2022-2023學(xué)年浙江省湖州市三賢聯(lián)盟高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)直線斜率和傾斜角之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由可得，，因此該直線的斜率為，所以直線的傾斜角為，故選：B2．空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則（

）A． B． C． D．A【分析】求出B點(diǎn)坐標(biāo)，然后直接用距離公式計(jì)算即可.【詳解】由點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影可得，則.故選：A.3．直線，，則“”是“”的（

）條件A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件C【分析】利用直線與直線平行時(shí)，斜率相等且截距不相等的性質(zhì)分別討論充分性和必要性即可.【詳解】解：①充分性：當(dāng)時(shí)，，，所以與斜率相等，且截距不相等，故，所以充分；②必要性：，，當(dāng)時(shí)，則，解得：或，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，所以舍去，當(dāng)時(shí)，兩直線斜率相等且截距不相等，符合題意，所以必要.所以“”是“”的充要條件故選：C.4．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究圓錐曲線，用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的截面是圓；當(dāng)平面不垂直于圓錐軸時(shí)得到的截面可能是橢圓．若用周長(zhǎng)為的矩形截某圓錐得到橢圓，且橢圓與矩形的四邊恰好相切．設(shè)橢圓在平面直角坐標(biāo)系中的方程為，下列選項(xiàng)中滿足題意的方程為（

）A． B． C． D．C【詳解】由已知條件，可推得a＋b＝7（a＞b＞0），分別將4個(gè)選項(xiàng)代入驗(yàn)證，即可求解．∵用周長(zhǎng)為28的矩形ABCD截某圓錐得到橢圓，且與矩形ABCD的四邊相切，∴4（a＋b）＝28，即a＋b＝7，對(duì)于A，a＝6，b＝8，不滿足a＞b＞0，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，a＝8，b＝6，a＋b＝14≠7，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，a＝4，b＝3，滿足a＋b＝7，故C正確，對(duì)于D，a＝3，b＝4，不滿足a＞b＞0，故D錯(cuò)誤．故選：C．5．已知是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓的切線，，則點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．A【分析】由切線長(zhǎng)定理可知，點(diǎn)到圓的圓心距離為定值，計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閳A，所以圓心，半徑，由勾股定理得，所以，所以的軌跡為以為圓心為半徑的圓，所以的軌跡方程是.故選：A6．點(diǎn)是棱長(zhǎng)為1的正方體的底面上一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．D【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用函數(shù)最值求解.【詳解】如圖，設(shè)，,，因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)或時(shí)，都取得最大值，故選:D.7．設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，若關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．D【分析】設(shè)，依題意可得，即可得到，，再代入，再由轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，解得即可.【詳解】解：依題意可得，設(shè)，由題意可得，可得，，代入得，即，即，可得，解得（舍去）或，因?yàn)?，所以，則．故選：D．8．已知是圓上兩點(diǎn)，且．若存在，使得直線與的交點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．B【分析】根據(jù)直線與圓相交弦長(zhǎng)可得的中點(diǎn)的軌跡方程為圓，又根據(jù)直線的方程可確定，交點(diǎn)的軌跡，若恰為的中點(diǎn)，即圓與圓有公共點(diǎn)，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：圓，半徑，因?yàn)榍榈闹悬c(diǎn)，直線與圓相交弦長(zhǎng)，所以，的軌跡方程是．又直線過(guò)定點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)，且，則點(diǎn)是兩垂線的交點(diǎn)，所以在以為直徑的圓上，則圓心，半徑為的軌跡方程是由于的斜率存在，所以點(diǎn)的軌跡要除去點(diǎn)，由已知得圓與圓有公共點(diǎn)，，即，又，所以，解得.∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.二、多選題9．已知直線，則（

）A．直線不過(guò)原點(diǎn)B．直線可能與坐標(biāo)軸垂直C．時(shí)，直線與直線垂直D．時(shí)，直線的一個(gè)方向向量為AC【分析】由不滿足直線方程可判斷A，根據(jù)直線方程可得直線的斜率可判斷B，根據(jù)直線的位置關(guān)系可判斷C，根據(jù)直線的方向向量可判斷D.【詳解】因?yàn)橹本€，所以不滿足直線方程，即直線不過(guò)原點(diǎn)，故A正確；由直線方程可知直線的斜率為，且不為0，故直線不可能與坐標(biāo)軸垂直，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，直線，由可知直線與直線垂直，故C正確；當(dāng)時(shí)，直線，直線的一個(gè)方向向量為，而，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．已知兩圓為與，則（

