教設(shè)．2.1直線圓位關(guān)整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析學(xué)生在初中的學(xué)習(xí)中已了解直線與圓的位置關(guān)系可以利用直線與圓的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及圓心與直線的距離d與徑r的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系初學(xué)習(xí)時(shí)，利用圓心與直線的距離d與徑r的系判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法卻以結(jié)論性的形式呈現(xiàn)在高一學(xué)習(xí)了解析幾何以考的問(wèn)題是如何掌握由直線和圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法決題方法主要是幾何法和代數(shù)法中何法應(yīng)該是在初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上合中所學(xué)的點(diǎn)直線的距離公式求出圓心與直線的距離d后較半徑r的系從而作出判斷．適可而止地引進(jìn)用立方程組轉(zhuǎn)化為二次方程判別根的“純代數(shù)判別法”，并與“幾何法”欣賞比較決優(yōu)劣，從而也深化了基本的“幾何法”參的問(wèn)題簡(jiǎn)的弦的問(wèn)題切線問(wèn)等綜合問(wèn)題作為進(jìn)一步的拓展提高或綜合應(yīng)用適地引入課堂教學(xué)中但以深化“判直線與圓的位置關(guān)系”為目的要控制難度雖學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何了幾問(wèn)題代化無(wú)論是思維習(xí)慣還是具體轉(zhuǎn)化方法是似懂非懂，因此應(yīng)不斷強(qiáng)化，逐漸內(nèi)化為學(xué)生的習(xí)慣和基本素質(zhì)．三維目標(biāo)．理解直線與圓的位置關(guān)系，明確直線與圓的三種位置關(guān)系的判定方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．．會(huì)用點(diǎn)到直線的距離來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系及會(huì)利用直線與圓的位置關(guān)系解決相關(guān)的問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)觀察圖形，明確數(shù)與形的統(tǒng)一性和聯(lián)系性．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系的幾何圖形及其判斷方法．教學(xué)難點(diǎn)：用坐標(biāo)法判斷直線與圓的位置關(guān)系．課時(shí)安排時(shí)教學(xué)過(guò)程第時(shí)導(dǎo)入新課思路1.面解析幾何是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容年高考試題中選擇題空題和解答題考查的知識(shí)點(diǎn)有直線方和圓的方程的建立線與圓的位置關(guān)系等本主要學(xué)習(xí)直線與圓的關(guān)系．2222222222222222思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)直線方程＋By＋＝0(，不同時(shí)為零．圓的標(biāo)準(zhǔn)方(x－)＋－b)＝r，圓心為a，)，半徑為r.(3)圓的一般方程

＋y＋＋EyF＝其中D

2

DE＋－4，圓心(，－，半2徑為D

＋

－4F推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題初中學(xué)過(guò)的平面幾何,直線與的位置關(guān)系有幾?在初中我怎樣判斷直線與圓的位置關(guān)系?如何用直線與圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系?判斷直線與圓的位置關(guān)系有幾種方?它的特點(diǎn)是什?討論結(jié)果①中學(xué)過(guò)的平面幾中線與圓的位置關(guān)系有直線與圓相離線圓相切、直線與圓相交三種．②直線與圓的三種位置關(guān)系的含義是：直線與圓的位置關(guān)系相交相切相離

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)只有一個(gè)沒(méi)有

圓心到直線的距離d與半徑r的系<r＝>r

圖形方法一判直線l與的位置關(guān)系，就是看由它們的方程組成的方程組有無(wú)實(shí)數(shù)解；方法二，可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長(zhǎng)的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系．直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法：幾何方法步驟：把直線方程化為一般式，求出圓心和半徑．利用點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到直線的距離．作判斷：當(dāng)d>r時(shí)，直與圓相離；當(dāng)dr時(shí)直線與圓相切；當(dāng)<r時(shí)直線與圓相交．代數(shù)方法步驟：將直線方程圓的方程聯(lián)立成方程組．222222222222222222222222222利用消元法，得到關(guān)于另一個(gè)元的一元二次方程．求出其判別式Δ的．比較Δ與的大小關(guān)系，若Δ＜0則直線與圓相離；若＝，則直線與圓相切；若Δ＞0，則直線與圓相交．反之也成立．應(yīng)用示例思路1知直線l3＋－＝0和心為的關(guān)系．如果相交，求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)．

