學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE11學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3解三角形的實際應(yīng)用舉例[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)］1．如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A、B兩點間的距離為（)A．50eq\r（2)m B．50eq\r（3）mC．25eq\r(2）m D．eq\f（25\r（2）,2）m解析：選A.由正弦定理得eq\f(AB，sin∠ACB)＝eq\f(AC，sin∠CBA）.又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，故AB＝eq\f（AC·sin∠ACB,sin∠CBA）＝eq\f(50×\f（\r（2),2)，\f(1，2））＝50eq\r（2）(m）．2。如圖，測量河對岸的塔的高度AB時,可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°,CD＝30米，并在C測得塔頂A的仰角為60°，則塔AB的高度為（）A．15eq\r（2）米 B．15eq\r(3)米C．15(eq\r(3)＋1)米 D．15eq\r(6)米解析：選D.在△BCD中，由正弦定理得BC＝eq\f（CDsin30°,sin135°）＝15eq\r(2)（米）．在Rt△ABC中,AB＝BCtan60°＝15eq\r（6)（米)．故選D。3．某艦艇在A處測得遇險漁船在北偏東45°方向且距離為10海里的C處，此時得知，該漁船沿北偏東105°方向，以每小時9海里的速度向一小島靠近，艦艇時速為21海里,則艦艇與漁船相遇的最短時間為（)A．20分鐘 B．40分鐘C．60分鐘 D．80分鐘解析：選B。如圖,設(shè)它們在D處相遇，用時為t小時，則AD＝21t，CD＝9t，∠ACD＝120°,由余弦定理，得cos120°＝eq\f（102＋（9t）2－（21t）2，2×10×9t），解得t＝eq\f(2,3)(負(fù)值舍去)，eq\f（2，3）小時＝40分種，即艦艇與漁船相遇的最短時間為40分鐘．4．渡輪以15km/h的速度沿與水流方向成120°角的方向行駛，水流速度為4km/h，則渡輪實際航行的速度約為（精確到0。1km/h）（）A．14.5km/h B．15。6km/hC．13。5km/h D．11.3km/h解析：選C.由物理學(xué)知識,畫出示意圖，AB＝15，AD＝4,∠BAD＝120°.在?ABCD中，D＝60°，在△ADC中，由余弦定理得AC＝eq\r(AD2＋CD2－2AD·CDcosD）＝eq\r(16＋225－4×15）＝eq\r(181)≈13.5.5．已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東40° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°解析：選B.如圖所示,∠ECA＝40°，∠FCB＝60°，∠ACB＝180°－40°－60°＝80°,因為AC＝BC，所以∠A＝∠ABC＝eq\f(180°－80°，2）＝50°，所以∠ABG＝180°－∠CBH－∠CBA＝180°－120°－50°＝10°。故選B。6．如圖所示為一角槽,已知AB⊥AD，AB⊥BE，并測量得AC＝3mm，BC＝2eq\r（2)mm，AB＝eq\r（29)mm，則∠ACB＝________．解析：在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB＝eq\f(32＋（2\r（2))2－（\r(29))2,2×3×2\r（2））＝－eq\f(\r(2),2).因為∠ACB∈（0，π),所以∠ACB＝eq\f（3π,4）.答案：eq\f(3π,4）7．一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進(jìn)100m到達(dá)點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是__________m.解析:設(shè)水柱的高度是hm，水柱底端為C,則在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，根據(jù)余弦定理，得(eq\r(3）h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°,即h2＋50h－5000＝0，即（h－50)（h＋100)＝0,解得h＝50，故水柱的高度是50m。答案：508．一蜘蛛沿東北方向爬行xcm捕捉到一只小蟲,然后向右轉(zhuǎn)105°，爬行10cm捕捉到另一只小蟲，這時它向右轉(zhuǎn)135°爬行回它的出發(fā)點，那么x＝________．解析：如圖所示，設(shè)蜘蛛原來在O點，先爬行到A點，再爬行到B點，易知在△AOB中，AB＝10cm,∠OAB＝75°，∠ABO＝45°,則∠AOB＝60°,由正弦定理知:x＝eq\f（AB·sin∠ABO，sin∠AOB）＝eq\f（10×sin45°，sin60°）＝eq\f（10\r（6)，3)。答案:eq\f（10\r(6)，3）9．如圖，某軍艦艇位于島嶼A的正西方C處，且與島嶼A相距120海里．經(jīng)過偵察發(fā)現(xiàn)，國際海盜船以100海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿北偏東30°方向逃竄，同時，該軍艦艇從C處出發(fā)沿北偏東90°－α的方向勻速追趕國際海盜船,恰好用2小時追上．（1）求該軍艦艇的速度．（2）求sinα的值．解：（1)依題意知，∠CAB＝120°，AB＝100×2＝200，AC＝120,∠ACB＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos120°＝78400,解得BC＝280。所以該軍艦艇的速度為eq\f(BC,2)＝140海里/小時．