高等數(shù)學(xué)多媒體課件牛頓（Newton）萊布尼茲（Leibniz）12/23/20221高等數(shù)學(xué)多媒體課件牛頓（Newton）萊布尼茲（Leibni第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)洛必達法則第二節(jié)泰勒(Taylor)公式第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值、最小值第一節(jié)微分中值定理第六節(jié)函數(shù)圖形的描繪第七節(jié)曲率12/23/20222第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)洛必達法則第一節(jié)微分中值定理第三章二、微分中值定理一、函數(shù)的極值三、小結(jié)與思考題（TheMeanValueTheorem）羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理12/23/20223第一節(jié)微分中值定理第三章二、微分中值定理一、函數(shù)一、函數(shù)的極值（ExtremumsofFunction）12/23/20224一、函數(shù)的極值（ExtremumsofFunction）注意：函數(shù)的極大值、極小值與最大值、最小值的區(qū)別．函數(shù)的極值是對一點的鄰域來說的，是局部性概念；而最值（最大值、最小值的簡稱）是整體性概念．12/23/20225注意：函數(shù)的極大值、極小值與最大值、最小值的區(qū)別．費馬引理（FermatLemma）且存在證:設(shè)則證畢12/23/20226費馬引理（FermatLemma）且存在證:設(shè)則證畢1二、微分中值定理1.羅爾（Rolle）定理滿足:(1)在區(qū)間[a,b]

上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,b)

內(nèi)可導(dǎo)(3)

f(a)=f(b)使證:故在[a,b]上取得最大值

M和最小值m.在(a,b)內(nèi)至少存在一點12/23/20227二、微分中值定理1.羅爾（Rolle）定理滿足:(1)在若M=m,則因此若M>m,則M和m

中至少有一個與端點值不等,不妨設(shè)則至少存在一點使則由費馬引理得注意:定理條件條件不全具備,結(jié)論不一定成立.例如,12/23/20228若M=m,則因此若M>m,則M和m提示：12/23/20229提示：12/21/20229有且僅有一個小于1的正實根.證:1)存在性.則在[0,1]連續(xù),且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假設(shè)另有為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件,至少存在一點但矛盾,故假設(shè)不真!設(shè)例2證明方程（補充題）12/23/202210有且僅有一個小于1的正實根.證:1)存在性.則在2.拉格朗日（Lagrange）中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點使思路:利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且證:問題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點即定理結(jié)論成立.證畢12/23/2022112.拉格朗日（Lagrange）中值定理(1)在區(qū)間推論:若函數(shù)在區(qū)間I上滿足則在

I上必為常數(shù).證:在I

上任取兩點日中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數(shù).令則拉格朗日中值定理的有限增量形式:12/23/202212推論:若函數(shù)在區(qū)間I上滿足則在I上必為常數(shù).證:在證:設(shè)由推論可知(常數(shù))令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.自證:經(jīng)驗:欲證時只需證在I上例3證明等式12/23/202213證:設(shè)由推論可知(常數(shù))令x=0,得又故所證:設(shè)中值定理條件,即因為故因此應(yīng)有例4證明不等式12/23/202214證:設(shè)中值定理條件,即因為故因此應(yīng)有例4證明不等式123、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點使?jié)M足:要證12/23/2022153、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區(qū)間[且使即由羅爾定理知,至少存在一點思考:柯西定理的下述證法對嗎?兩個

不一定相同錯!上面兩式相比即得結(jié)論.證:作輔助函數(shù)12/23/202216且使即由羅爾定理知,至少存在一點思考:柯西定理的下述證法解題思路：12/23/202217解題思路：12/21/202217內(nèi)容小結(jié)1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的應(yīng)用(1)證明恒等式(2)證明不等式(3)證明有關(guān)中值問題的結(jié)論關(guān)鍵:利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)費馬引理12/23/202218內(nèi)容小結(jié)1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日課后練習(xí)習(xí)題3-13；5；7；8；12；14思考與練習(xí)1.填空題1)函數(shù)在區(qū)間[1,2]上滿足拉格朗日定理條件,則中值2)設(shè)有個根,它們分別在區(qū)間上.方程12/23/202219課后練習(xí)習(xí)題3-13；5；7；8；12；14思考與練習(xí)且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點使提示:由結(jié)論可知,只需證即驗證在上滿足羅爾定理條件.設(shè)2.設(shè)12/23/202220且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點使提示:由結(jié)論可知,只需證即可導(dǎo),試證在其兩個零點間一定有的零點.提示:設(shè)欲證:使只要證亦即作輔助函數(shù)驗證在上滿足羅爾定理條件.3.若12/23/202221可導(dǎo),試證在其兩個零點間一定有的零點.提示:設(shè)欲證:使證:法1

用柯西中值定理.則f(x),F(x)在[1,e]上滿足柯西中值定理條件,令因此即分析:4.試證至少存在一點12/23/202222使證:法1用柯西中值定理.則f(x),F(使法2

