南京市2021-2022學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷共6頁．全卷滿分120分．考試時(shí)間為120分鐘．考生答題全部答在答題卡上，答在本試卷上無效．2.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考教師在答題卡上所粘貼條形碼的姓名、考試證號(hào)是否與本人相符合，再將自己的姓名、考試證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上．3.答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其他位置答題一律無效．4.作圖必須用2B鉛筆作答，并請(qǐng)加黑加粗，描寫清楚．一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.一元二次方程2x2－1＝4x化成一般形式后，常數(shù)項(xiàng)是－1，一次項(xiàng)系數(shù)是（）A.2 B.－2 C.4 D.－42.已知是線段的黃金分割點(diǎn)，且，，則長(zhǎng)約為（）A.0.618 B.6.18 C.3.82 D.0.3823.在一個(gè)不透明袋中裝有5個(gè)球，其中2個(gè)紅球，3個(gè)白球，這些球除顏色外無其他差別，從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出紅球的概率是（）A. B. C. D.4.將二次函數(shù)y=x2的圖象向下平移一個(gè)單位，則平移以后的二次函數(shù)的解析式為（）A.y=x2﹣1 B.y=x2+1 C.y=（x﹣1）2 D.y=（x+1）25.如圖，若半徑為6，圓心O到一條直線的距離為3，則這條直線可能是（）A. B. C. D.6.如圖，身高1.2m的小淇晚上在路燈（AH）下散步，DE為他到達(dá)D處時(shí)的影子．繼續(xù)向前走8m到達(dá)點(diǎn)N，影子為FN．若測(cè)得EF＝10m，則路燈AH的高度為（）A.6m B.7m C.8m D.9m二．填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置）7.若，則的值為_____．8.一組數(shù)據(jù)7，－2，－1，6的極差為____．9.若、是方程x2＋2022x＋2021＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則＋的值為____．10.若一個(gè)圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為6，則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是_________°．11.若方程x2－4084441＝0的兩根為±2021，則方程x2－2x－4084440＝0的兩根為____．12.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)有一邊長(zhǎng)為1的小正方形，一只青蛙在該圖案內(nèi)任意跳動(dòng)，則這只青蛙跳入陰影部分的概率是________.13.如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)．若∠ACO＝25°，則∠B＝____°．14.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D為格點(diǎn)，連接AB、CD相交于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)為____．15.如圖，在⊙O中，半徑OC與弦AB垂直于點(diǎn)D，M為AD的中點(diǎn)，N為上的點(diǎn)，且MNCD．若CD＝5，MN＝4，則⊙O的半徑為_______．16.如圖，在中，P是斜邊邊上一點(diǎn)，且，分別過點(diǎn)A、B作、平行于，若，則與之間的最大距離為_______．三．解答題（本大題共11小題，共88分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.解方程：（1）x2－4x－1＝0；（2）100（x－1）2＝121．18.甲、乙兩人在5次打靶測(cè)試中命中的環(huán)數(shù)如下：甲：8，8，7，8，9乙：5，9，7，10，9（1）填寫下表：平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差甲880.4乙93.2（2）教練根據(jù)這5次成績(jī)，選擇甲參加射擊比賽，教練的理由是什么？（3）如果乙再射擊1次，命中8環(huán)，那么乙射擊成績(jī)的方差．（填“變大”、“變小”或“不變”）．19.為落實(shí)“垃圾分類”，環(huán)保部門要求垃圾要按A，B，C，D四類分別裝袋、投放，其中A類指廢電池、過期藥品等有毒垃圾，B類指剩余食品等廚余垃圾，C類指塑料、廢紙等可回收物，D類指其他垃圾．小明、小亮各投放了一袋垃圾．（1）小明投放的垃圾恰好是A類的概率為；（2）求小亮投放的垃圾與小明投放的垃圾是同一類的概率．20.如圖，已知A是直線l外一點(diǎn)．用兩種不同的方法作⊙O，使⊙O過A點(diǎn)，且與直線l相切．要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明．21.閱讀下面的短文，并解答下列問題：我們把相似形的概念推廣到空間：如果兩個(gè)幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體．如圖，甲、乙是兩個(gè)不同的正方體，正方體都是相似體，它們的一切對(duì)應(yīng)線段之比都等于相似比（a∶b）．