習題課數(shù)列中的構(gòu)造問題第四章§4.3

等比數(shù)列1.掌握利用構(gòu)造法求數(shù)列通項公式的方法.2.會用構(gòu)造法公式解決一些簡單的問題.學習目標隨堂演練課時對點練一、形如an＝pan－1＋pn的遞推關(guān)系求通項公式二、形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系求通項公式三、形如an＋1＝pan＋qn＋1的遞推關(guān)系求通項公式內(nèi)容索引一、形如an＝pan－1＋pn的遞推關(guān)系求通項公式例1

已知數(shù)列{an}滿足an＝2an－1＋2n(n≥2)，且a1＝1，求數(shù)列{an}的通項公式.解因為an＝2an－1＋2n，等式兩邊同時除以2n，延伸探究

1.本例中“an＝2an－1＋2n”變?yōu)椤癮n＝2an－1＋2n＋1”，其余不變，求數(shù)列{an}的通項公式.2.本例中“an＝2an－1＋2n”變?yōu)椤癮n＝2an－1＋2n－1”，其余不變，求數(shù)列{an}的通項公式.反思感悟形如an＝pan－1＋pn(p≠1)的遞推關(guān)系求通項公式的一般步驟：第一步：等式兩邊同除以pn，不管這一項是pn－1或pn＋1，都同除以pn，為的是數(shù)列的下標和p的指數(shù)對應(yīng)起來.第二步：寫出數(shù)列

的通項公式；第三步：寫出數(shù)列{an}的通項公式.二、形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系求通項公式例2

已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1，求{an}的通項公式.解∵an＋1＝2an＋1，an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，∴t＝1，即an＋1＋1＝2(an＋1)，∴數(shù)列{an＋1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.∴an＋1＝2×2n－1，∴an＝2n－1.反思感悟形如an＋1＝pan＋q(其中p，q為常數(shù)，且pq(p－1)≠0)可用待定系數(shù)法求得通項公式，步驟如下：第一步：假設(shè)遞推公式可改寫為an＋1＋t＝p(an＋t)；跟蹤訓練2

已知數(shù)列{an}滿足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.證明數(shù)列{an＋4}是等比數(shù)列.并求數(shù)列{an}的通項公式.解∵a1＝－2，∴a1＋4＝2.∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)，∴{an＋4}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.∴an＋4＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－4.三、形如an＋1＝pan＋qn＋1的遞推關(guān)系求通項公式反思感悟形如an＋1＝pan＋qn＋1的遞推關(guān)系求通項公式的一般步驟類似于形如an＋1＝pan＋q求通項公式的步驟，要注意數(shù)列的下標與q的指數(shù)的對應(yīng)關(guān)系.跟蹤訓練3

已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝3an＋2n＋1且a1＝1，求數(shù)列{an}的通項公式.解由題意得，an＋1＋A·2n＋1＝3(an＋A·2n)，即an＋1＝3an＋A·2n，故A＝2，所以an＋1＋2n＋2＝3(an＋2n＋1)，所以{an＋2n＋1}是以5為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以an＋2n＋1＝5·3n－1，即an＝5·3n－1－2n＋1.1.知識清單：(1)形如an＝pan－1＋pn的遞推關(guān)系求通項公式.(2)形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系求通項公式.(3)形如an＋1＝pan＋qn＋1的遞推關(guān)系求通項公式.2.方法歸納：構(gòu)造法.3.常見誤區(qū)：構(gòu)造的新的數(shù)列的首項易誤認為還是a1.課堂小結(jié)隨堂演練12341.已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝2an＋1，則a4的值為A.15 B.23 C.32 D.42解析因為an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，a4＝23.√12342.下列說法錯誤的是A.任意等差數(shù)列{an}和{bn}，數(shù)列{an＋bn}是等差數(shù)列B.存在等差數(shù)列{an}和{bn}，數(shù)列{anbn}是等差數(shù)列C.任意等比數(shù)列{an}和{bn}，數(shù)列{an＋bn}是等比數(shù)列D.存在等比數(shù)列{an}和{bn}，數(shù)列{anbn}是等比數(shù)列√1234解析A項，若{an}和{bn}都是等差數(shù)列，不妨設(shè)an＝k1n＋b1，bn＝k2n＋b2，故可得an＋bn＝(k1＋k2)n＋b1＋b2，則an＋1＋bn＋1＝(k1＋k2)(n＋1)＋b1＋b2，則an＋1＋bn＋1－(an＋bn)＝k1＋k2，故數(shù)列{an＋bn}是等差數(shù)列，則A正確；B項，設(shè)數(shù)列{an}是數(shù)列1,1,1；數(shù)列{bn}是數(shù)列2,2,2，故可得數(shù)列{anbn}是數(shù)列2,2,2，是等差數(shù)列，故B正確.1234D項，設(shè)數(shù)列{an}是數(shù)列1,1,1；數(shù)列{bn}是數(shù)列2,2,2，故可得數(shù)列{anbn}是數(shù)列2,2,2，是等比數(shù)列，故D正確.綜上所述，錯誤的是C.1234√12344.已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－3，則an＝__________.－2n－1＋3解析由an＋1＝2an－3得an＋1－3＝2(an－3)，所以數(shù)列{an－3}是首項為a1－3＝－1，公比為2的等比數(shù)列，則an－3＝(－1)·2n－1，即an＝－2n－1＋3.課時對點練基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√123456789101112131415162.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＋1＝2Sn，n∈N*，S2＝4，則a2021等于A.22020

