(yxy)dxxdy0(x0),9 2 +

2dx

=x2得d(x2y)=x2lnx.積分得x2y=C+x2lnxdxC1lnxdx3C1x3lnx1x3.3 3 1 1 由y(1)得C0y xlnxx.9 3 2.（06,4分）微分方程y=y(1x)的通解為 (1)dx.積分得lnylnxxC1，即yeC1xex.因此，原微分方程的通解為yCxex,其中C為任意常數(shù).1.（97,2,5分）求微分方程(3x22xyy2)dx(x22xy)dy0的通解..量得

1uu2dudx,積分得ln1uu23lnxC1,即1uu2=Cx3.以uy

代入得通解x2xyy2

2.(99,2,7分) 求初值問題 0

的解.解：所給方程是齊次方程(因dx,dy的系數(shù)(y+x2y2)與(-x)都是一次齊次函數(shù)）.令dyxduudx,帶入得x(u1u2dxx(xduudx)0,化簡得 12u2dxxdu0.分離變量得

-

du1u

=0.積分得lnxln(u1u2)C1,即u1u2Cx.以uy代入原方程通解為y+x2y2Cx2.再代入初始條件y

0,得C=1.故所求解為y+x2y2x2，或?qū)懗蓎

12

(x21).(94,1,9分）設(shè)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)0,f(0)1,且

[f(x)x2y],即x22xyf(x)f(x)2xy,亦即f(x)f(x)x2.因而f(x)是初值問題0,yf(x)2cosxsinxx22.

原方程化為[xy22y(2cosxsinx)y]dx(x2y2x2sinxcosx)dy0. x2dy2)2(ydxxdy)yd(2sinxcosx)(2sinxcosx)dy0, x2y22xyy(cosx2sinx)]0.

x2y22xyy(cosx2sinx)C.4.（98,3分）已知函數(shù)yy(x)在任意點x處的增量y=1x2

是x的高階無窮小，y(0)=，則y(1)等于（） (A)2.(B).(C)e4.(D)e4.y1x2

1x2

,兩邊同時積分得lnyarctanxC,即yCearctanx

xP3P0,標(biāo)準(zhǔn)形式為P+P=0，兩邊乘x3得(Px3)=0.通解為yP

再積分得所求通解為yC2C1.分析：這是二階的可降階微分方程.

x0

的特解是_____x0

dP

P

dP

代入方程得yP

dP

+P2=0，即y

dP

+P=0(或P=0,，但其不滿足初始條件y

x0

1）.2分離變量得

dP P

0,C積分得lnP+lny=C，即P=1(P=0對應(yīng)C1=0)；1由x0時y1，P=y,得C2

1，于是2yP

1

,2ydydx,積分得y2xC2.

x0

1得C2.

1，所求特解為y1x.7.（01,3分）設(shè)yex(C1sinxC2cosx)(C1,C2為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線性齊次微分__.,,2不是特征根，非齊次方程有特解yAe2x分析一：由通解的形式可得特征方程的兩個根是分析一：由通解的形式可得特征方程的兩個根是1，r11)(rr2)r2(r 2)rr r22r20. 1r y 分析：特征方程243(1)(3)0的根為1,3. 因此，通解為yC

C2e3x

2e2x..10.(10,10分)求微分方程y3y2y2xex的通解.分析：這是求二階線性常系數(shù)非齊次方程的通解.1由相應(yīng)的特征方程2320,得特征根1,2相應(yīng)的齊次方程的通解為 yC1exC2e2x.2非齊次項f(x)2xe,1是單特征根，故設(shè)原方程的特解yx(axb)ex.代入原方程得ax2(4ab)x2a2b3[ax2(2ab)xb]2(ax2bx)2x,即2ax2ab2x,a1,b2.3原方程的通解為yC

(C)yax2bxcAsinx.(D)yax2bxcAcosx.分析：相應(yīng)的二階線性齊次方程的特征方程是210,特征根為i.由線性方程解的迭加原理，分別考察方程yyx21（）與yysinx（2）方程(1)有特解yax2bxc,方程(2)的非齊次項f(x)esinxsinx(0,1，i是特征根),它有特解yx(AsinxBcosx).因此原方程有特解yax2bxcx(AsinxBbcosx).應(yīng)選(A).

