20192020學(xué)年湖南師大附中高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)Word版含答案20192020學(xué)年湖南師大附中高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)Word版含答案14/14羂PAGE14羋蒀罿膂羅螇肂膈蠆肀莇肂蚄20192020學(xué)年湖南師大附中高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)Word版含答案湖南師大附中2019—2020學(xué)年度高一第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題題答要

不內(nèi)線封

密

號位座

____________

號場考____________號

級班____________

學(xué)____________

級年

名姓____________

湖南師大附中

2019—2020學(xué)年度高一第一學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)

時量：120分鐘滿分：150分

得分：____________

一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項吻合題目要求的．

1．已知會集A＝{x|x－2≤1，x∈N*}，則會集A的真子集個數(shù)是A．3B．6C．7D．8

2．圖中陰影部分所表示的會集是

A．B∩?U(A∪C)B.(A∪B)∪(B∪C)C.(A∪C)∩(?UB)D．?U(A∩C)∪Bx21，23．函數(shù)f(x)＝2－－a的一個零點在區(qū)間(xA.(1，3)B.(1，2)C.(0，3)D.(0，2)124．函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)＋9－x的定義域為A.[－3，0)∪(0，3]B.(－1，0)∪(0，3]C.[－3，3]D.(－1，3]5．以下冪函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間(－∞，0)上為減函數(shù)的是11A．y＝x2B．y＝x321C．y＝x3D．y＝x－36．已知f(x)＝(a－2)x，x≥2，1x是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是－1，x<2213A.(－∞，2)B.－∞，8C.(2，＋∞)13D.8，27．函數(shù)f(x)＝ex－e－x2的圖象大體為x

8．以下命題中錯誤的個數(shù)為1f(x)＝2＋2x－1的圖像關(guān)于(0，0)對稱；②f(x)＝x3＋x＋1的圖像關(guān)于(0，1)對稱；1③f(x)＝x2－1的圖像關(guān)于直線x＝0對稱．

A．1B．2C．3D．01x9．已知函數(shù)f(x)＝2，則函數(shù)f(x＋1)的反函數(shù)的圖象可能是

10．函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(－1)＝0，若關(guān)于任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2時，都有x1f(x1)－x2f(x2)<0建立，則不等式f(x)<0的解集為A.(x1－x2)B.()∪()－∞，1)∪(1，＋∞－1，00，1C.(－∞，－1)∪(0，1)D.(－1，0)∪(1，＋∞)1－x2有n個不同樣的實根，則n11．已知函數(shù)f(x)＝|1－|||，若關(guān)于x的方程f(x)＋af(x)＝0的值不可以能為A．3B．4C．5D．612．已知定義域為D的函數(shù)f(x)，若對任意x∈D，存在正數(shù)M，都有|f(x)|≤M建立，則稱函數(shù)f(x)是定義域D上的有界函數(shù)．已知以下幾個函數(shù)：①f(x)＝2x25；②f(x)＝1－x2；③f(x)＝3＋x；④f(x)＝1－3x.－4x＋34－x其中有界函數(shù)的個數(shù)是A．1B．2C．3D．4答題卡題號123456789101112答案二、填空題：本大題共4個小題，每題5分，共20分．13．化簡－1＋－10＋21＋log25的結(jié)果為________．3814．已知函數(shù)＋f(x)＝a|x＋1||x－2a|(a>0，a≠1)為偶函數(shù)，則a＝________．32232255515．設(shè)a＝5，b＝5，c＝5，則用“<”接連a，b，c為________．16．設(shè)a，b，c為實數(shù)，f(x)＝(x＋a)(x2＋bx＋c)，g(x)＝(ax＋1)(cx2＋bx＋1)，記會集S

＝{x|f(x)＝0，x∈R}，T＝{x|g(x)＝0，x∈R}，若|S|，|T|分別為會集S，T的元素個數(shù)，則下

列結(jié)論可能建立的是________．

|S|＝1，|T|＝0；②|S|＝1，|T|＝1；③|S|＝2，|T|＝2；④|S|＝2，|T|＝3.