設(shè)S甲、S乙分別表示這兩個(gè)正方體的表面積，則；又設(shè)V甲、V乙分別表示這兩個(gè)正方體的體積，則；（1）下列幾何體中，一定屬于相似體的是（）A.兩個(gè)球體B.兩個(gè)錐體C.兩個(gè)圓柱體D.兩個(gè)長(zhǎng)方體（2）請(qǐng)歸納出相似體的三條主要性質(zhì)：①相似體的一切對(duì)應(yīng)線段（或?。╅L(zhǎng)的比等于；②相似體表面積的比等于；③相似體體積比等于．（3）假定在完全正常發(fā)育的條件下，不同時(shí)期的同一人的人體是相似體，一個(gè)小朋友上幼兒園時(shí)身高為1.1米，體重為18千克，到了初三時(shí)，身高為1.65米，問他的體重是多少？（不考慮不同時(shí)期人體平均密度的變化）22.如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，CP為⊙O的切線，E是AB上一點(diǎn)，以C為圓心，CE長(zhǎng)為半徑作圓交CP于點(diǎn)F，連接AF，且AF＝AE．求證：AB是⊙C的切線．23.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AE，交BC于點(diǎn)F，連接AF．（1）求證：△ABE∽△ECF；（2）求AF長(zhǎng)度的最小值．24.如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋3圖像經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（－2，3）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）用無刻度直尺畫出拋物線的對(duì)稱軸l；（用虛線表示畫圖過程，實(shí)線表示畫圖結(jié)果）（3）結(jié)合圖像，直接寫出當(dāng)y＞3時(shí)，x取值范圍是．25.已知二次函數(shù)y＝x2－2mx＋m＋2（m是常數(shù)）的圖像是拋物線．（1）若拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的值；（2）求證：拋物線頂點(diǎn)在函數(shù)y＝－x2＋x＋2的圖像上；（3）若點(diǎn)B（2，a），C（5，b）在拋物線上，且a＞b，則m的取值范圍是．26.某公司電商平臺(tái)，在2021年國慶長(zhǎng)假期間，舉行了商品打折促銷活動(dòng)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某種商品的周銷售量y（件）是關(guān)于售價(jià)x（元/件）（x為正整數(shù)）的一次函數(shù)，下表列出了該商品的售價(jià)x，周銷售量y，周銷售利潤(rùn)W（元）的三組對(duì)應(yīng)值數(shù)據(jù)．x407090y1809030W360045002100（1）該商品進(jìn)價(jià)（元/件），y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）因該商品原料漲價(jià)，進(jìn)價(jià)提高了m（元/件）（m為正整數(shù)），該商品在今后的銷售中，公司發(fā)現(xiàn)當(dāng)售價(jià)為63元/件時(shí)，周銷售利潤(rùn)最大，求m的值．27.（1）如圖1，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在正方形ABCD上，使直角頂點(diǎn)與D重合，三角板的一邊交AB于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．則DPDQ（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）將（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他條件不變．①如圖2，若PQ＝5，求AP長(zhǎng)．②如圖3，若BD平分∠PDQ．則DP的長(zhǎng)為．答案與解析一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.一元二次方程2x2－1＝4x化成一般形式后，常數(shù)項(xiàng)是－1，一次項(xiàng)系數(shù)是（）A.2 B.－2 C.4 D.－4【答案】D【解析】【分析】首先化為一般形式，然后確定一次項(xiàng)系數(shù)即可．【詳解】解：一元二次方程2x2-1＝4x化成一般形式為2x2-4x-1＝0，故一次項(xiàng)系數(shù)為-4，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程ax2+bx+c=0的二次項(xiàng)系數(shù)是a，一次項(xiàng)系數(shù)是b，常數(shù)項(xiàng)是c．2.已知是線段的黃金分割點(diǎn)，且，，則長(zhǎng)約為（）A.0.618 B.6.18 C.3.82 D.0.382【答案】B【解析】【分析】根據(jù)黃金分割的定義=即可解題.【詳解】∵是線段的黃金分割點(diǎn)，且，∴=即APAB=6.18故選B【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義,屬于簡(jiǎn)單題,熟悉定義概念是解題關(guān)鍵.3.在一個(gè)不透明的袋中裝有5個(gè)球，其中2個(gè)紅球，3個(gè)白球，這些球除顏色外無其他差別，從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出紅球的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算公式即可得．