＋y－2y－4＝，判斷直線l與圓的位活動(dòng)學(xué)思考或交流回顧判的方法與步驟教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問(wèn)題的思路必要時(shí)提示，對(duì)學(xué)生的思維作出評(píng)價(jià)；方法一，判斷直l與的位置關(guān)系，就是看由它們的方程組成的方程組有無(wú)實(shí)數(shù)解法二以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長(zhǎng)的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系．解法一：直線l與的方程，得

3＋－＝0，x＋－2－4＝，

消去y，得x－x＋2＝0.為Δ＝－－××2＝1>0所以直線l與相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)．求交點(diǎn)同解法)解法二：圓x＋－y－＝0可為＋(－＝，其圓心C的標(biāo)為(0,1)，半徑長(zhǎng)×01為5，圓心到線l的離＝＝<，所以直線l與圓相交，有兩個(gè)公＋110共點(diǎn)．由x－x＋2，得x＝2，x＝把＝代方程①，得＝；把＝1代方程1212①，得y＝，所以直線l與相交有個(gè)公共點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別(2,0)和．2點(diǎn)評(píng)比兩種解法，我們可以出，幾何法判斷要比代數(shù)法判斷快得多若求交點(diǎn)，仍需聯(lián)立方程組求解．知圓的方程是x＋＝2，直線y＝x＋b當(dāng)何值時(shí)，圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，只有一個(gè)公共點(diǎn)，沒(méi)有公共點(diǎn)．活動(dòng)學(xué)思考或交流教師引學(xué)生考慮問(wèn)題的思路必要時(shí)提示對(duì)生的思維作出評(píng)價(jià)．我們知道，判斷直線l與的位置關(guān)系，就是看由它們的方程組成的方程組有無(wú)實(shí)數(shù)解或據(jù)圓心到直線的距離半徑長(zhǎng)的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系過(guò)當(dāng)已知圓與直線的位置關(guān)系時(shí)求母的取值范圍曲線公共點(diǎn)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為b為值時(shí)，＝2方程組

有兩組不同實(shí)數(shù)根、有兩組相同實(shí)根、無(wú)實(shí)根的問(wèn)題．圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)只一個(gè)公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為為何值時(shí)圓心到直線距離小于半徑、等于半徑、大于半徑的問(wèn)題．222222222222222222242222222222222222222442解法一若直線l＝＋b和x

＋y＝兩個(gè)公共點(diǎn)、只有一個(gè)公共點(diǎn)、沒(méi)有公共＝2，點(diǎn)，則方程

有兩個(gè)不同解、有兩個(gè)相同解、沒(méi)有實(shí)數(shù)解，消去y，得x

＋＋－＝0，所以＝)－4－2)＝－b.所以，當(dāng)Δ＝164，即－b<2時(shí)，圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)Δ16－＝，即b＝±2時(shí)，圓與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)Δ＝－b沒(méi)有公共點(diǎn)．

，即或b－時(shí)圓與直線解法二圓x＋＝2的圓心C的標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為2圓心C到直線l＝x＋b－×0＋1×0－b的距離＝＝＋1當(dāng)d>r時(shí)，即

b|

>2，b，b>2b－2時(shí)圓與直線沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)＝r時(shí)即

b|

＝2即b＝，b±2時(shí)圓與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)d<r時(shí)，即

b|

<2，b，－2<<2時(shí)，圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)點(diǎn)評(píng)由圓的特殊性判斷圓直線的位置關(guān)系多采用圓心到直線的距離與半徑的大小進(jìn)行比較的方法以我將要學(xué)習(xí)的圓錐曲線與直線位置關(guān)系的判斷需利用方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)判.變式訓(xùn)練已知直線l點(diǎn)(4,0)且圓Ox＋＝相交求線l的斜角α的取值范圍．解法一當(dāng)線l的斜率不存在時(shí)與圓相離故設(shè)直線l的程為y＝k－4)，即kx－y－4k＝因?yàn)橹本€l與O相，所以圓心O到直線l的離小于半徑，即

