測量平差在測繪學(xué)科中的應(yīng)用測量平差與其他學(xué)科一樣，是由于生產(chǎn)的需要而產(chǎn)生的，并在生產(chǎn)實踐的過程中，隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步而發(fā)展。近代測量平差的內(nèi)容非常豐富，其主要特點是，觀測值概念廣義化了，從處理隨機(jī)獨立的觀測數(shù)據(jù)，展到可以處理隨機(jī)相關(guān)的數(shù)據(jù)；擴(kuò)展了經(jīng)典測量平差的數(shù)學(xué)模型，從滿秩平差問題，發(fā)展到降秩平差問題；從僅處理隨機(jī)變量，發(fā)展到一并處理隨機(jī)過程；從側(cè)重于平差函數(shù)模型的研究，發(fā)展到也重視隨機(jī)模型的研究；從不顧及模型誤差，發(fā)展到顧及模型誤差，針對最小二乘估計的局限性，提出了有偏估計和穩(wěn)健估計。測量平差的基本任務(wù)是處理一系列帶有偶然誤差的觀測值，求出未知量的最可靠值(平差值)，并評定測量成果的精度。測量平差中經(jīng)典的估計準(zhǔn)則是高斯創(chuàng)立的最小二乘估計準(zhǔn)則。測量平差在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時建立的函數(shù)模型一般都是確定的函數(shù)關(guān)系，即各種觀測量之間都有明確的函數(shù)關(guān)系，例如：邊長、角度與坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系；水準(zhǔn)網(wǎng)平差中的高程與高差之間的函數(shù)關(guān)系；GPS數(shù)據(jù)處理中的GPS衛(wèi)星的偽距以及已知的衛(wèi)星位置與接收機(jī)所在點的三個坐標(biāo)之間，載波相位觀測量以及已知的衛(wèi)星位置與接收機(jī)所在點的三個坐標(biāo)之間都是確定的函數(shù)關(guān)系；大地高、正常高與高程異常之間的函數(shù)關(guān)系式；衛(wèi)星受攝動的軌道與六個軌道根數(shù)之間等等。1測量平差在變形監(jiān)測中的應(yīng)用在測量工作的實踐和科學(xué)研究的活動中，變形觀測占有重要的位置，而平差對于變形監(jiān)測中的數(shù)據(jù)處理有著十分重要的作用。在工程建筑物的興建中，從工程施工開始到竣工，以及建成后整個工程的運營期間都要不斷的對工程建筑物進(jìn)行監(jiān)測，以便掌握工程建筑物變形的情況，及時發(fā)現(xiàn)問題，保證工程建筑物的安全，不論絕對網(wǎng)還是相對網(wǎng)，在觀測期間網(wǎng)點位置均不能認(rèn)為是沒有變動的，即網(wǎng)中任意一點的穩(wěn)定性必須進(jìn)行檢驗。所謂對給定的控制網(wǎng)考察其可監(jiān)測性，就是要預(yù)期該網(wǎng)可能監(jiān)測到的最小變形量及方向。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse假定各觀測點第一期真值為，第二期各點真值為，兩期觀測期間發(fā)生的位移量真值，則：(a)第一期的自由網(wǎng)平差的誤差方程及基準(zhǔn)條件方程：誤差方程解為:12乂1第二期的自由網(wǎng)平差時，其誤差方程與原來自由網(wǎng)平差第二期的誤差方程相同，但其平差基準(zhǔn)發(fā)生變化，是仍采用第一期的平差基準(zhǔn)，以便保證基準(zhǔn)一致性?，F(xiàn)在將第二期自由網(wǎng)平差的誤差方程及第一期的基準(zhǔn)條件組合：(b)將式(a)帶入式(b)的第二式得：(c)式(c)就是用第二期近似高程或坐標(biāo)值的改正值及真位移量表示的第一期基準(zhǔn)。將(b)的第一式與(c)聯(lián)合組成誤差方程組得：(d)將(d)的第一式在最小二乘條件VTPV=min下求解得到法方程組(e)其中N不存在逆矩陣，將(e)第一式兩邊乘以G并加到第二式可以得到由于可逆，解之。并代入以下式子22X就有(f)其中，因為真位移量可以近似表示為：(g)將(g)代入⑴就可以得出第二期觀測數(shù)據(jù)在第一期基準(zhǔn)下平差后的近似高程或坐標(biāo)值的改正數(shù)，其值為一，則同一基準(zhǔn)下的位移量計算值為=，其中。d是兩期觀測資料分別平差時的各點位移量，就是基準(zhǔn)一致性前提下，推導(dǎo)出的兩期觀測平差后各點的位移向量。在多期觀測數(shù)據(jù)中如何合理地判斷點的穩(wěn)定性和計算位移量，這值得討論。以往對多期觀測數(shù)據(jù)的處理都是認(rèn)為穩(wěn)定點在不同觀測期間將不發(fā)生變化，即網(wǎng)型不變，這只是一種理想化狀態(tài)，但是實際中網(wǎng)型可能發(fā)生變化。如某期觀測時部分穩(wěn)定點被破壞，或者是對被破壞點重新埋設(shè)，此時網(wǎng)型都發(fā)生變化。平差時的基準(zhǔn)也隨之發(fā)生變化，已不是原來的基準(zhǔn)。1.1監(jiān)測網(wǎng)穩(wěn)定性分析對于以上問題的解決我們可以設(shè)計如下一個觀測網(wǎng)型。如在圖1中，共有n個點，若作了m期觀測，現(xiàn)在欲判斷第ij兩期的發(fā)生位移點及位移量的大小。其中第j期觀測時t號點被破壞，與t號點相關(guān)的幾個觀測量沒有觀測，此時網(wǎng)型發(fā)生變化。這就形成兩期觀測的基準(zhǔn)不一致。同時對每個點的穩(wěn)定程度也是未知的，即各個點穩(wěn)定的權(quán)未知。