【詳解】解：由題意得：從不透明的袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球共有5種等可能性的結(jié)果，其中，摸出紅球的結(jié)果有2種，則從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出紅球的概率是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了求概率，熟練掌握概率公式是解題關(guān)鍵．4.將二次函數(shù)y=x2的圖象向下平移一個(gè)單位，則平移以后的二次函數(shù)的解析式為（）A.y=x2﹣1 B.y=x2+1 C.y=（x﹣1）2 D.y=（x+1）2【答案】A【解析】【分析】據(jù)平移變化的規(guī)律，左右平移只改變橫坐標(biāo)，左減右加．上下平移只改變縱坐標(biāo)，下減上加．【詳解】解：根據(jù)題意得：將二次函數(shù)y=x2的圖象向下平移一個(gè)單位，∴平移以后的二次函數(shù)的解析式為：y=x2﹣1．故選A．5.如圖，若的半徑為6，圓心O到一條直線的距離為3，則這條直線可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系：當(dāng)圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，則直線與圓相切，當(dāng)圓心到直線的距離大于半徑時(shí)，則直線與圓相離，當(dāng)圓心到直線的距離小于半徑時(shí)，則直線與圓相交；由此問題可求解．【詳解】解：∵的半徑為6，圓心O到一條直線的距離為3，，∴這條直線與圓相交，由圖可知只有直線與圓相交，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6.如圖，身高1.2m的小淇晚上在路燈（AH）下散步，DE為他到達(dá)D處時(shí)的影子．繼續(xù)向前走8m到達(dá)點(diǎn)N，影子為FN．若測(cè)得EF＝10m，則路燈AH的高度為（）A.6m B.7m C.8m D.9m【答案】A【解析】【分析】設(shè)DE=xm，DH=ym，則FN=（10-x-8）m，HN=（8-y）m，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解∶∵CD⊥EF，AH⊥EF，MN⊥EF，∴，∴，，∴，，設(shè)DE=xm，DH=ym，則FN=（10-x-8）m，HN=（8-y）m，∴，，∴y=4x，∴，∴，∴AH=6，故路燈AH的高度為6m．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判斷和性質(zhì)列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．二．填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置）7.若，則的值為_____．【答案】【解析】【分析】由，設(shè)，然后再代入求解即可．【詳解】解：∵，設(shè)，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8.一組數(shù)據(jù)7，－2，－1，6的極差為____．【答案】9【解析】【分析】根據(jù)極差的定義：一組數(shù)據(jù)中，最大值與最小值的差即為極差，進(jìn)行解答即可．【詳解】解：一組數(shù)據(jù)，，，的極差為故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了極差的定義．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握極差的定義．9.若、是方程x2＋2022x＋2021＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則＋的值為____．【答案】－2022【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出＋，此題得解．【詳解】解：、是方程x2＋2022x＋2021＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則＋故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，牢記兩根之和等于是解題的關(guān)鍵．10.若一個(gè)圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為6，則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是_________°．【答案】120【解析】【詳解】解：圓錐側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)是：2π×2=4π（cm），設(shè)圓心角的度數(shù)是n度．則=4π，解得：n=120．故答案為120．11.若方程x2－4084441＝0的兩根為±2021，則方程x2－2x－4084440＝0的兩根為____．【答案】x1＝2022，x2＝－2020【解析】【分析】利用配方法求解即可．【詳解】解：x2﹣2x﹣4084440＝0，x2﹣2x＝4084440，x2﹣2x+1＝4084441，即（x﹣1）2＝4084441，∵方程x2﹣4084441＝0的兩根為±2021，∴x﹣1＝±2021，∴x1＝2022，x2＝﹣2020．故答案為：x1＝2022，x2＝﹣2020．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，解一元二次方程的方法有直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法等．12.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)有一邊長(zhǎng)為1的小正方形，一只青蛙在該圖案內(nèi)任意跳動(dòng)，則這只青蛙跳入陰影部分的概率是________.