－k<2，化簡(jiǎn)得<1，所以－1<k，即－1<tank＋π3π當(dāng)≤α<1時(shí)0<；－1<tan時(shí)<<π.π3所以α的值范圍[0，)∪，．解法二當(dāng)線l的斜率不存在時(shí)與圓相離故設(shè)直線l的程為y＝k－4){＝k＋y＝8消去y得＋1)x2－8x＋k－82222220002222222222222200022222222222220022因?yàn)橹本€l與相交，所以－k)－k＋k－，簡(jiǎn)k以同解法)點(diǎn)評(píng)：及直線與圓的位置關(guān)系的問(wèn)題，?？蛇\(yùn)用以上兩種方法．本題若改為選擇題或填空題，也可利用圖形直接得到答.思路2知圓的方程是x＋＝r，經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)(x，)切線方程．0活動(dòng)學(xué)思考討論，教師提示生解題的思路導(dǎo)學(xué)生回顧直線方程的求法既考慮通法又考慮圖形的幾何性質(zhì)．此切線過(guò)(xy)，要確定其方程，只求出其斜率，可0利用待定系數(shù)法(或直求解)．線與圓相切的幾何特征是圓心到切線的距離等于圓的半徑，切線與法線垂直．解法一：點(diǎn)M不坐軸上時(shí)，設(shè)切線的斜率為，半徑OM的率為1因?yàn)閳A的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，所以＝－k1y因?yàn)閗＝，以k－1x00x所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的線方程是y－y＝－x)，0y0整理得xx＋＝＋y.00又因?yàn)辄c(diǎn)M(x，y在圓上，所以x＋＝r0所以所求的切線方程是＋＝r00當(dāng)點(diǎn)M在標(biāo)上時(shí)，可以驗(yàn)證上面的方程同樣適用．解法二：設(shè)P(，)為所求切線上的任意一點(diǎn)，當(dāng)P與M不合時(shí)，△OPM為直角三角形，OP為邊，所OP＝OM＋，＋y＝x＋＋(－x)＋(y－y)000整理得xx＋＝r可以驗(yàn)證，當(dāng)與M重時(shí)同樣適合上式，故所求的切線方程是00xx＋＝r0

解法三：Py)為所求切線上的任意一，當(dāng)點(diǎn)M不坐標(biāo)軸上時(shí)，由OMMPy得k＝，即OMMPx0

y－＝－1整理得xx＋＝rx－000

可以驗(yàn)證，當(dāng)點(diǎn)M在標(biāo)軸上時(shí)，P與M重，同樣適合上式，故所求的切線方程是xx＋yy＝r.02220CM0222222222222222220CM022222222222222222222點(diǎn)評(píng)：果已知圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)，我們可直接利用上述方程寫(xiě)出過(guò)這一點(diǎn)的切線方.變式訓(xùn)練求過(guò)圓：(x－)＋(y－b＝r上點(diǎn)M(x，)的圓的切線方00程．解：設(shè)x≠，≠b所求切線斜率為k，則由圓的切線垂直于過(guò)0－切點(diǎn)的半徑，得k＝－＝，以所求方程為－y＝k－b00x－(－x)，即(－b)(y－b)＋(x－a)(－)＝x－)＋y－).y－000又點(diǎn)Mx，)在圓上，則有－)0

＋－)＝r0

代入上式，得－)(y－)＋－)(x－a)＝r.0當(dāng)x＝或＝b時(shí)仍然成立，所以過(guò)圓C(x－a＋－＝r0上一點(diǎn)Mx，)的圓的切線方程為y)(y－)＋(－)(x－)＝0000r.點(diǎn)(4,5)圓(x－＋＝4引切線，求切線方程．活動(dòng)學(xué)思考交流，提出解題方法想直線方程的求法，先驗(yàn)證點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再利用幾何性質(zhì)解題．解：把點(diǎn)P(4,5)代入x－2)＋y＝，得(－＋5＝29>4，所以點(diǎn)在(x－2)＋＝4外設(shè)切線斜率為，則切線方程為y－＝k－4)，即kx－y＋－k＝0.圓心坐標(biāo)為k－0－421，＝2，因?yàn)閳A心到切線的距離等于徑，即＝，k＝.k＋所以切線方程為21－y＋160.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)有一條切線是＝點(diǎn)評(píng)：過(guò)圓外已知點(diǎn)(x，的圓的切線必有兩條，一般可設(shè)切線斜率為k，寫(xiě)出斜0式方程，再利用圓心到切線的距離等于半徑，寫(xiě)出有關(guān)k的程，求出，因?yàn)橛袃蓷l，所以應(yīng)有兩個(gè)不同的值當(dāng)?shù)玫闹涤幸粋€(gè)時(shí)，說(shuō)明有一條切線斜率不存在為直于x軸直線，所以上一條切線＝x.0變式訓(xùn)練求過(guò)點(diǎn)M，且與－1)＋＝切的直線l的方程．解：設(shè)切線方程為y－＝k(－3)，即kx－y－k＋＝0，因?yàn)閳A心(到切線l的離等于半徑，以