圖一水準(zhǔn)網(wǎng)網(wǎng)型監(jiān)測網(wǎng)穩(wěn)定性分析思路為：對多期觀測數(shù)據(jù)作自由網(wǎng)整體平差，將各點在各期間視為互不相同的點，各觀測周期數(shù)據(jù)看成相互獨立。計算各期的殳和Q。X對第i期的平差資料進(jìn)行相似變換，解決網(wǎng)型不一致的情況。計算位移量和協(xié)因數(shù)陣。計算ij期間的合理參考系，并對位移量和協(xié)因數(shù)陣再作相似變換，解決計算基準(zhǔn)與實際基準(zhǔn)不相符的情況。再用平均間隙法作穩(wěn)定點的判斷。1.2監(jiān)測網(wǎng)穩(wěn)定性分析的基本理論各期觀測數(shù)據(jù)的自由網(wǎng)整體平差的誤差方程組[X11「l]X:2■/Xmn假定對圖1的網(wǎng)形作了小期的沉降觀測，在山期觀測中網(wǎng)型可能發(fā)生變化，但觀測精度相同。假定每期觀測量為r個。nAA22A11其中，Xx1A22A其中，Xx1iX2ixni是表示第i期點的近似高程改正值。P11P22，A=A11A22P\A\mmmmmmP=是各期的系數(shù)陣，是第i期的觀測數(shù)據(jù)，權(quán)陣只是第［期各觀測值的權(quán)。是各期的系數(shù)陣，的條件下求解得出法方程:組成法方程并求解：的條件下求解得出法方程:將誤差方程在最小二乘

(h)TOC\o"1-5"\h\z其中=,=一N一11MN=22,LN」mm因自由網(wǎng)平差時N陣是奇異矩陣，不存在凱利逆，由法方程(h)求出的解不唯其解為：X=n-1W(i)N；：N-1協(xié)因數(shù)陣為Q=22,N-1

mmT為求出方程(i)的唯一解，再給定一個最小范數(shù)條件XX=min，則可求出殳的唯一解。X=(AtPA+GGT)-1AtPI,Q=(AtPA+GGt)-1-GGt,A其中，G滿足條件AG=0,GTG=I；那么第i期的解為Q=(AtPA+GGt)-1-GGtX=(atPA+GGt)-1AtPI。????***********?AllIIIIIIIllIllIIllIIi對第i期的平差資料進(jìn)行相似變換：因為前面己假設(shè)在第］期觀測時第t號點被破壞?，F(xiàn)在要將第1期平差值轉(zhuǎn)換到第j期基準(zhǔn)下，根據(jù)相似變換公式X=(I—X=(I—H(DtH)-1Dt)X2=(I-H(DtH)-1Dt)Q(I-H(DtH)-1Dt

