學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1．不等式的基本性質(zhì)1．實(shí)數(shù)大小的比較1)數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng),能夠利用數(shù)軸上點(diǎn)的左右地址關(guān)系來(lái)規(guī)定實(shí)數(shù)的大小．在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．2)若是a－b＞0，則a＞b；若是a－b＝0,則a＝b；若是a－b＜0，則a＜b.(3)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的大小，概括為判斷它們的差與0的大??；比較兩個(gè)代數(shù)式的大小，實(shí)際上是比較它們的值的大小，而這又概括為判斷它們的差與0的大?。?．不等式的基本性質(zhì)由兩數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)，能夠獲取不等式的一些基本性質(zhì)：1）若是a＞b，那么b＜a;若是b＜a，那么a＞b.即a＞b?b＜a.(2）若是a＞b，b＞c，那么a＞c。即a＞b,b＞c?a〉c.3)若是a＞b，那么a＋c〉b＋c。（4）若是a＞b,c〉0，那么ac>bc；若是a〉b，c〈0，那么ac〈bc。n5)若是a>b>0,那么a〉b（n∈N，n≥2）．n（6)若是a〉b〉0,那么a>錯(cuò)誤!（n∈N，n≥2)．3．對(duì)上述不等式的理解使用不等式的性質(zhì)時(shí)，必然要清楚它們建立的前提條件，不能增強(qiáng)或弱化它們建立的條件，盲目套用,比方：（1）等式兩邊同乘一個(gè)數(shù)仍為等式，但不等式兩邊同乘同一個(gè)數(shù)c(或代數(shù)式)結(jié)果有三種：①＞0時(shí)得同向不等式；②c＝0時(shí)得等式；③c〈0時(shí)得異向不等式．c(2）a＞b，c＞d?a＋c>b＋d，即兩個(gè)同向不等式能夠相加，但不能夠夠相減;而a>b〉0，>>0?〉，即已知的兩個(gè)不等式同向且兩邊為正當(dāng)時(shí)，能夠相乘，但不能夠夠相除．cdacbd（3）性質(zhì)（5)（6)建立的條件是已知不等式兩邊均為正當(dāng)，并且n∈N，≥2，否則結(jié)n論不能立．而當(dāng)n取正奇數(shù)時(shí)可放寬條件nn,a〉b?a〉b（n＝2k＋1，k∈N)，a>b?錯(cuò)誤!>錯(cuò)誤!（n＝2k＋1，k∈N＊）．實(shí)數(shù)大小的比較1學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精錯(cuò)誤!已知x,y均為正數(shù),設(shè)m＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!，n＝錯(cuò)誤!，試比較m和n的大小．錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!m－n＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!,∵x，y均為正數(shù),x〉0，y>0，xy>0，x＋y〉0，(x－y)2≥0。m－n≥0,即m≥n（當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí),等號(hào)建立)．比較兩個(gè)數(shù)(式子)的大小，一般用作差法，其步驟是：作差-變形-判斷差的符號(hào)—結(jié)論，其中“變形”是要點(diǎn)，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a,b∈R，比較a4＋b4與a3b＋ab3的大?。?因?yàn)?a4＋b4）－(a3b＋ab3)a3（a－b)＋b3（b－a）＝（a－b)（a3－b3)＝（a－b)2（a2＋ab＋b2）＝(a－b）2錯(cuò)誤!≥0.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)建立，所以a4＋b4≥a3b＋ab3。2．在數(shù)軸的正半軸上，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為錯(cuò)誤!，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為1，試判斷A點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊,還是在B點(diǎn)的右邊?解：因?yàn)殄e(cuò)誤!－1＝錯(cuò)誤!≤0，6a2所以9＋a4≤1.當(dāng)且僅當(dāng)a＝±錯(cuò)誤!時(shí)，等號(hào)建立，所以當(dāng)a≠±錯(cuò)誤!時(shí)，A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊，當(dāng)a＝±錯(cuò)誤!時(shí)，A點(diǎn)與B點(diǎn)重合。不等式的證明已知a〉b>0，c<d<0，e〈0.求證：錯(cuò)誤!>錯(cuò)誤!.能夠作差比較，也可用不等式的性質(zhì)直接證明．e法一：a－c－錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，a〉b>0,c〈d〈0,∴b－a<0，c－d<0?！郻－a＋c－d〈0。