B.42020

C.42021

D.22021√故{Sn}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故通項公式為Sn＝2×2n－1＝2n，所以a2021＝S2021－S2020＝22021－22020＝22020×(2－1)＝22020.123456789101112131415163.已知數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝3an＋2，則{an}的通項公式為A.an＝2n－1 B.an＝3n－1C.an＝22n－1

D.an＝6n－4所以數(shù)列{an＋1}是首項為a1＋1＝3，公比為3的等比數(shù)列，所以an＋1＝3×3n－1＝3n，an＝3n－1，故選B.√12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415166.若數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1＝4an＋2n，則a6等于A.2016 B.2018 C.2020 D.2022√解析因為an＋1＝4an＋2n，所以an＋1＋2n＝4(an＋2n－1)，所以數(shù)列{an＋2n－1}是等比數(shù)列，首項為2，公比為4，則an＋2n－1＝2×4n－1，可得an＝22n－1－2n－1，則a6＝22×6－1－26－1＝211－25＝2016.12345678910111213141516123456789101112131415163n－1∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0，∴an＋1＝3an，∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項為1，公比為3.∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1qn－1＝3n－1.123456789101112131415169.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝2an＋n－4.(1)求a1的值；解因為Sn＝2an＋n－4，所以當n＝1時，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.12345678910111213141516(2)若bn＝an－1，試證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列.12345678910111213141516證明因為Sn＝2an＋n－4，所以當n≥2時，Sn－1＝2an－1＋n－1－4，Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以數(shù)列{bn}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.1234567891011121314151610.某企業(yè)投資1000萬元用于一個高科技項目，每年可獲利25%，由于企業(yè)間競爭激烈，每年年底需要從利潤中取出200萬元進行科研技術(shù)發(fā)行與廣告投資方能保持原有的利潤增長率.問經(jīng)過多少年后，該項目的資金可以達到或超過翻兩番(4倍)的目標？(取lg2≈0.3)12345678910111213141516解設(shè)該項目逐年的項目資金數(shù)依次為a1，a2，a3，…，an，n∈N*.則由已知得an＋1＝an(1＋25%)－200，12345678910111213141516∵a1＝1000×(1＋25%)－200＝1050，∵lg2≈0.3，∴不等式化為0.1n≥1.2，∴n≥12.故經(jīng)過12年后，該項目資金可達到或超過翻兩番的目標.123456789101112131415綜合運用16√12345678910111213141516即2n＋1an＋1－2nan＝2.又21a1＝2，∴數(shù)列{2nan}是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴2nan＝2＋(n－1)×2＝2n，1234567891011121314151612.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，Sn＋1＝4an＋2，則a12等于A.20480 B.49152C.60152 D.89150√12345678910111213141516解析由題意得S2＝4a1＋2，所以a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝8，故a2－2a1＝4，又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，因此數(shù)列{an＋1－2an}是以a2－2a1＝4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以a12＝12×212＝49152.1234567891011121314151613.(多選)設(shè)首項為1的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知Sn＋1＝2Sn＋n－1，則下列結(jié)論正確的是A.數(shù)列{Sn＋n}為等比數(shù)列B.數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1－1C.數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列D.數(shù)列{Sn＋1－Sn＋1}為等比數(shù)列√√12345678910111213141516又S1＋1＝2，所以數(shù)列{Sn＋n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故A正確；所以Sn＋n＝2n，則Sn＝2n－n.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－1，但a1≠21－1－1，故B錯誤；由a1＝1，a2＝1，a3＝3可得a1＋1＝2，a2＋1＝2，a3＋1＝4，由Sn＝2n－n，所以Sn＋1－Sn＋1＝2Sn＋n－1－Sn＋1＝Sn＋n＝2n－n＋n＝2n，故D正確.1234567891011121314151614.《塵劫記》是在元代的《算學啟蒙》和明代的《算法統(tǒng)宗》的基礎(chǔ)上編撰的一部古典數(shù)學著作，其中記載了一個這樣的問題：假設(shè)每對老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1個月后，有一對老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2個月后，每對老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.依此類推，假設(shè)n個月后共有老鼠an只，則a12＝_______.2×71212345678910111213141516解析設(shè)n個月后共有an

只老鼠，且雌雄各半，所以n＋1個月后的老鼠只數(shù)an＋1

滿足：所以an＋1＝an＋6an，即an＋1＝7an(n∈N*)，又因為a1＝14≠0，所以數(shù)列{an}是以14為首項，7為公比的等比數(shù)列，所以an＝a1qn－1＝14×7n－1＝2×7×7n－1＝2×7n，即an＝2×7n(n∈N*)，當n＝12時，a12＝2×712.拓廣探究1234567891011121314151615.將一些數(shù)排成倒三角形如圖所示，其中第一行各數(shù)依次為1,2,3，…，2021，從第二行起，每一個數(shù)都等于他“肩上”的兩個數(shù)之和，最后一行只有一個數(shù)M，則M等于1

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