x有：乂—S1Cl前St，其中SA--1Ht-上(1

寸n。因為第］觀測時tHt-上(1

寸n。因為第］觀測時t號點1)1xn，w=…L1」nxn被破壞，欲將第i期觀測的平差資料變換到第］期的基準(zhǔn)下，這相似變換公式中穩(wěn)定點權(quán)陣可應(yīng)耽期的基準(zhǔn)，其中第t項就應(yīng)為0。計算第i、j觀測期間的位移量』及協(xié)因數(shù)陣Q。第i、j觀測期間的位移量幺及協(xié)因數(shù)陣?！ㄓ嬎愎饺缦拢篸=X-X：后，Qd=Q+Q，戈jX后在上式中，d?表示的是第i、j兩觀測期間共同存在點的位移量，Qd是位移量d.的協(xié)因數(shù)陣。'"j(5)我們求盡量與實際相符合的參考系：與實際相符合的參考系可以表示為DtX=0,Dt=Htw這是一個未知基準(zhǔn)，DT參考系的系數(shù)陣，HT參考系中各點看成等權(quán)時的系數(shù)陣，W是參考系的權(quán)陣，其作用是對參考系中各點在平差中賦予不同的權(quán)重，為對角陣在這里是一個待求量。對于這里的高程網(wǎng)取為：11d(k)<2H=W(111L)，叩k*)=]%(k)|d…，I''/1A其中c一般取為單位權(quán)方差，C為某一合適的常數(shù)。那么d(k+1)=Y-H[HTw(k+1)HJ1Htw(K+1yd(k)在上面的幾個式中，k表示的是迭代次數(shù)。當(dāng)|d(k+1)-d(k)|<5時停止迭代。5ii一般取一個適當(dāng)小的數(shù)。此時就求出了參考系各點的權(quán)陣W。計算出合乎實際的參考系權(quán)陣后，就可以對由自由網(wǎng)平差計算的位移和協(xié)因數(shù)陣作相似變換。變換公式如下：S=I-H[HTw(k+1)H]-1Htw(K+1)』dD=SdTOC\o"1-5"\h\zQ=SQSTdpdQ=Q+Qd::XX?j(6)利用平均間隙法判斷各點的穩(wěn)定性。利用相似變換后的位移量及協(xié)因數(shù)陣就可以判斷點的穩(wěn)定性。平均間隙法流程如下：

計算d求切廣計算d求切廣曲，的最大值圖二平均間隙法計算流程對所有的參考點，都進(jìn)行同樣的分解，計算所有的W、NR，然后在所有的w中i(i)i取最大的一個，它相應(yīng)的點為不穩(wěn)定點，利用該點對應(yīng)的AR.作圖形一致性檢驗，若通過則終止，否則重復(fù)上述過程。⑴2測量平差在GPS中的應(yīng)用我們以GPS高程擬合的精度分析為例來談其在GPS中的應(yīng)用。2.1GPS高程方法在測量中常用的高程系統(tǒng)有以參考橢球面為基準(zhǔn)面的大地高系統(tǒng)，一般用符號H表示；以大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面的正高系統(tǒng)，用符號H表示；以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)的正常高系統(tǒng)，用符號H表示。高程系統(tǒng)間的相^互關(guān)系如圖所示：地髀面明火地寸崔面大地北推面1鋌睇面地髀面明火地寸崔面大地北推面1鋌睇面大地水準(zhǔn)面到參考橢球面的距離，稱為大地水準(zhǔn)面差距，記為h。大地高與正高之間的關(guān)系可以表示為：H=H+h8似大地水準(zhǔn)面到參考橢球面的距離：稱為高程異常，記為匚。大地高與正常高之間的關(guān)系可以表示為：H=H+。r

