盧春蓮luchunlian@哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院工程光學(xué)

——光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)球差的表示方法：：孔徑光線的像距；：近軸（理想）像點(diǎn)的像距；符號(hào)規(guī)則：由理想像點(diǎn)計(jì)算到實(shí)際光線交點(diǎn)光學(xué)系統(tǒng)的幾何像差——球差軸上像點(diǎn)的單色像差--球差：

不同口徑光線和光軸交點(diǎn)到理想像面的距離。垂軸球差（彌散斑的直徑）光學(xué)系統(tǒng)的幾何像差——球差光學(xué)系統(tǒng)的幾何像差——球差球差曲線：光學(xué)系統(tǒng)的幾何像差——球差球差的影響因素

由球差的定義可知，球差是孔徑角u或孔徑高度h的函數(shù)?？紤]到：球差關(guān)于光軸有對(duì)稱性，球差的級(jí)數(shù)展開式中只能有偶次項(xiàng)；當(dāng)U=0或h=0時(shí)，球差為0所以球差的級(jí)數(shù)展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；球差是光軸上的物點(diǎn)對(duì)應(yīng)的像差，且與視場(chǎng)無關(guān)，所以球差的級(jí)數(shù)展開式為：

第一項(xiàng)為初級(jí)球差，第二項(xiàng)為二級(jí)球差，第三項(xiàng)為三級(jí)球差，二級(jí)以上的球差都統(tǒng)稱為高級(jí)球差。A1（a1）、A2（a2）、A3（a3）分別稱為初級(jí)球差系數(shù)、二級(jí)球差系數(shù)和三級(jí)球差系數(shù)。

光學(xué)系統(tǒng)的幾何像差——球差球差的影響因素

大部分光學(xué)系統(tǒng)二級(jí)以上的更高級(jí)球差很小，可忽略，其球差可近似用初級(jí)和二級(jí)球差之和表示：

其中，初級(jí)球差與孔徑高度的平方成正比，二級(jí)球差與孔徑高度的四次方成正比。當(dāng)孔徑較大時(shí)，高級(jí)球差也隨之較大。

具有初級(jí)球差與二級(jí)球差時(shí)的特征

：①或

非常微小，為近軸區(qū)，

。②或

很小，僅有初級(jí)球差，稱Seidel區(qū)，只需要計(jì)算一條邊光即可確定公式中的系數(shù)。③或

有一定大小，四次項(xiàng)不可忽略，即具有初級(jí)和二級(jí)像差，只要計(jì)算兩條光線的球差值，就可確定各項(xiàng)系數(shù)。光學(xué)系統(tǒng)的幾何像差——球差球差的影響因素光學(xué)系統(tǒng)的幾何像差——球差單個(gè)折射球面的球差和球差分布公式

推導(dǎo)可得，對(duì)光學(xué)系統(tǒng)中某折射球面

有：

其中，第一項(xiàng)將物方球差以一個(gè)放大倍率傳遞到像面，表示物方球差對(duì)像空間的貢獻(xiàn)；第二項(xiàng)是該表面對(duì)最后球差的貢獻(xiàn)。其中折射球面的球差分布系數(shù)為：

光學(xué)系統(tǒng)的幾何像差——球差單個(gè)折射球面的球差和球差分布公式

令

，得到三個(gè)無球差點(diǎn)：

。

這一對(duì)不產(chǎn)生球差的共軛點(diǎn)在球面的同一邊，且都在球心之外，不是使實(shí)物成虛像，就是使虛物成實(shí)像。該對(duì)共軛點(diǎn)通常稱為不暈點(diǎn)或齊明點(diǎn)。利用齊明點(diǎn)的特性制作成齊明透鏡可以增大物鏡的孔徑角，這個(gè)經(jīng)驗(yàn)在顯微物鏡和照明系統(tǒng)設(shè)計(jì)中廣泛采用。

一對(duì)齊明點(diǎn)：

，，

此時(shí)