（2)在△ABC中，由正弦定理，得eq\f（AB，sinα）＝eq\f（BC,sin120°），即sinα＝eq\f(ABsin120°，BC）＝eq\f(200×\f(\r（3），2），280)＝eq\f(5\r（3）,14）.10。如圖，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前進(jìn)eq\r(30）km到達(dá)D處，看到A在他的北偏東45°方向，B在北偏東75°方向，試求這兩座建筑物之間的距離．解：依題意得，CD＝eq\r(30)km，∠ADB＝∠BCD＝30°＝∠BDC，∠DBC＝120°，∠ADC＝60°，∠DAC＝45°。在△BDC中，由正弦定理得BC＝eq\f(DCsin∠BDC，sin∠DBC）＝eq\f（\r(30）sin30°，sin120°)＝eq\r(10)（km)．在△ADC中,由正弦定理得AC＝eq\f(DCsin∠ADC,sin∠DAC）＝eq\f（\r（30)sin60°，sin45°）＝3eq\r（5)（km)．在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝（3eq\r（5））2＋（eq\r(10)）2－2×3eq\r(5）×eq\r(10）cos45°＝25.所以AB＝5(km)，即這兩座建筑物之間的距離為5km.［B能力提升］11．如圖，某山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳B處看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ABC＝120°，從B處攀登400米后到達(dá)D處,再看索道AC,發(fā)現(xiàn)張角∠ADC＝150°，從D處再攀登800米方到達(dá)C處，則索道AC的長為______米．解析：在△ABD中,BD＝400，∠ABD＝120°,因為∠ADB＝180°－∠ADC＝30°,所以∠DAB＝30°，所以AB＝BD＝400，AD＝eq\r(AB2＋BD2－2AB·BDcos120°）＝400eq\r（3）。在△ADC中,DC＝800，∠ADC＝150°，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝(400eq\r（3))2＋8002－2×400eq\r（3)×800×cos150°＝4002×13,所以AC＝400eq\r（13)，故索道AC的長為400eq\r(13）米．答案：400eq\r(13)12。如圖，在山底測得山頂仰角∠CAB＝45°，沿傾斜角為30°的斜坡走1000m至S點，又測得山頂仰角∠DSB＝75°，則山高BC為______m。解析：如圖，∠SAB＝45°－30°＝15°，又∠SBD＝15°，所以∠ABS＝30°。AS＝1000，由正弦定理知eq\f（BS，sin15°)＝eq\f（1000，sin30°)，所以BS＝2000sin15°。所以BD＝BS·sin75°＝2000sin15°·cos15°＝1000sin30°＝500,且DC＝ST＝1000sin30°＝500，從而BC＝DC＋DB＝1000m.答案：100013。某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型"氣象觀測儀器的垂直彈射高度，如圖，在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射，觀測點A,B兩地相距100m，∠BAC＝60°，在A地聽到彈射聲音的時間比B地晚eq\f(2,17）s．A地測得該儀器在C處時的俯角為15°，A地測得該儀器在最高點H時的仰角為30°，求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音在空氣中的傳播速度為340m/s）解:由題意，設(shè)AC＝xm，則BC＝x－eq\f（2,17)×340＝x－40(m）．在△ABC中，由余弦定理得BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，即(x－40)2＝10000＋x2－100x，解得x＝420.在△ACH中，AC＝420m，∠CAH＝30°＋15°＝45°,∠CHA＝90°－30°＝60°。由正弦定理得eq\f(CH,sin∠CAH）＝eq\f（AC，sin∠AHC)，所以CH＝AC·eq\f(sin∠CAH，sin∠AHC）＝140eq\r(6）(m）．故該儀器的垂直彈射高度CH為140eq\r(6)m。14．(選做題）如圖,某人在塔的正東方向上的C處在與塔垂直的水平面內(nèi)沿南偏西60°的方向以每小時6千米的速度步行了1分鐘以后，在點D處望見塔的底端B在東北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值為60°.（1）求該人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大時，走了幾分鐘；(2）求塔的高AB。（結(jié)果保留根號，不求近似值)．解：（1）依題意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝6000×eq\f(1,60）＝100（m），∠BDC＝45°－30°＝15°，由正弦定理得eq\f(CD,sin∠DBC)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，所以BC＝eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠DBC）＝eq\f（100×sin15°，sin135°）＝eq\f（100×\f（\r(6)－\r（2）,4），\f(\r(2)，2）)＝eq\f(50（\r（6）－\r(2）)，\r(2)）＝50（eq\r(3)－1）(m)，在Rt△ABE中，tanα＝eq\f（AB,BE),因為AB為定長，所以當(dāng)BE的長最小時,α取最大值60°，這時BE⊥CD，當(dāng)BE⊥CD時，在Rt△BEC中,EC＝BC·cos∠BCE＝50(eq\r（3)－1)·eq\f(\r（3),2)＝25(3－eq\r(3）)（m)，設(shè)該人沿南