－3＋1|k＋

＝，解得k＝－.所切線方程為y－＝－(－3)，即x＋4＝4當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線的斜率不存在時(shí)其方為＝圓心(1,0)到直線的距離等于半徑2，故直線x＝3也合題意．22222222222222所以直線l的程是3＋4－＝0或x＝3.已知直線l：y＝x＋b與線：y＝－范圍；

有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值(2)若關(guān)于x的等式－＋解集為R，求實(shí)數(shù)b的取值范圍解：(1)圖數(shù)形結(jié))，方程y＝x＋表斜率為，在y軸截距為的直線l圖方程y＝－表單位圓在軸上及其上方的半圓，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，它與半圓交于兩點(diǎn)，此時(shí)b，直線記為l；1當(dāng)直線與半圓相切時(shí)b2，直線記為l.2直線l要半圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，必須滿足ll與l之間包括l但不包括l)11所以≤b<2即所求的b的值范圍[1．(2)不等式－x>＋恒成立，即半圓y＝1－x在線y＝x＋上方，當(dāng)直線l過(guò)(1,0)時(shí)，b＝－1所以所求的b的取值范圍是－∞，．點(diǎn)評(píng)：用結(jié)合解題，有時(shí)常方便直觀．課堂訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)、3、拓展提升圓x＋＝8內(nèi)一點(diǎn)(－，AB為過(guò)點(diǎn)P且斜為α的．003π當(dāng)α＝時(shí)求AB的；當(dāng)?shù)淖疃虝r(shí)求直線的程．3ππ解(1)當(dāng)α＝時(shí)直AB的率為＝tan＝所直線AB的程為y－2－(＋1)即y＝－x＋222222222222，解法一：用弦長(zhǎng)公式)由消y，得2x－2－7＝＝，設(shè)(x，，B，y)，則x＋＝1，x＝，12122所以|＝1－x＝＋＝1×122解法二：幾何法)心距d

，半徑r＝2，長(zhǎng)＝r

－d

2

＝2

－＝30.(2)當(dāng)AB的長(zhǎng)最短O(píng)P⊥AB因?yàn)椋剑?1所以k＝，直AB的程為y－＝(x＋1)，即x－2＋＝AB2課堂小結(jié)判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法：幾何法和代數(shù)法．求切線方程．作業(yè)習(xí)題A組、、設(shè)計(jì)感想本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上進(jìn)行的后面的圓與圓的位置關(guān)系作鋪墊的一節(jié)課本的主題是直和圓在析幾何中直與圓的關(guān)系是一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)可以對(duì)學(xué)生的思維有一很好的鍛煉幾種重要的數(shù)學(xué)思想灌輸給學(xué)生首先一開(kāi)始的復(fù)習(xí)提問(wèn)全面又突出重點(diǎn)是初中學(xué)習(xí)的如何判斷直線和圓的位置關(guān)系？”這個(gè)問(wèn)題為學(xué)生思考提供了很好引導(dǎo)次對(duì)于例題的選擇有很高的要求的題是一個(gè)好教案的重要保證在例題的計(jì)方面本教案共分為三個(gè)層次來(lái)一步步的推進(jìn)讓學(xué)生由淺入深，從思維容量上層層遞進(jìn)，對(duì)學(xué)生的思考和分析都有很好的引導(dǎo)作用，通過(guò)思1的例題、2直線與圓的幾種位置關(guān)系作了鞏固，是每個(gè)生都必須也能夠掌握的．但這幾題雖是基礎(chǔ)題也并不是平淡無(wú)奇的題證了判定的條件和結(jié)論在一定條件下是可以轉(zhuǎn)化的．通過(guò)思路的例題、2對(duì)圓的切線方程的求法進(jìn)行了說(shuō)明和總結(jié)．這個(gè)知識(shí)點(diǎn)與“直線與圓”聯(lián)系起來(lái)而且同又滲透了數(shù)形結(jié)合的思想學(xué)生通過(guò)具體的練習(xí)通過(guò)自主地思考研究來(lái)會(huì)數(shù)學(xué)想對(duì)我們解題和研究的作用題的設(shè)計(jì)給學(xué)生留下了討論的空間僅與直線與圓關(guān)的各知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系了起來(lái)且通過(guò)各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系、綜合應(yīng)用織學(xué)生一起思考起來(lái)應(yīng)用的加強(qiáng)更是體現(xiàn)了“分類活動(dòng)，激發(fā)潛能”的基本要求．備課資料備用習(xí)題．平面α的線AB交α于點(diǎn)B，定點(diǎn)的直線l與垂直，且交于，則222222222222動(dòng)點(diǎn)的跡()A一條直線