三、解答題：本大題共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步

驟．17．(本小題滿分

10分)

已知會集

A＝xy＝

1

x－1

，B＝{y|y＝3x－1}.

(Ⅰ)求A∩B；

(Ⅱ)若M＝{x|mx＋4<0}且(A∩B)?M，求實數(shù)m的取值范圍．

18.(本小題滿分12分)2設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)＝x.(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的剖析式；()()若對任意的[]Ⅱx∈a，a＋2，不等式fx＋a≥2f(x)恒建立，求實數(shù)a的取值范圍．

19.(本小題滿分12分)設(shè)f(x)＝log11－ax為奇函數(shù)，a為常數(shù)．

2x－1

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)證明：確定f(x)在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)的單調(diào)性；x1(Ⅲ)設(shè)A＝[3，4]，B＝x|f（x）>2＋m，且A?B，求實數(shù)m的取值范圍．

20.(本小題滿分12分)f(a，b，c∈R)滿足以下條件：①當(dāng)x∈R時，f(x)的最小值設(shè)二次函數(shù)(x)＝ax2＋bx＋c(||為0，且圖像關(guān)于直線x＝－1對稱；②當(dāng))x－1x∈0，5時，x≤f(x)≤2＋1恒建立．(Ⅰ)求f(x)的剖析式；x2(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間[m－1，m]上恒有f(x)－≤1，求實數(shù)m的取值范圍．4

21.(本小題滿分12分)關(guān)于在區(qū)間[p，q]上有意義的兩個函數(shù)f(x)和g(x)，若是關(guān)于任意的x∈[p，q]，都有|f(x)－g(x)|≤1，則稱f(x)與g(x)在區(qū)間[]上是“湊近”的兩個函數(shù)，否則稱它們在[p，]上p，qq是“非湊近”的兩個函數(shù)．

現(xiàn)有兩個函數(shù)f(x)＝loga(x－3a)，g(x)＝logax－1a(a>0，且a≠1)，給定一個區(qū)間

[a＋2，a＋3].(Ⅰ)若f(x)與g(x)在區(qū)間[a＋2，a＋3]都有意義，求實數(shù)a的取值范圍；

(Ⅱ)談?wù)揻(x)與g(x)在區(qū)間[a＋2，a＋3]上是否是“湊近”的兩個函數(shù)．

22.(本小題滿分12分)

如圖，某油田計劃在鐵路線CD一側(cè)建筑兩家煉油廠A、B，同時在鐵路線上建一個車站

Q，用來運送成品油．先從車站出發(fā)鋪設(shè)一段垂直于鐵道方向的公共輸油管線QP，再從P分

叉，分別向兩個煉油廠鋪設(shè)管線PA、PB.圖中各小寫字母表示的距離(單位：千米)分別為a＝

5，b＝8，l＝15.設(shè)所有管線的鋪設(shè)花銷均為每千米萬元，公共輸油管線長為kkm，總的輸油管道長度為

skm.

(Ⅰ)若k＝0，請確定車站Q的地址，使得總的輸油管道長度為s最小，此時輸油管線鋪設(shè)花銷是多少？

(Ⅱ)請問從降低輸油管線鋪設(shè)花銷的角度出發(fā)，可否需要鋪設(shè)公用管線．若是需要請給出可以降低花銷管線鋪設(shè)方案(精度為千米)．

(參照數(shù)據(jù)：225＋132＝，225＋122＝，225＋112＝，225＋102＝，225＋92＝，225＋82＝，225＋72＝，225＋62＝，225＋52

，225＋42＝，225＋32＝15.30.)

湖南師大附中2019—2020學(xué)年度高一第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)參照答案－

湖南師大附中2019—2020學(xué)年度高一第一學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)參照答案

一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分.