必為實(shí)物成虛像或虛物成實(shí)像。此時(shí)該面不產(chǎn)生球差，稱齊明面。加同心面可得齊明透鏡。光學(xué)系統(tǒng)的幾何像差——球差齊明點(diǎn)、齊明面與齊明透鏡光學(xué)學(xué)系系統(tǒng)統(tǒng)的的幾幾何何像像差差———球差差薄透透鏡鏡與與薄薄透透鏡鏡系系統(tǒng)統(tǒng)的的初初級(jí)級(jí)球球差差正透透鏡鏡恒恒產(chǎn)產(chǎn)生生負(fù)負(fù)球球差差，，負(fù)負(fù)透透鏡鏡恒恒產(chǎn)產(chǎn)生生正正球球差差。。光學(xué)學(xué)系系統(tǒng)統(tǒng)的的幾幾何何像像差差———球差差球差差的的校校正正：：鑒于于正正負(fù)負(fù)透透鏡鏡產(chǎn)產(chǎn)生生不不同同符符號(hào)號(hào)的的球球差差，，因因此此，，欲欲獲獲得得一一個(gè)個(gè)消消球球差差的的系系統(tǒng)統(tǒng)，，只只有有當(dāng)當(dāng)正正、、負(fù)負(fù)透透鏡鏡組組合合起起來來才才有有可可能能使使得得球球差差得得到到校校正正。。最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的的形形式式有有雙雙膠膠合合光光組組和和雙雙分分離離光光組組。。設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)時(shí)時(shí)，，根根據(jù)據(jù)其其他他要要求求確確定定了了兩兩塊塊透透鏡鏡的的光光焦焦度度以以后后，，就就可可以以采采用用整整體體彎彎曲曲的的辦辦法法達(dá)達(dá)到到校校正正球球差差的的目目的的。。如果校校正后后的光光學(xué)系系統(tǒng)的的，稱為為球差差校正正不足足或欠欠校正正；如果校校正后后的光光學(xué)系系統(tǒng)的的，稱為為球差差校正正過頭頭或過過校正正；光學(xué)系系統(tǒng)的的幾何何像差差——球差球差的的校正正：值得注注意的的是：：①實(shí)際上上，球差是是無法法完全全消除除的，也沒沒有必必要完完全消消除球球差，，只要要球差差足夠夠小在在一定定的公公差范范圍內(nèi)內(nèi)就可可以了了。②有些光光學(xué)公公司在在設(shè)計(jì)計(jì)鏡頭頭時(shí)為為了達(dá)達(dá)到特特殊的的性能能要求求，有有時(shí)并并不一一定要要針對(duì)對(duì)邊緣緣光線線消球球差，，即有時(shí)時(shí)故意意設(shè)計(jì)計(jì)成欠欠校正正或過過校正正的情情況。如高高倍顯顯微物物鏡。。光學(xué)系系統(tǒng)的的幾何何像差差——球差球差的的校正正：③光闌只只能讓讓近軸軸光線線成理理想的的像，，如圖圖所示示。光學(xué)系系統(tǒng)的的幾何何像差差——球差球差的的校正正：④球面反反射鏡鏡僅當(dāng)當(dāng)物點(diǎn)點(diǎn)位于于頂點(diǎn)點(diǎn)和球球心時(shí)時(shí)無球球差。。⑤所有的的回轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)二次次非球球面反反射鏡鏡都有有一對(duì)對(duì)不產(chǎn)產(chǎn)生球球差的的共軛軛點(diǎn)。。其中中，拋拋物面面鏡的的共軛軛點(diǎn)是是無窮窮遠(yuǎn)軸軸上點(diǎn)點(diǎn)和焦焦點(diǎn)；；橢球球面鏡鏡和雙雙曲面面鏡的的共軛軛點(diǎn)是是它們們的一一對(duì)焦焦點(diǎn)。。這些些回轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)二次次非球球面反反射鏡鏡都有有實(shí)際際的應(yīng)應(yīng)用。。⑥所有的的像差差并不不是獨(dú)獨(dú)立存存在的的。