2學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精又∵a>0,c〈0,∴a－c>0.同理b－d>0，∴（a－c）（b－d)〉0.∵〈0,∴eb－a＋c－d>0,即錯(cuò)誤!〉錯(cuò)誤!。ea－cb－d法二:錯(cuò)誤!?錯(cuò)誤!?錯(cuò)誤!＞錯(cuò)誤!.進(jìn)行簡(jiǎn)單的不等式的證明，必然要建立在記準(zhǔn)、記熟不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)之上，若是不能夠直接由不等式的性質(zhì)獲取，能夠先解析需要證明的不等式的結(jié)構(gòu)，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行逆推,搜尋使其建立的充分條件．3．已知x≥1,y≥1,求證：x2y＋xy2＋1≤x2y2＋x＋y。證明:左邊－右邊＝（y－y2）x2＋（y2－1）x－y＋1＝（1－y）(1－y)(xy－1)（x－1)．因?yàn)閤≥1,y≥1,所以1－y≤0,xy－1≥0，x－1≥0.所以x2y＋xy2＋1≤x2y2＋x＋y.14．已知a,b,x，y都是正數(shù)，且a>錯(cuò)誤!，x>y,求證：錯(cuò)誤!>錯(cuò)誤!。證明：因?yàn)閍，b，x，y都是正數(shù)，且錯(cuò)誤!〉錯(cuò)誤!,x>y，所以錯(cuò)誤!>錯(cuò)誤!,所以錯(cuò)誤!<錯(cuò)誤!.故錯(cuò)誤!＋1〈錯(cuò)誤!＋1，即錯(cuò)誤!<錯(cuò)誤!.所以錯(cuò)誤!〉錯(cuò)誤!。利用不等式的性質(zhì)求范圍（1）已知－錯(cuò)誤!≤α≤β≤錯(cuò)誤!，求α－β的取值范圍．已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范圍．求代數(shù)式的范圍應(yīng)充分利用不等式的基本性質(zhì)．π（1）∵－2≤α≤β≤錯(cuò)誤!,π∴－2≤α≤錯(cuò)誤!,－錯(cuò)誤!≤－β≤錯(cuò)誤!，且α≤β.∴－π≤α－β≤π且α－β≤0?！啵小堞粒隆?.即α－β的取值范圍為．2)設(shè)a＋3b＝λ1(a＋b）＋λ2（a－2b)＝（λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2）b。解得λ1＝錯(cuò)誤!，λ2＝－錯(cuò)誤!?！啵e(cuò)誤!≤錯(cuò)誤!(a＋b）≤錯(cuò)誤!，－2≤－錯(cuò)誤!（a－2b)≤－錯(cuò)誤!。3學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精∴－錯(cuò)誤!≤a＋3b≤1.即a＋3b的取值范圍為錯(cuò)誤!.求代數(shù)式的取值范圍是不等式性質(zhì)應(yīng)用的一個(gè)重要方面，嚴(yán)格依照不等式的性質(zhì)和運(yùn)算法規(guī)進(jìn)行運(yùn)算，是解答此類問(wèn)題的基礎(chǔ)，在使用不等式的性質(zhì)中，若是是由兩個(gè)變量的范圍求其差的范圍,必然不能夠直接作差，而要轉(zhuǎn)變成同向不等式后作和．5．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1,求2α－β的取值范圍．解：設(shè)2α－β＝m（α＋β）＋n（α－β）,∴錯(cuò)誤!?錯(cuò)誤!又∵1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1,∴錯(cuò)誤!?－錯(cuò)誤!≤2α－β≤錯(cuò)誤!?！?α－β的取值范圍為錯(cuò)誤!.6．三個(gè)正數(shù)a，b，c滿足a≤b＋c≤2a,b≤a＋c≤2b，求錯(cuò)誤!的取值范圍．解：兩個(gè)不等式同時(shí)除以a，得錯(cuò)誤!將②×(－1),得錯(cuò)誤!兩式相加，得1－錯(cuò)誤!≤錯(cuò)誤!－1≤2－錯(cuò)誤!，解得錯(cuò)誤!≤錯(cuò)誤!≤錯(cuò)誤!.即錯(cuò)誤!的取值范圍是錯(cuò)誤!。課時(shí)追蹤檢測(cè)（一）1．以下命題中不．正確的選項(xiàng)是（)A．若錯(cuò)誤!〉錯(cuò)誤!，則>B．若a〉,〉,則a－〉－abbcddbcC．若a>b>0，c〉d>0，則錯(cuò)誤!〉錯(cuò)誤!D．若a〉b>0，ac>bd，則c〉d解析：選D當(dāng)a>b〉0，ac>ad時(shí)，c,d的大小關(guān)系不確定．2．已知〉〉，則以下不等式正確的選項(xiàng)是（)abcA．a(chǎn)c〉bcB．a(chǎn)c2〉bc2C．b(a－b)>c(a－b)D．｜ac|〉|bc｜解析:選C>>?－〉0?（－）>（－）c.abcababbab3．若是a〈b〈0,那么以下不等式建立的是(）1B．a(chǎn)b<b2A.a<錯(cuò)誤!C．－ab〈－a2D．－錯(cuò)誤!〈－錯(cuò)誤!解析：選D對(duì)于A項(xiàng),由a<b<0，得b－a>0，ab>0，故1a－錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!>0，錯(cuò)誤!>錯(cuò)誤!