由于采用GPS觀測所得到的是點在WGS一84坐標(biāo)系中的大地高，為了確定出正高或正常高，需要有大地水準(zhǔn)面差距或高程異常數(shù)據(jù)。而我國常用的正常高(H)則須有一定精度的高程異常值匚，才能保證由大地高求得。2.2蒿程擬合法高程擬合就是利用在范圍不大的區(qū)域中，高程異常具有一定的幾何相關(guān)性這一原理，由已知點的H、H在一定的數(shù)學(xué)模型和統(tǒng)計準(zhǔn)則下求出未知點的高程異常，從而求出待定點的正常高。若要用零次多項式進(jìn)行高程擬合時，要確定1個參數(shù)，因此，需要l個以上的已知點；若要采用一次多項式進(jìn)行高程擬合，要確定3個參數(shù)，需要3個以丘的已知點；若要采用二次多項式進(jìn)行高程擬合，要確定6個參數(shù)，則需要6個以上的己知點。零次多項式:一次多項式：零次多項式:一次多項式：二次多項式：其中：=a0=a+adB+adL012=a+adB+adL+adB2+adL+adBdL012345dB=B-B0dL=L-L0B0=-￡B匕=上￡L(n為GPS的點數(shù))利用公共點上GPS測定的大地高和水準(zhǔn)測量測定的正常高計算出該點上的高程異常匚，存在一個這樣的公共點，就可以依據(jù)上式列出一個方程：匚=a+adB+adL+adB2+adL2+adBdLi01i2i3i4i5ii若共存在m個這樣的公共點，則可列出m個方程:匚=a+adB+adL+adB2+adL2+adBdL011213141511匚=a+adB+adL+adB2+adL2+adBdL012223242522匚=a+adB+adL+adB2+adL2+adBdLm01m2m3m4m5mm即有：V=A布L其中：dB2dL2dBdL111dBdL2dBdL222一1dB1dL1.1dB2dL2dBdL111dBdL2dBdL2221dBdL\o"CurrentDocument"x=[a.aa012V=[q%GdB2dL2dBdLmmmmaOa45通過最小二乘法可以求解出多項式的系數(shù):x=-（AtPA）-1AtPL）其中：P為權(quán)陣，它可以根據(jù)水準(zhǔn)高程和GPS所測得的大地高的精度來加以確定。按上述方法便可以確定計算點的高程，其精度主要決定于GPS測量的精度。這一方法的優(yōu)點是概念明了，計算簡單，精度高。不過，為描述大地水準(zhǔn)面的細(xì)節(jié)，它需要布設(shè)均勻的、密度充分的GPS觀測點，并且在這些點上，需要同時具有精密的水準(zhǔn)資料。這些要求在實際工作中有時會遇到困難，但是可以預(yù)期，隨著GPS定位技術(shù)的發(fā)展和普及，布設(shè)足夠密度和精度的GPS觀測站，將變得容易實現(xiàn)。另外，專家認(rèn)為，GPS測量和水準(zhǔn)測量資料，與重力測量資料（或地形資料）相結(jié)合，來精密確定大地水準(zhǔn)面的高程，將是一種有潛力的方法。3測量平差在攝影測量中的應(yīng)用我們在攝影測量中，進(jìn)行單張像片空間后方交會誤差方程式的建立，利用共線方程求解外方位元元素時，為了提高精度和可靠性，通常需要測四個甚至更多的地面控制點和對應(yīng)的像點坐標(biāo)，采用最小二乘平差方法解算。在列出每個點的誤差方程式之后，用矩陣形式表示誤差方程，根據(jù)最小二乘平差原理，有誤差方程列出法方程式，像點坐標(biāo)量測為等精度觀測，P為單位矩陣，可得出解。同樣，我們在進(jìn)行相對或絕對定向元素的解算時，同樣運用到了間接平差原理來計算相對或絕對定向元素近似值的改正數(shù)。可以說，平差在攝影測量的數(shù)據(jù)處理上起到了很關(guān)鍵的作用。下面，我們以光束法區(qū)域網(wǎng)空中三角測量為例來說說平差的處理方法。3.1光束法區(qū)域網(wǎng)平差的基本思想光速法區(qū)域網(wǎng)平差是以一張像片組成的一束光線作為平差的基本單元，以中心投影的共線方程作為平差的數(shù)學(xué)模型，以相鄰像片公共交會點坐標(biāo)相等、控制點的內(nèi)業(yè)坐標(biāo)與已知的外業(yè)坐標(biāo)相等為條件，列出控制點和加密點的誤差方程式，進(jìn)行全區(qū)域的統(tǒng)一平差計算，解求出每張像片的外方位元素和加密點的地面坐標(biāo)。光速法區(qū)域網(wǎng)平差主要過程如下：（1）像片外方位元素和地面點坐標(biāo)近似值的確定。（2）逐點建立誤差方程式和改化法方程式。（3）利用邊法化邊消元循環(huán)分塊法解求改化法方程式。（4）求出每張像片的外方位元素。（5）空間前方交會求得待定點的地面坐標(biāo)，對于像片公共點連接點取其平均值作為最后成果。光速法區(qū)域網(wǎng)平差以像點坐標(biāo)作為觀測值，理論嚴(yán)密，但對原始數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差十分敏感，只有在較好地預(yù)先消除像點坐標(biāo)的系統(tǒng)誤差后，才能得到理想的加密成果。3.2光速法區(qū)域網(wǎng)平差的概算區(qū)域網(wǎng)概算的目的是提供每張像片的外方位元素和加密點地面坐標(biāo)的近似值，通常用航帶法加密成果作為光速法區(qū)域網(wǎng)平差的概值。具體過程如下：（1）第一條航帶建立自由航帶網(wǎng)，用該航帶內(nèi)已知的地面控制點作概略絕對定向，獲得加密點概略地面坐標(biāo)。（2）以下各條航帶，用上條相鄰航帶的公共點和本航帶的控制點作概略定向。（3）各相鄰航帶公共點坐標(biāo)取均值作為地面坐標(biāo)的近似值。（4）用每張像片的近似地面坐標(biāo)，用空間后方交會方法求得各像片的外方位元素的近似值。3.3誤差方程式和法方程式的建立

