第2章

平面桿件體系的幾何組成分析

目錄.ppt平面桿件體系幾何組成的分類無多余約束的平面幾何不變體系簡單組成規(guī)則平面桿系幾何組成分析舉例習題本章內(nèi)容

教學要求：本章要求學生了解平面桿系的分類，掌握平面幾何不變體系的組成規(guī)則、構(gòu)造特點，理解工程中所用結(jié)構(gòu)必須為幾何不變體系。能利用幾何不變體系的組成規(guī)則對簡單平面桿系進行幾何組成分析。建筑力學研究的重點是平面桿系結(jié)構(gòu)。所謂平面桿系是由若干桿件按照一定方式互相連接而組成的。對平面體系的幾何組成進行分析，稱為幾何組成分析。其目的在于：(1)判斷某一體系是否幾何可變，以決定它能否作為結(jié)構(gòu)使用。(2)研究幾何不變體系的組成規(guī)則，以保證所設(shè)計的結(jié)構(gòu)能承受荷載并保持平衡。平面桿系的幾何組成分析中，我們不考慮由于材料的應(yīng)變所產(chǎn)生的變形，這樣平面桿件體系可以分為如下兩類。桿件體系受到任意荷載作用后，不考慮材料的應(yīng)變，其幾何形狀和位置均保持不變的體系為幾何不變體系，如圖2.1所示。一、幾何不變體系平面桿件體系幾何組成的分類圖2.1幾何不變體系桿件體系受到任意荷載作用后，不考慮材料的應(yīng)變，其幾何形狀和位置可以發(fā)生改變的體系為幾何可變體系，如圖2.2所示。在實際生活中有這樣一種體系，如圖2.3(a)所示，假定兩根鏈桿Ⅰ和Ⅱ共線，從微小運動的角度看，這是一個可變體系。在初始階段，鏈桿Ⅰ和Ⅱ共線，A點既可以繞以B點為圓心、AB為半徑的圓弧2-2運動，也可繞以C點為圓心、AC為半徑的圓弧1-1運動。由于這時兩弧相切，A點必然沿著公切線方向作微小運動。當A點作微小運動至A’時，兩弧由相切變?yōu)橄嚯x，A’點既不能沿圓弧1-1運動，也不能沿圓弧2-2運動，這樣，A點在A’處被完全固定。像這種原先是可變體系，在瞬時發(fā)生了微小的幾何變形后成為幾何不變的體系，稱之為瞬變體系。瞬變體系是幾何可變體系的特殊情況，為了明確起見，幾何可變體系可以進一步區(qū)分為瞬變體系和常變體系。如果一個幾何可變體系可以發(fā)生較大位移，則該體系為常變體系，如圖2.2所示。二、幾何可變體系平面桿件體系幾何組成的分類顯然，幾何可變體系是不能用來作為結(jié)構(gòu)的，因為在建筑工程結(jié)構(gòu)中，要求在任意荷載作用下，結(jié)構(gòu)必須能保持自己的形狀和位置。圖2.2幾何可變體系(常變體系)圖2.3瞬變體系平面桿件體系幾何組成的分類無多余約束的平面幾何不變體系簡單組成規(guī)則在進行幾何組成分析之前，先介紹幾個名詞：(1)剛片：幾何形狀不變的平面體，簡稱為剛片。在幾何組成分析中，由于不考慮材料的應(yīng)變，故所有幾何不變的桿和桿系均可以看作是剛片。(2)鏈桿：一根兩端用鉸與兩個剛片相連接的桿稱為鏈桿。(3)簡單鉸：連接兩個剛片的鉸叫做簡單鉸，簡稱單鉸。(4)復鉸：連接三個或者三個以上剛片的鉸稱為復鉸。一個連接n個剛片的復鉸相當于(n-1)個單鉸。(5)虛鉸：如果兩個剛片通過兩根鏈桿相連，則這兩根鏈桿的作用與一個位于兩鏈桿交點的單鉸的作用相同。一般稱軸線不交于實鉸上但連接兩個剛片的兩根鏈桿相當于一個虛鉸，虛鉸的位置在兩根鏈桿軸線的交點上(或軸線的延長線交點上)，如圖2.6(b)所示的C’點，因為在C’點處并沒有真正的鉸，所以稱C’為虛鉸。無多余約束的幾何不變體系的基本組成規(guī)則有三個，下面分別進行討論。平面上的一個點和一個剛片通過不在一條直線上的兩根鏈桿相連接，組成的體系為無多余約束的幾何不變體系。