如如大口口徑的的透鏡鏡，軸軸上物物點(diǎn)成成像產(chǎn)產(chǎn)生了了球差差和色色差，，同時(shí)時(shí)還伴伴有圓圓孔衍衍射的的情形形，如如上圖圖所示示。光學(xué)系系統(tǒng)的的幾何何像差差——位置色色差和和二級(jí)級(jí)光譜譜位置色差差：由于不同同波長(zhǎng)的的光在介介質(zhì)中的的折射率率不同，，所以光光軸上發(fā)發(fā)出的白白光光束束經(jīng)光學(xué)學(xué)系統(tǒng)后后和光軸軸的交點(diǎn)點(diǎn)不同。。所以，不同顏色色的光球球差曲線線不同。光學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)的幾何何像差——位置色差差和二級(jí)級(jí)光譜位置色差差：兩像距之之差稱為為位置色差差，光學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)的幾何何像差——位置色差差和二級(jí)級(jí)光譜位置色差差：上圖是不不同位置置時(shí)軸上上點(diǎn)復(fù)色色光和單單色光形形成的彌彌散斑，，可見：位位置色差差和球差都是是軸上點(diǎn)點(diǎn)像差位置色差差和球差差都產(chǎn)生生圓形彌彌散斑位置色差差產(chǎn)生彩彩色圓形形彌散斑斑，球差差產(chǎn)生單單色圓形形彌散斑斑光學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)的幾何何像差——位置色差差和二級(jí)級(jí)光譜位置色差差：通過推導(dǎo)導(dǎo)，可得得光學(xué)系系統(tǒng)初級(jí)位置置色差的公式：：其中，和分別是像像方和物物方介質(zhì)質(zhì)的色散散，如對(duì)對(duì)F光和C光計(jì)算色色差，有有。和為D光的折射射率。光學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)的幾何何像差——位置色差差和二級(jí)級(jí)光譜位置色差差的校正正：因此，單單個(gè)透鏡鏡不能校校正色差差，單正正透鏡具具有負(fù)色色差，單單負(fù)透鏡鏡具有正正色差，，色差的的大小與與光焦度度成正比比，與阿阿貝數(shù)成成反比，，與結(jié)構(gòu)構(gòu)形狀無無關(guān)，因因此消色色差的光光學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)必須由由正、負(fù)負(fù)透鏡組組合而成成。光學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)的幾何何像差——位置色差差和二級(jí)級(jí)光譜二級(jí)光譜譜：一些光學(xué)學(xué)系統(tǒng)，，如雙膠膠合物鏡鏡可以將將D光球差校校正到邊邊緣光線線球差接接近為零零。0.707口徑光線線球差最最大，F(xiàn)光和C光球差曲曲線在0.707處相交。。這種物物鏡稱為為消色差物物鏡。F光和C光球差曲曲線交點(diǎn)點(diǎn)和D光球差曲曲線在0.707口徑處的的距離為為二級(jí)光光譜，用用表示。光學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)的幾何何像差——位置色差差和二級(jí)級(jí)光譜二級(jí)光譜譜：三片以上上的透鏡鏡系統(tǒng)可可以做到到F光、C光和D光的球差差曲線在在0.707口徑處相相交，即即二級(jí)光光譜為零零。這種種物鏡稱稱為復(fù)消色物物鏡。光學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)的幾何何像差——場(chǎng)曲(像面彎曲曲)理想光學(xué)學(xué)系統(tǒng)成成像時(shí)，，物面為為平面，，像面也也為平面面。實(shí)際際光學(xué)系系統(tǒng)由于于折射面面一般為為球面（（或非球球面），，成像面面變?yōu)榍?