經(jīng)區(qū)域網(wǎng)概算，獲得每張像片的外方位元素和加密點地面坐標(biāo)的近似值后，就可以用共線條件方程式，列出每張像片上控制點和加密點的誤差方程式。對每個像點可列出下列兩條關(guān)系式，即尤=_建（X-X,）+。儀_勺+WZ-Zs）a3（X-Xs）+b/Y-七）+c3（Z-Zs）y=_fa2（X-Xs）+b。-%）+c2（Z-Zs）a3（X-Xs）+b3（Y-Ys）+c3（Z-Zs）將共線方程式線性化并寫成一般形式得v=adX+a.-dY+adZ+adQ+a“dw+adK-adX-adY-adZ-1,,Xiisi2si3si4i5i6iii2i3Xv=adX+adY+adZ+adQ+adw+adK—adX—adY—adZ—lY2is22s23s2425262i2223Y寫成矩陣形式為VxvY-iaiiai2ai3a2iVxvY-iaiiai2ai3a2ia22a23ai4ai5

a24a25"16白26」dXsdYsdZsd里d①Fl

-a21-ai2-a22-"13-a23」dXdYdZ'lY」dK寫成一般形式為V=[aV=V=|vXXaiiai2ai3ai4a2ia22a23a24F-ai2-ai3L-a2i-a22-a23A=B=VYai5ai6a25a26-X=\dxsdYSdZSdQdwd』t=IdXdYdZ]rL=[XlY對于外業(yè)控制點dX=dY=dZ=對于外業(yè)控制點dX=dY=dZ=0。當(dāng)像點坐標(biāo)為等權(quán)觀測時如不考慮它的誤差，則控制點的坐標(biāo)改正數(shù)誤差方程式對應(yīng)的法方程式為AtABtAAtB]「XbtbtBTB|_tAtLBtL（j）式(j)含有像片外方位元素改正數(shù)X和待定點地面坐標(biāo)改正數(shù)，兩類未知數(shù)。對于一個區(qū)域來說，通常會有幾條、十幾條甚至幾十條航帶，像片數(shù)將有幾十、幾百甚至幾千張。每張像片有6個未知數(shù)，一個待定點有3個未知數(shù)。若全區(qū)有N條航帶，每條航帶有n張像片，全區(qū)有m個待定點，則該區(qū)域的未知數(shù)個數(shù)為6nxN+3m個。由此組成的法方程將十分龐大。為了計算方便，通常消去一類未知數(shù)，保留另一類未知數(shù)，形成改化法方程。把式(j)中的系數(shù)矩陣和常數(shù)項用新的符號代替，寫成一NiiN』「xir勺_0