B一個(gè)圓

．一個(gè)橢圓

D雙曲線的一支答案：A．圓(x－＋＋＝1的線方程中有一個(gè)()A－＝0B．x＋y＝C．＝D．y＝分析：心為，－3)，半徑為，故此圓必與軸x＝0)相切．答案：點(diǎn)評(píng)：題主要考查圓的定義及直線與圓的位置關(guān)系．＋－x－4－＝0上少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l＋＝的離為22則直線l的斜角的取值范圍()ππππππA[，]B．[，]C．[，]D．[0，]126答案：圓－4－4＋y＝0的心是點(diǎn)PP直線x－y－1＝0的離．答案：

第時(shí)導(dǎo)入新課思路1.艘輪船在沿直線返回港口的途中到象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)風(fēng)心位于輪船正西處受影響的范圍是半徑長(zhǎng)為圓形區(qū)域．已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北km，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？分析：圖，以臺(tái)風(fēng)中心為原點(diǎn)，東西方向?yàn)閤軸建立直角坐標(biāo)系，其中，取km單位長(zhǎng)度．圖則臺(tái)風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓心為O的的方程為＋y＝；輪船航線所在的直線l方程為4x＋7－0.問(wèn)題歸結(jié)為圓心為的與直線l有公共點(diǎn)我繼續(xù)研究直線與圓的位置關(guān)系．推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題過(guò)圓上一點(diǎn)可作幾條切?如求出切線方?過(guò)圓外一點(diǎn)可作幾條切?如求出切線方?22222222222222222222222422過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)可作幾條切?你能概括出求圓切線方程的步驟是什么?⑤如何求直線與圓的交點(diǎn)?⑥如何求直線與圓的相交弦的?討論結(jié)果：①過(guò)圓上一點(diǎn)可作一條切線，過(guò)圓x＋yxx＋＝r；0

＝r

上一點(diǎn)，y)切線方程是0過(guò)圓(－a＋－)＝r上點(diǎn)(x，)的切線方程(x－)()＋(y－)(－)＝r.000過(guò)圓外一點(diǎn)可作兩條切線出線方程有代數(shù)法和幾何法數(shù)的關(guān)鍵是把直線與圓相切這個(gè)幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為聯(lián)立它們的方程組只有一個(gè)解的代數(shù)問(wèn)題過(guò)一元二次方程有一個(gè)實(shí)根的充要條件—＝0去出的值，從而求出切線的方程．用幾何方法去求解，要充分利用直線與圓相切的幾何性質(zhì)，圓心到切線的距離等于圓的半d＝r，求出k的值．過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)不能作圓的切線．求圓的切線方程一般有三種方，一是設(shè)切點(diǎn)，利用①②中的切線公式法；二是設(shè)切線的斜率，用判別式法；三是設(shè)切線的斜率，用圖形的幾何性質(zhì)來(lái)解，即圓心到切線的距離等于圓的半徑(dr)，求出k的．把直線與圓的方程聯(lián)立得方程組，方程組的解即是交點(diǎn)的坐標(biāo)．把直線與圓的方程聯(lián)立得交點(diǎn)的坐標(biāo)兩點(diǎn)的距離公式來(lái)求是利用弦心距、弦長(zhǎng)、半徑之間的關(guān)系來(lái)求．應(yīng)用示例思路1點(diǎn)(－向圓x＋y＝切線，求切線的方程．解：如圖，方法一：設(shè)所求切線的斜率為，則切線方程為＝x＋，因此由方程得x＋(x＋2)＝組＝1圖上述一元二次方程有一個(gè)實(shí)根，Δ＝16k－4(k＋－＝k－＝0，＝±以所求切線的方程為＝(＋2)