題號123456789101112答案CACBDCBDDCAB【剖析】依照指數(shù)函數(shù)和反比率函數(shù)的性質(zhì)可知x2在區(qū)間(1，2)，函數(shù)f(x)＝2－－ax(1，2)內(nèi)，所以f(1)<0內(nèi)是增函數(shù)，又有一個零點在區(qū)間f(2?0<a<3，應(yīng)選C.)>0x＋1>0x>－14．B【剖析】由ln(x＋1)≠0得x≠0?－1<x≤3且x≠0.9－x2≥0－3≤x≤35．D【剖析】觀察冪函數(shù)的性質(zhì)．6．Ca－2>0?a>2【剖析】2(a－2)≥21213?a>2，應(yīng)選C.a≥8－1

－x－exx－e－x7．B【剖析】函數(shù)f(－x)＝e2＝－ex2＝－f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)(－x)于原點對稱，消除A，當(dāng)x＝1時，f(1)＝e－1>0，消除D，當(dāng)x→＋∞時，f(x)→＋∞，消除eC.

8．D【剖析】①f(x)＋f(－x)＝0，②f(x)＋f(－x)＝2，③f(－x)＝f(x)，所有命題都正確．9．D【剖析】觀察反函數(shù)和圖像的平移．10．C【剖析】令F(x)＝xf(x)，由于函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)，則F(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝F(x)，所以F(x)是偶函數(shù)，x1f(x1)－x2f(x2)<0建立，所以F(x)在由于任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2時，都有x1－x2(－∞，0)上是單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上是單調(diào)遞加，又由于f(－1)＝0，

所以F(－1)＝－f(－1)＝0＝F(1).

當(dāng)x<－1時，F(xiàn)(x)>F(－1)＝0，由于x<0，∴f(x)<0；

由于當(dāng)－1<x<0時，F(xiàn)(x)<F(－1)＝0，由于x<0，所以f(x)>0；

當(dāng)0<x<1時，F(xiàn)(x)<F(1)＝0，由于x>0，所以f(x)<0；

當(dāng)x>1時，F(xiàn)(x)>F(1)＝0，由于x>0，所以f(x)>0.

所以不等式f(x)<0的解集為(－∞，－1)∪(0，1).應(yīng)選C.

x－2，x≥2

2－x，1≤x<211．A【剖析】由于函數(shù)，x，0≤x<1

x，x<0

作出f(x)的圖像以下：

由[f(x)]2＋af(x)＝0得：f(x)＝0或f(x)＝－a，

所以方程[f(x)]2＋af(x)＝0的解的個數(shù)，即為函數(shù)f(x)與x軸以及直線y＝－a交點個數(shù)，

由圖像可得：f(x)與x軸有2個交點，

①當(dāng)－a<0，即a>0時，函數(shù)f(x)與直線y＝－a無交點，故原方程共2個解；

②當(dāng)－a＝0，即a＝0時，原方程可化為f(x)＝0，故原方程共2個解；

③當(dāng)0<－a<1，即－1<a<0時，函數(shù)f(x)與直線y＝－a有4個交點，故原方程共6個解；

④當(dāng)－a＝1，即a＝－1時，函數(shù)f(x)與直線y＝－a有3個交點，故原方程共5個解；

⑤當(dāng)－a>1，即a<－1時，函數(shù)f(x)與直線y＝－a有2個交點，故原方程共4個解；

綜上，原方程解的個數(shù)可能為2，4，5，6.應(yīng)選A.

12．B【剖析】①②共2個.二、填空題：本大題共4個小題，每題5分，共20分．2713.2(或13.5)114.215．a(chǎn)>c>b【剖析】解法一，先比較b，c，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝2x，∵0<2<1，∴f(x)＝2x55523a35230為減函數(shù)，且5<5，c>b，再比較a，c，c＝2>2＝1，a>c，綜上，可得a>c>b；解法二，先比較a，c，構(gòu)造函數(shù)f(x)222325，0<<15＝x5，f(x)＝x為增函數(shù)，∵>，∴a>c，同55理可得c>b，綜上，可得a>c>b.16．①②③【剖析】|T|＝3時，必有a≠0，c≠0，b2－4c>0，設(shè)x0為g(x)＝0的一根，111111則x0≠0，且fx0＝x0＋ax02＋bx0＋c＝x03g(x0)＝0，故x0為方程f(x)＝0的根．此時f(x)＝0有三個根，即|T|＝3時，必有|S|＝3，故不可以能是|S|＝2，|T|＝3.