N"N22HJ[12]用消元法消去待定點地面坐標(biāo)改正數(shù)得改化法方程式，即"1「N\NN]xL-N12N*(k)式(k)的改化法方程式的系數(shù)矩陣是大規(guī)模的帶狀矩陣。為了計算方便，通常采用循環(huán)分塊解法解求未知數(shù)。求得每張像片的外方位元素后，可利用雙像空間前方交會或多像空間前方交會方法解求全部加密點的地面坐標(biāo)。多像前方交會是根據(jù)共線條件方程，由待定點在不同像片上的所有像點列誤差方差式進(jìn)行解算。下式為共線條件方程經(jīng)線性化后的誤差方程式，即(v=adX+a^dY+adZ+adQ+ad^+a_dK—adX—a^dY—adZ—LJX11s12s13s14*1516111213Xv=adX+adY+adZ+adQ+adw+adK—adX—adY—adZ—l<Y21s22s23s24，2526212223Y由于每張像片的外方位元素已經(jīng)求得，就可列出每個待定點的前方交會誤差方差式，即[Vx——a^dX—a12dY—a'^dZ—板lVY=—a21dX—a22dY—a23dZ—lY如果某待定點在n張像片上都有構(gòu)像，則可列出2n條誤差方程式，解出該點的地面坐標(biāo)改正數(shù)，再加上其近似值就得待定點的地面坐標(biāo)。4測量平差在大地測量中的應(yīng)用利用最小二乘配置法研究大地水準(zhǔn)面，這種方法已成為完整的理論并在全球大地測量中試用。在經(jīng)典的間接平差基礎(chǔ)方程F(X)—L=0中，F(xiàn)，頊分別是系統(tǒng)參數(shù)真值及觀測值向量真值，觀測值向量L—Le式中e為觀測值誤差，它由相互獨立的兩個偶然量組成：測站點信號氣和觀測噪聲n。顯然它們各自的均值(或稱期望)都是0,經(jīng)線性化后，得線性方程AX—l+S+n—(l)式中：l—F(Xo)—L。如果在信號中海包括計算點信號s2，亦即S=[*S2b則(l)式可寫為Ax-1+BS+n=0(m)式中：B=[10〕，此式即為最小二乘配置中的線性方程式。在物理大地測量中，系統(tǒng)部分可理解為是水準(zhǔn)橢球參數(shù)，比如長半軸^，地球動力常數(shù)fM，正常二介帶系數(shù)L及地球自轉(zhuǎn)角速度“；隨機(jī)部分S包括地球重力場與橢球參考系之間的不符值，2比如，垂線偏差，大地水準(zhǔn)面差距。重力異常以及實際重力場與正常重力場兩種球諧系數(shù)之差等。為了依(m)式按最小二乘原理求出X，S及n，需要隨機(jī)量的協(xié)方差陣。對于噪聲n的協(xié)方差陣C可從觀測值的精度和相關(guān)性的先驗估計中得到。信號S的協(xié)方差陣C可按協(xié)方差陣傳播定律由某一個基本函數(shù)導(dǎo)出。由于n和S互相獨立，S因此整個協(xié)方差可寫為(CS+C)。于是，現(xiàn)在的問題歸結(jié)為:n在StC-1S+nTC-in最小條件下求出未知量的最佳估值問題。為此組成拉格朗日函數(shù)Sn①=StC-1S+nTC-in+2Kt(AX-1+BS+n)Sn并令H=2atK=0竺=2C-iS+2BAK06Ss于是得出求解矩陣并令C-10I0-[nl[0i0C-1Bt0S0S?——IB0Ak100At00X由此得各未知量估值計算公式:iAt(CnX=(At(C+C)-1A)nS1K=-(C+CS1)-1(1-AX)S=CBt(C+Cs1)-1(1-AX)n=C(C+Cs1)-1(1-AX)

式中:八CC=s1sC1-S2S1CiAt(Cn式中:八CC=s1sC1