，所方法二：設(shè)所求切線的斜率為k則切線方程為＝x＋2)由于圓心到切線的距離等2222222222222222222222222222222222222222于圓的半徑dr)，所以d

＝1解得＝＋所以所求切線的方程為y＝

(＋．方法三：利用過(guò)圓上一點(diǎn)的切線的結(jié)論，可假設(shè)切點(diǎn)為(x，)，此時(shí)求得切線方程0為xx＋＝1.后利用點(diǎn)－在切線上得到x＝1，中解得＝－003再由點(diǎn)(x，y在圓上，所以滿足x＋y＝，即＋y＝，解出y＝.0004±－y－02這樣就可求得切線的方程為＝，整理得＝±(＋2)．x＋23－＋點(diǎn)評(píng)：過(guò)圓外一點(diǎn)向圓可作兩條切線，可用三種方法求出切線方程，其中以幾何“＝”比較好(簡(jiǎn)便)變式訓(xùn)練已知直線l的斜率為，且與圓x

＋y＝

只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的程．活動(dòng)：生思考，觀察題目的特點(diǎn)，見(jiàn)題想法，教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問(wèn)題的思路，必要時(shí)給予提示，直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，說(shuō)明直線與圓相切．可利用圓的幾何性質(zhì)求解．圖解：圖，方法一：設(shè)所求的直線方程為＝＋b，圓心到直線的距離等于圓半徑，得d

b|＋

＝r，b±r1k，求得切線方程是yr＋.方法二：設(shè)所求的直線方程為ykxb，直線l與x＋y＝只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以它們組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，{＝＋bx＋＝r，得x＋(＋b2，即xk

＋＋2kbx＋

＝1由＝r＋k，得線方程是＝r＋k2222222222222222222222222222222222222222已圓的方程為＋y

＋ax＋2＋

＝0，一定點(diǎn)為(1,2)要使過(guò)定點(diǎn)A(1,2)圓的切線有兩條，求a的值范圍．活動(dòng)學(xué)討論，教師指導(dǎo)，教提問(wèn)，學(xué)生回答，教師對(duì)學(xué)生解題中出現(xiàn)的問(wèn)題及時(shí)處理，利用幾何方法，點(diǎn)(1,2)圓外，即到圓心的距離大于圓的半徑．4aa解：將圓的方程配方得＋)＋＋＝，圓心C的坐標(biāo)為－，－，半徑r＝

－

2，條件是4－3＞0，過(guò)點(diǎn)A(1,2)所作圓的切有兩條，則點(diǎn)必圓外，即

－a

2化簡(jiǎn)，得＋＋＞，由

＋a＋，4a，2解得－＜a，aR.2所以－＜a故取值范圍是－，．3點(diǎn)評(píng)：過(guò)圓外一點(diǎn)可作圓的兩條線，反之經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可作圓的兩條切線，則該點(diǎn)在圓外．同時(shí)注意圓的一般方程的條件．思路2知過(guò)點(diǎn)(－3，3)直線l被＋y＋y－＝所得的弦長(zhǎng)為5求直線l的程．活動(dòng)：學(xué)生思考或討論，教師引學(xué)生考慮問(wèn)題的思路，求直線l的程，一般設(shè)點(diǎn)斜式，再求斜率．這里知道弦長(zhǎng)，半徑也知道，所以弦心距可求，如果設(shè)出直線的方程，由點(diǎn)到直線的距離等于弦心距求出斜率外也可利用弦長(zhǎng)公式合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解．解法一：圓的方程寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形有＋(y＋2)＝25，所以圓心(0－2)半徑為因?yàn)橹本€l被x＋y＋y－21＝截得的弦長(zhǎng)為5所以弦心距為5－5，圓心到直線的距離為，由于直線過(guò)點(diǎn)M－，3)，所以可設(shè)直線l的程為y＋＝k(x＋3)，即－y＋3－＝＋3－根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，圓心到直線的距離為5，因此＝＝5，兩邊平k＋方整理得2k