，4學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng),由a<b<0，得b(a－b）>0,ab〉b2,故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由a〈b〈0,得a（－)>0，2〉,即－>－2，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng),由<<0，得－〈0，abaababaababab〉0，故－錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!〈0，－錯(cuò)誤!〈－錯(cuò)誤!建立，故D項(xiàng)正確．4．若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，則以下結(jié)論:①ad＞bc；②錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＜0;③a－c＞－；④（－)＞(－)中，建立的個(gè)數(shù)是（）bdadcbdcA．1B．2C．3D．4解析：選C∵＞0＞，＜＜0，∴＜0，bc＞0，∴＜bc，故①不能立．∵a＞0abcdadad＞b＞－a,∴a＞－b＞0，∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bda＜0，∴d＋錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＜0，故②建立．∵c＜d，∴－c＞－d,∵a＞b，∴a＋(－c）＞b＋(－d）,a－c＞b－d，故③建立．∵a＞b，d－c＞0，∴a（d－c)＞b(d－c），故④建立．建立的個(gè)數(shù)為3.5．給出四個(gè)條件：①b>0>a；②0>a〉b；③a>0〉b；④a〉b〉0.能得犯錯(cuò)誤!＜錯(cuò)誤!建立的有________(填序號(hào)）．解析：由錯(cuò)誤!<錯(cuò)誤!，得錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!〈0，錯(cuò)誤!〈0，故①②④可推得錯(cuò)誤!〈錯(cuò)誤!建立．答案:①②④6．設(shè)〉>1,cc;③log（b－）>loga(b〈0,給出以下三個(gè)結(jié)論：①錯(cuò)誤!〉錯(cuò)誤!；②〈abcabac－c）．其中所有的正確結(jié)論的序號(hào)是________．解析：由a〉b>1，c〈0，得錯(cuò)誤!〈錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!>錯(cuò)誤!；冪函數(shù)y＝xc(c<0)是減函數(shù),所以ac<bc；因?yàn)閍－c>b－c，所以logb(a－c）〉loga（a－c)〉loga(b－c），①②③均正確．答案：①②③7．已知－1<x＋y〈4且2<x－y〈3，則z＝2x－3y的取值范圍是________．解析:設(shè)z＝2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y),即2x－3y＝(m＋n）x＋(m－n)y。∴錯(cuò)誤!解得錯(cuò)誤!∴2x－3y＝－錯(cuò)誤!（x＋y）＋錯(cuò)誤!（x－y)．∵－1〈x＋y〈4，2〈x－y<3，∴－2〈－錯(cuò)誤!（x＋y)<錯(cuò)誤!，5〈錯(cuò)誤!(x－y）<錯(cuò)誤!。由不等式同向可加性,得3<－錯(cuò)誤!（x＋y）＋錯(cuò)誤!(x－y）<8，即3<z<8.答案：(3,8)8．若a〉0，b>0，求證：錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!≥a＋b.證明：∵錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!－a－b＝（a－b）錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，5學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精（a－b）2≥0恒建立，且已知a＞0，b＞0,－2＋b2∴a＋b〉0，ab>0?！郺b≥0.∴a＋錯(cuò)誤!≥a＋b。9．已知－6<a〈8，2<b〈3，分別求2a＋b，a－b，錯(cuò)誤!的取值范圍．解:∵－6<a〈8，∴－12〈2a〈16.又2〈b<3，∴－10<2a＋b<19?！?<b<3，∴－3〈－b<－2。又∵－6<a〈8，∴－9〈a－b<6.2<b<3，∴錯(cuò)誤!〈錯(cuò)誤!<錯(cuò)誤!。①當(dāng)0≤a〈8時(shí),0≤錯(cuò)誤!<4；②當(dāng)－6＜a＜0時(shí)，－3＜錯(cuò)誤!＜0。綜合①②得－3〈錯(cuò)誤!〈4.∴2a＋b,a－b，錯(cuò)誤!的取值范圍分別為（－10,19)，(－9,6)，（－3,4)．10．已知a〉0，a≠1。（1）比較以下各式大?。產(chǎn)2＋1與a＋a；②a3＋1與a2＋a；③a5＋1與a3＋a2.（2)商議在m,n∈N＋條件下，am＋n＋1與am＋an的大小關(guān)系,并加以證明．解：（1）由題意,知a〉0,a≠1，a2＋1－(a＋a)＝a2＋1－2a＝（a－1)2>0?！郺2＋1〉a＋a。②a3＋1－(a2＋a)＝a2（a－1）－（a－1）＝（a＋1)（a－1）2＞0，∴a3＋1>a2＋a,③a5＋1－(a3＋a2）a3（a2－1）－(a2－1)＝（a2－1)（a3－1)．當(dāng)a〉1時(shí)，a3>1，a2>1，∴(a2－1)（a3－1)〉0。當(dāng)0<a<1時(shí),0<a3〈1，0〈a2〈1，∴(a2－1）(a3－1）〉0,即a5＋1>a3＋a2。(2）依照(1）可得am＋n＋1＞am＋an.證明以下：am＋n＋1－(am＋an）＝am(an－