ab，則ba，此式左邊是無理數(shù)，右邊是有理數(shù)，它是不成立的，故a是無理數(shù)。①正確。②當(dāng)a0a0是有理數(shù)，②③當(dāng)

2

0是有理數(shù)，故③2④當(dāng) 時，2是有理數(shù)，故④不正2【例7axbsabc，dxcxbcbc【難度】5【解析】顯然有cxd0，于是有cxdsaxb，且c，d0將上式整理得acsxdsba于是有acs 從而dsb 若c0，則a0，此時應(yīng)有d0sbd若c0，則由①得sa，代入②adb0，即adbcsa s是有理數(shù)時，若c0a0，故若c0，且a0d0s是無理數(shù)；若c0，則adbc，若c0，且adbcs是無理數(shù)?！喈?dāng)c0a0d0時，或c0，且adbcs（1）若c0a0，此時應(yīng)有d0sbd若c0，則由①得sa，代入②adb0，即adbcsa （2）當(dāng)c0a0d0時，或c0，且adbcs【例8ab1aa 【難度】5ab1abq（pqp0，q0a a 所以abpabqpqbqpaapqpqqp均為整數(shù)，且pq qab【例9】已知ab是兩個任意有理數(shù)，且ab，問是否存在無理數(shù)ab【難度】52【解析】ab210222∴ 1a22

1b

2a

1b 2又abb2

2b∴a2bb

2b，即 1ba

②1b由①、②

2a 1ba

2b，所以a b221b22

2b2a

a22取 b22 ，babab0，所以ba，

即存在無理數(shù)ab 【難度】2

D．【答案】 A．20012的平方根是 B．49的平方根是 D．若a2b2，【難度】2【解析】

的平方根 ；

2)2的平方根 【難度】1【答案】2a2【例13】若A a2【難度】2【解析】a2【答案】a2 的平方根是9 ⑵a一定是正數(shù) ⑶a2的算術(shù)平方根是a ⑷ 5，則a59 3 9⑹6是(6)2的平方根 ⑺(6)2的平方根是6 ⑻若x236，則x 6 ⑿a2沒有算術(shù)平方根 ⒀64的立方根是4 ⒁1是1的立方根 3 x 3 【難度】3【【例15】設(shè)a是整數(shù)，則使1989a為最小正有理數(shù)的a的值 【難度】3【解析】因?yàn)?989321317，故應(yīng)取a1317221【答案】【例16】已知 是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)n為 【難度】3【答案】【例17】若a2(2)2，則a ；若(x)2(3)2，則x 【難度】2【【答案】2xx

2，則(2x5)的平方根

5，則x 【難度】3【【答案】3511

2的根 【難度】1x【例20】已知某正數(shù)的兩個平方根是3a5a1【難度】3【(3a5a10a1，所以這個正數(shù)為(a1)24【答案】【例21】若一正數(shù)的平方根是3a6與2a9【難度】3【【解析】正數(shù)的平方根互為相反數(shù)，所以(3a62a90a3，這個正數(shù)是(2a9)29【答案】【例22】一個數(shù)的平方根是a2b2和4a6b13【難度】3【(a2b24a6b13)所以a24a4b26b9a2)2b3)20，則a2b這個數(shù)為(a2b22132【答案】7【例23】已知ab為兩個連續(xù)整數(shù)，且a b，則ab 7【難度】2【解析】由已知得a2b3，ab【答案】【例24】

的小數(shù)部分是b，求b412b337b26b【難度】4【【解析】因?yàn)?1416，即3 4，所

3 3b，兩邊同時平方得1496bb2所以b26b5b412b337b26bb426b336b2b26bb26b2b26b525【答案】【例25】當(dāng)m0，m2的算術(shù)平方根 【難度】1【【答案】m【例26】(ab)2算術(shù)平方根是ab，則 b【難度】2【【答案】ab【例27】若一個自然數(shù)的一個平方根是m，那么比它大1的自然數(shù)的平方根 【難度】3【m2【答案m2 【難度】3【【答案】00和10和10【例29】8的立方根是 【難度】1【【答案】

D．【例30】327的絕對值是 B．【難度】1【【答案】

3

D．3【例31】8的相反數(shù) ；64的立方根 【難度】1【答案】2 【難度】1【【答案】00和10和103【例333

1.22，則31815848 【難度】3【【答案】333333【難度】4【【解析】原式6010.558.5【答案】【例35】x23)2y32)3xy【難度】3【x3y2xy321xy325【答案】1或【例36】x的1(5x1)2303【難度】4【【解析】(5x1)295x13x2x4x2x4

【例37】x的【難度】4【x6316318【難度】4【【解析】原式5373 【答案】2a【例39】已知(2ab)32a【難度】3【

5，求(3ab)2n1的值n為正整數(shù)2a3b2a3b

，解得abb

【答案】【例40】已知a2的平方根是22ab7的立方根是3，求a2b2【難度】3【解析】a2的平方根是22ab7的立方根是3a24a2ab73227，即得b8，a2b26282100，a2b2的平方根是10【答案】【例41】xy的負(fù)的平方根是3xy的立方根是3，求2x5y的平方根【難度】3xyxy