，此此曲面和和理想成成像平面面之差稱稱為場(chǎng)曲。用表示。從單個(gè)折折射面便便可清楚楚看出場(chǎng)場(chǎng)曲形成成的原因因。光學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)的幾何何像差——場(chǎng)曲(像面彎曲曲)通過推導(dǎo)導(dǎo)，可得得光學(xué)系系統(tǒng)場(chǎng)曲的公式：：為第四賽賽得和數(shù)數(shù)也叫匹茲凡和和。場(chǎng)曲的大大小和視場(chǎng)的平平方成正比。。光學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)的幾何何像差——場(chǎng)曲(像面彎曲曲)場(chǎng)曲的校校正單個(gè)薄透透鏡的匹匹茲凡和和：①單薄透鏡鏡的由所決定。。②與同號(hào)，與與薄透鏡鏡形狀無無關(guān)。一一般不為為零。所所以單薄薄透鏡不不能校正正匹茲凡凡和。光學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)的幾何何像差——場(chǎng)曲(像面彎曲)場(chǎng)曲的校正正薄透鏡系統(tǒng)統(tǒng)的匹茲凡凡和：①接觸的薄系系統(tǒng)：一般總光焦焦度大于0，折射率相相差不大，，匹茲凡和和不可能為為零。②分離的薄系系統(tǒng)：正正分離對(duì)對(duì)校正更不利，正正負(fù)分離可可校正。結(jié)論：正負(fù)負(fù)光焦度的的分離是校校正匹茲凡凡和的唯一一方法。厚透鏡可看看成正透鏡鏡＋平板＋＋負(fù)透鏡。。光學(xué)系統(tǒng)的的幾何像差差——畸變和倍率率色差當(dāng)主光線的的實(shí)際角放放大率不等等于＋1時(shí)，即像方方主光線不不和物方主主光線平行行時(shí)，像方方主光線和和理想像面面的交點(diǎn)不不和理想像像點(diǎn)重合，，這種現(xiàn)象象稱為畸變，用表示。光學(xué)系統(tǒng)的的幾何像差差——畸變和倍率率色差實(shí)際像高比比理想像高高大，稱正正畸變，反反之稱負(fù)畸畸變。根據(jù)據(jù)畸變的正正負(fù)，等距距的同心圓圓將會(huì)變成成不同形狀狀的不等距距的同心圓圓，正方網(wǎng)網(wǎng)格也會(huì)變變成枕形或或桶形。光學(xué)系系統(tǒng)的的幾何何像差差——畸變和和倍率率色差差畸變和和視場(chǎng)場(chǎng)的三三次方方成正正比。。不同同視場(chǎng)場(chǎng)的垂垂軸放放大率率不同同。在在光學(xué)學(xué)設(shè)計(jì)計(jì)中，，通常常用相相對(duì)畸畸變q表示:不同波波長(zhǎng)的的光畸畸變不不同，，即不不同顏顏色的的光主主光線線角放放大率率不等等，造造成即即使在在同一一視場(chǎng)場(chǎng)不同同波長(zhǎng)長(zhǎng)光的的垂軸軸放大大率不不等。。在像像面上上垂軸軸方向向色差差的出出現(xiàn)，，稱為為倍率率色差差，用用表示。。即F光和C光與理理想像像面交交點(diǎn)高高度之之差。。光學(xué)系系統(tǒng)的的幾何何像差差——畸變和和倍率率色差差畸變的的校正正：①對(duì)于一一般光光學(xué)系系統(tǒng)，，只要要相對(duì)對(duì)畸變變小于于4%即可認(rèn)認(rèn)為眼眼睛感感覺不不出像像的明明顯變變形。。但是是對(duì)于于計(jì)量量用的的光學(xué)學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)而言言，如如航測(cè)測(cè)鏡頭頭，則則要求求相對(duì)對(duì)畸變變?cè)趲讕兹f分分之幾幾，這這樣的的要求求使得得畸變變校正正十分分困難難，或或?qū)е轮络R頭頭結(jié)構(gòu)構(gòu)十分分復(fù)雜雜。