【答案】【解析】【分析】求解得圖形中空白的面積：，正方形的面積為，得出陰影部分的面積為；，運(yùn)用幾何概率公式求解即可．【詳解】這只青蛙跳入陰影部分的概率等于陰影部分面積與總面積的比是：【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.13.如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)．若∠ACO＝25°，則∠B＝____°．【答案】65【解析】【分析】根據(jù)直徑所對(duì)圓周角是直角，可得，進(jìn)而根據(jù)已知條件即可求得，根據(jù)半徑相等，等邊對(duì)等角即可求得【詳解】解：AB是⊙O的直徑，，∠ACO＝25°，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)圓周角是直角，掌握直徑所對(duì)圓周角是直角是解題關(guān)鍵．14.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D為格點(diǎn)，連接AB、CD相交于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)為____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得AB＝3，AC∥BD，所以△AEC∽△BED，進(jìn)而可以解決問題．【詳解】解：根據(jù)題意可知：AB＝3，AC∥BD，AC＝2，BD＝3，∴△AEC∽△BED，∴＝，∴＝，解得AE＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．15.如圖，在⊙O中，半徑OC與弦AB垂直于點(diǎn)D，M為AD的中點(diǎn)，N為上的點(diǎn)，且MNCD．若CD＝5，MN＝4，則⊙O的半徑為_______．【答案】##10.5【解析】【分析】連接AO，ON，延長(zhǎng)NM交⊙O于F，過O作OE⊥NF于E，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，AD=t，先證明四邊形MEOD是矩形得到OE=DM=t，OD=ME=r-5，再利用勾股定理得①，②，然后解方程組即可．【詳解】解：連接AO，ON，延長(zhǎng)NM交⊙O于F，過O作OE⊥NF于E，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，AD=t，∵CD⊥AB，MNCD，∴∠ODM=∠DME=∠MEO=90°，∴四邊形MEOD是矩形，∴OE=DM=t，OD=ME=r-5，在Rt△AOD中，，①在Rt△NOE中，，②②×4-①得2r-21=0，解得r=，即⊙O的半徑為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ?，理解題意，熟練掌握運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．16.如圖，在中，P是斜邊邊上一點(diǎn)，且，分別過點(diǎn)A、B作、平行于，若，則與之間的最大距離為_______．【答案】9【解析】【分析】本題分為A點(diǎn)在P點(diǎn)左側(cè)與P點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)兩種情況考慮，當(dāng)點(diǎn)A在P點(diǎn)右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，證明，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D交與點(diǎn)E，證明，可得，由，，，，整理得，當(dāng)對(duì)稱軸時(shí)，AF取最大值，因?yàn)椋詴r(shí)不符合題意舍去，所以時(shí)，取得最大值為8，所以，；當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)P左側(cè)時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)同樣可以求出其最大值為9，綜合以上情況即可解決問題．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)P右側(cè)時(shí)，如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，∴，∴，∴，∵，設(shè)，，，（），∴，，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，由題意得，∴，∴，∵，，∴，∴，∴四邊形為矩形，同理，四邊形ADCF也為矩形，∴，CD=AF，AD=CF，∴，在中，根據(jù)勾股定理，得，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，，，∴，∴，∴，因?yàn)槎魏瘮?shù)開口向下，當(dāng)對(duì)稱軸時(shí)，取最大值，∵，∴時(shí)不符合題意舍去，∴時(shí)，取得最大值為8，∴，∴，∴與之間的最大距離為；當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)P左側(cè)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，過C點(diǎn)作，垂足為G，取中點(diǎn)E，連接，∵∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)A點(diǎn)到的距離為h，∴，∴，∴與之間的距離為，∵，∴與之間的距離最大值為9，綜上可得：與之間的距離為9．故答案為：9．