第八章連連續(xù)系系統(tǒng)振動(dòng)動(dòng)及精確確解§8-1波動(dòng)方程程設(shè)張力T，單位長(zhǎng)長(zhǎng)度質(zhì)量量密度ρ，長(zhǎng)L，取微段段dx，假設(shè)弦弦的橫向向撓度y很?。蛞蚨S撓撓度而變變的張力力變動(dòng)極極小，可可以不予予考慮。。1弦的振動(dòng)動(dòng)由牛頓第第二定律律微振動(dòng)條條件下，，有故運(yùn)動(dòng)微微分方程程為邊界條件件為：§8-1波動(dòng)方程程等截面均均勻細(xì)直直桿，單單位體積積質(zhì)量密密度為ρ，長(zhǎng)L，面積A，彈模E，軸向力力P(x)。取微段段dx。2桿的縱向振振動(dòng)由材料力力學(xué)，在在截面x處，有OxxdxuLPdm微段dx運(yùn)動(dòng)微分分方程:§8-1波動(dòng)方程程3桿的扭轉(zhuǎn)振振動(dòng)——不作介紹紹，后面面以例子子說(shuō)明弦的振動(dòng)動(dòng)、桿的縱向振振動(dòng)和桿的扭轉(zhuǎn)振振動(dòng)有相同形形式的運(yùn)運(yùn)動(dòng)微分分方程，，解的形形式也一一樣。4波動(dòng)方程程的解設(shè)統(tǒng)一形形式的微微分方程程：具有解：或分離變變量：他們的解解都是簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧函數(shù)數(shù)：波動(dòng)方程程的通解解為：四個(gè)積分分常數(shù)由由邊界條條件和初初始條件件確定。?！独吩O(shè)張力T，單位長(zhǎng)長(zhǎng)度質(zhì)量量密度ρ，長(zhǎng)L。求：固有有頻率及及振型。。解：弦的的振動(dòng)：：邊界條件件：第r階振型為為：第1階振型第第2階振型第1階振型第2階振型第3階振型某特大橋結(jié)構(gòu)豎向彎曲振型圖－第1階

某特大橋結(jié)構(gòu)豎向彎曲振型圖－第2階

123m中承式鋼鋼管混凝凝土拱橋橋橋面L/4位置跳車車時(shí)各測(cè)測(cè)點(diǎn)豎向向加速度度響應(yīng)譜譜圖－L/4和L/2測(cè)點(diǎn)190m中承式鋼鋼管混凝凝土拱橋橋橋面L/4位置跳車車時(shí)各測(cè)測(cè)點(diǎn)豎向向加速度度響應(yīng)譜譜圖－L/8、L/4、3L/8和L/2測(cè)點(diǎn)《例》已知：L，扭矩T0，t=0時(shí)釋放。。求：t>0時(shí)的運(yùn)動(dòng)動(dòng)。解：扭轉(zhuǎn)振動(dòng)動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分分方程為為：T0Lox式中：θ(x)為扭轉(zhuǎn)角角，ρ為單位體體積質(zhì)量量密度，，G為剪切彈彈模。邊界條件件：x＝L處，端點(diǎn)點(diǎn)應(yīng)力（（應(yīng)變））為零，，由于即：扭轉(zhuǎn)振動(dòng)動(dòng)固有頻頻率：一階固有有頻率：：一階振型型函數(shù)為為：任意階振振型i的響應(yīng)為為：總響應(yīng)：：初始條件：(1)t=0，各點(diǎn)速度為零，即(2)t=0，軸的靜扭轉(zhuǎn)角，于是有：各種邊界界條件和和初始條條件：①弦：②桿：§8-2梁的彎曲曲振動(dòng)具有對(duì)稱稱面的等等截面細(xì)細(xì)直梁，，EI，ρ(kg/m)，取微段段dx由材料力力學(xué)有：：QqdxMdx取q為慣性分分布載荷荷，有類似波動(dòng)動(dòng)方程，，有(1)簡(jiǎn)支梁情情況(鉸支－鉸鉸支)(2)固支梁情情況(固支－固固支)(3)懸臂梁情情況(固支－自自由)(4)自由－自自由邊界界條件(5)固支－鉸鉸支邊界界條件(6)鉸支－自自由邊界界條件(7)附加質(zhì)量量、附加加彈簧的的梁[例1]簡(jiǎn)支梁情情況代入得求解得[例1]簡(jiǎn)支梁情情況簡(jiǎn)支梁第第r階固有頻頻率和振振型分別別為[例2]懸臂梁情情況代入得求解得[例2]懸臂梁情情況因?yàn)镃和D不能同時(shí)時(shí)為零，，否則A和B也為零，，是零解解，不是是我們希希望的解解。