2022-2023學(xué)年專訓(xùn)1概率應(yīng)用的四種求法名師點金：概率是通過大量重復(fù)試驗中頻率的穩(wěn)定性得到的一個0～1的常數(shù)，它反映了事件發(fā)生的可能性的大小，需要注意的是：概率是針對大量重復(fù)試驗而言的，大量重復(fù)試驗反映的規(guī)律并不一定出現(xiàn)在每次試驗中．常見的計算概率的方法有公式法(僅適用于等可能事件)、列表法、畫樹狀圖法和頻率估算法等．用公式法求概率1．一個不透明的袋中裝有5個黃球，13個黑球和22個紅球，它們除顏色外都相同．(1)求從袋中隨機摸出一個球是黃球的概率．(2)現(xiàn)從袋中取出若干個黑球，并放入相同數(shù)量的黃球，攪拌均勻后使從袋中摸出一個球是黃球的概率不小于eq\f(1,3)，問至少取出了多少個黑球？用列表法求概率2．【2023·濰坊】某校為了解九年級學(xué)生近兩個月“推薦書目”的閱讀情況，隨機抽取了該年級的部分學(xué)生，調(diào)查了他們每人“推薦書目”的閱讀本數(shù)．設(shè)每名學(xué)生的閱讀本數(shù)為n，并按以下規(guī)定分為四檔：當(dāng)n＜3時，為“偏少”；當(dāng)3≤n＜5時，為“一般”；當(dāng)5≤n＜8時，為“良好”；當(dāng)n≥8時，為“優(yōu)秀”．將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計后繪制成如下不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖(如圖)：閱讀本數(shù)n123456789人數(shù)126712x7y1請根據(jù)以上信息回答下列問題：(1)分別求出統(tǒng)計表中的x，y的值；(2)估計該校九年級400名學(xué)生中為“優(yōu)秀”檔次的人數(shù)；(3)從被調(diào)查的“優(yōu)秀”檔次的學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生介紹讀書體會，請用列表或畫樹狀圖的方法求抽取的2名學(xué)生中有1名閱讀本數(shù)為9的概率．(第2題)用畫樹狀圖法求概率3．經(jīng)過某十字路口的車，它可能繼續(xù)直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)．如果這三種可能性的大小是相同的，三輛車經(jīng)過這個十字路口，求下列事件的概率．(1)三輛車全部繼續(xù)直行；(2)兩輛車向右轉(zhuǎn)，一輛車向左轉(zhuǎn)；(3)至少有兩輛車向左轉(zhuǎn)．用頻率估算法求概率4．一只不透明的袋中裝有4個小球，分別標(biāo)有數(shù)字2，3，4，x，這些球除數(shù)字外都相同．甲、乙兩人每次同時從袋中各隨機摸出1個球，并計算摸出的這2個球上數(shù)字之和．記錄后都將小球放回袋中攪勻，進(jìn)行重復(fù)試驗．試驗數(shù)據(jù)如下表：摸球總次數(shù)1020306090120180240330450“和為7”出現(xiàn)的頻數(shù)19142426375882109150“和為7”出現(xiàn)的頻率0.100.450.470.400.290.310.320.340.330.33解答下列問題：(1)如果試驗繼續(xù)進(jìn)行下去，根據(jù)上表數(shù)據(jù)，出現(xiàn)“和為7”的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近，試估計出現(xiàn)“和為7”的概率；(2)根據(jù)(1)，若x是不等于2，3，4的自然數(shù)，試求x的值．答案1．解：(1)P(摸出一個球是黃球)＝eq\f(5,5＋13＋22)＝eq\f(1,8).(2)設(shè)取出了x個黑球，則放入了x個黃球，由題意得eq\f(5＋x,5＋13＋22)≥eq\f(1,3)，解得x≥eq\f(25,3).∵x為正整數(shù)，∴x最小取9，則至少取出了9個黑球．2．解：(1)由圖表可知被調(diào)查學(xué)生中“一般”檔次的有13人，所占比例是26%，所以共調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是13÷26%＝50，則調(diào)查學(xué)生中“良好”檔次的人數(shù)為50×60%＝30，所以x＝30－(12＋7)＝11，y＝50－(1＋2＋6＋7＋12＋11＋7＋1)＝3.(2)由樣本數(shù)據(jù)可知“優(yōu)秀”檔次所占的比例是eq\f(3＋1,50)＝0.08＝8%.所以估計九年級400名學(xué)生中為“優(yōu)秀”檔次的人數(shù)為400×8%＝32.(3)用A，B，C表示閱讀本數(shù)是8的學(xué)生，用D表示閱讀本數(shù)是9的學(xué)生，列表：ABCDA(A，B)(A，C)(A，D)B(B，A)(B，C)(B，D)C(C，A)(C，B)(C，D)D(D，A)(D，B)(D，C)由列表可知，共有12種等可能的情況，其中所抽取的2名學(xué)生中有1名閱讀本數(shù)為9的有6種．所以抽取的2名學(xué)生中有1名閱讀本數(shù)為9的概率為eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).3．解：用樹狀圖表示出三輛車經(jīng)過該十字路口時所有可能出現(xiàn)的情況，如圖：(第3題)由樹狀圖可以看出，三輛車經(jīng)過該十字路口時所有等可能出現(xiàn)的情況共有27種．(1)三輛車全部繼續(xù)直行的結(jié)果只有1種，所以P(三輛車全部繼續(xù)直行)＝eq\f(1,27).(2)兩輛車向右轉(zhuǎn)，一輛車向左轉(zhuǎn)的結(jié)果有3種，所以P(兩輛車向右轉(zhuǎn)，一輛車向左轉(zhuǎn))＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).(3)至少有兩輛車向左轉(zhuǎn)的結(jié)果有7種，所以P(至少有兩輛車向左轉(zhuǎn))＝eq\f(7,27).4．解：(1)估計出現(xiàn)“和為7”的概率為0.33.(2)列表如下，一共有12種等可能的結(jié)果．甲和乙234x2/562＋x35/73＋x467/4＋xxx＋2x＋3x＋4/由(1)知，估計