解法二：以圓心，長(zhǎng)為半徑作定圓，記為：；取的中點(diǎn)，以為圓心，以的長(zhǎng)為半徑，作動(dòng)圓，記為：；與交于點(diǎn)，連接；作交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)；∵AB為的直徑，∴故：為所在直線，的長(zhǎng)度為、之間的距離；①當(dāng)時(shí)；如圖：∵∴，即：；∴∴，，∴增大時(shí)，的直徑增大，點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)，逐漸增大；在直角中，；當(dāng)時(shí)，取到最大值；點(diǎn)與點(diǎn)重合（因?yàn)椋?，；故時(shí)，存在最大值；設(shè)此時(shí)，則；在中即：解得：，（舍）∴②當(dāng)時(shí)；如圖，作，交于點(diǎn)；在和中，∴∴∴，∵，∴∵∴∴∴設(shè)，則，，∴化簡(jiǎn)得：∴當(dāng)時(shí)，有最大值此時(shí)，∵∴故∵，∴∴故：綜上可得：、之間距離最大值為：【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，平行線之間的距離，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)之間的轉(zhuǎn)化與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．三．解答題（本大題共11小題，共88分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.解方程：（1）x2－4x－1＝0；（2）100（x－1）2＝121．【答案】（1）x1＝2＋，x2＝2－（2）x1＝，x2＝－【解析】【分析】（1）運(yùn)用公式法求解即可；（2）運(yùn)用直接開平方法求解即可．【小問1詳解】解：∵a＝1，b＝－4，c＝－1，∴＝42－4×1×（－1）＝20＞0．則x＝＝＝2±．即x1＝2＋，x2＝2－．【小問2詳解】解∶（x－1）2＝，x－1＝±，即x1＝，x2＝－．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接開平方法、因式分解法、配方法和公式法．18.甲、乙兩人在5次打靶測(cè)試中命中的環(huán)數(shù)如下：甲：8，8，7，8，9乙：5，9，7，10，9（1）填寫下表：平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差甲880.4乙93.2（2）教練根據(jù)這5次成績(jī)，選擇甲參加射擊比賽，教練的理由是什么？（3）如果乙再射擊1次，命中8環(huán)，那么乙的射擊成績(jī)的方差．（填“變大”、“變小”或“不變”）．【答案】（1）填表見解析；（2）理由見解析；（3）變小．【解析】【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)的定義求解：（2）方差就是和中心偏離的程度，用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動(dòng)大?。催@批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大?。┰跇颖救萘肯嗤那闆r下，方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定.（3）根據(jù)方差公式求解：如果乙再射擊1次，命中8環(huán)，那么乙的射擊成績(jī)的方差變?。驹斀狻拷猓海?）根據(jù)數(shù)據(jù)可得：甲的眾數(shù)為8，乙的平均數(shù)=（5+9+7+10+9）=8，將乙數(shù)據(jù)重新排序?yàn)椋?，7，9，9，10乙的中位數(shù)為9；故填表如下：平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差甲8880.4乙8993.2（2）因?yàn)樗麄兊钠骄鶖?shù)相等，而甲的方差小，發(fā)揮比較穩(wěn)定，所以選擇甲參加射擊比賽；（3）如果乙再射擊1次，命中8環(huán)，平均數(shù)不變，則乙的方差為，所以乙的射擊成績(jī)的方差變?。军c(diǎn)睛】題目主要考查眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)的求法，利用方差作決策等，理解題意，熟練掌握運(yùn)用各個(gè)數(shù)據(jù)的求法是解題關(guān)鍵．19.為落實(shí)“垃圾分類”，環(huán)保部門要求垃圾要按A，B，C，D四類分別裝袋、投放，其中A類指廢電池、過期藥品等有毒垃圾，B類指剩余食品等廚余垃圾，C類指塑料、廢紙等可回收物，D類指其他垃圾．小明、小亮各投放了一袋垃圾．（1）小明投放的垃圾恰好是A類的概率為；（2）求小亮投放的垃圾與小明投放的垃圾是同一類的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是A類的概率；（2）首先利用樹狀圖法列舉出所有可能，進(jìn)而利用概率公式求出答案．【小問1詳解】解：∵垃圾要按A，B，C，D四類分別裝袋，小明投放了一袋垃圾，∴小明投放的垃圾恰好是A類的概率為：；故答案為：；【小問2詳解】解：如圖所示：由圖可知，共有16種可能結(jié)果，其中小亮投放的垃圾與小明投放的垃圾是同一類的結(jié)果有4種，所以小亮投放的垃圾與小明投放的垃圾是同一類的概率為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了樹狀圖法求概率，正確利用列舉出所有可能并熟練掌握概率公式是解題關(guān)鍵．20.如圖，已知A是直線l外一點(diǎn)．用兩種不同的方法作⊙O，使⊙O過A點(diǎn)，且與直線l相切．要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明．