－3－＝，得k＝－，k＝2.所以所求的直線l的程＋3＝－＋或y＋32(x＋y＋9＝0或2－y222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222＋3解法二：直線l和知圓＋＋y－＝0的點(diǎn)為A，y)，(x，)，直線l112的斜率為k，由于直線過(guò)點(diǎn)M－3－3)，所以可設(shè)直線l的程為y＋3＝(x＋3)，即y＝kx＋3－3.代入圓的方程＋＋y－＝0，并整理得(1k

)x

＋2k－1)x＋－

－25k＝0.合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系有＋x＝，x＝.11k11k|＝

－x＝1212

－x＝12

＝12x121因?yàn)閨＝45，所以有1＋k

)[(＋x)－x]＝②1212把①式代入②式，得＋k){[－

211]－}80.經(jīng)整理，得2k－3k＋1k－20，解得k＝－，k＝所以所的直線l的程為y＋＝－(x＋3)或y＋3＝2(x＋，即x＋2＋9＝0或2－＋3點(diǎn)評(píng)解法一突出了適當(dāng)?shù)乩眯蔚膸缀涡再|(zhì)有助于簡(jiǎn)化計(jì)算調(diào)圖形在解題中的作用，加強(qiáng)了數(shù)形結(jié)合；解法二是利用直線被曲線截得的弦長(zhǎng)公式求出斜率后求直線方程，思路簡(jiǎn)單但運(yùn)算較繁.變式訓(xùn)練已知圓C＋(y－，線l：＋1m＝求證：對(duì)R直線l圓C總兩個(gè)不同的交點(diǎn)；設(shè)l與C交不同的兩點(diǎn)A、，＝，求l的傾斜角；求弦的點(diǎn)M的跡方程；AP1(4)若定點(diǎn)分AB為＝，此時(shí)直線l方程．PB2解(1)判斷圓心到直線的距離小于徑即可用直線系過(guò)定點(diǎn)P(1,1)求解；點(diǎn)在內(nèi)．利弦心距、半徑、弦構(gòu)成的直角三角形求弦長(zhǎng)，得m±所ππ以或.3(3)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y，連接、CP因?yàn)镃，P，＋|＝CP，所以x＋y1)＋(x＋(－1)＝1，整理得軌跡方程為＋－x－2＋＝0(x≠．222222222222222222222222222222222222AP1＋x(4)設(shè)(x，)，Bx，)由＝，＝①11又由直線方程和圓的方程聯(lián)立(＋m)x－2mx＋－＝，(*)m故x＋＝②12＋＋由①②，得x＝，代(*)，解得＝±1.1＋所以直線l的程為x－＝0＋－2＝知直線l＝(x＋22)與圓O＋y＝相于AB兩點(diǎn)O坐標(biāo)原點(diǎn)eq\o\ac(△,，)的面積為，①試將S表成k的數(shù)Sk，指出它的定義域；②求最大值，并求出取得最大值時(shí)的值活動(dòng)：學(xué)生審題，再思考討論，教師提示學(xué)生欲eq\o\ac(△,求)的積，應(yīng)先求直線被圓截得的弦長(zhǎng)|，將表示成k的數(shù)．解：①如圖5所示，直線的方程為kx－＋22＝0(k≠0)，點(diǎn)到l間的距離為OC＝

2|k|k＋

，圖弦長(zhǎng)|＝2－OC

＝

4＝4＋

－＋

，42·∴△的積＝AB|·|＝.1＋k∵|>0，∴－k0)．∴()＝－<1≠．＋2222222222222222222222222222222222②△的積＝OAOB∠AOB＝∠，∴當(dāng)∠AOB＝90°時(shí)，＝，此時(shí)OC＝2，＝，