）A．若兩圓外切，則B．若兩圓有3條公切線，則C．若兩圓公共弦所在直線方程為，則D．為圓上任一點(diǎn)，為圓上任一點(diǎn)，若的最大值為，則BCD【分析】對(duì)于AB，根據(jù)圓心距等于半徑之和即可判斷；對(duì)于C，兩圓方程相減求得公共弦所在直線方程，即可判斷；對(duì)于D，根據(jù)的最大值為圓心距加上半徑即可判斷.【詳解】解：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，對(duì)于A，若兩圓外切，則圓心距，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若兩圓有3條公切線，則兩圓外切，則，故B正確；對(duì)于C，兩圓得方程相減得，若兩圓公共弦所在直線方程為，則，解得，故C正確；對(duì)于D，圓心距，則的最大值為，解得，故D正確.故選：BCD.11．已知橢圓，為的右焦點(diǎn)，為的左頂點(diǎn)，為直線與的兩個(gè)交點(diǎn)，則（

）A．的取值范圍是 B．周長(zhǎng)的最小值為C．的面積的最大值為 D．直線與的斜率之積為ABD【分析】根據(jù)橢圓方程求出、、，依題意可得、不可能在軸上，且、兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)橢圓的性質(zhì)求出，即可判斷A，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則再求出，即可判斷B，設(shè)，則，根據(jù)判斷C，表示出直線與的斜率，即可判斷D.【詳解】解：對(duì)于橢圓，則、，所以，所以，，又，為直線與的兩個(gè)交點(diǎn)，顯然直線的斜率不為，且、不可能在軸上，、兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，即，故A正確；設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，根據(jù)對(duì)稱性可得，所以，要使周長(zhǎng)的最小，只需取得最小值，由橢圓的性質(zhì)可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值，即、分別在上、下頂點(diǎn)時(shí)，故B正確；設(shè)，則，則，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值，即、分別在上、下頂點(diǎn)時(shí)，故C錯(cuò)誤；由，，所以，又，所以，所以，故D正確；故選：ABD12．已知正方體中，為正方體表面及內(nèi)部一點(diǎn)，且，其中，則（