，解得x182x5y81，其平方根為9y【答案】(4a【例42】已知3xa，y2b(y0)， 8(b4a)，3(ab)318，求(4a【難度】3【(4a(4a

8，∴4ab8，∵b4a，∴b4a8又3(ab)318，ab18，解得a2b16，x8，y4xy32.【答案】【例43x2ab4a3a3yb3a2b3是b3yx的立方根【難度】3【

2ab4

ab3a2

，解得b

，x2，y1，3yx1【答案】【例44】32y1313xx的值y【難度】3【3【解析】若3x 0，則xy0.根據(jù)題意可得：2y113x0，2y3x，x23 3【例45】求 996219962的平方根【難度】4【解析】設(shè)1995x 996219962x2(x1)2(x(x1)(x1)2x2(x1)2

1)22x(x1)1

1)x(x1)2x(x1)121995 996219962的平方根是【答案】【例46】a

3

3【難度】4【解析】設(shè)m20082006am(m2)3(m【答案】111(a (b (c111(a (b (c【難度】4【解析】原式

(a

(b (a 11(a11(a (b∴

(b (b

(c111(111(a (b (c【例48】（1995年第6屆希望杯數(shù)學(xué)邀請賽試題）設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，如[π]3，1

2

3

100 【難度】4【解析】

1

2

31 4

5

6

7

8 15 1617 24 81

82

99 10010 ∴原式1371581791910【答案】板塊二a二次根式的概念：形如a（a0）a

0（a0）雙重非負(fù)性；

a)2a（a0⑶

a

(a(a222x32x31

⑶xxx⑹x【難度】2【x2x3；1x3；x0x1；x2【答案】⑴被開方數(shù)大于或等于0；⑵分母不等于0．x0；x2x2x2；x2x31x3；x0x1；x2xxxx33

x

【難度】2【【解析】⑴當(dāng)36x≥0即x12xx2x⑵ 時

3有意得：x≥2且x≠3x5≠⑶∵當(dāng)x1≥0xx≥x

xxxxx2x≥1x3

21有意義【答案】⑴當(dāng)36x≥0即x12⑵當(dāng)x≥2且x≠5x≥1x3x【例51】當(dāng)a x

33【難度】1【xa【例52】當(dāng)a a

11【難度】2【【答案】2x【例53】當(dāng)x滿 時 32x2x【難度】2【【答案】5x 【難度】2【【答案】2x2x

1A．x12【難度】2【【答案】

B．x≤2

x2

x【例56】

x3有意義，則x的取值范圍是 A．x≥3x

B．x≤3x

C．x

D．【難度】2【答案】x5x5xx

1x1x

2x2x

xx【難度】2【（2）（3）1（4）（5）2

xx≤

xx2

5xx≤【難度】2【（2）（3）xx【例59】當(dāng)x取xx【難度】1【

【解析】利用分式A0的條件A0或A0 B B x≥0得x≥

或x

x≥0xx

x2

x2∴x≥0x2點(diǎn)評：記住A0的條件為A0或A0，A0的條件為A0或A0Bx≥0x

B

B

B

B2x22x22x【難度】3【【解析】通過觀察可以發(fā)現(xiàn)

2x3x122一定是一個正數(shù)，這樣就將原式有意義的條件2x22x

0x22x30轉(zhuǎn)化為2x≥0x2x22x3

2x3x1223x13x122x

yx的取值范圍【難度】3【2x1【解析】2x1【答案】1x2

，即1x221324141324143515113

nn≥1的等式表示出來 【難度】3【nn1n1n

n【例63

的最小值【難度】3xxx10x2xxx2

有最小值1 x22x22a【例64】已知a200aa【難度】4

a，求a2002的值a【解析】由題意可知a201，所以原式可變形為a200 aaa【答案】

200a2012002a20023a【例65】已知：b3a【難度】4

211的平方根223a20，3a20a2，b2，1122【答案】2

23a

【例66】已知x是實(shí)數(shù)， 是多少【難度】4【】第14屆希望杯試πx 有意義，則xπ0，所以πx【答案】1π

111 x3【例67】若y 2x3【難度】4【x30x3y2，yx3x【答案】x299x2x299x2【難度】4

x

，求5x6yx290①9x20x290由①、②x290x3，x3，x3，y16∴5x6y5(3)6(1)166【答案】【例69b

a21a211a2

，求ab的值【難度】4a1≠【解析】a2a1≠【答案】2

a

，b1 (x【例70】化簡：2(x【難度】4【【解析】(x1)20，(x1)20(x又 有意義，∴(x1)2(x(x1)20x1，原式

20

253【答案】【例71】若a、b為實(shí)數(shù)，且|a1| 求1

的值 (a2)(b【難度】4【解析】已知得a1

，即a1，b2，原式111 11994ab211994

1 2 3【例】

(b5)20，那么ab的值 aa【難度】3【答案】11

8b3

27的值【難度】3【答案】

8b30，∴13a0，8b30,∴a1,b3,∴1 1

2764275x3y【例74】xy為實(shí)數(shù)，且(5x3y【難度】3【

【解析】由已知得(xy)25x3y因?yàn)?5x3yxy0x2825xx282

x2∴y2/