【答案】見解析【解析】【分析】方法一：過點(diǎn)A作l的垂線，垂足為P．作AP的垂直平分線，與AP的交點(diǎn)為圓心O．以O(shè)為圓心，OA（或OP）為半徑，作⊙O．方法二：取l上任意一點(diǎn)Q，作出AQ的垂直平分線．過點(diǎn)Q作l的垂線，與垂直平分線的交點(diǎn)為圓心O．以O(shè)為圓心，OA（或OQ）為半徑，作⊙O．【詳解】方法一：過點(diǎn)A作l的垂線，垂足為P．作AP的垂直平分線，與AP的交點(diǎn)為圓心O．以O(shè)為圓心，OA（或OP）為半徑，作⊙O．方法二：取l上任意一點(diǎn)Q，作出AQ的垂直平分線．過點(diǎn)Q作l的垂線，與垂直平分線的交點(diǎn)為圓心O．以O(shè)為圓心，OA（或OQ）為半徑，作⊙O．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用尺規(guī)作圖畫圓，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21.閱讀下面的短文，并解答下列問題：我們把相似形的概念推廣到空間：如果兩個(gè)幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體．如圖，甲、乙是兩個(gè)不同的正方體，正方體都是相似體，它們的一切對(duì)應(yīng)線段之比都等于相似比（a∶b）．設(shè)S甲、S乙分別表示這兩個(gè)正方體的表面積，則；又設(shè)V甲、V乙分別表示這兩個(gè)正方體的體積，則；（1）下列幾何體中，一定屬于相似體的是（）A.兩個(gè)球體B.兩個(gè)錐體C.兩個(gè)圓柱體D.兩個(gè)長(zhǎng)方體（2）請(qǐng)歸納出相似體的三條主要性質(zhì)：①相似體的一切對(duì)應(yīng)線段（或弧）長(zhǎng)的比等于；②相似體表面積的比等于；③相似體體積比等于．（3）假定在完全正常發(fā)育的條件下，不同時(shí)期的同一人的人體是相似體，一個(gè)小朋友上幼兒園時(shí)身高為1.1米，體重為18千克，到了初三時(shí)，身高為1.65米，問他的體重是多少？（不考慮不同時(shí)期人體平均密度的變化）【答案】（1）A（2）①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方（3）60.75kg【解析】【分析】（1）根據(jù)相似體的定義：如果兩個(gè)幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體，進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)題意進(jìn)行推導(dǎo)即可；（3）設(shè)到初三時(shí)，該小朋友的體重為xkg，根據(jù)相似體體積比等于相似比的立方；則有，計(jì)算求解即可．【小問1詳解】解：由題意知形狀完全相同的幾何體為球體故選A．【小問2詳解】解：①由題意知：相似體的一切對(duì)應(yīng)線段（或?。╅L(zhǎng)的比等于相似比；故答案為：相似比．②由題意知：相似體表面積的比等于相似比的平方；故答案為：相似比的平方．③由題意知：相似體體積比等于相似比的立方；故答案為：相似比的立方．【小問3詳解】解：由題意，該小朋友的體積比為.又∵體重之比等于體積比，設(shè)到初三時(shí)，該小朋友的體重為xkg，則，解得，x＝60.75．答：到初三時(shí)，該小朋友的體重是60.75kg．【點(diǎn)睛】本題考查了相似的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于對(duì)相似知識(shí)的掌握與類比．22.如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，CP為⊙O的切線，E是AB上一點(diǎn)，以C為圓心，CE長(zhǎng)為半徑作圓交CP于點(diǎn)F，連接AF，且AF＝AE．求證：AB是⊙C的切線．【答案】見解析【解析】【分析】連結(jié)AC、OC．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CAF=∠CAE，∠AFC=∠AEC，求得OC∥AF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AFC=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】證明：連結(jié)AC、OC．∵AE＝AF，CE＝CF，AC＝AC，∴△ACE≌△ACF．∴CAF＝CAE，AFC＝AEC．∵OA＝OC，∴OAC＝OCA．又∵CAF＝CAE，∴CAF＝OCA，∴OC∥AF．∵CP為⊙O的切線，∴OC⊥BF，即OCF＝90．∴AFC＝90．∴AEC＝AFC＝90，即CE⊥AB．∵點(diǎn)E在⊙C上，∴AB是⊙C的切線．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．23.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AE，交BC于點(diǎn)F，連接AF．（1）求證：△ABE∽△ECF；（2）求AF長(zhǎng)度的最小值．【答案】（1）見解析（2）5【解析】【分析】(1)先利用等角的余角相等，證得∠BAE＝∠CEF，再結(jié)合∠B＝∠C＝90°，即可證得△ABE∽△ECF．(2)由勾股定理得，在Rt△ADF中，∠D＝90°，．要求AF長(zhǎng)度的最小值，即求DF長(zhǎng)度的最小值，也就是求CF長(zhǎng)度的最大值即可求解．【小問1詳解】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE＋∠BEA＝90°．∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠BEA＋∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF．又∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECF．【小問2詳解】∵△ABE∽△ECF，∴＝，即CF＝．設(shè)CE＝x，則BE＝4－x．∴CF＝＝－（x－2）2＋1，當(dāng)x＝2時(shí)，CF取最大值1；此時(shí)，DF取最小值3．當(dāng)DF＝3時(shí)，AF取最小值，．∴AF長(zhǎng)度的最小值為5．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行幾何計(jì)算，也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．24.如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋3的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（－2，3）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）用無刻度直尺畫出拋物線的對(duì)稱軸l；（用虛線表示畫圖過程，實(shí)線表示畫圖結(jié)果）（3）結(jié)合圖像，直接寫出當(dāng)y＞3時(shí)，x的取值范圍是．【答案】（1）y＝－x2－2x＋3（2）見解析（3）－2＜x＜0【解析】【分析】（1）將A（1，0），B（－2，3）代入y＝ax2＋bx＋3即可得到二次函數(shù)表達(dá)式．（2）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性即可畫出拋物線的對(duì)稱軸．（3）根據(jù)圖象即可直接寫出y＞3時(shí)，x的取值范圍．【小問1詳解】將A（1，0），B（－2，3）代入二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋3，得解得該二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－x2－2x＋3．【小問2詳解】如圖，直線l為所求對(duì)稱軸．【小問3詳解】－2＜x＜0．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)表達(dá)式的求解以及二次函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25.已知二次函數(shù)y＝x2－2mx＋m＋2（m是常數(shù)）的圖像是拋物線．（1）若拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的值；（2）求證：拋物線頂點(diǎn)在函數(shù)y＝－x2＋x＋2的圖像上；（3）若點(diǎn)B（2，a），C（5，b）在拋物線上，且a＞b，則m的取值范圍是．【答案】（1）m1＝2，m2＝－1（2）見解析（3）m＞【解析】【分析】（1）由拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的判別式的關(guān)系求解．（2）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入解析式進(jìn)而求解即可．（3）由拋物線開口方向向上可得點(diǎn)B到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)A到對(duì)稱軸的距離，進(jìn)而求解【小問1詳解】解：∵a＝1，b＝－2m，c＝m＋2，∴b2－4ac＝（－2m）2－4×1×（m＋2）＝4（m2－m－2）．因?yàn)閽佄锞€與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以b2－4ac＝4（m2－m－2）＝0，解得m1＝2，m2＝－1．【小問2詳解】解：∵a＝1，b＝－2m，c＝m＋2，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（m，－m2＋m＋2），∵令x＝m時(shí)，函數(shù)y＝－x2＋x＋2＝－m2＋m＋2，∴拋物線頂點(diǎn)在函數(shù)y＝－x2＋x＋2的圖像上【小問3詳解】解：∵拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝m，∴當(dāng)a＞b時(shí)，|2﹣m|＞|5﹣m|，當(dāng)2﹣m＞0時(shí)，2﹣m＞5﹣m，不符合題意，當(dāng)2﹣m＜0，5﹣m＞0時(shí)可得m﹣2＞5﹣m，解得m＞．故答案為：m＞．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．26.某公司電商平臺(tái)，在2021年國慶長(zhǎng)假期間，舉行了商品打折促銷活動(dòng)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某種商品的周銷售量y（件）是關(guān)于售價(jià)x（元/件）（x為正整數(shù)）的一次函數(shù)，下表列出了該商品的售價(jià)x，周銷售量y，周銷售利潤(rùn)W（元）的三組對(duì)應(yīng)值數(shù)據(jù)．x407090y1809030W360045002100（1）該商品進(jìn)價(jià)（元/件），y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）因該商品原料漲價(jià)，進(jìn)價(jià)提高了m（元/件）（m為正整數(shù)），該商品在今后的銷售中，公司發(fā)現(xiàn)當(dāng)售價(jià)為63元/件時(shí)，周