②結(jié)構(gòu)完完全對(duì)對(duì)稱的的光學(xué)學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)以－－1倍成像像時(shí)，，畸變變自然然消除除。由由于結(jié)結(jié)構(gòu)對(duì)對(duì)稱于于孔闌闌，放放大率率恒等等于－－1，不會(huì)會(huì)產(chǎn)生生畸變變。（（所有有垂軸軸像差差均可可相互互抵消消）③對(duì)于單單個(gè)薄薄透鏡鏡或薄薄透鏡鏡組而而言，，當(dāng)孔孔徑光光闌與與之重重合時(shí)時(shí)，也也不產(chǎn)產(chǎn)生畸畸變，，這是是因?yàn)闉榇藭r(shí)時(shí)的主主光線線恰好好通過過系統(tǒng)統(tǒng)的主主點(diǎn)。。當(dāng)孔孔徑光光闌位位于薄薄透鏡鏡（組組）之之前或或之后后時(shí)，，就會(huì)會(huì)產(chǎn)生生畸變變。光學(xué)系系統(tǒng)的的幾何何像差差——正弦差差與彗彗差光學(xué)上上的正正弦條條件是是當(dāng)光光學(xué)系系統(tǒng)對(duì)對(duì)軸上上點(diǎn)成成完善善像時(shí)時(shí)，使使在垂垂軸方方向上上與之之無限限靠近近的物物點(diǎn)也也成完完善像像的充充要條條件。。也就就是說說，若若光學(xué)學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)滿足足正弦弦條件件，就就能對(duì)對(duì)小視視場(chǎng)物物面完完善成成像（（也可可由費(fèi)費(fèi)馬原原理導(dǎo)導(dǎo)出））。此此時(shí)，，光學(xué)學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)既無無球差差也無無正弦弦差，，這就就是所所謂的的不暈暈成像像。正弦條條件：物距無無限遠(yuǎn)遠(yuǎn)：正弦條條件軸外點(diǎn)點(diǎn)和軸軸上點(diǎn)點(diǎn)具有有同樣樣成像像缺陷陷的現(xiàn)現(xiàn)象稱稱之為為等暈暈成像像。滿滿足等等暈成成像的的條件件稱為為等暈暈條件件。等暈條條件等暈條條件：：:系統(tǒng)最最后一一光學(xué)學(xué)面到到出射射光瞳瞳的距距離光學(xué)系系統(tǒng)的的幾何何像差差——正弦差差與彗彗差偏離等等暈條條件的的程度度用正正弦差差SC‘表示：：正弦差差光學(xué)系系統(tǒng)的的幾何何像差差——正弦差差與彗彗差正弦差差與球差差和光光闌的的位置置有關(guān)關(guān)：正弦差差光學(xué)系系統(tǒng)的的幾何何像差差——正弦差差與彗彗差彗差是是小視視場(chǎng)大大孔徑徑像差差。為簡(jiǎn)化起起見，設(shè)入入瞳和出瞳瞳重合，根根據(jù)定義軸軸外物點(diǎn)和和光軸構(gòu)成成的平面為為子午面，，過主光線線作子午面面的垂面為為弧矢面。。圖中畫出出通過孔徑徑邊緣上8個(gè)點(diǎn)的光線線在像面上上的4個(gè)交點(diǎn)。彗差光學(xué)系統(tǒng)的的幾何像差差——正弦差與彗彗差可以看出通通過孔徑邊邊緣的光線線在像面上上的交線為為一個(gè)圓。。同理，孔孔徑中間圓圓周通過的的光線對(duì)應(yīng)應(yīng)于圖中的小圓。越靠近孔徑徑中心的圓圓周，通過過它的光線線的交線形形成的圓越越小，且越越靠近主光光線和像面面的交點(diǎn)B‘。全孔徑光光束在像面面形成的光光斑為彗星星狀，故稱稱彗差。根據(jù)彗差的的定義，彗彗差是與孔徑角U（或h）和視場(chǎng)y（或ω）都都有關(guān)的像像差。