令則f(x)在[1,e]上滿足羅爾中值定理條件,使因此存在4.試證至少存在一點12/23/202223使法2令則f(x)在[1,e]上滿足羅使法3

令則f(x)在[1,e]上滿足零點定理條件,由于4.試證至少存在一點故由零點定理即證！12/23/202224使法3令則f(x)在[1,e]上滿足零考研真題提示：12/23/202225考研真題提示：12/21/202225法國數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻.他特別愛好數(shù)論,他提出的費馬大定理:至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學(xué)的先驅(qū),費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中提煉出來的.費馬(1601–1665)12/23/202226法國數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好.他興趣廣泛法國數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻,近百余年來,數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對分析數(shù)學(xué)產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.拉格朗日(1736–1813)12/23/202227法國數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要法國數(shù)學(xué)家,他對數(shù)學(xué)的貢獻主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)校編寫的《分析教程》,《無窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應(yīng)用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠.對數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展.復(fù)變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書7本,柯西(1789–1857)12/23/202228法國數(shù)學(xué)家,他對數(shù)學(xué)的貢獻主要集中在微積分學(xué),《柯西全集高等數(shù)學(xué)多媒體課件牛頓（Newton）萊布尼茲（Leibniz）12/23/202229高等數(shù)學(xué)多媒體課件牛頓（Newton）萊布尼茲（Leibni第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)洛必達法則第二節(jié)泰勒(Taylor)公式第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值、最小值第一節(jié)微分中值定理第六節(jié)函數(shù)圖形的描繪第七節(jié)曲率12/23/202230第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)洛必達法則第一節(jié)微分中值定理第三章二、微分中值定理一、函數(shù)的極值三、小結(jié)與思考題（TheMeanValueTheorem）羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理12/23/202231第一節(jié)微分中值定理第三章二、微分中值定理一、函數(shù)一、函數(shù)的極值（ExtremumsofFunction）12/23/202232一、函數(shù)的極值（ExtremumsofFunction）注意：函數(shù)的極大值、極小值與最大值、最小值的區(qū)別．函數(shù)的極值是對一點的鄰域來說的，是局部性概念；而最值（最大值、最小值的簡稱）是整體性概念．12/23/202233注意：函數(shù)的極大值、極小值與最大值、最小值的區(qū)別．費馬引理（FermatLemma）且存在證:設(shè)則證畢12/23/202234費馬引理（FermatLemma）且存在證:設(shè)則證畢1二、微分中值定理1.羅爾（Rolle）定理滿足:(1)在區(qū)間[a,b]

上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,b)

內(nèi)可導(dǎo)(3)

f(a)=f(b)使證:故在[a,b]上取得最大值

M和最小值m.在(a,b)內(nèi)至少存在一點12/23/202235二、微分中值定理1.羅爾（Rolle）定理滿足:(1)在若M=m,則因此若M>m,則M和m

中至少有一個與端點值不等,不妨設(shè)則至少存在一點使則由費馬引理得注意:定理條件條件不全具備,結(jié)論不一定成立.例如,12/23/202236若M=m,則因此若M>m,則M和m提示：12/23/202237提示：12/21/20229有且僅有一個小于1的正實根.證:1)存在性.則在[0,1]連續(xù),且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假設(shè)另有為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件,至少存在一點但矛盾,故假設(shè)不真!設(shè)例2證明方程（補充題）12/23/202238有且僅有一個小于1的正實根.證:1)存在性.則在2.拉格朗日（Lagrange）中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點使思路:利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且證:問題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點即定理結(jié)論成立.證畢12/23/2022392.拉格朗日（Lagrange）中值定理(1)在區(qū)間推論:若函數(shù)在區(qū)間I上滿足則在

I上必為常數(shù).證:在I

上任取兩點日中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數(shù).令則拉格朗日中值定理的有限增量形式:12/23/202240推論:若函數(shù)在區(qū)間I上滿足則在I上必為常數(shù).證:在證:設(shè)由推論可知(常數(shù))令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.自證:經(jīng)驗:欲證時只需證在I上例3證明等式12/23/202241證:設(shè)由推論可知(常數(shù))令x=0,得又故所證:設(shè)中值定理條件,即因為故因此應(yīng)有例4證明不等式12/23/202242證:設(shè)中值定理條件,即因為故因此應(yīng)有例4證明不等式123、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點使?jié)M足:要證12/23/2022433、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區(qū)間[且使即由羅爾定理知,至少存在一點思考:柯西定理的下述證法對嗎?兩個

不一定相同錯!上面兩式相比即得結(jié)論.證:作輔助函數(shù)12/23/202244且使即由羅爾定理知,至少存在一點思考:柯西定理的下述證法解題思路：12/23/202245解題思路：12/21/202217內(nèi)容小結(jié)1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的應(yīng)用(1)證明恒等式(2)證明不等式(3)證明有關(guān)中值問題的結(jié)論關(guān)鍵:利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)費馬引理12/23/202246內(nèi)容小結(jié)1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日課后練習(xí)習(xí)題3-13；5；7；8；12；14思考與練習(xí)1.填空題1)函數(shù)在區(qū)間[1,2]上滿足拉格朗日定理條件,則中值2)設(shè)有個根,它們分別在區(qū)間上.方程12/23/202247課后練習(xí)習(xí)題3-13；5；7；8；12；14思考與練習(xí)且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點使提示:由結(jié)論可知,只需證即驗證在上滿足羅爾定理條件.設(shè)2.設(shè)12/23/202248且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點使提示:由結(jié)論可知,只需證即可導(dǎo),試證在其兩個零點間一定有的零點.提示:設(shè)欲證:使只要證亦即作輔助函數(shù)驗證在上滿足羅爾定理條件.3.若12/23/202249可導(dǎo),試證在其兩個零點間一定有的零點.提示:設(shè)欲證:使證:法1

用柯西中值定理.則f(x),F(x)在[1,e]上滿足柯西中值定理條件,令因此即分析:4.試證至少存在一點12/23/202250使證:法1用柯西中值定理.則f(x),F(使法2

令則f(x)在[1,e]上滿足羅爾中值定理條件,使因此存在4.試證至少存在一點12/23/202251使法2令則f(x)在[1,e]上滿足羅使法3

令則f