）A．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)時(shí)，直線與所成角正弦值的最小值為C．當(dāng)時(shí)，的最小值為D．當(dāng)時(shí)，不存在點(diǎn)，使得平面平面AD【分析】根據(jù)正方體建立合適的空間直角坐標(biāo)系，選項(xiàng)A，B，D按照空間向量的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算即可判斷；選項(xiàng)C根據(jù)軌跡問(wèn)題，確定距離和的最小值，按幾何分析即可計(jì)算判斷.【詳解】解：根據(jù)正方體，如圖，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系則，，，，，，，，由于，所以，即選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，所以，則，又，則，，即是平面的法向量，則點(diǎn)到平面的距離為為定值，故三棱錐的體積為定值，故A正確；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，所以，，則令，則，所以其中，則，設(shè)直線與所成角為，則，即，正弦值的取值范圍為，故直線與所成角正弦值的最小值為，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡在線段上，將面與面鋪平展開(kāi)，最小值為長(zhǎng)度，，，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，則，所以設(shè)平面的法向量為，則，所以設(shè)平面的法向量為，則，所以若平面平面，則，，故方程無(wú)解，即不存在點(diǎn)，使得平面平面，故D正確．故選：AD.三、填空題13．直線在軸上的截距為_(kāi)_____．；【分析】直接令可得答案.【詳解】令，得，解得即直線在軸上的截距為故14．已知若三向量共面，則實(shí)數(shù)______．【分析】利用空間向量共面定理即可求解.【詳解】因?yàn)槿蛄抗裁妫?，即所以，解得，故答案?5.15．如圖，某公園內(nèi)有一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形區(qū)域，點(diǎn)處有一個(gè)路燈，點(diǎn)到的距離是，到的距離是，現(xiàn)過(guò)點(diǎn)建一條直路交正方形區(qū)域兩邊于點(diǎn)和點(diǎn)，若對(duì)區(qū)域進(jìn)行綠化，則此綠化區(qū)域面積的最小值為_(kāi)_____．【分析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，，直線方程為，，利用基本不等式可得答案.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，根據(jù)題意可得直線的斜率存在，設(shè)，，則直線方程為，所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，則此綠化區(qū)域面積的最小值為96．故96.16．已知直線與橢圓在第二象限交于兩點(diǎn)，與軸，軸分別交于兩點(diǎn)，且，則直線的方程為_(kāi)_____．．【分析】設(shè)出直線的方程，求得的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法，建立直線方程中參數(shù)之間的等量關(guān)系，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，取中點(diǎn)，由已知也是中點(diǎn)，，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，，作差整理可得：，即：，，舍去負(fù)根；又，舍去負(fù)根；故直線的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．故答案為.四、解答題17．如圖，在正四面體中，，為棱的中點(diǎn)，為棱（靠近點(diǎn)）的三等分點(diǎn)，設(shè)．(1)用表示；(2)求；(3)求的長(zhǎng)．(1)(2)(3)【分析】(1)用向量加法的三角形法表示，最終用基底表示出來(lái).(2)借助第一問(wèn)的結(jié)論表示出，代入已知條件的長(zhǎng)度和角度可求得.(3)要求的長(zhǎng)度，可以先表示出，用基底表示，代入正四面體的長(zhǎng)度和角度可以求得.【詳解】（1）（2）（3）18．直線經(jīng)過(guò)兩直線與的交點(diǎn)，根據(jù)下列條件分別求直線的方程．(1)直線與直線垂直；(2)直線與直線所成的角為．(1)(2)或【分析】（1）求解直線與直線的交點(diǎn)，再根據(jù)直線與直線垂直即可得直線方程；（2）根據(jù)直線的方向向量確定直線方程的斜率，結(jié)合已知即可求解直線方程.【詳解】（1）解：聯(lián)立，與的交點(diǎn)為．由已知可得的斜率為，直線的方程為即（2）解：直線的一個(gè)方向向量．由已知當(dāng)直線斜率不存在時(shí)不合題意，設(shè)直線的一個(gè)方向向量（為直線的斜率）則有：或直線的方程為或，即或19．如圖，某海面有三個(gè)小島（小島可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)大小），島在島正西方向距島千米處，島在島北偏西方向距島千米處．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的正東方向?yàn)檩S的正方向，千米為一個(gè)單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系．圓經(jīng)過(guò),三點(diǎn)．(1)求圓的方程；(2)若圓區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一漁船在島的南偏東方向距島千米處，正沿著北偏西方向行駛，若不改變方向，試問(wèn)該漁船是否有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．(1)(2)有觸礁危險(xiǎn)；理由見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)求解即可；（2）寫(xiě)出該船航線所在直線方程，求解圓心到直線距離，與半徑比較，分析即得解.【詳解】（1）由已知．設(shè)圓方程為，將三點(diǎn)代入得解得，圓的方程為（2）由已知該船初始位置為點(diǎn)，且該船航線所在直線的斜率為．海船行駛路線即圓心到的距離，有觸礁危險(xiǎn)．20．如圖，在直三棱柱，，．(1)證明：；(2)若三棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)結(jié)合直三棱柱性質(zhì)，利用線面垂直判定定理和性質(zhì)即可證明；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，然后利用面面夾角的向量公式即可求解.【詳解】（1）連接，如下圖：由直三棱柱的性質(zhì)可知，，因?yàn)?，，所以平面．因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)椋瑒t四邊形為正方形，所以，又因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．?）由（1）得平面，從而點(diǎn)到平面的距離為，故，即.以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系:則，，，，設(shè)平面的法向量為，，則，令，則，即，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，則，，即，設(shè)平面與平面夾角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．21．已知圓的方程為，是經(jīng)過(guò)且互相垂直的兩條直線，其中交圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)若，求直線的方程；(2)求面積的最小值．(1)(2)【分析】（1）考慮斜率存在和不存在兩種情況，設(shè)出直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到，解得答案.（2）考慮當(dāng)斜率不存在和不存在兩種情況，計(jì)算圓心到直線的距離和弦長(zhǎng)，得到三角形面積為，對(duì)比斜率不存在的情況得到答案.【詳解】（1）圓的方程為，圓心，半徑．若垂直于軸，則不合題意，故斜率存在，設(shè)為，則的方程為，即．，到的距離，，解得，故直線的方程為，即．（2）由已知，斜率不為0，故斜率存在．當(dāng)斜率不存在時(shí)，方程為，則，此時(shí)方程為，此時(shí)，．當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)即，則圓心到直線的距離為．，方程為，即，，則點(diǎn)到的距離為．.綜上：面積的最小值為．22．已知橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)且與軸平行的直線被橢圓