C和D非零解的的條件是是：矩陣陣系數(shù)行行列式為為零，由由此可以以得到：：此式是求解系系統(tǒng)頻率率的方程程，為超超越方程程。[例2]懸臂梁情情況固有頻率率求解可可以采用用圖解法法或其他他方法，，圖解法法得到的的固有頻頻率與βL的關(guān)系為為：β1Lβ2Lβ3Lβ4Lβ5Lβ6L1.8754.6947.85510.99614.13717.279§8-3主振型疊疊加法梁的橫向向振動(dòng)通通解為：：具有分布布載荷作作用的梁梁橫向振振動(dòng)微分分方程為為：兩邊乘以以Φj(x)dx并對(duì)全梁梁積分，，得：(1)和(2)式積分相相減，得得：由梁的自由橫向振動(dòng)微分方程，有實(shí)際上，，對(duì)于鉸鉸支、固固支和自自由邊界界條件，，有當(dāng)i≠j時(shí)，ωi≠ωj，于是有有：當(dāng)i＝j(luò)時(shí)，ωi＝ωj，有：振動(dòng)微分分方程(*)式可改寫寫為(將式(1)與(2)代入)：取歸一化化模態(tài)質(zhì)質(zhì)量Mi＝1，則：可按單自自由度系系統(tǒng)方法法求解。。注意初始始條件的的確定：§8-4具有拉力力的梁的的橫向振振動(dòng)具有對(duì)稱稱面的等等截面細(xì)細(xì)直梁，，拉力T，EI，ρ(kg/m)，取微段段dxQMdxTTθxy可以得到到兩個(gè)常常微分方方程：對(duì)于兩端端鉸支的的邊界條條件，有有：由(5)與(7)得：A＝B＝0另外式(8)可以改寫寫為：由(6)與(9)得：振型為：：對(duì)于兩端端固定的的邊界條條件，經(jīng)經(jīng)過(guò)推導(dǎo)導(dǎo)，有頻頻率方程程式中：T－吊桿的的拉力(N)，L－吊桿長(zhǎng)長(zhǎng)(m)，ρ－吊桿的的質(zhì)量密密度(kg/m)，ω－吊桿的的固有頻頻率(rad/s)，EI－吊桿的的彎曲剛剛度(Nm2)。該式是超超越函數(shù)數(shù)方程，，不能從從測(cè)得的的頻率直直接解出出吊桿的的拉力，，但可以以采用對(duì)對(duì)分法或或迭代法法進(jìn)行求求解，此此時(shí)，給給定拉力力及其它它參數(shù)可可以求出出吊桿的的前幾階階固有頻頻率，并并將計(jì)算算結(jié)果與與測(cè)量的的吊桿前前幾階固固有頻率率進(jìn)行比比較，若若誤差較較大，則則重新給給定拉力力或修改改其它參參數(shù)，直直到計(jì)算算結(jié)果與與測(cè)試結(jié)結(jié)果吻合合較好為為止。若吊桿彎彎曲剛度度和質(zhì)量量密度不不能確切切知道又又如何？？一般地，，橋梁會(huì)會(huì)有多對(duì)對(duì)吊桿拉拉力需要要測(cè)量，，對(duì)這些些吊桿拉拉力測(cè)量量采用整整體誤差差極小化化的方法法將可能能得到較較好的測(cè)測(cè)量結(jié)果果。假設(shè)需要要測(cè)量拉拉力的吊吊桿數(shù)為為N，由于各各桿材料料特性及及幾何特特性基本本相同，，故可設(shè)設(shè)各桿的的彎曲剛剛度和質(zhì)質(zhì)量密度度均相同同，要通通過(guò)該式式的求解解使N根吊桿計(jì)計(jì)算得到到的固有有頻率與與測(cè)試頻頻率吻合合較好，，可使下下式具有有極小值值：這實(shí)際上上