如圖2.4所示，用兩根不在同一條直線上的鏈桿連接一個新結(jié)點的構(gòu)造稱為二元體。上述規(guī)則可以表述為：在一個剛片上，增加一個二元體，組成幾何不變且無多余約束的體系。逐步加上二元體可以得到許多新的更大剛片。從二元體規(guī)則可以看出，在任何體系上加上或者拆去二元體時，其幾何組成結(jié)果不變。也就是說，原來幾何不變體系加上或者拆去二元體后依然幾何不變；原來幾何可變體系加上或者拆去二元體后依然幾何可變。當我們對一個復雜體系作幾何組成分析時，可以逐步拆去二元體再進行分析，問題就會變得簡單一些。一、二元體規(guī)則無多余約束的平面幾何不變體系簡單組成規(guī)則圖2.4二元體無多余約束的平面幾何不變體系簡單組成規(guī)則兩剛片用一個單鉸和一根不通過該鉸的鏈桿相連，組成無多余約束的幾何不變體系。由于兩根鏈桿相當于一個單鉸，兩剛片規(guī)則也可以表述為：兩剛片用三根不交于一點且不完全平行的鏈桿相連，組成無多余約束的幾何不變體系，如圖2.5所示。二、兩剛片規(guī)則圖2.5兩剛片規(guī)則無多多余余約約束束的的平平面面幾幾何何不不變變體體系系簡簡單單組組成成規(guī)規(guī)則則三個個剛剛片片用用不不在在一一條條直直線線上上的的三三個個單單鉸鉸兩兩兩兩相相連連，，組組成成無無多多余余約約束束的的幾幾何何不不變變體體系系。。如如圖圖2.6(a)所示示。。由由于于兩兩根根鏈鏈桿桿的的作作用用相相當當于于一一個個單單鉸鉸，，故故可可以以將將A、B、C三個個鉸鉸轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為分分別別由由兩兩根根鏈鏈桿桿所所構(gòu)構(gòu)成成的的三三個個虛虛鉸鉸A’’、B’’、C’’，且且三三個個虛虛鉸鉸也也不不能能在在同同一一條條直直線線上上，，如如圖圖2.6(b)所示示。。當當體體系系的的幾幾何何組組成成不不滿滿足足上上述述三三個個基基本本規(guī)規(guī)則則要要求求時時(二元元體體規(guī)規(guī)則則中中兩兩鏈鏈桿桿共共線線；；兩兩剛剛片片規(guī)規(guī)則則中中單單鉸鉸和和鏈鏈桿桿共共線線；；三三剛剛片片規(guī)規(guī)則則中中三三鉸鉸共共線線)，則則該該體體系系為為幾幾何何可可變變體體系系。。三、、三剛剛片片規(guī)規(guī)則則圖2.6三剛剛片片規(guī)規(guī)則則對于于如如圖圖2.3(b)所示示的的瞬瞬變變體體系系，，設(shè)設(shè)在在外外力力P的作作用用下下，，點點運運動動到到A’’處，，取取A點為為研研究究對對象象，，由由A點的的平平衡衡條條件件可可以以得得到到：：無多多余余約約束束的的平平面面幾幾何何不不變變體體系系簡簡單單組組成成規(guī)規(guī)則則解方方程程后后可可以以得得到到：：因為為θ很小小，，所所以以由此此可可以以知知道道，，AB、AC桿內(nèi)內(nèi)將將產(chǎn)產(chǎn)生生無無限限大大的的內(nèi)內(nèi)力力，，從從而而導導致致體體系系的的破破壞壞。。所所以以，，瞬瞬變變體體系系雖雖然然看看來來只只是是在在某某一一瞬瞬時時產(chǎn)產(chǎn)生生了了微微小小的的位位移移，，之之后后立立即即成成為為幾幾何何不不變變體體系系，，但但由由于于微微小小的的位位移移引引起起的的內(nèi)內(nèi)力力很很大大，，從從而而引引起起整整個個體體系系的的破破壞壞。。因因此此，，瞬瞬變變體體系系不不能能用用作作結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)。。