2|＝2.＝±.k＋點(diǎn)評(píng)：在涉及到直線被圓截得的長(zhǎng)時(shí)，要巧妙利用圓的有關(guān)幾何性質(zhì)，如本題中的eq\o\ac(△,Rt)，其中為圓的半徑，BC為長(zhǎng)的一半.變式訓(xùn)練已知x，y滿足＋y－2＋y＝0，求x－2y的大值．活動(dòng)：學(xué)生審題，再思考討論，從表面上看，這是一個(gè)代數(shù)問(wèn)題，可用代數(shù)方法來(lái)解決．但細(xì)想后會(huì)發(fā)現(xiàn)比較復(fù)雜，它需把二次降為一次．教師提示學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合或判別式法．解法一：(何解法：設(shè)－2y＝b則點(diǎn)x，既在直線x－2y＝b上，又在圓x＋－x＋4＝上即直線－2y＝b和x＋－＋4y|5＝0有交點(diǎn)圓(12)到直線的距離小于或等于半徑以≤所≤b≤，b的最大值是10.解法二：代數(shù)解法：設(shè)x－y＝b代入方程x＋－2x＋4＝0得y＋b＋－2(2＋)＋＝，5y＋4＋b－＝由這個(gè)一元二次方程有解，所以其判別式－b

－b)＝40－4

≥0，即－10≤0,0≤≤10.以求出最大值是10.點(diǎn)評(píng)：比較兩個(gè)解法，我們可以看到，數(shù)形結(jié)合的方法難想但簡(jiǎn)單，代數(shù)法易想但較繁，要多練習(xí)以抓住規(guī)知圓C：x－1)＋－2)＝25直線l＋x＋m＋m＝R)．(1)證明不論取么實(shí)數(shù)，直線l與恒交于兩點(diǎn)；(2)求直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)l方程．活動(dòng)學(xué)先思考，然后討論，師引導(dǎo)學(xué)生考慮問(wèn)題的方法，由于直線過(guò)定點(diǎn)，如果該定點(diǎn)在圓內(nèi)，此題便可解得．最短的弦就是與過(guò)定點(diǎn)與此直徑垂直的弦．解：(1)證明：因?yàn)閘的程為x＋y－＋(2x＋y＝因?yàn)椤剩?，解得0，

即l恒定點(diǎn)A．因?yàn)閳A心(1,2)，＝5半徑)，所以點(diǎn)A在圓，從而直線l恒圓C相交于兩點(diǎn)(2)弦長(zhǎng)最小時(shí)，l⊥，由k＝，所以l的程x－y－＝0.AC點(diǎn)評(píng)證直線與圓恒相交一可以將直線與圓的方程聯(lián)立得方程組而轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)判別式與大小來(lái)判斷，這是通性通法，但過(guò)程繁瑣，計(jì)算量大；二是2222222222212112222252222222222222121122222522說(shuō)明直線過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)，由此直線與圓必相交．對(duì)于圓中過(guò)點(diǎn)弦，以徑為最長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)與此直徑垂直的弦為最變式訓(xùn)練求圓x

＋y＋x－y＋＝0上點(diǎn)直線＝1的最近距離和最遠(yuǎn)距離．解：圓方程化為(x＋＋－1)

＝，圓心(－到直線＝－距離為d

－2－1|＋

＝2，所以所求的最近距離為2－，最遠(yuǎn)距離為22知能訓(xùn)練．已知直線l：y＝2－，圓：

＋y＋x＋y＋＝0請(qǐng)判斷直線l與C的置關(guān)系，若相交，則求直線l被所的線段長(zhǎng)．活動(dòng)請(qǐng)家獨(dú)立思考，多想些法．然后相互討論，比較解法的不同之處．學(xué)生進(jìn)行解答，教師巡視，掌握學(xué)生的一般解題情況．，解法一：方程組＋x＋4＋＝0，

，解得

或

x＝－，y＝－，8即直線l與C的點(diǎn)坐標(biāo)，)和(－1，，則截得線段長(zhǎng)為5.5解法二：方程組(略)消去，得5x＋x－30x＝，12設(shè)直線與圓交點(diǎn)為A(x(中為－)5xx＝，1得－x)＝.則所截線段長(zhǎng)為|＝121解法三：心C為(－，2)，半徑r＝2設(shè)交點(diǎn)為