4x

因此，所求原方程的通解為因此，所求原方程的通解為yC分析：求解歐拉方程的方法是：作自變量xet(tlnx)，將它化成常系數(shù)的情形：dx2

(41)dt

2y0,即dt2

3dt

2y0.相應(yīng)的特征方程2320,特征根

1,

2,通解為yC1et

C2e2t.

(05,2,12分)用變量代換xcost(0t)化簡微分方程(1x2)yxyy0，并求其滿足yx01,yx02的特解.

sin2t

cost(1x2)

y0,其通解為yC1costC2sint.由y(0)C

1x2.1.y(0)C

x1x2 x0

2C

因此特解為y2x1x2.

解的是（）分析：從通解的結(jié)構(gòu)知，三階線性常系數(shù)齊次方程相應(yīng)的三個特征根是：1,2i(i1)，對應(yīng)的特征方程是(1)(2i)(2i)(1)(24)32440,(00,2,3分)具有特解yex,y2xex,y

3ex的三階常系數(shù)齊次線性微分方程是（）分析：首先，由已知的三個特解可知特征方程的三個根為rr1,r1，從而特征方程為1 2 (r1)2(r1)0,即r3r2r10,由此，微分方程為yyyy0.應(yīng)選(D).f(x)f(x)x1

xf(t)dt0，((x1)f(x)(x1)f(x)f(t)dt0,(x1)f(x)(x2)f(x)0.ff(x)f(0)f(t)dt,f(x)1e(t0),有0 dtetdt1ex(x0). e在原方程中令變限x0得f(0)f(0)0,由f(0)1,得f(0)1.現(xiàn)降階：令uf(x),則有u

x2u0，解此一階線性方程得x1f(x)uC

exx1

u0由f(0)1,得C1,于是f(x)

exx1

(2)方法1用單調(diào)性.由f(x)

exx1

0(x0),f(x)單調(diào)減,f(x)f(0)1(x);又設(shè)(x)f(x)ex,則(x)f(x)exx1

ex0(x0),(x)單調(diào)增，因此(x)(0)0(x0),即f(x)ex(x0）.綜上所述，當(dāng)x0時,exf(x)1.方法2用積分比較定理.由牛頓-萊布尼茨公式，有由于0

ett1 xetdt. 0t1t t0t1 從而有exf(x)1.1.（96,1,7分）設(shè)對任意x0,曲線yf(x)上點(x,f(x))處的切線在y軸上的截距等于1

xf(t)dt,求f(x)的一般表達(dá)式.解：曲線yf(x)上點(x,f(x))處的切線方程為Yf(x)f(x)(Xx).令X0得y軸上的截距Yf(x)xf(x).由題意

xf(t)dtf(x)xf(x)（含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)與積分的方程），為消去積分，兩邊乘以x,得xf(t)dtxf(x)x2f(x)()恒等式兩邊求導(dǎo)，得f(x)f(x)xf(x)2xf(x)x2f(x)，即xf(x)f(x)0在()式中令x0得00,自然成立.故不必再加附加條件.就是說f(x)是微分方程xyy0的通解.令yP(x),則yP,解xPP0,得yP再積分得yf(x)C1lnxC2.由題意可知由題意可知y(0)1即P(0)1,代入可得C4，故1y2

且此曲線上點(0,1)處的切線方程為yx1,求該曲線的方程，并求函數(shù)yy(x)的極值.解：由題設(shè)和曲率公式有 (1y2)3 1y2

1y2

P令yP(x)，則yP,方程化為1P2

dP分離變量得 dx,積分得arctanPxC1.1P2yPtan(x).分得ylncos(x)C4 y1ln2，故有 ylncos(x)1ln24 當(dāng) 3 x ,即當(dāng) x時,cos( x)0,而當(dāng)x 或時,2 4 4 4 4 cos(x)0,lncos(x)，故所求的連續(xù)曲線為4 1 ylncos(x)1ln2( x)4 2 4 1 3顯然，當(dāng)x 時,lncos(x)0,y取最大值1ln2,顯然y在(，)，沒有極小值.4 4 2 44rrdrrrd， 兩邊對兩邊對求導(dǎo),，得r2r2r（隱式微分方程） ,解出rrr2