平面面桿桿系系幾幾何何組組成成分分析析舉舉例例【例2.1】】分析析圖圖2.7所示示體體系系的的幾幾何何組組成成。。解根根據(jù)據(jù)二二元元體體規(guī)規(guī)則則，，由由固固定定點點E、F出發(fā)發(fā)，，增增加加一一個個二二元元體體固固定定點點C。再再從從C、F出發(fā)發(fā)分分別別增增加加二二元元體體固固定定點點D、A；最最后后從從固固定定點點D、A出發(fā)發(fā)增增加加二二元元體體固固定定點點B。因因此此，，整整個個體體系系是是幾幾何何不不變變無無多多余余約約束束的的體體系系。。說明明：：本本題題也也可可用用拆拆二二元元體體的的方方法法，，從從B點開開始始進進行行分分析析。。當當然然，，所所得得結(jié)結(jié)果果與與前前面面相相同同。?！纠?.2】】分析析圖圖2.8所示示體體系系的的幾幾何何組組成成。。解鉸鉸結(jié)結(jié)三三角角形形ADE、BCF是一一個個剛剛片片，，可可作作為為剛剛片片Ⅰ，鉸鉸結(jié)結(jié)三三角角形形BCE是一一個個剛剛片片，，可可作作為為剛剛片片Ⅱ，桿桿FG作為為剛剛片片Ⅲ，剛剛片片Ⅰ與剛剛片片Ⅱ通過過鉸鉸E相連連，，剛剛片片Ⅰ與剛剛片片Ⅲ通過過AF、DG兩根根鏈鏈桿桿相相連連，，且且兩兩桿桿的的交交點點在在C點，，剛剛片片Ⅲ和剛剛片片Ⅱ通過過BF、CG兩根根鏈鏈桿桿相相連連，，且且兩兩桿桿的的交交點點在在D點。。并并且且C、D、E三點點不不在在同同一一條條直直線線上上，，由由三三剛剛片片規(guī)規(guī)則則得得知知該該體體系系為為幾幾何何不不變變且且無無多多余余約約束束。。圖2.7例2.1圖圖2.8例2.2圖【例2.3】】分析析圖圖2.9所示示體體系系的的幾幾何何組組成成。。解三角角形形是兩兩個個無無多多余余約約束束的的幾幾何何不不變變體體系系，，可可以以當當作作剛剛片片Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ和Ⅱ按連連接接方方式式由由不不共共點點且且不不完完全全平平行行的的三三根根鏈鏈桿桿AB、EF、CD相連連，，根根據(jù)據(jù)兩兩剛剛片片規(guī)規(guī)則則，，體體系系A(chǔ)BCDEF組成成新新剛剛片片，，內(nèi)內(nèi)部部為為幾幾何何不不變變且且無無多多余余約約束束，，同同理理，，新新剛剛片片與與地地基基用用不不共共點點且且不不完完全全平平行行的的三三根根鏈鏈桿桿相相連連，，所所以以，，整整個個體體系系幾幾何何不不變變，，且且無無多多余余約約束束。?！纠?.4】】分析析圖圖2.10所示示體體系系的的幾幾何何組組成成。。解分分別別將將AEC、BFD地基分分削當當作剛剛片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，剛片片Ⅰ和Ⅲ通過鉸鉸A相連，，剛片片Ⅱ和剛片片Ⅲ通過鉸鉸B相連，，剛片片Ⅰ和Ⅱ通過CD、EF兩根鏈鏈桿相相連，，相當當于一一個位位置在在O點的虛虛鉸。。A、B、O三鉸不不共線線，由由三剛剛片規(guī)規(guī)則，，知道道該體體系為為幾何何不變變體系系且無無多余余約束束。圖2.9例2.3圖圖2.10例2.4圖平面桿桿系幾幾何組組成分分析舉舉例【例2.5】分析圖圖2.11所示體體系的的幾何何組成成。解可可以以依次次拆去去二元元體EFG、CDH后的體體系和和原體體系應(yīng)應(yīng)有相相同的的幾何何組成成。根根據(jù)兩兩剛片片規(guī)則則，AC與地基基通過過三根根不交交于同同一點點且不不完全全平行行的鏈鏈桿相相連，，因此此，該該體系系為幾幾何不不變體體系，，且無無多余余約束束?！纠?.6】分析圖圖2.12所示體體系的的幾何何組