三、解答題：本大題共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步

驟．

17．【剖析】(Ⅰ)由A＝xy＝1，B＝{y|y＝3x－1}，x－1得A＝(1，＋∞)，(2分)B＝(0，＋∞)，(4分)A∩B＝(1，＋∞)；(6分)m<0(Ⅱ)由(A∩B)?M，得()?M?－4≤1分)1，＋∞?m≤－4.(10m

18．【剖析】(Ⅰ)由題意知，

f(0)＝0.設(shè)x<0，則－x>0，故f(－x)＝(－x)2＝x2，

又由于f(x)是奇函數(shù)，故f(x)＝－f(－x)＝－x2，

所以f(x)＝x2，x≥0，(4分)－x2，x<0.2(Ⅱ)由2x2＝(2x)，等價于f(x＋a)≥f(2x)，由于f(x)在R上是增函數(shù)，(6分)∴x＋a≥2x，即a≥(2－1)x，(8分)∵x∈[a，a＋2]，∴當(dāng)x＝a＋2時，[(2－1)x]max＝(a＋2)(2－1)，(10分)得a≥2，故實數(shù)a的取值范圍是[2，＋∞).(12分)1＋ax1－axx－119．【剖析】(Ⅰ)∵f(－x)＝－f(x)，∴l(xiāng)og1＝－log1＝log1.(2分)2－1－x2x－121－ax1＋axx－1∴＝，即(1＋ax)(1－ax)＝－(x＋1)(x－1)恒建立，∴a＝－1.(4分)－x－11－axx＋12(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)＝log1＝log11＋(x>1或x<－1)．(5分)2x－12x－1

記u(x)＝1＋2，由定義可以證明u(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù)，(7分)x－1

x＋1∴f(x)＝log1在(1，＋∞)上為增函數(shù)．(8分)2x－1x＋11x(Ⅲ)設(shè)g(x)＝log1－2.(9分)2x－1x＋1在(1，＋∞)上為增函數(shù)且y＝1x由于f(x)＝log12是R上的減函數(shù)，2x－1

所以g(x)在[3，4]上為增函數(shù)．(10分)

9∵g(x)>m對x∈[3，4]恒建立，∴m<g(x)min＝g(3)＝－8.(11分)

故m的取值范圍是9－∞，－8.(12分)20．【剖析】(Ⅰ)在②中令x＝1，有11分)1≤f()≤1，故f()＝1.(2當(dāng)x∈R時，f(x)的最小值為0且二次函數(shù)關(guān)于直線x＝－1對稱，2故設(shè)此二次函數(shù)為xf()＝a(x＋1)(a>0).(3分)11∵f()＝1，∴a＝4.(5分)2∴f(x)＝41(x＋1).(6分)x212x211(Ⅱ)f(x)－4＝4(x＋1)－4＝2x＋4，(7分)21153由f(x)－x|≤1，得－≤x≤.(9分)4≤1即|x＋2224∵x在區(qū)間[m－1，m(x)－x2≤1，f()]上恒有f4m－1≥－523≤m≤3分)3∴只須，解得－22，(11m≤2∴實數(shù)m的取值范圍為33.(12分)－2，2x－3a>0

21．【剖析】(Ⅰ)要使f(x)與g(x)有意義，則有x－a>0?x>3a(2分)

a>0且a≠1

要使f(x)與g(x)在[a＋2，a＋3]上有意義，則x>3a對x∈[a＋2，a＋3]恒建立，

所以a＋2>3a，(4分)

又由于a>0，故0<a<1.(6分)

(Ⅱ)|f(x)－g(x)|＝|loga[(x－3a)(x－a)]|，

令|f(x)－g(x)|≤1，

得－1≤loga[(x－3a)(x－a)]≤1.(*)(7分)

由于0<a<1，所以[a＋2，a＋3]在直線x＝2a的右側(cè)．

所以h(x)＝loga[(x－3a)(x－a)]在[a＋2，a＋3]上為減函數(shù)．

所以h(x)min＝h(a＋3)＝loga(9－6a)，h(x)max＝h(a＋2)＝loga(4－4a).(9分)

loga(4－4a)≤19－57于是loga(9－6a)≥－1，∴0<a≤12.

0<a<19－57所以當(dāng)