彗差光學(xué)系統(tǒng)的的幾何像差差——正弦差與彗彗差彗差光學(xué)系統(tǒng)的的幾何像差差——正弦差與彗彗差彗差彗差造成彌彌散斑的特特點(diǎn)是：靠靠近主光線線的細(xì)光束束交于主光光線上形成成一個(gè)亮點(diǎn)點(diǎn)，而遠(yuǎn)離離主光線的的不同孔徑徑高度的光光束形成的的像點(diǎn)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)離主光線線的不同圓圓環(huán)；使得得能量分散散但主要集集中在主光光線交點(diǎn)及及其附近，，從而影響響光學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)的成像質(zhì)質(zhì)量。光學(xué)系統(tǒng)的的幾何像差差——正弦差與彗彗差彗差與正弦弦差的關(guān)系系彗差和正弦弦差都表示軸外外物點(diǎn)寬光光束經(jīng)光學(xué)學(xué)系統(tǒng)成像像后的失對(duì)對(duì)稱性的情情況。正弦差僅僅適用于于具有小小視場(chǎng)的的光線系系統(tǒng)，而而彗差可可以用來來表示任任何視場(chǎng)場(chǎng)角的光光學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)的成像偏偏差情況況。初級(jí)彗差差和正弦弦差的關(guān)關(guān)系是：：光學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)的幾何何像差——正弦差與與彗差彗差的校校正彗差是軸外像差的的一種，，它破壞壞了軸外外斜光束束成像的的清晰度度。由于于彗差會(huì)會(huì)隨著視視場(chǎng)的增增加而增增大，所所以對(duì)于于大視場(chǎng)場(chǎng)的光學(xué)學(xué)系統(tǒng)必必須給予予校正。。對(duì)于對(duì)稱稱式光學(xué)學(xué)系統(tǒng)而而言，如如果該系系統(tǒng)以－1倍成像時(shí)，由由于對(duì)稱面面上的垂軸軸像差是大大小相等、、正負(fù)符號(hào)號(hào)相反的，，所以可以以消除包含含彗差在內(nèi)內(nèi)的所有軸軸外點(diǎn)的垂垂軸像差。。這一設(shè)計(jì)思思想已經(jīng)得得到了廣泛泛的應(yīng)用。。光學(xué)系統(tǒng)的的幾何像差差——象散像散是一種種用來描述述斜細(xì)光束經(jīng)經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)后的失對(duì)對(duì)稱性的像像差，是描述子子午光束和和弧矢光束束會(huì)聚點(diǎn)之之間的位置置差異的。。為抽象出像像散光束的的特點(diǎn)，將將通光口徑徑限定在很很小范圍，，討論細(xì)光光束的像散散。由圖可可以看出，，通光口徑徑越小，通通過孔徑邊邊緣的光線線在像面上上形成的交交線圓的主主心越靠近近主光線上上的點(diǎn)B‘。光學(xué)系統(tǒng)的的幾何像差差——象散此時(shí)，子午午光線的交交點(diǎn)及弧矢矢光線的交交點(diǎn)均位于于主光線上上。在子午午光線的交交點(diǎn)處有一一垂直于子子午面的線線段，稱為為子午焦線線；在弧矢矢光線交點(diǎn)點(diǎn)處有一垂垂直于弧矢矢面的線段段，稱為弧弧矢焦線。。在理想像像面上彌散斑為一一橢圓。光學(xué)系統(tǒng)的的幾何像差差——象散像散和彗差差一樣，均均是軸外物物點(diǎn)因?yàn)檫h(yuǎn)遠(yuǎn)離光軸而而產(chǎn)生的像像差，所以以，像散會(huì)會(huì)隨著視場(chǎng)場(chǎng)角的增加加而增加，，即大視場(chǎng)場(chǎng)的光學(xué)系系統(tǒng)的像散散較大，嚴(yán)嚴(yán)重影響像像質(zhì)，必須須給予校正正。像散散與與場(chǎng)場(chǎng)曲曲的的聯(lián)聯(lián)系系與與區(qū)區(qū)別別：：像像散散的的產(chǎn)產(chǎn)生生必必然然會(huì)會(huì)引引起起場(chǎng)場(chǎng)曲曲（（像像面面彎彎曲曲））；；但