不定積分分部積分法講課方案不定積分分部積分法講課方案4/4不定積分分部積分法講課方案第三節(jié)分部積分法講課內(nèi)容：分部積分法講課目標(biāo)：理解分部積分法的思想方法，能針對(duì)不同樣樣種類函數(shù)之積的被積函數(shù)，正確采納u,v，嫻熟掌握分部積分法的步驟。講課要點(diǎn)：分部積分法及其應(yīng)用講課難點(diǎn)：在分部積分法中，恰入采納u,v。講課學(xué)時(shí)：1學(xué)時(shí)講課進(jìn)度：我們知道，求不定積分是求微分的逆運(yùn)算．導(dǎo)數(shù)公式不定積分公式；復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式換元積分公式；乘積求導(dǎo)公式分部積分公式（不同樣樣種類函數(shù)乘積的積分）。引入用我們已經(jīng)掌握的方法求不定積分xcosxdx解析：①被積函數(shù)為兩函數(shù)的乘積不是基本的積分公式。②湊微法無效。xcosx③第二類換元積分法解：不如設(shè)cosxt則xarccost原方程tarccost1dt更為復(fù)雜1t2所以湊微法和第二換元積分法都無效。反之考慮，兩函數(shù)乘積的積分不會(huì)，但兩函數(shù)乘積的求導(dǎo)我們會(huì)，比方：（假定u,v為兩個(gè)擁有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)）已知：(uv)'u'vuv'對(duì)上式兩邊積分得：uvCu'vdxuv'dx移項(xiàng)得：uv'dxuvu'vdx察看上式發(fā)現(xiàn)被積函數(shù)也是兩函數(shù)乘積的形式，注意：uv'dx中v為導(dǎo)數(shù)形式。故，我們可以試一試來解一下上邊的積分。xcosxdx先要化的和要求積分的形式同樣x(sinx)'dxxsinxx'sinxdxxsinxcosxC經(jīng)過上邊的方法，我們順利的解決兩函數(shù)乘積的積分。其實(shí)上邊的公式正是這一節(jié)課要表達(dá)的“分部積分法”。2公式設(shè)函數(shù)uu(x)和vv(x)都擁有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有分部積分公式：uv'dxuvu'vdx（或udvuvvdu）例題解說例1．計(jì)算不定積分xexdx．解設(shè)ux，vex，則u1，vex（*），于是xexdxxdexxexexdxxexexC．注意：（1）（*）處沒有加C，這是因?yàn)槲覀內(nèi)×俗詈?jiǎn)單的狀況C0。（2）若設(shè)uex,dvxdx，則xexdx1x2ex1x2exdx，22積分x2exdx比積分xexdx要復(fù)雜，沒有達(dá)到預(yù)期目的．所以可知，選擇u,v特別要點(diǎn)，一般要考慮以下兩點(diǎn)：1）v要易求；2）積分uvdx要比積分uvdx易計(jì)算．練習(xí)：求xsinxdx例2．計(jì)算不定積分lnxdx解析：此為一個(gè)函數(shù)的積分，自然不可以使用湊微法、換元法積分，但是不知足兩函數(shù)乘積，可否用分部積分公式呢其實(shí)只要要將被積函數(shù)看作1lnx即可。解：設(shè)ulnx，v1，則u1x，，vx于是lnxdxlnxdxxlnxx1dxxxlnxxC注意：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重要的是記憶、理解公式，更重要的是靈巧應(yīng)用。3．計(jì)算不定積分xarctanxdx。解設(shè)uarctanx,vx；則u12,v1x2,1x2于是1x21x22dx12arctanx1x211xarctanxdxarctanx1xx2x2dx22211x2arctanx1(11)dx1x2arctanx1(xarctanx)C22x21221(x21)arctanx1xC22練習(xí)：求arcsinxdx。例4.計(jì)算不定積分x2exdx．解設(shè)ux2，vex，則u2x，vex，于是x2exdxx2dexx2ex2xexdxx2ex2[xexexdx]x2ex2xex2exC注意：假如要兩次分部積分，采納u,v要一致，不然會(huì)復(fù)原．例5．計(jì)算不定積分exsinxdx．解：exsinxdxsinxdexexsinxexcosxdxexsinxexcosxexsinxdx憂如進(jìn)入了死胡同，實(shí)則不然，令exsinxdxI,則上式變成：IexsinxexcosxI則2IexsinxexcosxC1I1(exsinxexcosx)C,(此中CC1)22練習(xí)：求excosxdx。從這幾個(gè)典型例題可以看到，一般狀況下，u,v可按以下規(guī)律選擇：（1）形如xnsinkxdx,xncoskxdx,，xnekxdx（此中n為正整數(shù)）的不定積分，令uxn，余下的湊成v。（2）形如xnlnxdx，xnarcsinxdx，xnarctanxdx時(shí)，令vxn，余下的湊成u。（3）形如eaxsinbxdxeaxbxdx的不定積分，可以隨意選擇u與v，但因?yàn)橐?cos使用兩次分部積分公式，兩次選擇u與v應(yīng)保持一致，只有這樣才能出現(xiàn)循環(huán)公式并求出積分。說明（1）用分部積分法的狀況不只于此，總的原則是適入采納u及v，使uv更為便于積分．（2）一般被積函數(shù)是不同樣樣類函數(shù)函數(shù)乘積時(shí)，常常想到用分部積分法．例6．求Inxnexdx的遞推公式，此中n為正整數(shù)，并求出I1,I2,I3。解：Inxnexdxxnexnxn1exdxxnexnxn1exdxxnexnIn1所以可得Inxnexdx的遞推公式為InxnexnIn1,(n1,2,3,)此中I0exdxexC，那么有I1xexI0xexexC1I2x2ex2II3x3ex3I

1x2ex2xex2exC22x3ex3x2ex6xex6exC3例7．計(jì)算不定積分exdx．xt2tetdttdet2(tete